勾股定理专题复习(经典一对一学案)

专题复习一 勾股定理
第一课时
本章常用知识点：
1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。

如果用字母a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为: 。

２、勾股数:满足a 2＋ｂ2=c 2的三个 ,称为勾股数。

常见勾股数如下：
3121112=; 144122=; 169132=； 196142=; 225152=;256162=
289172=； 324182=; 361192=； 400202=;441212=； 484222= 529232=; 576242=; 625252=； 676262=;729272=
专题归类：
专题一、勾股定理与面积
1、、在Ｒt ▲A ＢＣ中，∠C=︒90,ａ＝5,c ＝３.，则Rt ▲ＡBC 的面积
S= 。

２、一个直角三角形周长为12米,斜边长为5米,则这个三角形的面积为： 。

3、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若ａ和
c 的面积分别为5和11，则b 的面积为
4、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示)。

已知斜放置的三个正方形的面积分别
是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是Ｓ1、Ｓ２、S ３、S 4， 则S 1+S 2＋S 3＋S 4等于 。

l
3
2
1
S 4
S 3
S 2
S 1
5、三条边分别是５，12，13的三角形的面积是 。

６、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c 且满足：a 2+b 2+ｃ2＋５0=６a+８b+10c ，则这个三角形的面积为 。

７、如图1，︒=∠90ACB ，BC ＝8，AB=1０，CD 是斜边的高，求ＣD 的长？
7、如下图,在∆AB Ｃ中,︒=∠90ABC ，AB=8ｃｍ,ＢC=１５cm ，Ｐ是到∆AB Ｃ三边距离相等的点，求点P 到∆A ＢＣ三边的距离。

8、有一块土地形状如图3所示,︒=∠=∠90D B ，AB=2０米，BC=１５米，CD=7
米,请计算这块土地的面积。

(添加辅助线构造直角三角形)
9、如右图:在四边形A ＢＣD 中，ＡB ＝2，ＣD=1,∠A=60°，求四边形ABCD 的面积。

A
B
C
P
10、如图2-３，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C
落在C′的位置上，已知AB=•3，ＢC＝７,求:重合部分△Ｅ
BD的面积
１1、如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1、S2、S3表示,则不难证明Ｓ1=Ｓ2+Ｓ３．
(1)如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、Ｓ２、Ｓ3之间有什么关系？(不必证明)
(2) 如图③，分别以直角三角形ＡBC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用Ｓ1、S2、Ｓ3表示，请你确定S1、S2、Ｓ３之间的关系并加以证明;
(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用Ｓ1、S2、S3表示,请你猜想S1、S2、Ｓ３之间的关系?.
专题二、勾股定理与折叠
第二课时
D
C
B
A
1、如图4，矩形纸片A ＢCD 的边A Ｂ=1０ｃm,BC ＝6cm,E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠,点B 恰好落在DC 边上的点G 处,求ＢE 的长。

2、有一个直角三角形纸片,两直角边的长ＡC=6cm ，ＢC=８ｃm ，现将直角边AC 沿AD 对折,使它落在斜边ＡB 上,且与ＡE 重合,求ＣＤ的长？
3、如图６，在矩形纸片A ＢCD 中，A Ｂ=33,BC=６,沿EF 折叠后,点C 落在AB 边上的点Ｐ处，点D 落在Q 点处,AD 与PQ 相交于点Ｈ，∠B ＰE=︒30
(1) 求BE 、ＱF 的长
(2) 求四边形ＱEFH 的面积。

E
B
C D
A
专题三、利用股沟定理列方程求线段的长度
第三课时
1、如图7,铁路上A 、Ｂ两站相距25千米，Ｃ、Ｄ为两村庄,ＤA ⊥AB 于A 点,CB ⊥AB 于点B ，DA=15千米,C Ｂ＝１０千米，现在要在铁路上建设一个土特产收购站E,使得C 、D 两村庄到收购站的距离相等，则收购站Ｅ应建在距离Ａ站多远的距离？
2、一架长为5米的梯子,斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端B 距离底C 为3米,如果梯子的顶端A 沿墙下滑１米到D 处，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将下滑动1米到E 处吗？请给出证明。

3、 △AB Ｃ中,AB=AC ＝20，BC=３２，Ｄ是ＢＣ上
一点,且ＡD ⊥ＡC ，求BD 的长．
专题四、勾股数的应用
第四课时
图7
E D
C
B A
1、下列是勾股数的一组是（ )
A 4，5,6，
B 5,７,12
C 12,13,15
D 1４ ,4８，５0
2、一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数,则它的周长是 。

３、下列是勾股数的一组是（ ）
A 2,3,４， Ｂ 5,６,7, C 9,40,41 D 10 24 ２5 4、观察下面表格中所给出的三个数a ，b,c,其中ａ,ｂ，c 为正整数,且a<b<c
（1):试找给他们的共同点,并证明你的结论 （２）:当a=21时，求b,ｃ的值
专题五、勾股定理及逆定理有关的几何证明
第五课时
1、 在四边形ABCD 中，∠C 是直角，AB=１3，BC=3，C Ｄ＝４,AD=12 证明：ＡD ⊥B Ｄ
2、CD 是▲ABC 中AB 边上的高，且CD 2=AD •DB ，试说明∠ACB=︒90
3、在正方形ＡB ＣD 中,E 是ＢC 的中点，F 为CD 上一点 且C Ｆ=
4
1
ＣＤ试说明▲AEF 是直角三角形。

4、▲ABC 三边的长为ａ,b, c ，根据下列条件判断▲A ＢC 的形状
(1)：a 2
+b 2
＋ｃ2
+2０0＝1２ａ+16b ＋20c ； (2)：a 3
-a 2
ｂ+ａb 2
－ac 2
+bc 2
－b 3
=０
5、试判断,三边长分别为2n 2＋2n ，2n ＋1,2n ２
+２n ＋1（n 为正整数)•的三角形是否是直角三角形?
6、如图２-12，△AB Ｃ中,∠C=90°，M 是ＢＣ的中点，M Ｄ⊥AB 于D.
求证：A Ｄ2=ＡC ２+BD ２
．
7、在▲ABC 中,BC=a,A Ｃ=b,A Ｂ=ｃ,若∠Ｃ=︒90，如下图(1)根据勾股定理可以
得出：a 2+ｂ2=ｃ2,若▲ABC 不是直角三角形,如图（２)与图（3)，请你类比勾股定理猜想a 2+b 2与ｃ2的关系，并且证明你的结论。

８、如图ABC ∆中，P AC AB BAC ,,90=︒=∠为BC 上任意一点，求证：
2222AP CP BP =+.
图(1)
B
B
B
A
A
A
C
C
C
图(2)
图(3)
A
专题六、勾股定理与旋转
第六课时
1、在等腰Rt▲AＢＣ中，∠CＡB=︒
90,P是三角形内一点,且PA=1,PB=3,PC=7
求:∠ＣＰＡ的大小?
2、如图，在等腰△ABC中,∠AＣB=９0°，D、E为斜边AＢ上的点,
且∠DCE=45°。

求证：DE２=AD２＋BE２。

3、如图所示，△AＢＣ是等腰直角三角形，AＢ=AC,Ｄ是斜边BC的中点,Ｅ、
Ｆ分别是AＢ、AC边上的点，且DE⊥ＤF，若BE=１２,CＦ=5.求线段EF
的长。

C
B
A
P
E
A
B
４、已知,如图△ＡB Ｃ中，∠ACB=90°,AC=BC,P 是△ABC 内一点，且PA ＝3,ＰB=１,PC=2，求∠ＢＰC 。

5、如图，在ABC ∆中,090B ∠=,Ｍ为AB 上一点，AM ＝ＢC ，N 为AB 上一点,CN ＝B Ｍ，连接AN 、CM 交于点P 。

求APM ∠的大小。

专题七、最短路线问题
第七课时
1、 有一正方体盒子,棱长是１0ｃm,在A 点处有一只蚂蚁它想到B 点处觅食，那么它爬行的
最短路线是多少？
B M
C A
N
B
A
2、有一个长方体盒子。

它的长是７0cｍ,宽和高都是50cm，在A点处有一只蚂蚁它想到Ｂ点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？
B
A
3、如图所示,一个二级台阶,每一级的长、宽、高分别为60cm、30cm、10ｃm，A和B是这个台阶上两个相对的端点,在A点处有一只蚂蚁它想到Ｂ点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？
A
4、如下图、王力的家在高楼1５层,一天他去买竹竿，如果电梯的长、宽、高分别为
1．2m,1.2m,1.3m,则他所买的竹竿最大长度是多少？
5、如图，已知圆锥的母线AS=10㎝,侧面展开图的夹角是90°，点C为AS的中点,Ａ处有一只蜗牛想吃到C处的食物,但它不能直接爬到C处,只能沿圆锥曲面爬行,请你画出蜗牛爬行的最短路程的图形并求出最短路程.
B。