调和函数与解析函数.ppt
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x
0
x
dx
y
0
2
x
y
dy
C
1 x2 2xy 1 y2 C
2
2
11
2.2.4小结与思考
本节我们学习了调和函数的概念、解析函数 与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念. 应注意的是: 1. 任意两个调和函数u与v所构成的 函数u+iv不一定是解析函数. 2. 满足柯西—黎曼方程ux= vy, vx= –uy,的v称为u 的共轭调和函数, u与v注意的是地位不能颠倒.
偏积分法.由 v u 3x2 3y2得, y x
v 3x2 3y2 dy 3x2 y y3 x
6
及 v 6xy x u 6xy
x
y
Leabharlann Baidu所以 x 0, x C
v x, y 3x2 y y3 C
因而得到解析函数
f (z) x3 3xy2 i 3x2 y y3 C
注：
2 x2
2 y 2
称为Laplace算子
例如： f(x,y)=x2-2xy2 不是一个调和函数 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际
问题中有很重要的应用. 2
2.2.2解析函数与调和函数的关系 设f(z)=u+iv在区域D内解析,则由C.-R.条件
u v , u v ,
x y y
x
得
2u 2v 2u
§2解析函数与调和函数的关系
2.2.1 调和函数的定义 2.2.2 解析函数与调和函数的关系 2.2.3 由调和函数构造解析函数 2.2.4 小结与思考
2.2.1 调和函数的概念
定义2.3 如果二元实函数H(x,y)在区域D内有 二阶连续偏导数2H,且满2足H 拉0普拉斯方程，即：
x2 y2
则称H(x,y)为区域D内的调和函数。
9
利用曲线积分求共轭调和函数的方法.
我们从C R条件知道,函数u决定了函数v的全微分,即
dv= v dx v dy u dx u dy
x y
y x
当D为单连通区域时,上式右端的积分与路径无关,
而v即可表示为 :
x, y u
u
v(x, y) dx dy C
x0 , y0 y
x
5
例2.6 验证u(x,y)=x3—3xy2是z平面上的调和函数，
并求以u(x,y)为实部的解析函数f(z),使合f(0)=i.
解：
u 3x2 3y2 x
2u
2u
6x
x2
y 2
u 6xy y
2u 2u x2 y2 0
要求f(z)，需先求v(x,y),一般可用以下方法求v(x,y)
其中 x0, y0 为D内一定点,C为任意实常数.
10
例2.8求解析函数f(z)=u+iv,u x2 y2 xy,
f (i) 1 i.
解:容易验证是u全平面的调和函数。利用C-R条件，
先求出v的两个偏导数。
v u 2 y x, v u 2x y
x y
y x
则v(x, y) x,y 2 y x dx 2x y dy C 0,0
2v
x 2
xy , y2
,
yx
因 2v 与 2v 在D内连续，它们必定相等，故在D内有
xy
yx
2u x 2
2u y 2
0
同例,在D内有
2v 2v x2 y2 0
即u及v都是D内的调和函数
3
定理：设函数f(z)=u(x,y)+v(x,y)∈A(D)
u(x,y),v(x,y)都是D内的调和函数
因为f (0) i,故C 1, 所以
f (z) x3 3xy2 i 3x2 y y3
7
例2.7 已知 v( x, y) e x ( y cos y x sin y) x y 为调 和函数, 求一解析函数 f (z) u iv, 使 f (0) 0.
解 v e x ( y cos y x sin y sin y) 1, x v e x (cos y y sin y x cos y) 1, y
4
定理2.4 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内 解析的充要条件是：在区域D内f(z)的虚部 v(x,y)必为u(x,y)的共轭调和函数.
根据这个定理，便可利用一个调合函数 和它的共轭调和函数作出一个解析函数。
由于共轭调和函数的这种关系,如果知 道其中的一个,则可根据C-R条件求出另一 个来。
由 u v ex (cos y ysin y xcos y) 1, x y
得 u [e x (cos y y sin y x cos y) 1]dx
8
u ex ( x cos y ysin y) x g( y), 由 v u , 得
x y ex ( ycos y xsin y sin y) 1 ex ( xsin y ycos y sin y) g( y), 故 g( y) y c, 于是 u ex ( xcos y ysin y) x y c,
例如:设 f(z)=x-iy,则u(x,y),v(x,y)都是z平面上的
调和函数,但f(z)=x-iy在z平面上处处不解析
原因: u(x,y),v(x,y)在D内不满足C-R条件
定义2.4 u(x,y),v(x,y)是D内的调和函数，且满足
C.-R.条件：
u v u v ,
x y y x
v称为u在区域D内的共轭调和函数.
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x
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x
dx
y
0
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x
y
dy
C
1 x2 2xy 1 y2 C
2
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2.2.4小结与思考
本节我们学习了调和函数的概念、解析函数 与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念. 应注意的是: 1. 任意两个调和函数u与v所构成的 函数u+iv不一定是解析函数. 2. 满足柯西—黎曼方程ux= vy, vx= –uy,的v称为u 的共轭调和函数, u与v注意的是地位不能颠倒.
偏积分法.由 v u 3x2 3y2得, y x
v 3x2 3y2 dy 3x2 y y3 x
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及 v 6xy x u 6xy
x
y
Leabharlann Baidu所以 x 0, x C
v x, y 3x2 y y3 C
因而得到解析函数
f (z) x3 3xy2 i 3x2 y y3 C
注：
2 x2
2 y 2
称为Laplace算子
例如： f(x,y)=x2-2xy2 不是一个调和函数 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际
问题中有很重要的应用. 2
2.2.2解析函数与调和函数的关系 设f(z)=u+iv在区域D内解析,则由C.-R.条件
u v , u v ,
x y y
x
得
2u 2v 2u
§2解析函数与调和函数的关系
2.2.1 调和函数的定义 2.2.2 解析函数与调和函数的关系 2.2.3 由调和函数构造解析函数 2.2.4 小结与思考
2.2.1 调和函数的概念
定义2.3 如果二元实函数H(x,y)在区域D内有 二阶连续偏导数2H,且满2足H 拉0普拉斯方程，即：
x2 y2
则称H(x,y)为区域D内的调和函数。
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利用曲线积分求共轭调和函数的方法.
我们从C R条件知道,函数u决定了函数v的全微分,即
dv= v dx v dy u dx u dy
x y
y x
当D为单连通区域时,上式右端的积分与路径无关,
而v即可表示为 :
x, y u
u
v(x, y) dx dy C
x0 , y0 y
x
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例2.6 验证u(x,y)=x3—3xy2是z平面上的调和函数，
并求以u(x,y)为实部的解析函数f(z),使合f(0)=i.
解：
u 3x2 3y2 x
2u
2u
6x
x2
y 2
u 6xy y
2u 2u x2 y2 0
要求f(z)，需先求v(x,y),一般可用以下方法求v(x,y)
其中 x0, y0 为D内一定点,C为任意实常数.
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例2.8求解析函数f(z)=u+iv,u x2 y2 xy,
f (i) 1 i.
解:容易验证是u全平面的调和函数。利用C-R条件，
先求出v的两个偏导数。
v u 2 y x, v u 2x y
x y
y x
则v(x, y) x,y 2 y x dx 2x y dy C 0,0
2v
x 2
xy , y2
,
yx
因 2v 与 2v 在D内连续，它们必定相等，故在D内有
xy
yx
2u x 2
2u y 2
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同例,在D内有
2v 2v x2 y2 0
即u及v都是D内的调和函数
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定理：设函数f(z)=u(x,y)+v(x,y)∈A(D)
u(x,y),v(x,y)都是D内的调和函数
因为f (0) i,故C 1, 所以
f (z) x3 3xy2 i 3x2 y y3
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例2.7 已知 v( x, y) e x ( y cos y x sin y) x y 为调 和函数, 求一解析函数 f (z) u iv, 使 f (0) 0.
解 v e x ( y cos y x sin y sin y) 1, x v e x (cos y y sin y x cos y) 1, y
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定理2.4 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内 解析的充要条件是：在区域D内f(z)的虚部 v(x,y)必为u(x,y)的共轭调和函数.
根据这个定理，便可利用一个调合函数 和它的共轭调和函数作出一个解析函数。
由于共轭调和函数的这种关系,如果知 道其中的一个,则可根据C-R条件求出另一 个来。
由 u v ex (cos y ysin y xcos y) 1, x y
得 u [e x (cos y y sin y x cos y) 1]dx
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u ex ( x cos y ysin y) x g( y), 由 v u , 得
x y ex ( ycos y xsin y sin y) 1 ex ( xsin y ycos y sin y) g( y), 故 g( y) y c, 于是 u ex ( xcos y ysin y) x y c,
例如:设 f(z)=x-iy,则u(x,y),v(x,y)都是z平面上的
调和函数,但f(z)=x-iy在z平面上处处不解析
原因: u(x,y),v(x,y)在D内不满足C-R条件
定义2.4 u(x,y),v(x,y)是D内的调和函数，且满足
C.-R.条件：
u v u v ,
x y y x
v称为u在区域D内的共轭调和函数.