极限思想求极限的几种方法

极限思想求极限的几种方法

【关键词】极限；计算方法；技巧

一、引言

高等数学以函数作为研究对象，以极限方法为基本方法，以微积分学为主要内容的一门学科极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位。极限理论和极限方法的主要内容在数学发展这条路线是很重要的。许多高等数学深层次的理论及应用都用到了极限的思想，例如连续导数和积分等都是通过极限定义的，离开了极限思想，高等数学就丧失了它基本的价值，并且极限操作是较高的数学基本的算术。由于极限定义很抽象，很多时候我们无法从定义的角度求出函数的极限，又由于极限运算分布在整个高等数学体系，许多重要的概念是由极限定义的。所以极限知识是研究导数、各种积分等的基本工具。本文给出了几种常见求极限的方法，如定义，等价无穷小量，二项式展开式等方法，并配有例题解释说明。

二、求极限的方法

1.利用极限定义证明极限

前提：知道数列（函数）的极限值；

关键：寻找尽可能小的n

基本方法：

（1）求n：从不等式|an-a|<ε直接解出n；

（2）分步法：对n不作限制，便无法化简和放大，因此先限定n ﹥n1，然后按需求求得n2，于是所求的n=max{n1，n2}；

（3）适当放大法：不等式|an-a|<ε较为复杂，无法直接解出，或求解的过程较繁，为此先将表达式|an-a|进行化简，并适当放大，使之成为关于n的简单函数h（n）（仍为无穷小量），即|an-a|

2.利用等价无穷小求极限

这些可将复杂函数的极限用简单函数的极限代替简化其计算。

若f（x）与g（x）都是无穷小量，且g（x）≠0，时称f（x）与g（x）是等价无穷小量表示为f（x）～g（x），因为当f（x）～g（x）（x→a）时可写为是无穷小量从而f（x）=g（x）[1+d（x）]。注意，在乘积或相除时可以随意替换，但在和差时，等价替换不能用。

注：这种方法中一般首先要找出函数的等价无穷小。

3.洛必达法则

洛必达法则是求解不定式极限的有效工具。数列极限可转化为相应的函数极限，然后利用洛必达法则求解。洛必达法则只直接适用于0/0，∞/∞不定式，而

0·∞，∞-∞型未定式通过恒等变形可化作0/0，∞/∞型。而00，∞0，1∞型未定式则通过取对数化作0/0，∞/∞型。因此在使用洛必达法则每个步骤都要检查式子是否满足洛必达法则条件。此外，还应注意及时化简算式，把已知极限的式子分离出来并求出极限，再对不定式部分使用洛必达法则。

例1：求

解：先分子有理化再使用等价无穷小替换，然后使用洛必达法则可得

注：在使用洛必达法则时，往往需要先对等式进行初等变换，再在不同阶段使用等价无穷小替换，时刻注意将非零因子从极限式中分离出来，以简化计算过程。

4.中值定理法

在求函数f（x）的极限时，如果能根据f（x）的特点寻得一个新的可微函数f（t），然后借助中值定理问题往往会得到巧妙的解法。

例2：求.

解：对函数f（t）=et在以x和sianx（x≠0）为端点的闭区间上用微分中值定理有

，

即（ε在x与sinx之间）

因为当x→0时，有ε→0

所以

三、总结

在极限问题中证明极限存在及极限的计算方法是十分重要的。本文归纳了极限计算的一些方法和技巧，同学们在使用时要针对不同的情况采用不同的方法。极限的计算又是解决实际问题必不可少的数学工具，它在物理学，工程学学科上都有广泛的应用。

参考文献：

[1] 华东师范大学数学系.数学分析[m].第四版.北京：高等教育出版社，2001

[2] 朱匀华，极限运算的方法和技巧.广东：广东科技出版社，1991