实验三 最短路径的算法(离散数学实验报告)

实验3：最短路径算法
一、实验目的
通过本实验的学习，理解Floyd（弗洛伊得）最短路径算法的思想
二、实验内容
用C语言编程实现求赋权图中任意两点间最短路径的Floyd算法，并能对给定的两结点自动求出最短路径
三、实验原理、方法和手段
1、Floyd算法的原理
定义：Dk[i,j] 表示赋权图中从结点vi出发仅通过v0，v1，┉，vk-1中的某些结点到达vj的最短路径的长度，
若从vi到vj没有仅通过v0，v1，┉，vk-1 的路径，则D[i,j]=∝即
D-1[i,j] 表示赋权图中从结点vi到vj的边的长度，若没有从结点vi到vj的边，则D[i,j]=∝
D0[i,j] 表示赋权图中从结点vi到vj的”最短”路径的长度, 这条路上除了可能有v0外没有其它结点
D1[i,j] 表示赋权图中从结点vi到vj的”最短”路径的长度, 这条路上除了可能有v0，v1外没有其它结点
┉┉┉
根据此定义，D k[i,j]=min{ D k-1[i,j] , D k-1[i,k-1]+D k-1[k-1,j] }
定义：path[i,j]表示从结点vi到vj的“最短”路径上vi的后继结点
四、实验要求
要求输出每对结点之间的最短路径长度以及其最短路径
五、实验步骤
（一）算法描述
Step 1 初始化有向图的成本邻矩阵D、路径矩阵path
若从结点vi到vj有边，则D[i,j]= vi到vj的边的长度，path[i,j]= i；
否则D[i,j]=∝，path[i,j]=-1
Step 2 刷新D、path 对k=1,2,┉n 重复Step 3和Step 4
Step 3 刷新行对i=1,2,┉n 重复Step 4
Step 4 刷新Mij 对j=1,2,┉n
若D k-1[i,k]+D k-1[k,j] <D k-1[i,j] ，则置D k[i,j]= D k-1[i,k]+D k-1[k,j]，path[i,j]=k；否则不变
[结束循环]
[结束Step 3循环]
[结束Step 2循环]
Step 5 退出
（二）程序框图参考
主程序框图
其中，打印最短路径中间结点调用递归函数dist()，其框图如下，其中fist,end是当前有向边的起点和终点
dist(int first, int end)
七、测试用例：
1、输入成本邻接矩阵：D ：0
6
3
805322901
4100
3210∝
∝
∝∝V V V V V V V V （其中∝可用某个足够大的数据值代替，比如100）
可得最短路径矩阵：P ：1
31132122211
1
11010
1
03210--------V V V V V V V V
以及各顶点之间的最短路径和最短路径长度：
从V0到V1的最短路径长度为：1 ；最短路径为：V0→V1 从V0到V2的最短路径长度为：9 ；最短路径为：V0→V1→V3→V2 从V0到V3的最短路径长度为：3 ；最短路径为：V0→V1→V3 从V1到V0的最短路径长度为：11；最短路径为：V1→V3→V2→V0 从V1到V2的最短路径长度为：8 ；最短路径为：V1→V3→V2 从V1到V3的最短路径长度为：2 ；最短路径为：V1→V3 从V2到V0的最短路径长度为：3 ；最短路径为：V2→V0 从V2到V1的最短路径长度为：4 ；最短路径为：V2→V0→V1 从V2到V3的最短路径长度为：6 ；最短路径为：V2→V0→V1→V3 从V3到V0的最短路径长度为：9 ；最短路径为：V3→V2→V0 从V3到V1的最短路径长度为：10；最短路径为：V3→V2→V0→V1 从V3到V2的最短路径长度为：6 ；最短路径为：V3→V2 参考程序： #include <stdio.h> #define INFINITY 100 #define Max 10
int a[Max][Max],P[Max][Max]; main() {
void Print_Flod(int d);
int i,j,k,D=4;
printf("请输入成本邻接矩阵：\n");
for(i=0;i<D;i++)
for(j=0;j<D;j++)
{
scanf("%d",&a[i][j]);
}
for(i=0;i<D;i++)
for(j=0;j<D;j++)
{
if(a[i][j]>0&& a[i][j]<INFINITY) P[i][j]=i;
else
P[i][j]=-1;
}
for(k=0;k<D;k++)
for(i=0;i<D;i++)
for(j=0;j<D;j++)
if (a[i][k]+a[k][j]<a[i][j])
{
a[i][j]=a[i][k]+a[k][j];
P[i][j]=k;
}
Print_Flod(D);
}
void Print_Flod(int d)
{
void dist(int first,int end);
int i,j;
for(i=0;i<d;i++)
for(j=0;j<d;j++)
if(i!=j)
{ printf("from V%d to V%d: ",i,j);
dist(i,j);
printf("V%d",j);
printf(" (The length is: %d)\n",a[i][j]);
}
}
void dist(int first,int end)
{ int x;
x=P[first][end];
if(x!=first)
{ dist(first,x); dist(x,end); }
else printf("V%d->",x);
}
输出结果：。