7.1.2 复数的几何意义

7.1.2 复数的几何意义

课标要求

素养要求

理解复数的代数表示及其几何意义，掌握用向量的模表示复数模的方法，理解共轭复数的概念.

通过复数代数形式及其几何意义的理解、复数模的运用，共轭复数的概念的理解，体会数学抽象及数学运算素养.

教材知识探究

19世纪末20世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础.

复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础.

问题 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？

提示 任何一个复数z ＝a ＋b i ，都和一个有序实数对(a ，b )一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应.

1.复平面 复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部

2.复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )复平面内的点Z (a ，b ). (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ

→.

3.复数的模

(1)定义：向量OZ →

的模叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模或绝对值. (2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|. (3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R ).

如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 是一个实数，它的模就等于|a |(a 的绝对值). 4.共轭复数

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭

复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z 的共轭复数用z －

__表

示，即如果z ＝a ＋b i ，那么z －

＝a －b i.

教材拓展补遗

[微判断]

1.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.(√)

2.在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.(×)

3.复数的模一定是正实数.(×)

4.两个共轭复数的和是实数.(√)

5.两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.(×) 提示 1.在复平面内对应于实数的点都在实轴上是正确的. 2.原点在虚轴上，但不是纯虚数. 3.复数的模可以为0.

4.根据共轭复数的定义可知正确.

5.应该是充分条件. [微训练]

1.向量a ＝(1，－2)所对应的复数的共轭复数是( ) A.1＋2i B.1－2i C.－1＋2i

D.－2＋i

解析 因为复数与向量一一对应，所以向量a ＝(1，－2)的复数形式为z ＝1－2i ，

所以z －

＝1＋2i. 答案 A

2.已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则|z |＝________.

解析 由题意可知z ＝－1＋2i ，所以|z |＝ 5. 答案

5

3.在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________.

解析 ∵z ＝(m －3)＋2m i 表示的点在直线y ＝x 上，∴m －3＝2m ，解得m ＝9. 答案 9 [微思考]

复数的模的几何意义是什么？

提示 复数z 在复平面内对应的点为Z ，复数z 0在复平面内对应的点为Z 0，r 表示一个大于0的常数，则：

①满足条件|z |＝r 的点Z 的轨迹为以原点为圆心，r 为半径的圆，|z |＜r 表示圆的内部，|z |＞r 表示圆的外部；

②满足条件|z －z 0|＝r 的点Z 的轨迹为以Z 0为圆心，r 为半径的圆，|z －z 0|＜r 表示圆的内部，|z －z 0|＞r 表示圆的外部.

题型一 复数与复平面内的点

【例1】 在复平面内，若复数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2＋3m －10)i 对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围.

解 复数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2＋3m －10)i 的实部为m 2－2m －8，虚部为m 2＋3m －10.

(1)由题意得m 2－2m －8＝0. 解得m ＝－2或m ＝4.

(2)由题意，⎩⎨⎧m 2－2m －8＜0，

m 2＋3m －10＞0，∴2

(3)由题意，(m 2－2m －8)(m 2＋3m －10)<0， ∴2

(4)由已知得m 2－2m －8＝m 2＋3m －10，故m ＝2

5.

规律方法 复数实部、虚部分别对应了复平面内相应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复数所表示的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的取值特征. 【训练1】 实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i. (1)对应的点在x 轴上方； (2)对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上.

解 (1)由m 2－2m －15>0，得m <－3或m >5，所以当m <－3或m >5时，复数z 对应的点在x 轴上方.

(2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋4＝0， 得m ＝1或m ＝－5

2，

所以当m ＝1或m ＝－5

2时，复数z 对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上. 题型二 复数与复平面内的向量的关系

【例2】 (1)向量OZ →1对应的复数是5－4i ，向量OZ →2

对应的复数是－5＋4i ，则OZ →

1＋OZ →

2对应的复数是(

)

A.－10＋8i

B.10－8i

C.0

D.10＋8i

(2)设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( ) A.－5＋5i B.－5－5i C.5＋5i

D.5－5i

解析 (1)由复数的几何意义，可得 OZ →1＝(5，－4)，OZ →2

＝(－5，4)， 所以OZ →1＋OZ →2＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)， 所以OZ →1＋OZ →2

对应的复数为0. (2)由复数的几何意义，得OA →＝(2，－3)，OB →＝(－3，2)，BA →＝OA →－OB →＝(2，－3)－(－3，2)＝(5，－5)，