调和函数与解析函数.ppt
调和函数、解析函数与调和函数的关系
2
y 2
=
0，
则称 (x, y) 为区域������内的调和函数.
定理1：区域������内的解析函数的实部与虚部，都是������内的调和函数.
证明：设 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 是区域������内的解析函数，
那么在区域������内满足柯西-黎曼方程：u = v , u = − v x y y x
由 f (0) = i ，得 C = 1，从而 f (z) = x3 − 3xy2 + i(3x2 y − y3 +1).
另外，还可以通过不定积分的方法，由已知调和函数直接求 得解析函数. 解析函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 的导数仍为解析函数，
f ' (z) = ux + ivx = ux − iuy = vy + ivx
=
6x；u y
=
−6xy，2u y2
=
−6x
从而
2u x2
+
2u y 2
= 0，所以：u(x, y) =
x3
− 3xy2 是调和函数.
( ) 由 v = u = 3x2 − 3y2 ，得 v(x, y) = 3x2 − 3y2 dy = 3x2 y − y3 + c(x) y x
定义2：设 u(x, y) 为区域������内的调和函数，称满足柯西-黎曼方程
u = v , u = − v x y y x
的调和函数 v(x, y) 为 u(x, y) 的共轭调和函数.
说明：（1）区域������内的解析函数的实部与虚部为共轭调和函数；
（2）如果已知一个调和函数u(x, y)，则可利用柯西-黎曼方 程求得它的共轭调和函数 v(x, y)，从而构成一个解析函数
高校工程数学第3节解析函数和调和函数教学课件
共轭调和函数
u( x , y ), v ( x , y ) 在D内调和 u v x y C—R方程成立 v u y x
f ( z ) u( x, y ) iv( x, y )
在D内解析
注： 区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.
[例1]
得：
3 y 2 g( x ) 3 y 2 3 x 2 ,
故 g ( x ) 3 x dx x c ,
2
3
(c 为任意常数)
因此
v(x,y)=x3–3xy2+c
从而得到一个解析函数
w=y3–3x2y+i(x3–3xy2+c)
[例1]
偏积分法也可以是下列形式：
适用于已知实部u 求 f ( z ),
适用于已知虚部 v 求 f ( z ),
4、不定积分法
[例3] 用不定积分法求解[例1]中的解析函数 f ( z )
实部 u( x, y ) y 3 3 x 2 y.
[解] f ( z ) U ( z ) ux iuy
3i ( x 2 2 xyi y 2 ) 3iz 2 ,
[例1]
2u 2u 于是 2 0, 故 u( x , y ) 为调和函数. 2 x y
v u 6 xy, （2） 因为 y x
v 6 xydy 3 xy2 g( x ),
v 3 y 2 g( x ), x v u 2 2 3 y 3 x , 又因为 x y
2、共轭调和函数的定义
设 u( x , y ) 为区域 D 内给定的调和函数 , 我 们把使 u iv 在 D 内构成解析函数的调和 函数 v ( x , y ) 称为 u( x , y ) 的共轭调和函数 .
复变函数3.4解析函数与调和函数的关系
由 f (0) 0,
得 c 0,
z
所求解析函数为 f ( z ) ze (1 i )z.
15
例3.18 求 k 值, 使 u x 2 ky2 为调和函数. 再求v , 使
f ( z ) u iv 为解析函数, 并求 f ( i ) 1 的 f ( z ).
(3x2 3 y 2 )dy C 3x 2 y y 3 C
故： f ( z ) u iv x3 3xy 2 i 3x 2 y y 3 C
x iy iC z 3 iC
3
再由 f(0)=i,得出 C＝1，故 f(z)=z3+i 方法二：两次积分法：首先由C-R条件得： vy=ux=3x2-3y2
( x iy )e
x iy
1 i
e z ze z 1 i ,
f ( z ) V ( z )dz (e z ze z 1 i )dz
ze z (1 i )z c. (c 为任意实常数)
20
例3.22 已知 u v ( x y )( x 2 4 xy y 2 ) 2( x y ),
第四节 解析函数与调和函数 的关系
3.4.1 调和函数的定义 3.4.2 解析函数与调和函数的关系 3.4.3由调和函数构造解析函数
3.4.4 小结与思考
3.4.1 调和函数的概念
定义3.5 如果二元实函数H(x,y)在区域D内有 二阶连续偏导数,且满足拉普拉斯方程:即：
2 H 2 H 2 0 2 x y
10
若已知 v,可用类似的方法求 u
v v u( x , y ) dx dy C ( x0 , y0 ) y x 例3.16 验证v(x,y)=arctan(y/x)(x>0)再由半平面内 是调和函数,并求以此为虚部的解析函数f(z)
解析函数与调和函数的关系
已知实部u，求虚部v(或者已知v，求u)，使 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析.
例：已知 u x y ,可以求得 v 2 xy C
2 2
f ( z) x y i(2xy C) z C'
2 2 2
(1)
则称 H ( x, y)为区域D 内的调和函数(harmonic function).
2 2 注：运算符号 ,称为拉普拉斯算子. 2 2 x y
2 2 H H 方程 0 ,记作 H 0 称为拉普拉斯方程. 2 2 x y
2.解析函数与调和函数的关系
定理2.2 若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 是区域D
内的解析函数,则 u(x,y)和v(x,y) 均为区域D 内的
调和函数. 思考 如果 u, v 是任意选取的在区域D 内的两个
调和函数,那么 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在D 内一定解
析吗？
定义2.5 在区域D 内,满足C-R方程
满足C-R方程
v 为u 在区域D内的共轭调和函数
解析函数与调和函数的关系 解析函数
f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
调和函数
u(x,y),v(x,y) 为调和函数 v为u的共轭调和函数
注：研究复变量的问题转化为研究实变量的问题.
验证：解析函数的实、虚部的任意阶偏导数 也是调和函数. 应用 构造解析函数
§2.2
解析函数与调和函数的关系
引言
解析函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) u,v满足C-R方程 解析函数具有无穷可微性 u,v为调和函数
§3.7 解析函数与调和函数的关系
0,0
( x, y )
u u dx dy C y x
0,0
x 0
2 x 1 dx 2 ydy C
y 0
2 x 1 dx 2 ydy C
x2 2 x y 2 C
f z u iv 2 x 1 y x 2 2 x y 2 C i
例2（P103 30题（3））
已知f(z)=u+iv解析，u=2(x-1)y，f(2)=-i,求f(z). 方法1 不定积分法
u u 2 y, 2 x 1 x y u u f z i 2 y 2 x 1 i x y
2i x iy 2i 2iz 2i
得证！
注：解析函数中u与v不独立即是一对矛盾，已知u 求v， 或已知v求u均可.
例1 已知f(z)=u+iv解析，v=2xy，求f(z).
方法1 线积分法 u u du dx dy x y
u
( x, y )
0,0
( x, y )
u u dx dy C x y
§3.7 解析函数与调和函数的关系 一、分析上解析函数是调和函数
若二元实函数u(x,y) 满足Laplace方程
2u 2u 2 0 2 x y
则称u(x,y) 是调和函数。 定理1 若 w f z u iv 是解析函数，则U和V均为调 和函数.
证明： f z 是解析函数
2 iz 2 zi C f z 2iz 2i dz
f 2 C i
f z iz 2 2 zi i
第四讲 解析函数和调和函数讲诉
例1、验证u(x,y)=x3-3xy2是二维平面上的调和函数，并求以它 为实部的解析函数。
解：
2u x2
6x
2u y2 6x
显然：2u 2u 0 ， u(x,y)为调和函数。
x2 y2
若以u(x,y)为实部，则函数解析必须满足C-R条件，所以：
v x
u y
6xy,
(1)
v
u
3x2
3y2,
第二节 解析函数和调和函数
1、共轭调和函数
由复变函数的可微的充要条件，函数可微必须满足C-R条 件，即：u v , u v 。而由C-R条件有：
x y y x
2u x2
2v xy
,
2u y 2
2v yx
显然有：2u
x2
2u y 2
0,
2v x2
2v y 2
0
定义1(调和函数)：如果实函数u(x,y)在区域D中有二阶连续偏
y0 )
v(x0 , y0 ) v(x0 , y0 ) v(x0 , y0 ) v(x0 , y0 ) 0
y
x
x
y
很显然，两个共轭调和函数的等值曲线在交点处正交。
例2，在复平面上的解析函数f (z) az2 b 解： f (z) az2 b a(x iy)2 b
a x2 y2 b i2axy 所以：u(x, y) a x2 y2 b
定理2：在区域D中解析的复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其实部 和虚部为该区域上的共轭调和函数。
2、共轭调和函数的几何意义
在区域D中解析的复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若f’(z)0，并分 别取u(x,y),v(x,y)的等值线：
解析函数与调和函数
2v 2v 0 x2 y 2
故 u是全平面上的调和函数，v除原点外在全平面上 调和。但 u v,不满足C-R条件，所以 f z 不是
解析函数。x y
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
u 例3 证明：若 为调和函数且不等于常数，
则 u 2 不是调和函数。
例4求形如 ax3 bx2 y cxy2 dy3的最一般的调和函数。
并求其共轭调和函数及其对应的解析函数。
解：因为 u ax3 bx2 y cxy2 dy3,所以
2u 6ax 2by, 2u 6dy 2cx.
x 2
y 2
令
2u 2u (6a 2c)x (6d 2b) y 0
u yy vxy
uxx u yy 0 . 同样可得 vxx vyy 0 .
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
注：逆定理显然不成立，即
对区域D内的任意两个调和函数 u，v，
f (z) u iv及（ f z） v iu
不一定是解析函数 .
例如： f z z2 x2 y2 i2xy是解析函数，
故u，v是调和函数，但
f z v iu 2xy i x2 y2
不再是解析函数
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
定义2 若u与v是区域D内的调和函数且满足C R方程 ux =v y，uy =-v x，则称v为u的共轭调和函数。
( f 0 0 c 0)
复变函数与积分变换
例2
Complex Analysis
第三章第四节 解析函数与调和函数
②刻划解析函数又一等价条件
f ( z) u iv在区域D内解析
定理3.18
定理 3.19
在区域D内,v是u 的共轭调和函数.
注7 由于任一二元调和函数都可作解析函数的实 部(或虚部),由解析函数的任意阶导数仍解析知,任 一二元调和函数的任意阶偏导数也是调和函数.
虽然在直线x 0上满足Laplace方程, 但直线不是区域,
即在z平面的任一区域, xy 2不能作为解析函数的实部.
y 例2 证明 : u( x, y) x y , v( x, y) 2 都是 2 x y
2 2
调和函数, 但f ( z ) u( x, y) iv( x, y)不是解析函数.
使u iv在D内解析.
u u 2 0, 方法一: 应用曲线积分 由于 2 x y u u 即 - 与 在D内具有连续的一阶偏导数, y x
2 2
u u u u 且 , 记 P , Q , 则Py Qx , y y x x y x
( x, y )
注4
对(3.22)分别对x, y求偏导数, 得
u v u v , x y y x
由定理3.15知, u iv在D内解析.
注5 (3.21)可由下式简便记忆
v v dv( x, y ) dx dy x y
C R方程
u u dx dy y x
第三章 复变函数的积分
第十二讲
第四节 解析函数与调和函数
1. Laplace算子与共轭调和函数 2. 解析函数的等价刻画 3. 调和函数的平均值定理与极值原理
2.2 解析函数与调和函数的关系
§2.2 解析函数与调和函数的关系
一、调和函数 二、共轭调和函数 共轭调和函数 三、构造解析函数
1
§2.2 解析函数与调和函数的关系 第 二 章 解 析 函 数
一、调和函数
引例 考察三维空间中某无旋无源力场(或流速场)的势函数。 考察三维空间中某无旋无源力场(或流速场)的势函数。 无旋无源力场 设该力场为 F = { P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R( x , y , z ) } . (1) 无旋场 沿闭路做功为零(即做功与路径无关)。 沿闭路做功为零 即做功与路径无关) 保守场或者梯度场或者有势场。 又称为保守场或者梯度场或者有势场 又称为保守场或者梯度场或者有势场。 存在势函数 ϕ ( x , y , z ) , 使得
11
§2.2 解析函数与调和函数的关系 第 二 章 解 析 函 数 解 (2) 求虚部 v( x, y )。 方法二： 方法二：全微分法
C1
( x, y)
C2
∂v ∂u ∂v ∂u 2 2 =− = 6xy , 由 = = 3x − 3 y , ∂x ∂y ∂y ∂x
⇒ dv = v ′x dx + v ′y dy = 6 xy dx + ( 3 x 2 − 3 y 2 )dy ,
∂ 2 u ∂ 2v , ⇒ = 2 ∂y∂x (?) ∂x
∂ 2v ∂ 2v + 2 = 0. 同理 2 ∂x ∂y
5
§2.2 解析函数与调和函数的关系 第 二 章 解 析 函 数
二、共轭调和函数 共轭调和函数
定义 设函数 u( x , y ) 及 v ( x , y ) 均为区域 D 内的调和函数， 内的调和函数，
第6讲 解析函数与调和函数
v x -shxcosy g(x) u y -shxcosy
故 f(z) u iv shxsiny - i(chxcosy c)
15
2） v x 2 - y 2 2y
v x 2x -u y , v y 2 - 2y u x
16
方法二
定理4-6 设u(x,y)是单连通区域D内的调和函数，(x0,y0) 为D内任意取定的点，则存在由
v( x, y ) ((xx ,,yy) ) u y dx u x dy c
0 0
确定的唯一形式的v(x,y),是f(z)=u+iv是D内的解析函数。
公式不用强记！可如下推出：
已知：u( x , y ), 求其共轭调和函数( x , y ) : v v v C R方程 由dv dx dy u y dx u x dy x y 然后两端积分。
17
v v C R方程 v v 由du dx dy dx dy x y y x
区域D内的两个调和函数则u iv在D内就不 , 一定解析 .
要想使u iv在D内解析, u及v还必须满足 R C 方程，即 必须是u的共轭调和函数 v .由此，
已知一个解析函数的实 u( x , y ), 利用C R方 部 (虚部v( x, y )) 程可求得它的虚部( x , y ), 从而构成解析函数 v u iv.
g ( x） c (c为实常数）
x
对于已知v，求u的情况，可采取同样的方法。
14
例2.22 已知下面的调和函数，求解析函数f(z)=u+iv
1) u=shxsiny
解： u shxsiny 1 ） u v chx sin y y x
解析函数和调和函数的关系
§2.2 解析函数和调和函数的关系 教学目的：弄清调和函数与共轭调和函数的概念，能理解并掌握解 析函数与调和函数的关系；并能灵活利用常用得三种方法 （不定积分法、偏积分法、曲线积分法）求以调和函数为实 部或虚部的解析函数．重点：不定积分法和偏积分法求解析函数．难点：曲线积分法求解析函数．教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：§2.2.1 调和函数的概念调和函数是有着广泛实际应用的一类函数（平面静电场中的电位函数、无源无旋的平面流速场中的势函数与流函数都是特殊的二元实函数，即调和函数），它与解析函数有着密切的联系．本节，我们将详细地介绍解析函数与调和函数的关系，并介绍利用调和函数来求解析函数的若干方法.【定义2.3】 若二元实函数(,)H x y 在区域D 内具有二阶连续的偏导数,且满足二维拉普拉斯方程（Laplace ）22220H H x y∂∂+=∂∂，则称(,)H x y 为D 内的调和函数（或称(,)H x y 在D 内调和），称为拉普拉斯算子. 【定理2.3 】 若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析, 则()f z 的实部(,)u x y 和虚部(,)v x y 都是D 内的调和函数. 证 ()f z 在区域D 内解析,所以(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微，且在D 内满足C-R 方程u v x y ∂∂=∂∂,u v y x∂∂=-∂∂，由解析函数的无穷可微性知(,)u x y 和(,)v x y 在D 内都具有任意阶连续的偏导数,从而也具有二阶连续的偏导数 222u v x y x ∂∂=∂∂∂ 222u v y x y∂∂=-∂∂∂， 所以2222220u u v v x y x y y x ∂∂∂∂+=-+=∂∂∂∂∂∂；同理可证22220v v x y∂∂+=∂∂. 故实部 (,)u x y 和虚部 (,)v x y 都是D 内的调和函数.§2.2.2 共轭调和函数【义2.4】 若(,)u x y ,(,)v x y 都是区域D 内的调和函数,且在D 内满足柯西—黎曼方程, 即 u v x y ∂∂=∂∂,u v y x∂∂=-∂∂, 则称(,)v x y 为(,)u x y 的共轭调和函数.下面研究复变函数的实部、虚部两个二元实函数与调和函数的关系.【定理2.4】若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件是在D 内()f z 的虚部函数(,)v x y 是实部函数(,)u x y 的共轭调和函数.证明 （必要性） 因为()(,)(,)f z u x y iv x y =+在D 内解析， (,)u x y 和(,)v x y 都是D 内的调和函数,且满足柯西—黎曼条件所以 在D 内()f z 的虚部函数(,)v x y 是实部函数(,)u x y 的共轭调和函数.（充分性）在D 内()f z 的虚部函数(,)v x y 是实部函数(,)u x y 的共轭调和函数.所以 (,)v x y ，(,)u x y 具有二阶连续偏导数且满足C R -方程 所以(,)v x y ，(,)u x y 具有一阶连续偏导数且满足C R -方程 故 ()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析.注：10.由解析函数的无穷可微性知,若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析,则()f z 的任意阶导数在区域D 内也解析,从而 (,)u x y 和(,)v x y 的任意阶偏导数也都是D 内的调和函数.20.两个二元实函数(,)u x y 和(,)v x y 都是区域D 内的调和函数,不一定能保证复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析. 20的反例：易证(,)u x y x =,(,)v x y y =-都是平面上的调和函数, 但 ()f z x iy z =-=在平面上处处不解析.30.由第二章的解析函数的判别法知,设(,)u x y 和(,)v x y 都是定义在区域D 内的二元实函数,若(,)v x y 为(,)u x y 的共轭调和函数,则()(,)(,)f z u x y iv x y =+在D 内一定解析.提问：1.函数),(),()(y x iv y x u z f +=解析，则下列命题中错误的是（ C ）A 、v u ,均为调和函数B 、v 是u 的共轭调和函数C 、v u 是的共轭调和函数D 、v u 是-的共轭调和函数2.解析函数的实部是其虚部的共轭调和函数. （ × ）3.解析函数的虚部是其实部的共轭调和函数. （ √ ） §2.2.3 解析函数与调和函数的关系根据定理2.4来建立单连通区域内解析函数的一种求法.假设D 是一个单连通区域, (,)u x y 是D 内的一个调和函数,即 (,)u x y 在D 内具有二阶连续的偏导数,并且22220u u x y ∂∂+=∂∂ 从而u y ∂-∂,u x∂∂在D 内具有一阶连续的偏导数, ()()u u y y x x∂∂∂∂-=∂∂∂∂（曲线积分与路径无关的条件）. 再由高数中有关曲线积分与路径无关的条件得, 存在D 内的二元函数(,)v x y ,使得 (,)u u dv x y dx dy y x∂∂=-+∂∂, 于是 00(,)(,)(,)x y x y u u v x y dx dy C y x∂∂=-++∂∂⎰, 其中00(,)x y 是D 内的一个定点, (,)x y 是D 内的一个动点, C 是任意实常数.另外我们还有u v x y ∂∂=∂∂,u v y x∂∂=-∂∂, 即(,)u x y 和(,)v x y 在D 内满足柯西—黎曼条件, 从而易得 2222220v v u u x y y x x y∂∂∂∂+=-+=∂∂∂∂∂∂ 所以 (,)v x y 也是D 内的调和函数,并且(,)v x y 为(,)u x y 的共轭调和函数.故 由定理2.4, 我们构造函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+, ()f z 就是D 内以(,)u x y 为实部的解析函数.【定理】※（1）若(,)u x y 是单连通区域D 内的一个调和函数,则一定存在函数(,)v x y , 使得 ()(,)(,)f z u x y iv x y =+为D 内的解析函数, 并且还有00(,)(,)(,)x y x y u u v x y dx dy C y x∂∂=-++∂∂⎰,其中00(,)x y 是D 内的一个定点, (,)x y 是D 内的一个动点, C 是任意实常数.（2）同理可得 若(,)v x y 是单连通区域D 内的一个调和函数,则一定存在函数(,)u x y ,使得 ()(,)(,)f z u x y iv x y =+为D 内的解析函数, 并且还有00(,)(,)(,)x y x y v v u x y dx dy C y x∂∂=-+∂∂⎰,其中00(,)x y 是D 内的一个定点, (,)x y 是D 内的一个动点, C 是任意实常数.注: 此定理给出了已知解析函数的实部(或虚部),求虚部(或实部),从而求出解析函数的一种方法――曲线积分法.由解析函数的实部或虚部求解析函数的举例例1 证明32(,)3u x y x xy =-是平面上的调和函数, 并求以 (,)u x y 为实部的解析函数()f z ,使得(0)f i =.证明： 因为2233u x y x ∂=-∂,6u xy y ∂=-∂,226u x x ∂=∂,226u x y ∂=-∂, 32(,)3u x y x xy =-为正式函数，所以有二阶连续偏导数，所以 22220u u x y∂∂+=∂∂, 即32(,)3u x y x xy =-是平面上的调和函数.下面，我们用三种方法来求满足题设条件的解析函数.方法1: （曲线积分法）由补充定理知取00(,)(0,0)x y =,（如图3.20）(,)(0,0)(,)x y u u v x y dx dy C y x∂∂=-++∂∂⎰ (,)22(0,0)6(33)x y xydx x y dy C =+-+⎰ 220060(33)x yx dx x y dy C =⋅+-+⎰⎰233x y y C =-+所以 3223()3(3)f z x xy i x y y C =-+-+,再由条件(0)f i =,可得1C =.故 32233()3(31)f z x xy i x y y z i =-+-+=+.方法2（微分方程中的常数变异法或称偏积分法）由C R -条件得 2233v u x y y x∂∂==-∂∂ ------------ (Ⅰ) (6)6v u xy xy x y∂∂=-=--=∂∂ ----------- (Ⅱ) 由(Ⅰ)积分得 22(,)(33)v x y x y dy =-⎰233()x y y x ϕ=-+ ----------- (Ⅲ) 求(Ⅲ)对x 的偏导数代入(Ⅱ)得 6()6xy x xy ϕ'+= , 即 ()0x ϕ'=, 所以 ()x C ϕ=(常数),从而 23(,)3v x y x y y C =-+,所求解析函数为 3223()3(3)f z x xy i x y y C =-+-+. 再由条件(0)f i =,可得1C =.故 32233()3(31)f z x xy i x y y z i =-+-+=+.方法3（不定积分法）：..()C R u v u u f z i i x xx y ∂∂∂∂'=+=-∂∂∂∂, 其中 1()2x z z =+, 1()2y z z i =- 因为 2233u x y x∂=-∂,6u xy y ∂=-∂， 由解析函数的导数公式: ..()C R u v u u f z i i x xx y ∂∂∂∂'=+=-∂∂∂∂ 得 ()u u f z i x y∂∂'=-∂∂ 222233(6)336x y i xy x y i xy =---=-+ 将1()2x z z =+, 1()2y z z i=- 代入上式 整理得 222()3363f z x y i xy z '=-+= ， 所以 3()f z z C =+再由条件(0)f i =,可得C i =. 故 3()f z z i =+.说明：从例1中所给的三种方法中，大家不难体会到，三种方法各有特点：方法1利用了高数中的第二型曲线积分的计算方法；方法2利用了求解微分方程的方法（常数变异法）；方法3是纯粹的复变函数的方法.在实际计算时可以根据具体的问题选择合适的方法计算.例2 设),(,()(y x iv y x u z f +=为iy x z +=的解析函数，且已知y x y x v y x u +=-),(),(,求函数()f z .解：方程y x y x v y x u +=-),(),(两边分别对y x ,求偏导数得：110111C R x y x x x y y y x y u u u v u u v u u u -+=-==⎧⎧⎧⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-==-+=⎪⎪⎪⎩⎩⎩方程， 由0x u =得： )(),(y g y x u = 代入1y u =得：1)(='y g ， C y y g +=)(（C 为任意常数）从而C y y x u +=),(，(,)(,)()v x y u x y x y x C =-+=-+，所求函数为：C i iz C x i C y iv u z f )1()()(++-=+-++=+= 练习：（1）已知调和函数y x u )1(2-=,i f -=)2(,求解析函数iv u z f +=)(.解：用不定积分法求解如下：2x u y =，22y u x =-，()2(22)2(1)x y f z u iu y i x i z '=-=--=--221()2(1)2(1)(1)2f z i z dz i z C i z C =--=-⨯-+=--+⎰ 由i f -=)2(得 2(21)i C i --+=-，0=C ，所以：2()(1)f z i z =--（2） 已知 22()yi f z u x y=++是解析函数，且(2)0f =，求()f z .解：22222()x y x y u v x y -''==+，2222()y x xy u v x y ''=-=+ 对此，用偏积分求u 比较方便：2222()()()y xdy u u dy g x g x x y =+=++⎰⎰22()x g x x y=-++ 将积分结果求对x 的偏导数得 22(,)()x u x y g x x y=-++ 2222212(),()x x u g x x y x y -'=++++()0,()g x g x c '== 所以 2222()x yi f z c x y x y =-++++ 1(2)02f c =-+= 得12c =，11()2f z z=- . 例3 证明(,)arctan y v x y x = (0x >)在右半平面内是调和函数, 并求以此为虚部的解析函数.证明 因为22v y x x y ∂-=∂+,22v x y x y∂=∂+, 则 222222()v xy x x y ∂=∂+, 222222()v xy y x y ∂-=∂+, 从而 22220v v x y ∂∂+=∂∂, 故(,)arctany v x y x = 是右半平面内的调和函数.下面用方法2(微分方程中的常数变异法)来求解析函数的实部(,)u x y .由C R -条件得22u v x x y x y ∂∂==∂∂+ -------------- (Ⅰ)2222u v y y y x x y x y ∂∂-=-=-=∂∂++ -------------- (Ⅱ) 由(Ⅰ)得 221(,)ln()()2u x y x y y ϕ=++ 代入(Ⅱ)得2222()y yy x y x y ϕ'+=++, 即()0y ϕ'=,从而 ()y C ϕ=(常数), 221(,)ln()2u x y x y C =++. 故 所求解析函数为221()ln()arctan 2y f z x y C i x=+++(0x >)ln arg ln z C i z z C =++=+ (Re 0z >). 例4 已知调和函数 (cos sin )xv e y y x y x y =+++，求一个解析函数 ()f z u iv =+使(0)0f =. 解(不定积分法) 因为(cos sin sin )1x ve y y x y y x∂=+++∂，(cos sin cos )1x ve y y y x y y∂=-++∂ 所以 ..()C R u v v v f z i i x x y x∂∂∂∂'=+=+∂∂∂∂(cos sin cos )1xe y y y x y =-+++ [(cos sin sin )1]xi e y y x y y +++1z z ze e i =+++，积分得 ()(1)zf z ze i z C =+++，由(0)0f =得0C =， 故 ()f z 1z zze e i =+++.例5 已知调和函数 22u x y xy =-+， 求一个解析函数()f z u iv =+使()1f i i =-+.解2ux y x∂=+∂，2u y x y ∂=-+∂ ..()2(2)2C R u v u uf z i i x y i y x z iz x x x y∂∂∂∂'⇒=+=-=++-=-∂∂∂∂，积分得 21()(2)2f z i z C =-+，由()1f i i =-+得2iC =， 故 2()122i i f z z ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 练习： 已知 22()(4)2()u v x y x xy y x y +=-++-+，试确定解析函数 ()f z u iv =+.解 ：2222(4)()(24)2(4)()(42)2,x x y y x x y xu v x xy y x y x y u v x xy y x y x y u v u v ⎧+=+++-+-⎪+=+++-+-⎨⎪==-⎩226332x yv xyv x y =⎧⎪⇒⎨=--⎪⎩ 222()332632v vf z i x y i xy z y x∂∂'⇒=+=--+=-∂∂， 积分得 3()2f z z z C ⇒=-+.例6 若()f z u iv =+为解析函数，且满足892003u v +=， 试证：()f z 必为常数.解 对892003u v +=分别求对,x y 的导数得128900890()0x x x y y y xy u v u u u C u v f z C v v v C C R ⎧+===⎧=⎧⎪⎪+=⇒⇒⇒=⎨⎨⎨===⎪⎩⎪⎩-⎩方程（常数）. 例7 求调和函数(,)x y xy φ= 的共轭调和函数. 提示 设解析函数()(,)(,),(,),(,)x y y x f z x y iv x y v x y x v x y y φφφ=+=-===2(,)()2x y v x y dy ydy g x φ===+⎰⎰，2(,)()()2x y x v x y g x x g x c φ'==-=-⇒=-+故 (,)x y xy φ= 的共轭调和函数221(,)()2v x y y x c =-+. 例8 证明：函数2222,y x xv y x u +=-=都是调和函数，但iv u z f +=)(不是解析函数.证明：y u x u y x 2,2-== ,2,2-==yy xx u u()()222222222,y xxyv y xy x v y x +-=+-=()()222322232,2yxy v yxy v yy xx +-=+=0=+∴yy xx u u 0=+yy xx v v 即u 是复平面上的调和函数，v 除原点外在复平面上调和。
【学习课件】第六讲_解析函数与调和函数的关系
在 D内满 C足 R方程 :uxvy,uy vx的两个 调和u 函 ,v,v数 必u 为 的共轭调 . 和函 现在研究反过来的问题：若u,v是任意选取的
区域 D内的两个调,和 则u函 i数 v在D内就不 一定解. 析
ppt课件
6
如 vxy不是 uxy的共轭调.和
（ f(z)uiv(xy)i(xy)在 z平 面 上 处 处 不 ux解 1vy析 uy1vx)
要想 u使 iv在 D内解 ,u及 析 v还必须 C满 R 足 方程v， 必即 须 u的 是共轭调 .由和 此函 ，数
已知一个解析函数 部u的 (x,实 y),利用CR方 (虚 部 v(x, y))
程可求得它的v(虚 x, y部),从而构成解析函数
uiv.
(实 部 u(x, y))
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7
设D一 单 连 通,u(区 x, y域 )是 区D域 内 的 调 和
11
例1 由下列条件求解f析 (z)函 u数 iv
u x2 xy y2
f (i) 1i
解vu2xy vu2yx
y x
x y
dvvdxvdy(2yx)dx(2xy)dy x y
( x, y)
v(x, y) (2y x)dx(2x y)dyc (0,0)
x
y
o xdx0 (2x y)dyc
x2
u0,
v0
其
中
2 x2
2 y2
uu(x,y)，vv(x,y)是D内的调和函
定义 设u(x,y)为D内的调和 ,称函 使u数 得 iv 在D内构成解析函 函数 数 v(x,的 y)为 调 u(x,和 y) 的共轭调. 和函数
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5
上面定理说明：
解析函数与调和函数的关系
第六讲解析函数与调和函数的关系§3.7 解析函数与调和函数的关系内容简介在§3.6我们证明了在D内的解析函数,其导数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。
本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系。
.),()00:),(2222内的调和函数为则称即（方程续偏导数且满足内具有二阶连在若二元实变函数D y x y x Laplace D y x ϕϕϕϕϕ=∆=∂∂+∂∂定义 内的调和函数。
是，内解析在区域若D y x v v y x u u D y x iv y x u z f ),(),(),(),()( ==⇒+=定理证明：设f (z )=u (x ,y )+i v (x ,y )在区域D 内解析，则x v y u y v xu R C ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂- 方程由yx v y u x y v x u ∂∂∂-=∂∂∂∂∂=∂∂222222从而有xy v y x v y x v y x u ∂∂∂=∂∂∂∴⇒22.),(),,(具有任意阶的连续导数理由解析函数高阶导数定,0 D 2222=∂∂+∂∂y u x u 内有故在0 2222=∂∂+∂∂y v x v 同理有0,0=∆=∆v u 2222y x ∂∂+∂∂≡∆其中即u 及v 在D 内满足拉普拉斯(Laplace )方程: 内的调和函数。
是，D y x v v y x u u ),(),(==∴.),(),(D ,),(的共轭调和函数为函数内构成解析函数的调和在称使得内的调和函数为设y x u y x v iv u D y x u +定义上面定理说明：.部的共轭调和函数内解析函数的虚部是实D .),(),(),(),()(,的共轭调和函数必为内在内解析在即y x u u y x v D D y x iv y x u z f =⇒+=由解析的概念得：.,,,:的共轭调和函数必为调和函数的两个方程内满足在u v v u v u v u R C D x y y x -==-.,, 一定解析内就不在则内的两个调和函数区域是任意选取的在若D iv u D v u +现在研究反过来的问题：.的共轭调和函数不是y x u y x v +=+=如 )11)()()(x y y x v u v u z y x i y x iv u z f -≠===+++=+=处处不解析平面上在（ 由此，的共轭调和函数必须是方程，即还必须满足及内解析在要想使.,u v R C v u D iv u -+.),,(),,(iv u y x v R C y x u +-从而构成解析函数程可求得它的虚部方利用部已知一个解析函数的实)),((y x v 虚部)),((y x u 实部0,),(,2222=∂∂+∂∂yu x u D y x u D 则函数内的调和是区域一单连通区域设内有连续一阶偏导数在、即D xu y u ∂∂∂∂-,dy xu dx y u dy y v dx x v x u x y u y ∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂∂∂∂∂=∂∂-∂∂ )()(且),(y x dv v ∃=)(),(),(),(00*+∂∂+∂∂-=⎰c dy x u dx y u y x v y x y x..内解析在方程满足D iv u R C xu y v y u x v +∴-∂∂=∂∂∂∂-=∂∂ .)(),,()(,),(内解析在使得式所确定的则内调和函数在单连通设D iv u z f y x v D y x u +=*定理公式不用强记！可如下推出：dy x v dx y v dy y v dx x v du R C ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=-方程由然后两端积分。
复变函数 解析函数与调和函数的关系ppt课件
一、调和函数的定义
定义
如果二元实变函数 (x, y) 在区域 D 内具 有二阶连续偏导数 , 并且满足拉普拉斯方程 2 2 2 2 0, x y 那末称 (x, y) 为区域 D内的调和函数 . 拉普拉斯
调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中有很重要的应用.
x e ( x sin y y cos y sin y ) g ( y ),
故 g ( y ) y c ,
x 于是 u e ( x cos y y sin y ) x y c ,
10
f ( z ) u iv
x iy x iy xe e iye e x ( 1 i ) iy ( 1 i ) c
ze ( 1 i ) z c ,
z
由 f ( 0 ) 0 ,
得 c 0 ,
z
所求解析函数为 f ( z ) ze ( 1 i ) z .
11
4. 不定积分法
求解析函数的方法称为 不定积分法 .
已知调和函数 u ( x ,y ) 或 v ( x ,y ) ,用不定积
u 2u 解 因为 6 xy , 6y, 2 x x 2 u u 2 2 6 y, 3y 3 x, 2 y y
6
数 .
2 2 u u 于是2 2 0 , 故 u (x ,y )为调和函数 . x y
v u 因为 6 xy , y x
得 u [ e (cos y y sin y x cos y ) 1 ] d x
x
9
u e ( x cos y y sin y ) x g ( y ),
复变函数ppt教学2-2解析函数和调和函数的关系
13
1 2 1 2 x 2 xy y C 2 2 所以
2 2
( x )dx (2 x y )dy C
0 0
x
y
Байду номын сангаас
(1 ) z iC 2 1 又因为 f ( i ) 1 i , 所 以C ，得 到 2
2
1 2 1 2 f ( z ) ( x y xy) i ( x 2 xy y C ) 2 2 i
12
曲线积分法
例 4. 求解析函数f ( z ) u iv，已知， u x y xy, f (i) 1 i.
2 2
解：容易验证 u是全平面的调和函数， 利 用柯西黎曼条件，求出 两个偏导数 v u v u 2 y x, 2x y x y y x 则 ( x, y) v( x, y ) (2 y x )dx (2 x y )dy C
e ( x cos y y sin y) x g( y) v u 由于 得到 x y x e ( y cos y x sin y sin y) 1 e x ( x sin y y cos y sin y) g' ( y)
x
11
故g( y ) y C，因此 x u e ( x cos y y sin y) x y C 从 而 f ( z ) e x ( x cos y y sin y) x y C
v (3 x 2 3 y 2 )dy 3 x 2 y y 3 ( x)
v u ' 再 由 6 xy ( x ) 6 xy x y
3-7解析函数与调和函数的关系
可微的，故有全微分
v v u u dv ( x, y ) dx dy dx dy x y y x
设 (x0 ,y0)为D内一个定点，(x,y) 为D内任一点， c为任意常数，可得
2 2
定理： 函数 f ( x, y) u ( x, y) i v ( x, y) 在区域 D 内解析，其实部 u( x, y) 和虚部 v ( x, y) 都是 D 内的调和函数.
2. 共轭调和函数定义： 若两实函数 ( x, y) 及 ( x, y ) 均为区域 D 内的调和函数，且满足柯西－黎曼条件，即
的方法即可.
例 已知 u ( x, y ) x 2 y 2 xy,求解析函数 f ( z ) u ( x, y ) i v ( x, y ),并满足 f (0) 0
1.不定积分法
解: 首先验证 u(x,y) 是否为调和函数, 容易得到:
ux 2 x y , u y x 2 y
v v ∴ dv (x, y ) dx dy (2 y x)dx (2 x y)dy x y
( xdx ydy) (2 ydx 2 xdy)
x2 y 2 x2 y 2 d( ) d(2 xy ) d( 2 xy ) 2 2 2 2
uxx 2 , u yy 2 uxx u yy 0
故 u(x,y) 为调和函数, 因此只需找到它的共轭 调和函数 v(x,y) , 即可构建解析函数.由C- R条件得
v y ux 2 x y
1 2 所以：v (2 x y)dy 2 xy y ( x) 2
解析函数与调和函数的关系
第三章
解析函数与调和函数的关系
一、调和函数的定义 二、解析函数与调和函数的关系
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一、调和函数的定义
定义 如果二元实变函数 ( x , y ) 在区域 D内具
有二阶连续偏导数, 并且满足拉普拉斯方程 2 2 2 2 0, x y 那末称 ( x , y ) 为区域 D 内的调和函数.
3 w f ( z ) i ( z c ). 即
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内容小结
1.调和函数的概念
2.解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数
的概念.
1. 任意两个调和函数 u与v所构成的函数 u+iv不一定 是解析函数. 2. v称为u的共轭调和函数, u与v注意的是地位不能 颠倒.
2 u u 因为 6 xy, 6 y , 2 x x 2 u u 2 2 3 y 3x , 6 y, 2 y y
2u 2u 于是 2 0, 故 u( x , y ) 为调和函数. 2 x y
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调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中有很重要的应用.
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二、解析函数与调和函数的关系
1. 两者的关系
任何D 内的解析函数,它的实部和虚部都是 D 内
的调和函数. 2. 共轭调和函数的定义
设解析函数u iv的实部u( x, y ) 是一调和函数, 则虚部v( x, y ) 称为 u( x, y ) 的共轭调和函数.
复变函数(3.5.5)--解析函数与调和函数的关系
利用线积分与路径无关的条件积分如下
�ﾮ � v== x(x,0y)d=x22+yxdyxy +22xxddyy
0(0,0)
0
v(x, y) = 2xy + c
因此，。从而得到一个解析函数
w = x2 y2 + i(2xy + c).
即
w = f (z) = z2 + c.
▎ 如果我们有一定的作题经验后，可以直接用全微分法去求原函数。 此例说明：只要已知解析函数的实部，就可以确定它的虚部（至多相差一个任意常 数）。我们同样可以由解析函数的虚部确定（可能相差一个常数）它的实部
2v x2
+
Duv2v y 2
=
0
同理可得。因此，与都是内的调和函数。 ▎
u x
=
v ,uvu(x+Duv,iyv)u y y
=
v x
,
设为区域内给定的调和函数，如果区域内的另一个函数使在内构成解析函数，则称为 的共轭调和函数。换句话说，若调和函数与在内满足柯西-黎曼方程则称为的共轭调和函数。 因此，定理 3.10 说明：区域内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数。值得注意的是， 该定理的逆命题不一定成立，也就是说，即使一个复变函数的实部和虚部都是调和函数， 这个函数也不一定解析。但是，解析函数与调和函数的上述关系使我们可以借助与解析函数 的理论解决有关调和问题的许多问题。
4
0.
这个方程称为拉普拉斯（Laplace）方程.调和函数在诸如流体力学和电磁场理论等实际 问题中都有重要的应用。下面的定理刻画了调和函数与解析函数之间的关系。
D
定理 3.10 任何区域内解析的函数，它的实部和虚部都是内的调和函数。
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2v
x 2
xy , y2
,
yx
因 2v 与 2v 在D内连续，它们必定相等，故在D内有
xy
yx
2例,在D内有
2v 2v x2 y2 0
即u及v都是D内的调和函数
3
定理：设函数f(z)=u(x,y)+v(x,y)∈A(D)
u(x,y),v(x,y)都是D内的调和函数
其中 x0, y0 为D内一定点,C为任意实常数.
10
例2.8求解析函数f(z)=u+iv,u x2 y2 xy,
f (i) 1 i.
解:容易验证是u全平面的调和函数。利用C-R条件，
先求出v的两个偏导数。
v u 2 y x, v u 2x y
x y
y x
则v(x, y) x,y 2 y x dx 2x y dy C 0,0
12
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例如:设 f(z)=x-iy,则u(x,y),v(x,y)都是z平面上的
调和函数,但f(z)=x-iy在z平面上处处不解析
原因: u(x,y),v(x,y)在D内不满足C-R条件
定义2.4 u(x,y),v(x,y)是D内的调和函数，且满足
C.-R.条件：
u v u v ,
x y y x
v称为u在区域D内的共轭调和函数.
§2解析函数与调和函数的关系
2.2.1 调和函数的定义 2.2.2 解析函数与调和函数的关系 2.2.3 由调和函数构造解析函数 2.2.4 小结与思考
2.2.1 调和函数的概念
定义2.3 如果二元实函数H(x,y)在区域D内有 二阶连续偏导数2H,且满2足H 拉0普拉斯方程，即：
x2 y2
则称H(x,y)为区域D内的调和函数。
x
0
x
dx
y
0
2
x
y
dy
C
1 x2 2xy 1 y2 C
2
2
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2.2.4小结与思考
本节我们学习了调和函数的概念、解析函数 与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念. 应注意的是: 1. 任意两个调和函数u与v所构成的 函数u+iv不一定是解析函数. 2. 满足柯西—黎曼方程ux= vy, vx= –uy,的v称为u 的共轭调和函数, u与v注意的是地位不能颠倒.
由 u v ex (cos y ysin y xcos y) 1, x y
得 u [e x (cos y y sin y x cos y) 1]dx
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u ex ( x cos y ysin y) x g( y), 由 v u , 得
x y ex ( ycos y xsin y sin y) 1 ex ( xsin y ycos y sin y) g( y), 故 g( y) y c, 于是 u ex ( xcos y ysin y) x y c,
注：
2 x2
2 y 2
称为Laplace算子
例如： f(x,y)=x2-2xy2 不是一个调和函数 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际
问题中有很重要的应用. 2
2.2.2解析函数与调和函数的关系 设f(z)=u+iv在区域D内解析,则由C.-R.条件
u v , u v ,
x y y
x
得
2u 2v 2u
因为f (0) i,故C 1, 所以
f (z) x3 3xy2 i 3x2 y y3
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例2.7 已知 v( x, y) e x ( y cos y x sin y) x y 为调 和函数, 求一解析函数 f (z) u iv, 使 f (0) 0.
解 v e x ( y cos y x sin y sin y) 1, x v e x (cos y y sin y x cos y) 1, y
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利用曲线积分求共轭调和函数的方法.
我们从C R条件知道,函数u决定了函数v的全微分,即
dv= v dx v dy u dx u dy
x y
y x
当D为单连通区域时,上式右端的积分与路径无关,
而v即可表示为 :
x, y u
u
v(x, y) dx dy C
x0 , y0 y
x
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定理2.4 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内 解析的充要条件是：在区域D内f(z)的虚部 v(x,y)必为u(x,y)的共轭调和函数.
根据这个定理，便可利用一个调合函数 和它的共轭调和函数作出一个解析函数。
由于共轭调和函数的这种关系,如果知 道其中的一个,则可根据C-R条件求出另一 个来。
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例2.6 验证u(x,y)=x3—3xy2是z平面上的调和函数，
并求以u(x,y)为实部的解析函数f(z),使合f(0)=i.
解：
u 3x2 3y2 x
2u
2u
6x
x2
y 2
u 6xy y
2u 2u x2 y2 0
要求f(z)，需先求v(x,y),一般可用以下方法求v(x,y)
偏积分法.由 v u 3x2 3y2得, y x
v 3x2 3y2 dy 3x2 y y3 x
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及 v 6xy x u 6xy
x
y
所以 x 0, x C
v x, y 3x2 y y3 C
因而得到解析函数
f (z) x3 3xy2 i 3x2 y y3 C