二次函数中等腰三角形的存在性

知识回顾：

1、二次函数的三种形式：

2、已知一边，求等腰三角形周长的方法：

3、等腰三角形的特点： 例题分析：

例1、如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）求抛物线的解析式； （3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．

例2、已知：如图，抛物线2y ax bx

c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点．（1）求抛物线的函

数关系式；

（2）若过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E （4，m ），请求出△CBE 的面积S 的值； （3）在抛物线上求一点0P 使得△ABP 0为等腰三角形，并写出0P 点的坐标；

（4）除（3）中所求的0P 点外，在抛物线上是否还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形？P （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这

2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，其斜边AB 与x 轴重合（其中OA0，

图9B C O

y x A n >0），连接DP 交BC 于点E 。①当△BDE 是等腰三角形时，直接写出．．．．

此时点E 的坐标。 ②又连接CD 、CP （如图3），△CDP 是否有最大面积？若有，求出△CDP 的最大面积和此时点P 的坐标；若没有，请说明理由。

例4、如图9，抛物线2

812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的

左侧），抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠ACB 为直角,且恰使△OCA ∽△OBC .(1)求线段OC 的长.：

(2)求该抛物线的函数关系式．：

(3)在x 轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？若存在，

求出所有符合条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由.

例5、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标

轴上，且点(02)A ，

，点(10)C -，，如图所示：抛物线2

2y ax ax =+-经过点B ． 图1 图2

图3

（1）求点B 的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使ACP △仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

课堂练习：

1、如图11所示，在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ， AD ⊥DB ，AD=DC=CB ，AB=4．以AB 所在直线为x 轴，过D 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．

（1）求∠DAB 的度数及A 、D 、C 三点的坐标；（2）求过A 、D 、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴L ．

（3）若P 是抛物线的对称轴L 上的点，那么使 PDB 为等腰三角形的点P 有几个?（不必求点P 的坐标，只需说明理由）

思考题：如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、

B

A C x y （0，2）

（－1，0）

D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD

向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E

①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?

②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?

请直接写出相应的t值.