一般二次曲面的化简与分类

对角线上的元素为A的特征值(特征根) 1,2,3,即方程
det(A E) 0 的根,它们全为实数,因而有
1

T AT


2




3
经过直角坐标变换(转轴变换),曲面方程为
F(x, y, z) 1x2 2 y2 3z2 2a14x 2a24y 2a34z a44 0
.椭球面 . 双叶双曲面
(3) a'44=0,
5) 1,2,3 同号,标准方程
6) 1,2,3异号,标准方程
x2 a2

y2 b2

z2 c2
0 . 一点;
x2 a2

y2 b2

z2 c2
0 .二次锥面
2) 情形2： 1,2,3中只有一个为0
这时有I3=0, I4 ≠0, 即曲面为非中心型曲面.
1
6.2.2二次曲面的分类与化简
（simplification and classification of quadratic
surfaces）
在（6.2-3）的基础之上,通过配方,在作移轴,就可将方程（6.2-3）进 一步化简,并了解所对应的曲面.
1）情形1： 1,2,3,都不为0.
这时，有I3≠0,即曲面为中心型曲面。
6.2 一般二次曲面的化简与分类
（Simplification and classification of general quadratic surfaces）
6.2.1 代数理论(The algebraic theory)
由代数知识知道,实对称矩阵可用正交矩阵对角化,即
对实对称矩阵A,存在正交矩阵T,使 T AT为对角矩阵,且
不妨设3=0，作移轴

x


x

a14
1
,

y


y

a24
2
,
z z.

则有 1x2 2 y2 2a34z a44 0.
（6.2-5）
(1) 若a34 ≠0,再作移轴


x x,

y

y,
z

z

a44 2a34

抛物柱面.
(2) a24=a34=0
15) 1与a'44 异号, 标准方程 x2 a2 0 . 一对平行平面;
16) 1与a'44 同号,标准方程 x2 a2 0 . 一对虚的平行平面;
17) a'44 =0, 标准方程
x2 0
. 一对重合平面.
定理1 选取适当的坐标系,二次曲面方程（6.1-1）总可以 化简为以下五类简化方程中的一个：
作变换 可化简成

x x,


y

2a24
y

2a34 z

a44
,

2 a224 a324
z

a34
y

a24 z .

a224 a324
14) 标准方程 x2 2 py

x

y

x y,
a14
1
,

z

z,
标准方程
x2 a2

y2 b2
1 0
. 椭圆柱面
10) 1,2, a'44同号,标准方程
x2 y2 a2 b2 1 0
. 虚椭圆柱面
11) 12 <0, 标准方程可化为
x2 a2

y2 b2
1
0
.双曲柱面.
(3)若a34 = a'44 =0
12) 1,2同号, 即1,2 >0,
,
化简为 1x2 2 y2 2a34 z 0.
7) 12>0, 标准方程
x2 a2

y2 b2
2z
8) 12<0, 标准方程
x2 a2

y2 b2
2z
（6.2-6） . 椭圆抛物面 . 双曲抛物面
(2)若a34 =0, a'44≠0,
方程化简为 1x2 2 y2 a44 0. 9) 1,2同号,但与a'44 异号,
并且可以写成下面十七种标准方程的一中形式：
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
0.虚椭球面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1 0
.单叶双曲面
(2) 1,2,3a'44<0, 3) 1,2,3同号,标准方程 4) 1,2,3异号,标准方程
x2 a2

y2 b2
百度文库

z2 c2
1
0
x2 y2 z2
1 0 a2 b2 c2
(6.2-3)
二次曲面（6.1-1）的特征方程
关于的方程
a a
a
11
12
13
A E = a a a =0
21
22
23
a
a a
31
32
33
称为二次曲面（6.1-1）的特征方程.
它是关于的一元三次方程,即
3 I 2 I I 0
1
2
3
解得三个特征值为1,2,3,.二次曲面的特征值有以下的性质： （1） 1,2,3不全为零; （2） 1,2,3都是实数; （3） 1+2+3=I1; （4） 123=I3.
(Ⅰ) a11x2 a22 y2 a33z2 a44 0, a11a22a33 0; (Ⅱ) a11x2 a22 y2 2a34 z 0, a11a22a34 0;
(Ⅲ) a11x2 a22 y2 a44 0, a11a22 0; (Ⅳ) a11x2 2a24 y 0, a11a24 0; (Ⅴ) a11x2 a44 0, a11 0.
作移轴

x


x

a14
1
,
y

y
a24
2
,
可得
z

z

a34
3
.
1x2 2 y2 3z2 a44 0.
（6.2-4）
（1） 1,2,3a'44>0, 1) 1,2,3同号,标准方程 2) 1,2,3异号,标准方程
标准方程
x2 a2

y2 b2
0 . 一对相交于一条实直线的虚平面;
13) 1,2异号, 即1,2 <0,
标准方程
x2 a2

y2 b2
0
. 一对相交平面.
3) 情形3: 1,2,3中有两个为0.
这时有I3=0，I4=0, 不妨设1≠ 0 ,作移轴
则有 1x2 2a24 y 2a34z a44 0. （1）a24,a34中至少有一个不为0,