对勾函数的性质课件
对勾函数的图象及性质
对勾函数一、定义对勾函数是由两个幂函数相加得到的，对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，其标准形式为f(x)=ax+（其中ab>0）。
由于函数图像形似两个中心对称的对勾，因此得名“对勾函数”，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”等。
在许多情况下，为了简化分析，常取a=b=1，即函数形式为f(x)=x+。
研究初等函数的一般路径，背景—概念—图象—性质—应用二、图象及性质图像特征：1、对勾函数的图像是分别以y 轴和直线y=ax 为渐近线的两支曲线。
2、图像上任意一点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角（0-180°）的正弦值与|b|的乘积。
3、函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且关于原点呈中心对称。
定义域：，即除了x=0外，所有实数都是其定义域内的元素。
值域：。
单调性：函数在(−∞,−1)∪(1,+∞)上单调递增，在(1,0)∪(0,1)上单调递减。
奇偶性：对勾函数是奇函数，即满足f(−x)=−f(x)。
x 122严禁复制三、题型1、基础计算题给定对勾函数表达式，求函数在特定点的值或特定区间的最值。
2.、图像结合题根据对勾函数的图像，判断函数在哪些区间内满足特定条件（如大于某值、小于某值）。
利用图像分析函数与直线、其他曲线的交点情况。
3.、综合应用题求最值问题：利用对勾函数的性质，可以快速求解形如ax+（ab>0）的函数的最值问题。
不等式证明：在不等式证明中，对勾函数的性质也常被用来进行放缩或构造反例。
实际问题建模：在某些经济学问题中，如成本分析、收益最大化等，也可能涉及到对勾函数的应用。
4、参数变化分析：探讨参数a 和b 变化时，对勾函数图像和性质的变化规律。
5、复杂函数组合将对勾函数与其他函数（如二次函数、指数函数等）组合，分析新函数的性质和应用。
四、解题步骤1、对勾函数求最值问题的解题步骤（1）理解函数形式确认函数f(x)=ax+的形式，注意a 和b 都是正数且不相等。
对勾函数的性质
对勾函数的图象及其性质对勾函数，是一种类似于反比例函数的一般函数。
所谓的对勾函数，是形如())0(>+=a xa x x f 的函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。
一般的函数图像形似两个中心对称的对勾，故名对勾函数，又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。
也被形象称为“耐克函数”问题1：已知函数()x x x f 1+=，（1） 求该函数的定义域；（2） 判断该函数的单调性和奇偶性；（3） 求该函数的值域；（4） 画出该函数的图像。
问题2：由函数()x x x f 1+=的图像性质类比出函数())0(>+=a xa x x f 的性质。
1、定义域：{}0≠x x 2、值域： (][)+∞-∞-,22,a a ， 在正数部分仅当x=a 取最小值2a ，在负数部分仅当x=a -取最大值-2a3、奇偶性：奇函数，关于原点对称4、单调区间： (]a -∞-,单调递增 [a -,0)] 单调递减 (0,a ] 单调递减 [a ，+∞) 单调递增问题3：如果函数()xx x f b2+=在(]4,0上单调递减，在[)+∞,4上单调递增，求实数b 的值。
问题4：当()xa x x f +=中的条件变为0<a 时，单调性怎样？ 例1、求函数()x x x f 3+=在下列条件下的值域。
（1）()()+∞∞-,00, ； （2）()2,0； （3）(]2,3--； （4）(]2,1；例2 、函数())0(>+=a xa x x f 在区间[])0(,>m n m 取得最大值6，取得最小值2，那么此函数在区间[]m n --,上是否存在最值？请说明理由。
例3、求下列函数的值域。
（1）1)(2+=x x x f （2）x x x x f 23)(2++= （3）15)(-+=x x x f 练习：1、已知函数1)(+=x x x f ，求该函数的定义域、值域，判断单调性和奇偶性，并画出图像； 2、求函数33)(22+-=x x x f 的值域； 3、 求函数13)(+=x x f 在]5,2[上的最大值和最小值。
对勾函数的图像及其性质ppt课件
ab
值域
在- ，-
b a
和
b a
，
单调递减
在 -
b a
，0 和 0
，
b a
单调递增
y / y 2 ab 或 y 2 ab
12
4、当a 0 , b 0时，
定义域
(-∞,0) ∪(0 ,+∞)
奇偶性
b a
, 0
b a
, 0
奇函数
单调性 在- ，0 , 0， 单调递减
减函数
如果对于定义域内某个区间D上， 任意两个自变量 x1、x2，当 x1<x2 都 有 f(x1)>f(x2) ，就称函数f(x) 在区 间D上是减函数.
(6).用定义法（作差法）证明函数在定义域 区间D上是单调函数时,过程为:
任取自变量 x1、x2 D ,令 x1<x2；作差 f(x2)-f(x1)； 分解因式；判断正负；下结论.
9
探究函数 f (x) ax bx的图像和性质.
1、当a 0 , b 0时，
定义域
(-∞,0) ∪(0 ,+∞)
b a
,2
ab
b a
,2
ab
奇偶性 单调性
值域
奇函数
在 - ,
b a
和
b a
，
单调递增
在 -
b a
，0
和
0
，
b a
单调递减
y / y 2 ab 或 y 2 ab
x
4
7
3. 值 域 , 4 3 (4 3 , )
4. 单调性
在
0
，
3 4
上
单调递减
f (x) 4x 3 x
对勾函数的图象和性质
的 况 似 证所 函 ．ｎ 睾 两 渐 情 类 可 ．以 数， 有 条 近 ） ＋ 一
线： 直线 ｘ ＝Ｏ和直线 —ｎ ．
６ ａｂ的值 对 图象 的影 响． ．、 在第 一 象 限 内 ， ｂ 当 不
３ 奇偶 性 ． ． 对勾 函 数 定 义 域 关 于 原 点 对 称 ， 且 并
心 对 称
） 原 距离 点越
远． 第ｉ象限也存在类似情况．
从 图 象 卜看 ． 勾 甬 舯 县 斤 例 对 的 一 个 征
４ 单调性． ． 设 ｌ ∈ （ ． 、 ２ ０ ＋一 ） 且 ｌ ＜ ２ 则 ，
， ，ｚａ＋ 一 。ｂｎ （一（ 一 鲁 ｎ一 —（ ｚ ） ） ｉ
以要 加 以注 意 和学 习．
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一
时
函数图象无 限接近于 Ｙ轴与直线 Ｙ—ａ ． 在第 三象 限 等号成立）所 以值域为 （ ． 一一 ， ／ Ｕ［ ／ ， 一２ｖ ］ ２ｖ
的 图象 和性 质 ．ｔ 甬 数 一 （ 与 ， ｊ 的 图 象 关 于 『于 １ 厂 ） ’ ’ （） 轴 对 称 ， 们很 容 易得 到 函 数 ， ） ｚ 我 （ 一ｃ 一 （ ＜ “ ０ｂ Ｏ 的 图 象 （ 图 ２ 和 性 质 ． 于 “ ｂ异 号 的 情 ．＜ ） 如 ） 至 、
对勾函数的性质PPT课件
性质简介
1.对号函数是双曲线.对号函数永远是奇函数，关于原点呈中心对称 3.对号函数的两条渐进线永远是y轴和y=ax 4.当a、b>0时，图像分布在第一、三象限两条渐近 线的锐角之间部分，由于其对称性，只讨论第一象 限中的情形。利用平均值不等式（a>0，b>0且ab 的值为定值时，a+b≥2√ab）可知最小值是2倍根号 ab，在x=根号下b/a的时候取得，所以在（0，负根 号下b/a）上单调递减，在（根号下b/a，正无穷） 上单调递增
图像一
图象二
图像三
对勾函数的性质
简介
对勾函数：图像，性质，单调性 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见 图示。
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函 数，又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。也被 形象称为“耐克函数”
所谓的对勾函数（双曲线函数），是形如 f(x)=ax+b/x的函数。由图像得名。
当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为 了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当 x=sqrt(b/a)的时候（sqrt表示求二次方根）
性质一
函数y=ax+b/x的性质 Ⅰ当a、b均大于零时，性质 ： ⑴定义域：x≠0 ⑵值 域：（-∞，-2 根号ab）∪（2根号ab ，
+∞） ⑶奇偶性：奇函数 ⑷单调性：当x﹥0时，当0﹤x﹤根号b/a 时，
y为减函数 当x﹥根号b/a 时，y为增函 数 当x﹤0时，当- 根号b/a﹤x﹤0时，y 为减函数 当x﹤根号b/a- 时，y为增函 数
性质二
⑸极 值： 当x﹥0时，当x= 根号b/a 时，y最小=2根号ab 当x﹤0时， 当x=- 根号b/a时，y最大=-2 根号 ab ⑹对称性：图像关于原点对称 ⑺顶点坐标：（根号b/a ,2根号ab ）、 （-根号b/a ，-2根号ab ） ⑻渐 近线：y轴和y=ax Ⅱ当a、b均小 于零时
对勾函数的图像及其性质课件
在证明某些不等式时，可以利用对勾函数的单调性、奇偶性等性质进行推导。例如，在证明与根号相关的不等 式时，通过构造函数并利用对勾函数的性质，可以更加简洁地证明不等式。
数列求和与极限计算
数列求和
对勾函数在数列求和中也有广泛应用。例如，在某些含有根 号的数列求和问题中，可以通过对勾函数的变换将问题转化 为等比数列或等差数列求和，从而简化计算过程。
极限计算
在求解某些极限问题时ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ可以利用对勾函数的连续性、可导 性等性质进行推导。通过构造函数并利用洛必达法则等工具 ，可以更加便捷地求解极限问题。
积分变换与微分方程求解
积分变换
对勾函数在积分变换中也有重要作用。例如，在某些含有根号的积分问题中，可以通过对勾函数的变换将问题转 化为更易于求解的形式。此外，对勾函数还可以用于构建某些特殊的积分公式，为积分计算提供便利。
对勾函数拟合
利用对勾函数对需求数据 进行拟合，得到需求曲线 方程。
预测未来需求
基于拟合得到的需求曲线 方程，预测未来不同价格 水平下的需求量。
供给曲线建模与预测
供给分析
收集历史数据，分析生产 者在不同价格水平下愿意 提供的商品或服务的数量 。
对勾函数拟合
利用对勾函数对供给数据 进行拟合，得到供给曲线 方程。
单调性与增减性
单调性
对勾函数在其定义域内不是单调函数。它在某些区间内是增函数，而在另一些区 间内是减函数。
增减性
具体来说，当x从负无穷大增加到0时，对勾函数从0增加到正无穷大；当x从0增 加到正无穷大时，对勾函数从正无穷大减少到0。因此，对勾函数在x=0处达到 极大值。
凸凹性与拐点
凸凹性
对勾函数在其定义域内既不是凸函数也不是凹函数。它在某些区间内是凸函数 ，而在另一些区间内是凹函数。
高中数学：对勾函数
高中数学：对勾函数
一）对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图
两种情况的图像是关于y轴成轴对称。
（二）对勾函数的顶点
对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：
当x>0时，
当x＜0时，
即对勾函数的定点坐标：
(三) 对勾函数的定义域、值域
由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
定义域：x≠0
值域：
（四）对勾函数的单调性：参考函数图像
(五) 对勾函数的渐进线
(六) 对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数练习：。
对勾函数的性质
对勾函数的图象及其性质对勾函数,就是一种类似于反比例函数的一般函数。
所谓的对勾函数,就是形如())0(>+=a xa x x f 的函数,就是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数,所以更加要注意与学习。
一般的函数图像形似两个中心对称的对勾,故名对勾函数,又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。
也被形象称为“耐克函数”问题1:已知函数()x x x f 1+=, （1）求该函数的定义域; （2）判断该函数的单调性与奇偶性; （3）求该函数的值域; （4） 画出该函数的图像。
问题2:由函数()x x x f 1+=的图像性质类比出函数())0(>+=a xa x x f 的性质。
1、定义域:{}0≠x x 2、值域: (][)+∞-∞-,22,a a Y , 在正数部分仅当x=a 取最小值2a ,在负数部分仅当x=a -取最大值-2a3、奇偶性:奇函数,关于原点对称4、单调区间: (]a -∞-,单调递增 [a -,0)] 单调递减 (0, a ] 单调递减 [a ,+∞) 单调递增问题3:如果函数()xx x f b2+=在(]4,0上单调递减,在[)+∞,4上单调递增,求实数b 的值。
问题4:当()xa x x f +=中的条件变为0<a 时,单调性怎样？ 例1、求函数()x x x f 3+=在下列条件下的值域。
(1)()()+∞∞-,00,Y ; (2)()2,0; (3)(]2,3--; (4)(]2,1;例 2 、函数())0(>+=a xa x x f 在区间[])0(,>m n m 取得最大值6,取得最小值2,那么此函数在区间[]m n --,上就是否存在最值？请说明理由。
例3、求下列函数的值域。
(1)1)(2+=x x x f (2)x x x x f 23)(2++= (3)15)(-+=x x x f 练习:1、已知函数1)(+=x x x f ,求该函数的定义域、值域,判断单调性与奇偶性,并画出图像; 2、求函数33)(22+-=x x x f 的值域; 3、 求函数13)(+=x x f 在]5,2[上的最大值与最小值。
对勾函数的性质
对勾函数的图象及其性质对勾函数，是一种类似于反比例函数的一般函数。
所谓的对勾函数，是形如())0(>+=a xa x x f 的函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。
一般的函数图像形似两个中心对称的对勾，故名对勾函数，又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。
也被形象称为“耐克函数” 问题1：已知函数()x x x f 1+=， （1）求该函数的定义域； （2）判断该函数的单调性和奇偶性； （3）求该函数的值域； （4） 画出该函数的图像。
问题2：由函数()x x x f 1+=的图像性质类比出函数())0(>+=a xa x x f 的性质。
1、定义域：{}0≠x x 2、值域： (][)+∞-∞-,22,a a ， 在正数部分仅当x=a 取最小值2a ，在负数部分仅当x=a -取最大值-2a3、奇偶性：奇函数，关于原点对称4、单调区间： (]a -∞-,单调递增 [a -,0)] 单调递减 (0, a ] 单调递减 [a ，+∞) 单调递增问题3：如果函数()xx x f b2+=在(]4,0上单调递减，在[)+∞,4上单调递增，求实数b 的值。
问题4：当()xa x x f +=中的条件变为0<a 时，单调性怎样？ 例1、求函数()x x x f 3+=在下列条件下的值域。
（1）()()+∞∞-,00, ； （2）()2,0； （3）(]2,3--； （4）(]2,1；例2 、函数())0(>+=a xa x x f 在区间[])0(,>m n m 取得最大值6，取得最小值2，那么此函数在区间[]m n --,上是否存在最值？请说明理由。
例3、求下列函数的值域。
（1）1)(2+=x x x f （2）xx x x f 23)(2++= （3）15)(-+=x x x f 练习：1、已知函数1)(+=x x x f ，求该函数的定义域、值域，判断单调性和奇偶性，并画出图像； 2、求函数33)(22+-=x x x f 的值域；3、 求函数13)(+=x x f 在]5,2[上的最大值和最小值。
探究对勾函数y=x+1_x的图象与性质 课件
很难得出准确图象，因此我们采取路径二进行研究.
分析函数 解析式特征
得出函数 部分性质
利用性质 描点作图
利用信息技 术验证图象
根据图象猜 想其它性质
利用代数方 法论证性质
利用图象和性 质解决问题
三.小组合作，自主探究
问题2.已知函数 f x x 1 请完成以下探究：
x
（1）函数 f x的定义域是什么？ （2）函数 f x的值域是什么？ （3）判断函数 f x的奇偶性. （4）函数 f x 的单调性如何？ （5）根据以上性质，利用描点法作出函数 f x的图象.
六.探究延伸，深化思想
如果把函数 y x 1 改成 y x 9 ，是否会有类似性质？改成函
数
y
x
a
a
x
x
0，又有哪些性质？
x
三.小组合作，自主探究
（1）函数 f x x 1 的定义域是什么？
x
易知 f x x 1 的定义域为 ,0 0, .
x
（2）函数f
x
x
1 x
的值域是什么？
由基本不等式可知，当
x
0时，f
x
x
1 x
2
x1 2，
x
当且仅当 x 1 时等号成立；
当
x
0
时，f
x
x
1 x
x
1 x
2
(x) ( 1 ) 2 ，
问题1：在初中，我们知道
y
x
是正比例函数，y
1 x
是反比
例函数，学习了幂函数以后，我们知道它们都是幂函数，不同
的函数通过四则运算可以构成新的函数，那么将这两个函数相
加构成的函数y x 1有什么性质？这些性质与这两个函数的性
3.3+对勾函数的图象与性质课件(探究与发现)高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
函数的概念与性质
探究与发现
探究函数 +
1
的图象与性质
在初中，我们知道 = 是正比例函数， =
是反比例函数.
学习了幂函数以后，我们知道它们都是幂函数.不同的函数通过
加、减、乘、除等运算可以构成新的函数.那么，将这两个函数
相加构成的函数有哪些性质？这些性质与这两个函数的性质有
联系吗？
解析式以及图象的特征. 要研究一个新的函数，通常转化到已
经学过的函数上来，体现了把未知转化为已知的化归思想.回
顾探究过程，先从解析式出发，研究了函数 =
+ 的定义
域和奇偶性，再结合定义域和奇偶性去画函数的图象，在图
象画出来后，我们借助函数的图象猜想出函数的单调性、值
域和最值，根据基本不等式或者单调性定义给出了严谨的证
下面请同学们带着问题探究一下函数 = +
.
1、你认为可以从哪些方面研究这个函数？
定义域、值域、单调性，最值、奇偶性、图象等
2、你认为可以按照怎样的路径研究这个函数？
①从函数解析式出发， 分析出函数的定义域
②由函数 = 和 =
都为奇函数，先猜想函数
=+
为
奇函数，然后利用定义证明
③结合定义域和奇偶性，通过描点法画出函数的草图
④通过图象猜想出函数的单调性，并利用定义法证明单调性
⑤猜想函数的值域和观察函数最值情况
3、按照你构建的路径研究你想到的问题.
①函数的定义域为 ≠ 0
② 函 数 =
− (− +
③
+
对勾函数的图像与性质 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
精实 和美
不同的函数可以通过不同的运算进行构造，如果对正比例函数和反 前 言
比例函数进行加减乘除等不同的运算，得到的函数结果又是什么样
的？
1
1
y x 的图象与性质
探究函数
x
二、新知探索
精实 和美
问题1 回顾本单元所学的与函数相关的内容，对
于函数，你认为可以从哪些方面研究这个函数？
(2)若 < 8 ,则 = 时用料最省；
若 ≥ 8，则 = 8时用料最
省。
四、课堂总结
精实 和美
结合本节课的学习过程，你对函数图象和性质的研究内容和
方法有什么体会？
结合解
析式研
究函数
性质
定
义
域
奇
偶
性做Βιβλιοθήκη 函数草图研究性质
研究函
数的变
化趋势
单 值
调 域
性
渐
近
线
最
值
五、课后提升
精实 和美
如何求函数
x
方法一：代数法
方法二：利用函数的单调性求最值
那么我们要如何确认
1
y x
x
的单调性？（类比 y
x 的探究过程）
二、新知探索
精实 和美
描点探究
请同学们完成如下的, 值对应表，并用描点法
1
画出函数 = + 在第一象限内的图像。
x
…
…
y
…
…
6
二、新知探索
精实 和美
描点探究
奇函数
在(,1)和(1,)上单调递增；
在[1,0)和(0,1]上单调递减.
二、新知探索
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性质二
⑸极 值： 当x﹥0时，当x= 根号b/a 时，y最小=2根号ab 当x﹤0时， 当x=- 根号b/a时，y最大=-2 根号 ab ⑹对称性：图像关于原点对称 ⑺顶点坐标：线：y轴和y=ax Ⅱ当a、b均小 于零时
性质简介
1.对号函数是双曲线旋转得到的，所以也有渐近线、 焦点、顶点等等
2.对号函数永远是奇函数，关于原点呈中心对称 3.对号函数的两条渐进线永远是y轴和y=ax 4.当a、b>0时，图像分布在第一、三象限两条渐近 线的锐角之间部分，由于其对称性，只讨论第一象 限中的情形。利用平均值不等式（a>0，b>0且ab 的值为定值时，a+b≥2√ab）可知最小值是2倍根号 ab，在x=根号下b/a的时候取得，所以在（0，负根 号下b/a）上单调递减，在（根号下b/a，正无穷） 上单调递增
对勾函数的性质
简介
对勾函数：图像，性质，单调性 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见 图示。
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函 数，又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。也被 形象称为“耐克函数”
所谓的对勾函数（双曲线函数），是形如 f(x)=ax+b/x的函数。由图像得名。
当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为 了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当 x=sqrt(b/a)的时候（sqrt表示求二次方根）
图像一
图象二
图像三
性质一
➢ 函数y=ax+b/x的性质 ➢ Ⅰ当a、b均大于零时，性质 ： ➢ ⑴定义域：x≠0 ➢ ⑵值 域：（-∞，-2 根号ab）∪（2根号ab ，
+∞） ⑶奇偶性：奇函数 ➢ ⑷单调性：当x﹥0时，当0﹤x﹤根号b/a 时，
y为减函数 当x﹥根号b/a 时，y为增函 数 当x﹤0时，当- 根号b/a﹤x﹤0时，y 为减函数 当x﹤根号b/a- 时，y为增函 数