极限思想求极限的几种方法
极限的求法综述
求极限的方法摘要：求极限的方法是高等数学的一个重点，而极限概念是微积分学的中心内容。
因此，弄清极限概念，熟练掌握极限的计算方法，对于学好高等数学是十分必要的。
为此，本文将高等数学中各种极限的计算方法，系统地归纳起来，对于在求极限时，能够灵活地运用求极限的法则，较熟练地选择简便的方法，是很有帮助的。
关键词： 正文：极限的概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。
例如，我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法—割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。
设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为A 1；再作内接正十二边形，其面积记为A 2；再作内接正十二边形，其面积记为A 3；循此下去，每次边数加倍，一般把内接正6×2n-1边形的面积记为A n （n ∈N ）.这样，就得到一系列内接正多边形的面积：A1,A 2,A 3…,A n ,…..,它们构成一列有次序的数。
当n 越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以An 作为圆面积的近似值也越精确。
但是无论n 取得如何大，只要n 取定了，An 终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积。
因此，设想n 无限增大（记为n →∞），即内接正多边形的边数无限增加,在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时A n 也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）A 1,A 2,A 3,…..,A n ,…..当n →∞时的极限。
极限有两种.：数列极限：∞→n limxn=a ⇔∀ε>0,∃一个正整数N ，当n>N 时，恒有|Xn-a|<ε函数极限：∞→x limf(x)=A ⇔ε>0,一个x>0,当|x|>X,恒有|f(x)－A|<ε.limx x →f(x)=A ⇔∀ε>0,∃一个δ>0,当0<|x －x 0|<δ时，恒有|f(x)－A|<ε求极限的方法已归纳出15种，分别列举如下： §1 利用极限定义求极限[解题提示]当数列Xn 不单调时，其极限的存在性可考虑用极限的定义证明。
极限思想求极限的几种方法
极限思想求极限的几种方法作者：李秀敏来源：《都市家教·下半月》2013年第12期【摘要】本文系统地介绍了利用定义证明、无穷小量代换、洛比达法则等求极限的方法，并结合具体的例子，指出了在解题过程中常遇见的一些问题。
【关键词】极限；计算方法；技巧一、引言高等数学以函数作为研究对象，以极限方法为基本方法，以微积分学为主要内容的一门学科极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位。
极限理论和极限方法的主要内容在数学发展这条路线是很重要的。
许多高等数学深层次的理论及应用都用到了极限的思想，例如连续导数和积分等都是通过极限定义的，离开了极限思想，高等数学就丧失了它基本的价值，并且极限操作是较高的数学基本的算术。
由于极限定义很抽象，很多时候我们无法从定义的角度求出函数的极限，又由于极限运算分布在整个高等数学体系，许多重要的概念是由极限定义的。
所以极限知识是研究导数、各种积分等的基本工具。
本文给出了几种常见求极限的方法，如定义，等价无穷小量，二项式展开式等方法，并配有例题解释说明。
二、求极限的方法1.利用极限定义证明极限前提：知道数列（函数）的极限值；关键：寻找尽可能小的N基本方法：（1）求N：从不等式|an-a|（2）分步法：对n不作限制，便无法化简和放大，因此先限定n﹥N1，然后按需求求得N2，于是所求的N=max{N1，N2}；（3）适当放大法：不等式|an-a|2.利用等价无穷小求极限这些可将复杂函数的极限用简单函数的极限代替简化其计算。
若f（x）与g（x）都是无穷小量，且g（x）≠0，时称f（x）与g（x）是等价无穷小量表示为f（x）～g（x），因为当f（x）～g（x）（x→a）时可写为是无穷小量从而f（x）=g （x）[1+d（x）]。
注意，在乘积或相除时可以随意替换，但在和差时，等价替换不能用。
注：这种方法中一般首先要找出函数的等价无穷小。
3.洛必达法则洛必达法则是求解不定式极限的有效工具。
例说求极限的几种方法(图文)
例说求极限的几种方法(图文)论文导读：四则运算法则指：如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数的极限分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为零）。
法则本身很简单，但有些函数求极限往往不能直接利用法则，需要先对函数做某些恒等变形或化简，常用的变形或化简方法主要有分式的分子或分母分解因式、分式的约分或通分、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形等。
利用单调有界准则求极限，首先讨论数列的单调性和有界性，再解方程可求出极限。
总之，极限的求法很多，但如果在解题过程中能根据算式的特点注意使用适当的解题方法，则可以化难为易，使问题得到圆满解决，并可提高解题效率。
关键词：数列，函数，极限，求法极限思想贯穿于整个微积分的课程之中，掌握好求极限的方法是十分必要的。
由于极限的求法众多，且灵活性强，因此有必要对极限的求法加以归纳总结，本文就师范数学微积分的内容总结了如下12种方法：一、利用极限四则运算法则求极限四则运算法则指：如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数的极限分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为零）。
法则本身很简单，但有些函数求极限往往不能直接利用法则，需要先对函数做某些恒等变形或化简，常用的变形或化简方法主要有分式的分子或分母分解因式、分式的约分或通分、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形等。
例1.解：原式= ＝＝＝－例2．解：原式=二、利用两个重要极限求极限两个重要极限为：，或它们的扩展形式为：，或，利用两个重要极限求极限，往往需要作适当的变换，将所求极限的函数变形为重要极限或重要极限的扩展形式，再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则求极限。
例3．解：原式= 。
例4．解：原式= 。
例5．解：原式=三、利用函数的连续性求极限：由函数f(x)在x0点连续定义知，，由于初等函数在定义区间内处处连续，所以求初等函数在定义区间内任意点处的极限值，只要求其函数在该点处的函数值,因此可直接代入计算。
极限思想总结知识点
极限思想总结知识点一、极限的定义1. 数列的极限数列$a_{n}$的极限是指当n趋于无穷大时，数列$a_{n}$的值趋于一个常数L，即$\lim_{n \to \infty} a_{n} = L$。
数列的极限也可从直观上理解为当n足够大时，数列的值趋于L。
2. 函数的极限函数$f(x)$的极限是指当x趋于某一点p时，函数$f(x)$的值趋于一个常数L，即$\lim_{x \to p} f(x) = L$。
函数的极限也可从直观上理解为当x足够接近p时，函数的值趋于L。
二、极限的性质1. 极限的唯一性如果数列或者函数存在极限，那么它的极限是唯一的。
即，一个数列或者函数只能有一个极限。
2. 极限的局部性当讨论函数在某一点的极限时，只需要考虑该点的邻域内的情况，而不必考虑整个定义域的情况。
3. 极限的保号性如果数列或者函数的极限为正数L，则存在一个正数$\varepsilon$，使得数列或者函数在足够大的n或者足够接近p的x时，值始终大于L-$\varepsilon$。
4. 极限的四则运算性如果函数$f(x)$和$g(x)$的极限都存在，那么它们的和、差、积、商的极限也存在，并且满足如下性质：$\lim_{x \to p} (f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to p} f(x) \pm \lim_{x \to p} g(x)$$\lim_{x \to p} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to p} f(x) \cdot \lim_{x \to p} g(x)$$\lim_{x \to p} (\frac{f(x)}{g(x)}) = \frac{\lim_{x \to p} f(x)}{\lim_{x \to p} g(x)}$ （其中$\lim_{x \to p} g(x) \neq 0$）三、极限的计算方法1. 代入法当函数在某一点的极限存在时，可以直接代入该点的值进行计算，即$\lim_{x \to p} f(x) = f(p)$。
浅谈求极限的方法
浅谈求极限的方法极限是高等数学中最基本最重要的概念，极限思想贯穿高等数学的全部内容，它是研究问题，分析问题的重要理论基础．因此掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的，求极限的方法因题而异，变化多端，有时甚至无从下手．本文总结了12种常用的求极限的方法，意在广开思路，然后举出三个一题多解的例子，希望这些例题对初学者有所帮助．1 求极限的方法1.1 利用斯托兹定理 定理1[1](57)P (∞∞型Stolz 公式) 数列{},{}n n x y ，设{}n x 严格递增(即∀n ∈N 有1n n x x +<)，且lim n n x →∞=+∞，若11limn n n n n y y a x x -→∞--=- (有限数，+∞，或-∞)，则lim n n nya x →∞=．证 )1( (a 为有限数)目的在于证明:0,0,ε∀>∃N >当n >N 时，有nny a x ε-<. ① 记 11n n n n n y y a x x α---≡--． ②按已知条件有lim 0n n α→∞=，即0,0,ε∀>∃N >当n ≥N 时，有2n εα<． ③现在的目的在于从③推出①，为此从②解出n y 再代入①，由②得11()()n n n n n y y a x x α--=++- (再迭代使用此式)21121()()()()n n n n n n n y a x x a x x αα-----=++-++- =⋅⋅⋅111()()()()n n n y a x x a x x ααN N+N+N -=++-+⋅⋅⋅++- 1111()()()n n n n n y x x x x a x x ααN N+N+N --=+-+⋅⋅⋅+-+- 两边同时除以n x ，再同时减去a ，得111n n n n n n nx x x x y y ax a x x x ααN+N+N -N N -+⋅⋅⋅+---≤+22n n n n y ax y ax x x x x x εεN N N N N---<+<+将n 再进一步增大，因n x →+∞，故1∃N >N ，使得1n >N 时有2n y ax x εN N -<．于是 22n n y a x εεε-<+=． )2( (极限为+∞的情况)因已知11limn n n n n y y x x -→∞--=+∞-，所以11lim 0n n n n n x x y y -→∞--=-，利用(1)中的结论，只要证明n y 严↗+∞(严格单调上升趋向无穷大)，则有lim0n n n x y →∞=，lim n n ny x →∞=+∞(问题得证)．因n x 严↗，要证n y 严↗，只要证111n n n n y y x x --->-，事实上， 11limn n n n n y y x x -→∞--=+∞-，所以对1,0M =∃N >，当n >N 时，有111n n n n y y x x --->-，即 n >N 时，110n n n n y y x x --->-> ④ 所以当n >N 时， n y 严↗．④式中令1,2,,,n k =N +N +⋅⋅⋅然后相加， 可知k k y y x x N N ->-，令k →∞，知k y →∞，证毕．)3( (极限-∞的情况) 只要令n n y z =-，即可转化为)2(中的情况．注 11limn n n n n y y x x -→∞--=∞-，一般推不出lim n n nyx →∞=∞，如令n x n =，222{}{0,2,0,4,0,6,}n y =⋅⋅⋅，这时虽然 11limn n n n n y y x x -→∞--=∞-，但{}{0,2,0,4,0,6,}nny x =⋅⋅⋅并不趋向于无穷． 定理2[1](60)P (型Stolz 公式 ) 数列{},{}n n x y ，设n →∞时0n y →，n x 严↘0(严格单调下降趋向零) 若11limn n n n n y y a x x -→∞--=- (有限数，+∞，或-∞)，则lim n n nya x →∞=．注 定理1是∞∞型，其实只要求分母n x ↗+∞，至于分子n y 是否趋向无穷大，无关紧要．定理2则是名副其实的型．因为定理条件要求分子，分母都以0为极限． 例1 1112lim ln n n n→∞++⋅⋅⋅+ 解 设1112n y n=++⋅⋅⋅+，ln n x n =．显然，n x 严格单调递增，且lim n n x →∞=+∞，11lim n n n n n y y x x -→∞--=-1lim ln1n n n n →∞-11lim lim 1ln ln(1)11n n n n n n n →∞→∞==+-- 11lim 111ln[(1)(1)]11n n n n →∞-==++-- 由斯托兹定理1， 1112lim ln n n n→∞++⋅⋅⋅+1= 例2 求(ln 2)(ln 3)(ln )lim 12n n nK K K→∞++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ (K 为正整数)．解 令(ln 2)(ln 3)(ln )n y n K K K=++⋅⋅⋅+，12n x n =++⋅⋅⋅+ ，显然，{}n x 单调递增，且lim n n x →∞=+∞，11lim nn n n n y y x x -→∞--=-()n n n K∞→ln lim 又1(ln )(ln )!limlim lim 0k k x x x x k x k x xx -→+∞→+∞→+∞==⋅⋅⋅==，由海涅定理()n n n K∞→ln lim 0= ，由斯托兹定理1， (ln 2)(ln 3)(ln )lim 12n n nK K K→∞++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+0=1.2 定义法 定义1[2](23)P 数列极限的""N ε-方法 设{}n a 为数列，a 为定数，lim 0,0,,.n n n a a n a a εε→∞=⇔∀>∃N >>N -<有定义2[2](4244)P - 函数极限的""N ε-方法 设f 为定义在[,)a +∞上的函数，A 为定数，lim ()0,()0,x f x a ε→∞=A ⇔∀>∃M ≥>使得当x >M 时有()f x ε-A <．函数极限的""εδ-方法 设函数f 在点0x 的某个空心邻域0(;)U x δ'内有定义，A 为定数．0lim ()0,()0,x x f x εδδ→'=A ⇔∀>∃<>使得当00x x δ<-<时有()f x ε-A <．例3[1](17)P 按极限定义(εδ-法)证明11x →= 证2711169x =≤-=-1611(43)(43)x x x x +-+- 再用分步法寻找δ，使上式右端继续扩大，此方法在操作上有较大的灵活性、自主性、多样性，并不要求一步到位，可以逐步缩小搜寻范围．此题因1x →，若要简化分子可先设11x -<即02x <<，则上式右端16313344x x ⋅-≤⋅-3((1;1)[,))4U +∞在成立，进一步设118x -<即 111188x -<<+，于是上式右端321x ≤-(在1(1;)8U 内成立)．故0,ε∀>取1min{,}328εδ=，则当1x δ-<时， 就有1ε<．用定义证明极限存在，有一先决条件，即事先得知极限的猜测值A ，但通常只给定了数列}{n x ，或函数)(x f ，对其极限A 不得而知，我们只能根据具体情况进行具体分析和处理，不妨再参考一下1.1，1.5，1.7或1.10．1.3 利用四则运算法则 定理3（四则运算法则）[2](30)P 若{}n a 与{}n b 为收敛数列，则{}n n a b +，{}n n a b -，{}n n a b ⋅也都是收敛数列，且有lim n →∞(n n a b ±)=lim lim n n n n a b →∞→∞±，lim n →∞(n n a b ⋅)=lim lim n n n n a b →∞→∞⋅．若再假设0n b ≠及lim 0,n n b →∞≠则{}n na b 也是收敛数列，且有lim lim .lim nn n n n n n a a b b →∞→∞→∞=注 对指数运算亦成立．若n x 0>，⋅⋅⋅=,2,1n 且a x n n =∞→lim ，b y n n =∞→lim ，则 b y nn a x n=∞→lim ．1.3.1 “∞+∞∞+∞”型．例4 求极限1(4)7sin lim57cos(1)n n n n n n n +→∞-+++++解 1(4)7sin lim 57cos(1)nn n nn n n +→∞-+++++4sin ()777lim 75cos(1)()177n nn n nn n →∞-++==+++ 1.3.2“∞-∞∞-∞”型 例5 求极限n解n=n =13112123lim ++++∞→nnn =32． 注 函数的四则运算法则同样成立，这里不再一一列出来．但必须强调的是函数极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，所以，利用四则运算法则求函数极限时，要对所给的函数进行验证，看是否满足条件．满足条件者，方能利用极限四则运算法则进行求之．但并非不满足该条件的函数就没有极限，而是不再适用该方法，通常用一些简单的技巧如拆项，分子分母同乘某一因子，变量替换，分子分母有理化等等．例6求极限lim x →+∞解lim x →+∞=limx=55limx +52=1.4 利用无穷小量的性质 1.4.1 无穷小量定义3 若lim 0,n n a →∞=则称n a 是n →∞时的无穷小量．定义4[2](59)P lim ()0,x x f x ︒→=则称()f x 是0x x →时的无穷小量．性质(1)有限个无穷小量的和、差、积为无穷小量．(2)有界量乘以无穷小量是无穷小量． 例7 求极限222(21)!!1lim[]sin cos (2)!!n n n n n→∞+解 222(21)!!1lim[]sin cos (2)!!n n n n n →∞+2222221sin(21)!!(21)lim()cos 1(2)!!n n n n n n n n →∞-+= 其中2(21)!!113355(23)(23)(21)(21)0()(2)!!224466(22)(22)22n n n n n n n n n n-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----≤=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅2210()(2)n n n -<→→∞，所以 2(21)!!lim()0(2)!!n n n →∞-=， 又22221sin(21)lim4141n n n n n →∞+=⋅=(有限数)，2cos 1n ≤(有界量)，根据无穷小量性质(2)得 原式0=，从而 222(21)!!1lim[]sin cos (2)!!n n n n n→∞+0=．1.4.2 等价无穷小量 定义5[2](61)P 设函数()f x ()g x ，0lim ()0x x f x →=，0lim ()0x x g x →=，且()0g x ≠，若0()lim1()x x f x g x →=，则称f 是g 当0x x →时的等价无穷小量．记为()fx 0()()g x x x →．常用的等价无穷小量有， 当0x →时， sinxx ，tanx x ，arctanx x ，ln(1)x+x ，(1cos )x-22x ，1xe-x11x n．例8[1](33)P求极限21cos)limn n -解因1n =，故原式2224111(1cos)n n n n n -==2212lim 1112n n n→∞==．所以21cos )n n -1=但是还应注意，等价无穷小求函数极限不要轻易代换，一般只在以乘除形式出现时使用，若以和差形式出现时，必须先变换形式才能用．例9 求极限302sin 2sin 4limx x xx →-解 32002sin 2sin 42sin 21cos 2lim lim x x x x x xx x x→→--=⋅=220222lim x x x x x →⋅⋅8= 错误的解法是302sin 2sin 4limx x x x →-=30224lim x x xx →⋅-0=错在对加减中的某项进行了等价无穷小代换．1.5 利用迫敛性定理1.5.1 数列及函数的迫敛性定理 定理4（数列的迫敛性定理）[2](30)P 设收敛数列{}n a ，{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足:存在正数N ，当n >N 时有n n n a c b ≤≤则数列n c 收敛，且lim n n c a →∞=．定理5（函数的迫敛性定理）[2](49)P 设0lim ()x x f x →=0lim ()x x g x →=A ，且在某邻域0(;)U x δ内有()()()f x h x g x ≤≤，则0lim ()x x h x →=A ．当极限不易直接求出时，可考虑将求极限的变量作适当的放大、缩小，使所得的新变量易于求极限，且二者的极限值相同，则原极限存在，且等于此公共值．例10 求极限lim[(1)]n n n αα→∞+- (01)α<<解 10(1)(1)n n n n nααααα≤+-=+-1((1)1)n nαα=+- 由1(1)xα+ (01)α<<的单调性知11(1)1x x α+<+，于是111(1)111n n nα+-<+-=所以 1110(1)((1)1)0n n n n nααααα-≤+-=+-<→ ()n →∞由迫敛性定理， lim[(1)]n n n αα→∞+-0=例11 求极限1,,m n a a ⋅⋅⋅其中为正数．解 记A =1max{,,},,m i a a a i ⋅⋅⋅=为某一整数则A =i a =≤≤=A A ()n →∞由迫敛性定理知 lim n =A例12 求极限lim n n x →∞，13(21)24(2)n n x n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅解 因几何平均值小于算术平均值，故分母中的因子1322+=> 3542+=>⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ (21)(21)22n n n -++=>由此可知， 13(21)0024(2)n n x n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅-<=<→⋅⋅⋅⋅⋅⋅，故lim n n x →∞=0．注 迫敛性定理求极限应用十分广泛，优越性在于经过放大或缩小，可以把复杂的东西去掉，使问题化简，但应注意，放大不能放得过大，缩小也不能缩得过小，必须具有相同的极限．1.5.2 利用子列收敛定理定理6（子列收敛定理）[2](37)P 数列收敛的充要条件是：任何非平凡子列都收敛（且收敛于 同一个数）．即A →n x （当∞→n 时）∀⇔子列}{k n x 有A →k n x （当∞→k ）． 同样还有这样的结论：}{n a 收敛}{2k a ⇔，}{12-k a 都收敛且收敛于同一个数．（证明略）例13 }{n a 满足∑∞=1n na收敛，且n k a a 1000≤≤，（n k n 2≤≤）证明 ∞→n lim 0=n na ．证明 n ∀，i n i 22≤≤（12,1,-⋅⋅⋅+=n n n i ）所以，i n a a 10002≤≤（12,1,-⋅⋅⋅+=n n n i ）把式子展开再对应相加，得 )(10001212-++⋅⋅⋅++≤≤n n n n a a a na从而有 )(200201212-++⋅⋅⋅++≤≤n n n n a a a na )(0∞→→n 得偶子列收敛于0． 同理 n ∀，212i n i ≤-≤(,1,21)i n n n =+⋅⋅⋅-所以， 210100n i a a -≤≤(,1,21)i n n n =+⋅⋅⋅-，把式子展开再对应相加， 得 211210100()n n n n na a a a -+-≤≤++⋅⋅⋅+从而有21211210(21)2200()n n n n n n a na a a a --+-≤-≤≤++⋅⋅⋅+0()n →→∞ 得奇子列收敛于0，从而 ∞→n lim 0=n na ．1.6 利用单调有界定理 定理7（数列的单调有界定理）[2](35)P 在实数系中，有界的单调数列必有极限．即若单调递增数列有上界，则上确界便是它的极限;若单调递减数列有下界，则下确界便是它的极限．定理8（函数单侧极限的定理）[2](35)P ()f x 为定义在0()U x ︒+的单调有界函数，则右极限lim ()x x f x +→存在; ()f x 为定义在0()U x ︒-的单调有界函数，则左极限0lim ()x x f x -→存在． 例14设数列1x =2x =⋅⋅⋅，n x ，⋅⋅⋅，求极限lim n n x →∞．解 1) {}n x 为单调递增数列．事实上，12x x =<=，设1x x K -K <则由于1x K+=故，11x x K+K ==>，即10x x K+K >>，由归纳法知，数列{}n x 单调递增． 2) {}n x 有上界．13x =<，设3x K <，则13x K+=<=．由数学归纳法知{}n x 有上界．3) 由数列的单有界定理得lim n n x →∞存在．设lim n n x →∞=A，对n x = 两端关于n →∞求极限，则A=230⇒A =A ⇒A =或3A =，而}{n x 为正值数列，0=A 舍去．所以lim n n x →∞3=．1.7 柯西收敛准则定理9（数列的柯西收敛准则）[2](38)P数列{}n a 收敛⇔0,()0,,,n m n m a a εεε∀>∃N >∀>N -<使有．⇔0,()0,,,n n n a a εεε+P ∀>∃N >∀>N ∀P -<使正整数有．定理10（函数的柯西收敛准则）[2](54)P 函数()f x 定义在0(;)U x δ︒上，0lim ()x x f x →∃0,()0,εηδ⇔∀>∃<>使0,(;)x x U x η︒'''∀∈，有()()f x f x ε'''-<例15 数列{}n x ，0110,,0,1,2,2n nx x n x +>==⋅⋅⋅+，证明lim n n x →∞存在，并求值．证明 设0<0x <12，0<1x =012x +<12，假设0<n x <12，则0<1n x +=12n x +<12， 由数学归纳法，,n ∀0<n x <12． 111111112222n n n n n n n n x x x x x x x x +P--+P +P--+P----=-=++++ 112221144n n n n x x x x +P--+P--<-<-<⋅⋅⋅ 1111111111()()()44224n n n x x --P+-<-<⋅+=ε∀0>，要使11()4n ε-<取ln []2ln 4εN =+-，当n >N 时，有n n x x ε+P -<， 由柯西收敛准则{}n x 收敛，从而极限存在，不妨设为0x ，则对112n nx x +=+两边当n →∞时， 取极限得0012x x =+，解得01x =-，由数列极限的保不等式性，取正值01x =-，从而lim 1n n x →∞=-．1.8 利用海涅定理 定理11（海涅定理）[2](52)P (或称归结原则) 设()f x 在0(;)U x δ内有定义，lim ()x x f x →∃⇔{}n x ∀⊂ 0(;)U x δ，0lim ,n n x x →∞=都有lim ()n n f x →∞存在且相等．这个定理深刻地揭示了函数极限和数列极限的关系．例16求极限n nπ解 取{}{}n x n =，令lim n n x →∞=+∞，则原式⇔sin limlim0x x x xxπππ→+∞==． 由海涅定理n nπ0=．例17[3](37)P求极限lim(,(0,0)2nn a b →∞≥≥ 解 (1)当,a b 有一为0时，比如0a =，则n n →∞=lim 2n n b→∞0== ①(2)当0,0a b >>时，令1()2x x x a b y +=，则1ln ln 2x xa b y x +=．0limln x y →=0012ln ln lim lnlim 22x x x x x x x x a b a a b b x a b →→++=+1(ln ln )2a b =+=． 由海涅定理,当0,0a b >>时, lim(2nn →∞=② 再由①，②两式得lim(2nn →∞=1.9 利用重要极限即利用①0sin lim 1x x x →=[2](56)P ②1lim(1)x x ex→∞+=[2](56)P 和1lim(1)xx x e →+=，其中的x 都可以看作整体来对待．第一个重要极限是“00”型，第二个重要极限是“1∞”型． 例18 求极限 01cos cos 2cos3lim 1cos x x x xx →--解 这是“0”型，那么想办法把它凑成第一个重要极限的形式．原式01cos cos (1cos 2)cos cos 2(1cos3)lim 1cos x x x x x x x x→-+-+-=-00cos (1cos 2)cos cos 2(1cos3)1lim lim 1cos 1cos x x x x x x x x x→→--=++--2200223cos cos 22sin cos 2sin 21lim lim 2sin 2sin 22x x x x x x x x x→→⋅⋅⋅=++22222002223()sin ()sin 2221limcos 4limcos cos 293sin ()sin 222x x x x x x x x x x x x x →→=+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅ 14914=++=．例19[2](58)P 求极限211lim(1)n n n n→∞+- 解 这是“1∞”型的．显然要用第二个重要极限的形式．2111(1)(1)()n n e n n n n+-<+→→∞． 另一方面，当1n >时有2221112221111(1)(1)(1)n nn n n n n n n n n nn -------+-=+≥+，而由海涅定理，(取2,2,3,1n n x n n ==⋅⋅⋅-) 得 222112211lim(1)lim(1)n n n n n n n n n n ---→∞→∞--+=+=x x x)11(lim ++∞→=e ． 所以，由数列极限的迫敛性得211lim(1)nn n n →∞+-e =． 1.10 利用定积分的定义求极限由于定积分是一个有特殊结构和式的极限，这样又可利用定积分的值，求出某一和数的极限．若要利用定积分求极限，其关键在于将和数化成某一特殊结构的和式．定义6 若()f x 在[,]a b 上连续，那么()baf x dx ⎰存在，01()lim ()nbi i ai f x dx f x ζT →==∆∑⎰110()lim ().()lim ().nn i n n i i b a b a f a n n i b a b a f a n n →∞=-→∞=--⎧+⋅⎪⎪=⎨--⎪+⋅⎪⎩∑∑ 取右端点 取左端点 例20 求极限22233333312lim()12n n n n n n →∞++⋅⋅⋅++++ 解 22233333312lim()12n n n n n n→∞++⋅⋅⋅++++ 2222333312()()()lim ()121()1()1()n nnn n n n n n n n→∞=++⋅⋅⋅++++231()1lim 1()nn i i n i n n→∞==⋅+∑21301x dx x =+⎰13301131dx x =+⎰1ln 23= 例21 求极限221lim1nn n →∞K=K+K +∑ 解 221(1)nn K =K +K +∑≤2211n n K =K +K +∑≤221nn K=K+K ∑ 左边 221(1)nn K =K +K +∑=22221111(1)(1)n nn n K=K=K +-+K ++K +∑∑ =222111111(1)1()nnn n n nK=K=K +-K ++K ++∑∑ 其中， 22211100(1)nn n K =≤≤→+K +∑ ()n →∞ lim n →∞211111()nn n nK=K +K ++∑=1201ln 212x dx x =+⎰所以， limn →∞221(1)nn K =K +K +∑ =1ln 22 右边 221nn K=K +K ∑=21111()nnn nK=KK +∑=1201ln 212x dx x =+⎰由迫敛性定理得 221lim 1nn n →∞K=K +K +∑=1ln 22 1.11 利用洛比达法则洛比达法则是计算不定式极限的重要方法，形如00,,0,,0,,10∞∞∞⋅∞∞-∞∞∞等七种未定式均可用洛比达法则求解．定理12（洛比达法则）[2](127)P 假设①函数()f x 和()g x 在x a =的某邻域()U a 可微，且()0g x '≠;②lim ()lim ()0x ax af xg x →→==(或为无穷大);③()lim()x af xg x →存在（或为无穷大）;则 ()()limlim ()()x ax a f x f x g x g x →→'=' 如果用洛比达法则算不出结果，不等于极限不存在．只是因为它是充分条件，不是必要条件．但只要满足洛比达法则的条件就可进一步微分，也可多次使用该法则．例22 求极限30sin lim 7x x xx→- 解 这是一个“0”型的极限，满足洛比达法则的条件，注意两次使用洛比达法则，得30sin lim 7x x x x →-2001cos sin 1lim lim 214242x x x x x x →→-===． 例23 求极限1121cos 2lim4x x tdt x t→+∞⎰ 解 由于202cos 214lim 14t tt t →=所以112cos 24xtdt t→+∞⎰()x →+∞ 因此，原极限是∞∞型的，满足洛比达法则的条件． 所以 1121cos 2lim 4x x t dt x t →+∞⎰12122cos 21cos 2114lim lim 144()x x x t dt t x x x x→+∞→+∞-===⎰． 例24[1](45)P 求极限11cos0sin lim()xx x x-→解 首先像这样幂指函数较复杂，要考虑取对数后再求极限，那么求极限11cos0sin lim ln()xx x x-→， 11cos 0sin lim ln()xx xx-→01sin limln 1cos x xx x→=-20sin (ln)lim()2x xx x →'='20cos sin lim sin x x x x x x→-= 30(cos sin )lim ()x x x x x →'-='20sin lim 3x x x x →-=13=-，故原式13e -=． 1.12 利用函数的泰勒展式．泰勒公式的形式有很多种，但是在利用泰勒公式求极限的时候，通常用到的是皮亚诺型麦克劳林公式，因此在这里就只给出泰勒公式的这种特殊的形式:[2](136)P()2(0)(0)(0)()(0)()1!2!!n nn f f f f x f x x x o x n '''=+++⋅⋅⋅++下面是具体的常用皮亚诺型麦克劳林公式:[2](136)P231()2!3!!nxn x x x e x o x n =++++⋅⋅⋅++ ()x -∞<<+∞351212(1)sin ()3!5!(21)!n n n x x x x x o x n ---=-++⋅⋅⋅++- ()x -∞<<+∞24221(1)cos 1()2!4!(2)!n nn x x x x o x n +-=-++⋅⋅⋅++ ()x -∞<<+∞231ln(1)(1)()23nn n x x x x x o x n++=-++⋅⋅⋅+-+ (11)x -<≤ 2(1)(1)(1)(1)1()2!n n n x x x x o x n ααααααα--⋅⋅⋅-++=+++⋅⋅⋅++ (1)x <211()1n n x x x o x x=+++⋅⋅⋅++- (1)x < 例25求极限x x →解 2211()2xe x x o x =+++2211()2x o x =-+．所以22002211()12lim 122(1())2xx x x x o x x x o x →→+++--=--+222201()12lim ()2x x o x x o x →+==+． 例26 求极限2240cos limx x x e x -→-解 244cos 1()2!4!x x x o x =-++; 222224442()21()()1()22!28x x x x x e o x o x --=+-++=-++则2240cos lim x x x e x -→-=242444011()2!4!28lim x x x x x o x x→-+-+-+44401()112lim 12x x o x x →-+==-例27[1](46)P 222012lim (cos )sin x x x x e x→+- 解 利用泰勒展式，12244211(1)1()28x x x o x +=+-+，24241()2!x x e x o x =+++， 224sin ()x x o x =+，244cos 1()2!4!x x x o x =-++;代入原式，有222012lim (cos )sin x x x x e x→+-0lim x →=224424442424111(1())228(1()(1()))(())2!4!2!x x x o x x x xo x x o x x o x +-+-+-++-++++ 0limx →=44244241()8311(())(())224x o x x x o x x o x +--++=112- 综上所述，本文精选了十二种常用的求极限的方法，我们学生在解题时要根据具体的情形选用合适简洁的方法．另外，求极限的方法还有很多，比如求某种递推数列极限时要证明其存在用到的“压缩映像”原理和不动点方法，而这些方法又是比较难，在此就不一一列举了．适当的时候还可用变量代换法把一些复杂的式子简单化，再选用上述的十二种方法中的一种来求数列或一元函数的极限．2 一题多解有些求极限问题可以用多种方法来解决，下面我选择了一些题目运用上述方法进行求解． 例1 求极限1lim ((1))nn n e n→+∞-+解法1 首先求极限101lim((1))xx e x x →-+，即求10(1)lim xx e x x→-+．101lim ((1))xx e x x →-+10(1)limxx e x x→-+==洛比达1ln(1)0lim((1))lim()x x xx x x e+→→''-+=-ln(1)0lim x xx e +→=-⋅2ln(1)1x x x x -++=连续性0ln(1)lim x x x e →+-⋅20ln(1)1lim x x x x x →-++ =洛比达e -⋅1()2-2e =，再由海涅定理1lim ((1))n n n e n →+∞-+2e=．解法2 首先求极限101lim((1))xx e x x →-+，即求10(1)lim xx e x x→-+．利用泰勒展式，22()1ln(1)2(1)x x o x x xxxx ee-+++==1()2xo x e-+=，所以， 10(1)limxx e x x →-+1()()22001limlimxxo x o x x x e eee xx-+-+→→--===洛比达2e， 再由海涅定理 1lim ((1))nn n e n→+∞-+2e =． 解法3 1lim ((1))n n n e n→+∞-+1(1)lim1nn e n n→∞-+=， 令1(1)n n y e n =-+，1n x n =，lim lim 0n n n n x y →∞→∞==，1n n x x -<，11lim n n n n n y y x x -→∞---111(1)(1)1lim 111n nn n n n n -→∞+-+-=--12112(1)(1)lim (1)n n n n n n n n n n n ----→∞+--=- 11111(1)(1)1lim11(1)1n n n n n n n n n -→∞--+--=-- 到这里式子已经很复杂，也许可以再用洛比达法则和海涅定理来求出极限或者用泰勒展式求出极限，再由斯托兹定理得出所求值，也许它根本就没有极限值，或极限值不确定，那么就不能再用斯托兹定理求出所要的值．这里由于表达式很复杂，计算量很大，就不再写出过程，我们重在解题思想，所以选择适当的方法很重要．例2 ()f x 在[1,1]-上连续，恒不为0，求极限0x →解法1 由等价无穷小性质，31x-ln3(0)x x →，11()sin 3f x x ． 故0x →001()sin sin ()3lim limln 33ln 3x x f x x x f x x x →→===(0)3ln 3f ．解法2 ()f x 在[1,1]-上连续，因而()f x 在其上有界．11()sin ()3f x x o x =++，31ln 3()x x o x =++得0x →01()sin ()3lim ln 3()x f x x o x x o x →+=+01sin ()(1)3lim ln 3(1)x x f x o x o →+=+=(0)3ln 3f ． 例3 设113(1)0,,1,2,3n n nx x x n x ++>==⋅⋅⋅+证明:此数列有极限，并求其极限值．解法1 由已知0n x >．)1(当1x >12113(1)63333x x x x +==->-=++16333n n x x -=->-=+213333n n nn n n x x x x x x ++---=+0n=<，1,n n n x x x +<，从而n x 收敛．)2(当0n x <≤160333n n x x -<=-≤-=+且1)03n n n n nx x x x x +-=≥+，即1n n x x +≥，n xn x 收敛．由)2(),1(知n x 必收敛，且13(1)lim lim3n n n n nx x x x +→+∞→+∞+==+，得3(1)3x x x +=+，23x =，由0n x >得x =lim n n x →∞=解法2 假设0n x >收敛，令lim n n x x →∞=由解法1知x =下用ε-N 证明n x0ε∀>取N ∈N，使N >，当n N >时，有13(1)3n n nx x x ++=+n =≤11n Nx x ε≤⋅⋅⋅≤-≤<．所以lim n n x →+∞=．有很多求极限的题目可以用多种方法来求解，这里不再一一举例．我们应选择最适当的方法，这样不仅可以使题简化，而且使我们的解题思路更加清晰，解题正确率高，节省时间，提高效率．极限是高等数学中一个基础而重要的概念，它贯穿高等数学的内容始终，是研究问题，分析问题的重要理论基础．因此掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的．希望我的论文能为正在学习和已经学过数学分析的人提供一些有益的视觉．。
极限及几种求极限重要方法的探究
极限及几种求极限重要方法的探究王龙科西北师范大学数学与信息科学学院甘肃兰州 730070摘要：极限理论是高等数学的理论基石，也是研究高等数学的重要方法。
高等数学中的微分和积分理论都是建立在极限理论基础之上的，这说明理清极限理论和重要极限求法是非常有必要的。
本文主要分两大部分作以探究，第一部分介绍极限理论；第二部分列举求极限的常见方法，并配有相关例题加以说明。
关键词：极限；高等数学；求极限的方法一、引言极限是高等数学中最重要得概念之一，是研究积分和微分的重要工具。
极限思想也是研究高等数学的重要思想，掌握极限思想是学习微分和积分的基础。
极限是描述数列和函数在无限变换过程中的变化趋势的概念，它是人们从有限认识到无限、从近似认识到精确、从量变认识到质变的一种数学方法。
极限理论的出现是微积分发展历史上的一个历程碑，它使微积分理论更加蓬勃法展起来。
本文接下来将就极限理论思想和求极限的重要方法进行探究。
二、极限理论1、数列极限定义1若函数f的定义域为全体正整数集合N⁺，则称f: N⁺→R 或f(n),n∈N⁺为数列.因为正整数集N⁺的元素可按由小到大的顺序排列,故数列f(n)也可写作a1，a2，…，a n…，或简单地记作{a n}，其中a n称为该数列的通项。
定义2设a n为数列，a为定数。
若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有︱a n-a︱<ε,则称数列{a n}收敛于定数a，定数a称为数列{a n}的极限，并记作lim n→∞a n=a，或a n→a(a→∞)。
若数列{a n}不收敛，或称{a n}为发散数列。
定理1若数列{a n}收敛，则它只有一个极限。
定理2若数列收敛，则{a n}为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n 有︱a n︱≤M。
定理3若lim n→∞a n=a>0，则对任何a´∈(0,a)，存在正数N，使得当n>N时有a n> a ´。
求数列极限的几种方法
求数列极限的几种方法姻文/杨海珍1张晓峰21.河北张家口教育学院数学系075000；2.北京市大峪中学102300摘要：本文介绍了计算极限的几种方法，讨论如何利用定积分、幂级数、微分中值定理、公式，泰勒展开式等方法计算极限。
关键词：极限；定积分；幂级数；泰勒展式1．引言极限思想是许多科学领域的重要思想之一。
因为极限的重要性，从而求极限显得尤其重要。
对于一些复杂的极限，直接按照极限的定义来求就显得非常困难，不仅计算量大，而且不一定能求出结果。
为了解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极限的方法（见【1】-【4】）。
本文也介绍了计算极限的几种方法，并对文献【1】-【4】的结论进行了推广，讨论如何利用定积分、幂级数、O-Stolz 公式，泰勒展式、微分中值定理计算极限，并且以实例来阐述方法中蕴含的数学思想。
2．利用定积分求极限通项中含有!n 的数列的极限，由于!n 的特殊性，直接求非常困难，而转化为定积分来求就相对容易了。
例1 求arctan (2)arctan 21arctan 1[1lim 2222n nn n n n n n n n +++¥®分析与解： 将n 1提出，则原和式可改写为]arctan ...2arctan 21arctan 1[1n nn n n n n n n x n +++=它可以看作是是函数x x arctan 在区间]1,0[上的积分和，所采用的是n 等分]1,0[区间，并且在每个小区间均取右端的函数值。
因此21412101|arctan 2arctan lim 1022102-=+-===òò¥®p dx x x x x xdx x x I n n例2 求nn n n n n 11])!2()![(lim --¥®解 原式=n n n n n n n nn n n n n )2)...(2)(1(lim !)!2(lim ++=¥®¥®=nn n n n n 1)]12111[(lim +++¥®=))1ln(1lim exp(1ni n ni n +å=¥® =ò+10))1ln(exp(dx x=)12ln 2exp(-注1：把乘积转化为和的形式，对数函数是一个有利的工具。
用极限定义证明数列极限的几种方法
用极限定义证明数列极限的几种方法作者：***来源：《科技风》2019年第28期摘要：在高等数学中，极限是一个非常重要的概念，是研究微积分的必备工具，也是我们的教学中的重难点之一。
本文简单介绍了数列极限定义证明数列极限的四种方法：直接法、适当放缩法、适当放大条件法、反证法。
关键词：极限;放缩;反证我们知道初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。
所谓函数关系就是变量之间的依赖关系，极限方法是研究变量的一种基本方法。
极限概念是在探求某些实际问题的精确解答过程中产生的。
我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正六边形的面积来推算圆面积的方法——割圆术[1]，就是极限思想在几何上的应用。
在本文中主要介绍了几种不同的方法来加深对数列极限定义的理解和掌握.但在实际的教学中我们看到，学生在运用数列极限定义证明极限存在还是有一定的困难，这是由于学生对极限ε-N 定义中的“任意”、“存在N”、“使得xn-a<ε”等术语及它们之间的关系了解的还不够完整，深刻。
首先介绍数列极限ε-N的定义[2]：设xn为以数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|xn-a|<ε都成立，那么就称常数a是数列xn的极限，或者称数列xn收敛SymboleB@ xn=aε>0，正整数N，当n>N时，有|xn-a|<ε。
我们应该注意到：定义中的正整数N是与任意给定的正数ε有关的，它随着ε的给定而选它。
那么，要如何根据ε来确定N？N的取值是唯一的吗？这些问题都将是在解题过程中遇到的。
接下来简单介绍几种常用的解题方法。
一、直接法对常见的一些简单的极限问题可以直接由不等式|xn-a|<ε解出N。
其过程如下：首先对ε>0，从|xn-a|<ε分析出n>φ（ε），然后取N=[φ（ε）]。
SymboleB@ 1n2=0。
运用定积分求极限
运用定积分求极限修正后：求极限的方法层出不穷，但最常用的方法有极限的定义和性质、重要极限的结论、洛必达法则以及泰勒公式等。
应用极限的定义时，往往是在极限的结果已经比较明显，只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果。
但这种方法一方面叙述上比较麻烦，另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子。
重要极限的结论形式上要求非常严格，只能解决两种形式的极限问题。
洛必达法则是用于解决“$\frac{0}{0}$”型的极限和“$\frac{\infty}{\infty}$”型极限的。
泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题，通过___展式后可以达到某些项抵消效果。
但若仔细观察这些方法，其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识。
事实上，微分学和积分学的关系正如中小学时代研究过的加法与减法、乘法与除法、乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样，它们互为逆运算。
如果也能用到积分学知识来解决求极限的问题，那么求极限的方法才算完美。
而利用定积分求极限正体现了这一理念。
下面回顾一下定积分以及极限的定义：定积分：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上有定义，在闭区间$[a,b]$内任意插入$n-1$个分点将$[a,b]$分成$n$个区间$[x_{i-1},x_i]$，记$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}(i=1,2,\dots,n)$，$\forall \xi\in[x_{i-1},x_i]$，作乘积$f(\xi_i)\Delta x_i$（称为积分元），把这些乘积相加得到和式$\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Deltax_i$（称为积分形式）。
设$\lambda=\max\{\Delta i\leq n\}$，若$\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$极限存在唯一且该极限值与区间$[a,b]$的分法$\lambda\to 0$及分点$\xi_i$的取法无关，则称这个唯一的极限值为函数$f(x)$在$[a,b]$上的定积分，记作$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$，即$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$。
数学分析中求极限的几种重要方法
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关键词数学分析极限方法
一极限的简单概述
极限是数学分析中最基本的概念"因为数学分析的其他
基本的都用到极限来刻画# 如函数在某一点 0% 处连续'函数 在某点 0% 可导'偏导数$定积分$二重积分和三重积分定义' 无穷积分瑕积分$无穷级数的收敛的定义等# 因此极限是贯
穿数学分析的一条主线"它将数学分析的各个知识点联系在
*
7P$+
谈极限运算的几种主要方法及例题分析
谈极限运算的几种主要方法及例题分析极限是数学中一个非常重要的概念，广义上的极限是指无限接近而永远无法到达，数学中的极限是指某一个变量在变化的过程中，逐渐逼近某一个确定的数值，但是永远不能等于这个数值。
数学中的极限一般分为数列极限和函数极限，本文主要介绍函数极限及其求法。
1 函数极限的定义设函数f（x）在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时，对应的函数值f（x）都满足不等式：f（x）-A|<ε。
那么常数A就叫作函数f（x）当x→x0时的极限，记作lim f（x）=A。
2 求函數极限的方法2.1利用连续性求极限设函数f（x）在某u（x0）内有定义，如果lim f（x）=f（x0）.则称f（x）在x0连续。
反之，如果要求lim f（x），可以由以上等式直接求f（x）在x0处的函数值就可以。
例1求lim（3x2-x+ 7）.解：由初等函数的连续性，将1直接代人函数中有意义，所以：原式=3x1 2-1+7 =9.2.2消公因子法求极限有些具有分数结构的函数用上面的代入法可能会出现分子或分母为零的情况，使得原函数没有意义，所以无法直接代入求极限。
2.3利用无穷大无穷小的关系求极限无穷大量和无穷小量的定义：如果函数f（x）当x→x0（或x→∞）时的极限为零，则称函数f（x）为x→x0（或x→∞）时的无穷小量;如果函数f（x）当x→x0（或x→∞）时对应的f（x）无限增大，则称函数f（x）为x→x0（或x→∞）时的无穷大量。
这里是利用无穷大量无穷小量的倒数关系求极限。
2.4分子分母降幂法求极限在某些函数极限求解过程中，可以通过分子分母同时除以最高次幂来求极限。
该题目中分子分母的最高次幂是x3，同时除以x3然后求极限可知分子分母的后两项极限为零，由此我们得到其极限值。
当a0≠0，b0≠0，m和n为非负整数时，有2.5利用两个重要极限求极限首先介绍一下两个重要极限，我们通过几个例题来看一下如何利用重要极限求解极限。
求极限的常用方法
摘要 极限思想是大学课程中微积分部分的基本原理，这显示出极限在高等数学中的重要地位。
同时，极限的计算本身也是一个重要内容。
关键词 极限；计算方法初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。
极限方法就是研究变量的一种基本方法。
极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。
1．直接代入数值求极限例1 求极限1lim(21)x x →-解 1lim(21)2111x x →-=⋅-=2．约去不能代入的零因子求极限例2 求极限11lim41--→x x x解 4221111(1)(1)(1)lim lim lim(1)(1)411x x x x x x x x x x x →→→--++==++=-- 3．分子分母同除最高次幂求极限例3 求极限13lim 323+-∞→x x x x解3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m m m n n n n x 0lim 0110114．分子(母)有理化求极限 例4 求极限)13(lim 22+-++∞→x x x解13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x132lim22=+++=+∞→x x x例5求极限x →解01)2x x x →→→===5．应用两个重要极限的公式求极限两个重要极限是1sin lim0=→x xx 和1lim(1)x x ex →∞+=，下面只介绍第二个公式的例子。
例6 求极限xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→11lim 解 2221212112111lim 121lim 11lim ex x x x x x x xx xx =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→6．用等价无穷小量的代换求极限这可以称之为求极限最简便的方法。
浅谈极限思想在函数题型中的应用
浅谈极限思想在函数题型中的应用在高中学习中，我们接触了极限这一概念.极限在高中第一次被真正应用是在选修2-2（理科）中，用于引入导数.极限思想是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
如果接触足够多的函数与导数有关题目时，会发现极限的使用不仅仅局限于极限的定义，而是更为广泛，如求函数值域、最值等。
在解题过程中用好极限思想，能大大减少运算量，优化解题过程，降低解题难度.因此我认为，有必要对极限有更进一步的认识。
一、求简单函数极限的方法极限的严格定义我们会在大学学习，在这里我们的目标只是求出函数某个值的极限。
（1）简单的极限题目如下：此类题只需将值代入计算即可。
（2）还有一些极限略显复杂，如：，由于0不能做分母，而x=1时，x3-x=0.但x2-2x+1与x3-x有公因式x-1，故先因式分解再约分最后代入计算：但如果分子与分母没有公因式呢？我们将会在第三部分一起探究。
二、运用极限的运算法则求一些复杂函数的极限设，存在，且令则有以下运算法则，加减：数乘：乘除：冥运算有了运算法则，我们可以进行一些复杂函数的极限运算，如：对于分子分母都是多项式的函数，求x→∞的极限，我们可以分子分母同除以自变量的最高次幂：由此，我们还可以得出结论：同类题目只需比较两个多项式最高次幂的系数。
除此之外，还有许多不同类型的求极限题目，有不同的解题思路，如出现了根号，且出现了无穷减无穷，则可以考虑分子有理化等。
三、巧用洛必达法则，化繁为简洛必达法则是利用导数来计算或形式的极限的方法，巧用洛必达法则求函数极限，可以使问题简化。
洛必达法则：设函数满足：以下是洛必达法则在高考中的应用：（2010年全国新课标理）设函数综合得a的取值范围为原解在处理第（2）问时较难想到，利用洛必达法则可简便处理：由洛必达法则知故综上，可知a的取值范围为.对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中求分离出来的函数式的最值问题有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值。
高等数学十大极限思想总结
高等数学十大极限思想总结高等数学中的极限思想可以说是整个学科的精髓，它是数学建模和分析的基础，对于理解数学问题的本质和求解复杂问题起着至关重要的作用。
下面我将对高等数学中的十大极限思想进行总结，希望可以帮助读者更好地理解和应用这些思想。
1. 无穷小与无穷大的概念：在极限思想中，我们常常需要讨论当自变量趋于某个值时，函数的行为。
当自变量趋于某个值时，如果函数的取值无限地接近某个有限值，我们将其称为无穷小；如果函数的取值无限地增大或减小，我们将其称为无穷大。
无穷小和无穷大的概念在极限计算中起到了重要的作用。
2. 无穷小代换：当我们计算复杂的极限时，往往不便直接计算，而是通过一些等价转化的方法，将复杂的函数用简单的无穷小函数代替。
这就是无穷小代换的思想。
无穷小代换可以大大简化极限计算的过程，并帮助我们更好地理解函数的极限。
3. 极限的四则运算：极限的四则运算是高等数学中最基本的思想之一。
根据四则运算的性质，我们可以通过已知函数的极限来求解复杂函数的极限。
加减乘除的运算规则为我们解决极限问题提供了一个重要的工具。
4. 复合函数的极限：复合函数的极限是极限思想的重要应用之一。
当我们研究一个复杂函数时，可以将其拆分为若干个简单的函数的组合。
通过对各个简单函数的极限进行分析，再进行复合，得到复合函数的极限。
复合函数的极限可以帮助我们研究复杂函数的性质。
5. 函数列与一致收敛：函数列是高等数学中极限思想的重要内容之一。
通过构造一系列函数，我们可以研究一个函数在某个点或者某个区间上的极限。
一致收敛是函数列中的一个重要概念，它指的是函数列中的每一个函数都在同一个区间上收敛，并且收敛的速度相同。
一致收敛的概念对于理解函数列收敛性质起到了重要的作用。
6. 可导性与极值：可导性和极值是高等数学中对函数局部性质进行研究的重要方法。
通过对函数的导数进行研究，我们可以得到函数在某个点的切线斜率和函数的极值点。
可导性和极值的概念是研究函数本身的性质和函数在某个特定区间上的变化规律的重要工具。
求数列极限的若干方法
21
例
求 I lim
n 0
ex 1 x 1 x cos x x x2 o x 2 ， 1! 2!
解
因为 e x 1
11 1 1 22 1 x (1 x) 1 x ( x 2) o( x 2) 2 2! ，
A1 ，再作内接正十二边形，其面积记为 A2 ，内接二十四边形的面积记为 A3 ，
如此将边数加倍，当 n 无限增大时， An 无限接近于圆面积，他计算到 3072=6*2 的 9 次方边形，利用不等式 An 1 < A < An 2 [( An 1 )- An ](n=1，2，3....)得到 圆周率=3927/1250 约等于 3.1416。
（n+1)(n+2) (2n) = lim n n nn 1 2 n n = lim (1 )(1 ) 1 n n n n
n 1 i = exp(lim ln(1 )) n n i 1 n 1
= exp( ln(1 x) dx)
I lim X n X arctan dx
x 0 1
x2 1 1 x2 1 1 arctan│ dx 0 2 2 2 0 1 x 4 2
例
n ! n (2 n)! 求 lim
1 n n
1 n
解
原式= lim n
n
(2n)! n !n n
有 yn 单调递增， lim yn ，
n
则应用 Stolz 公式得
1 xn xn 1 I lim lim n a 1 n y y n 1 n n 1 n
求极限的多种方法
求极限的多种方法数学科学学院08级应数汉班 高盼指导老师 吴嘎日迪摘要 为了掌握变量的变化规律，往往是从它的变化过程中来判断它的变化趋势。
例如有这么一个变量，它开始时是1，然后变为1/2，接着变为1/3，然后1/4,1/5如此一直无尽的变下去，虽然是无尽止，但它的变化却有一个趋势，这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于0。
我们就说，这个变量的极限是0。
关键词 极限、函数、定义极限思想贯穿整个数学分析的课程中，而给定函数的极限的求法则成为极限思想的基础，因此有必要总结求极限的方法，其求法可总结为以下几种：1.利用极限四则运算法则对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限的四则运算法则，法则本身很简单，但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数作某些恒等变化或化简，采用怎样的变形和化简，要根据具体的算式决定，常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积分公式以及适当的变量替换。
2．利用极限的定义求极限利用极限的定义计算极限的关键是：将通项化为一个常数与一个含有n 的无穷小之和，从而得到ε<-a x n 并依此求得对应的N 。
例1：求数列{n n }的极限解：令n x =n n ，因为当1>n 时, n n >1,所以n n x α+=1(n α>0)于是, 22)1(2)1(21)1(n n n n n n n n n n n αααα-≥-++≥+= 即12111-+≤+=≤n x n n α 显然收敛于零 因为221,0εε+=∃>∀N ,就有ε<--012n 所以由迫敛性得lim n n =13.夹逼原则关键在于选用合适的不等式。
3.1函数：若0>δ存在，使δ<-<00x x 时, )()()(x h x g x f ≤≤, 并且()0l i m x x f x A →=，()0lim x x h x A →=，则()0lim x x g x A →=3.2数列：（1）、若存在正整数N 当n>N 时，有n n n z y x ≤≤且lim n →∞n x =lim n n z →∞=a,则有lim n →∞n y =a (2)、若存在一个正整数N ，当n>N 时,有n n z y a ≤≤(或a y z n n ≤≤)且lim n n z a →∞=则lim n n y a →∞= 例2：求⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n n 的极限 解：对任意正整数n 显然有nn n n n n 221122=≤+<， 而02,01→→nn ，便得lim n →∞21n n +=0 例3：设10<<a ，证明()lim 10n n n αα→∞+-= 证明：()1111011111n n n n n n n αααααα-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫<+-=+-<+-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 而110n α-> ()0n →所以()lim 10n n n αα→∞⎡⎤+-=⎣⎦例4：求极限01lim x x x →⎡⎤⎢⎥⎣⎦解:因为对任意的实数x 恒有1111x x x⎡⎤-<≤⎢⎥⎣⎦ 所以，不论x 为正或负，1x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦永远111x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭与1x x =之间， 但()0lim 11x x →-=所以01lim 1x x x →⎡⎤=⎢⎥⎣⎦另解：111x x x ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭其中101x ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭，由此0001111lim lim lim 11x x x x x x x x x x →→→⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦4.用无穷小重要性质和等阶无穷小的代换有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。
浅析求极限的几种方法
浅析求极限的几种方法
摘要极限理论是微积分的基础，掌握极限的求法是学好极限理论的重点。
关键词高等数学极限求法
极限是微积分的最基本的概念,极限思想方法是微积分的基本方法,极限理论是微积分的基础，掌握极限的求法是学好极限理论的重点。
在多年教学过程中，本人适时归纳总结，以求用最简单的方法求极限。
1.利用极限定义求极限
(3)利用有界量与无穷小乘积的极限为零
3、利用两个重要极限
利用两个重要极限时，要注意成立的条件。
4、利用等价无穷小代换
利用等价无穷小代换能使得求极限过程简化，在乘积因子中可以用与其等价的无穷小量来替换。
但是在两个无穷小量相减时，如果分别用它们的等价无穷小量代换要注意条件。
参考文献
【1】朱宝彦刘玉柱主编.高等数学学习指导.北京:北京大学出版社,2008.8
【2】东北师范大学数学系编,数学分析.人民教育出版社1980.9。
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极限思想求极限的几种方法
【关键词】极限；计算方法；技巧
一、引言
高等数学以函数作为研究对象，以极限方法为基本方法，以微积分学为主要内容的一门学科极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位。
极限理论和极限方法的主要内容在数学发展这条路线是很重要的。
许多高等数学深层次的理论及应用都用到了极限的思想，例如连续导数和积分等都是通过极限定义的，离开了极限思想，高等数学就丧失了它基本的价值，并且极限操作是较高的数学基本的算术。
由于极限定义很抽象，很多时候我们无法从定义的角度求出函数的极限，又由于极限运算分布在整个高等数学体系，许多重要的概念是由极限定义的。
所以极限知识是研究导数、各种积分等的基本工具。
本文给出了几种常见求极限的方法，如定义，等价无穷小量，二项式展开式等方法，并配有例题解释说明。
二、求极限的方法
1.利用极限定义证明极限
前提：知道数列（函数）的极限值；
关键：寻找尽可能小的n
基本方法：
（1）求n：从不等式|an-a|<ε直接解出n；
（2）分步法：对n不作限制，便无法化简和放大，因此先限定n ﹥n1，然后按需求求得n2，于是所求的n=max{n1，n2}；
（3）适当放大法：不等式|an-a|<ε较为复杂，无法直接解出，或求解的过程较繁，为此先将表达式|an-a|进行化简，并适当放大，使之成为关于n的简单函数h（n）（仍为无穷小量），即|an-a|<h （n）。
于是，要使|an-a|<ε，只要h（n）<ε，解此不等式便得所求。
2.利用等价无穷小求极限
这些可将复杂函数的极限用简单函数的极限代替简化其计算。
若f（x）与g（x）都是无穷小量，且g（x）≠0，时称f（x）与g（x）是等价无穷小量表示为f（x）～g（x），因为当f（x）～g（x）（x→a）时可写为是无穷小量从而f（x）=g（x）[1+d（x）]。
注意，在乘积或相除时可以随意替换，但在和差时，等价替换不能用。
注：这种方法中一般首先要找出函数的等价无穷小。
3.洛必达法则
洛必达法则是求解不定式极限的有效工具。
数列极限可转化为相应的函数极限，然后利用洛必达法则求解。
洛必达法则只直接适用于0/0，∞/∞不定式，而
0·∞，∞-∞型未定式通过恒等变形可化作0/0，∞/∞型。
而00，∞0，1∞型未定式则通过取对数化作0/0，∞/∞型。
因此在使用洛必达法则每个步骤都要检查式子是否满足洛必达法则条件。
此外，还应注意及时化简算式，把已知极限的式子分离出来并求出极限，再对不定式部分使用洛必达法则。
例1：求
解：先分子有理化再使用等价无穷小替换，然后使用洛必达法则可得
注：在使用洛必达法则时，往往需要先对等式进行初等变换，再在不同阶段使用等价无穷小替换，时刻注意将非零因子从极限式中分离出来，以简化计算过程。
4.中值定理法
在求函数f（x）的极限时，如果能根据f（x）的特点寻得一个新的可微函数f（t），然后借助中值定理问题往往会得到巧妙的解法。
例2：求.
解：对函数f（t）=et在以x和sianx（x≠0）为端点的闭区间上用微分中值定理有
，
即（ε在x与sinx之间）
因为当x→0时，有ε→0
所以
三、总结
在极限问题中证明极限存在及极限的计算方法是十分重要的。
本文归纳了极限计算的一些方法和技巧，同学们在使用时要针对不同的情况采用不同的方法。
极限的计算又是解决实际问题必不可少的数学工具，它在物理学，工程学学科上都有广泛的应用。
参考文献：
[1] 华东师范大学数学系.数学分析[m].第四版.北京：高等教育出版社，2001
[2] 朱匀华，极限运算的方法和技巧.广东：广东科技出版社，1991。