逻辑代数的基本定律和规则
逻辑代数的基本定律和规则
逻辑代数的基本定律和规则一、逻辑代数的基本公式（一）、逻辑常量运算公式（二）、逻辑变量、常量运算公式变量A的取值只能为0或为1，分别代入验证。
二、逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律是分析、设计逻辑电路，化简和变换逻辑函数式的重要工具。
这些定律和普通代数相似，有其独特性。
（一）、与普通代数相似的定律交换律、结合律、分配律（二）、吸收律与学生一同验证以上四式。
第④式的推广：由表4可知，利用吸收律化简逻辑函数时，某些项或因子在化简中被吸收掉，使逻辑函数式变得更简单。
（三）、摩根定律三、逻辑代数的三个重要规则（一）、代入规则对于任一个含有变量A的逻辑等式，可以将等式两边的所有变量A用同一个逻辑函数替代，替代后等式仍然成立。
这个规则称为代入规则。
代入规则的正确性是由逻辑变量和逻辑函数值的二值性保证的。
例题：（二）、（三）、若两函数相等，其对偶式也相等。
（可用于变换推导公式）。
讨论三个规则的正确性。
逻辑涵数的公式化简法一、化简的意义与标准1、化简逻辑函数的意义根据逻辑问题归纳出来的逻辑函数式往往不是最简逻辑函数式，对逻辑函数进行化简和变换，可以得到最简的逻辑函数式和所需要的形式，设计出最简洁的逻辑电路。
这对于节省元器件，优化生产工艺，降低成本和提高系统的可靠性，提高产品在市场的竞争力是非常重要的。
2、逻辑函数式的几种常见形式和变换3、逻辑函数的最简与-或式对与或式而言：最简：二、逻辑函数的代数化简法1、并项法三、代数化简法举例在实际化简逻辑函数时，需要灵活运用上述几种方法，才能得到最简与-或式.四、作业：。
逻辑代数
一、逻辑代数的基本定律
结合律
分配律
A B C A B C A B C A B A C
A B C ( A B) ( A C )
A B C A B C
左右比较符合： ·变+，+变· 1变0，0变1 运算顺序不变
二、其它常用公式：
吸收律
A A B A
A ( A B) A
证明： 左边＝A(1+B)
证明： 左边＝A·A+A·B =A+AB
=A·1
=A =右边 练习：化简 AB+ABC 证明(A+B) ·(A+B+C)=A+B
=A
=右边
数字电路步入数字殿堂的台阶
2.3 逻辑代数的基本定律和规则
数字电路步入数字殿堂的台阶
2.4 逻辑代数的公式法化简
同一个逻辑函数可以写成不同形式的逻辑式，逻辑函数 式越简单，它所表示的逻辑关系越明显，也有利于用最少的 电子器件实现这个逻辑函数。
其中，最常用的为“与或”逻辑表达式。
最简“与或”式的标准： １.含的与项最少； －－门最少 ２.各与项中的变量数最少。 －－门的输入端最少 除此以外，还有与非式、或非式、或与式、与或非式
A B
A B A B
A
B
摩根定律
AB
A B
A B
0
0
0
1
0 1 1 1
1 0
1 1
1
1
1
1
0
1
0
0
A B A B
0
0
左右比较符合： 0 0 ·变+，+变· 1变0，0变1 0 1 运算顺序不变 0 0 公共非号不变
逻辑代数的基本定律及规则2010.9.23
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三变量最小项的编号
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最大项
最大项标准式是以“或与”形式出现的标准式。 最大项： 对于一个给定变量数目的逻辑函数， 所有变 量参加相“或”的项叫做最大项。 在一个最大项中， 每个 变量只能以原变量或反变量出现一次。 例如， 一个变量A有二个最大项： (2 ) A, A。
例题：化简函数
AB + AC + BC = AB + AC
F = ABC + AD + C D + BD
F = ABC + AD + C D + BD
= ABC + ( A + C ) D + BD
= AC ⋅ B + AC ⋅ D + BD
= AC ⋅ B + AC ⋅ D
= ABC + AD + C D
最小项
2 n 个最小项。最小项通 以此类推，n变量共有
常用 mi 表示。 最小项标准式：全是由最小项组成的“与或” 式，便是最小项标准式(不一定由全部最小项 组成)。 例如：
F ( ABC ) = A B C + BC + A C = A B C + ABC + A BC + AB C + AB C = ∑ m(0,3,4,6,7)
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逻辑代数的基本定律及规则
对合律： A = A
冗余律： AB + A C + BC = AB + A C
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逻辑代数的基本定律及规则
3 基本规则
代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有 出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然 成立。这个规则称为代入规则。 反演规则：对于任何一个逻辑函数F，想要得到F的反 函数，只需要将F中的所有“·”换成“＋”，“＋”换 成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反 变量，反变量换成原变量。 长春理工大学软件学院
逻辑代数的基本定律
逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律是指逻辑代数中的基础规则和定理，这些定理是逻辑代数中最基本的概念和方法。
逻辑代数是用数学方法来处理逻辑问题的一种方法，它将逻辑问题转化为数学问题，从而可以用数学方法来解决。
逻辑代数的基本定律主要包括以下几个方面：1. 同一律同一律是指一个逻辑表达式和它自身相与（或相或）的结果不变。
即A ∧ T = A，A ∨ F = A。
这个定律的意思是，当逻辑表达式与真值或假值相与（或相或）时，结果不变。
例如，如果有一个逻辑表达式A ∧ T，它与真值T 相与的结果仍然是A。
同样地，如果有一个逻辑表达式A ∨ F，它与假值 F 相或的结果仍然是 A。
2. 恒等律恒等律是指一个逻辑表达式与一个恒等式相与（或相或）的结果相等。
即A ∧ A = A，A ∨ A = A。
这个定律的意思是，当逻辑表达式与一个恒等式相与（或相或）时，结果相等。
例如，如果有一个逻辑表达式A ∧ A，它与恒等式 A 相与的结果仍然是A。
同样地，如果有一个逻辑表达式A ∨ A，它与恒等式 A 相或的结果仍然是 A。
3. 交换律交换律是指一个逻辑表达式中的两个变量相与（或相或）的顺序可以交换。
即A ∧ B = B ∧ A，A ∨ B = B ∨ A。
这个定律的意思是，当逻辑表达式中的两个变量相与（或相或）时，它们的顺序可以交换。
例如，如果有一个逻辑表达式A ∧ B，它与表达式B ∧ A 相与的结果是相等的。
同样地，如果有一个逻辑表达式A ∨ B，它与表达式B ∨ A 相或的结果是相等的。
4. 结合律结合律是指一个逻辑表达式中的多个变量相与（或相或）时，可以任意加括号，而结果不变。
即A ∧ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∧ C，A ∨ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∨ C。
这个定律的意思是，当逻辑表达式中有多个变量相与（或相或）时，可以任意加括号，而结果不变。
例如，如果有一个逻辑表达式A ∧ (B ∧ C)，它与表达式(A ∧ B) ∧ C 相与的结果是相等的。
逻辑代数
1.逻辑函数的变换 1.逻辑函数的变换
3.1.3 逻辑函数的代数变换与化简
L = AC + C D = AC + C D = AC • C • D = ( A + C ) • (c + D ) = AC + AD + C D = AC + C D = AC + C D = A + C + C + D
在逻辑代数中， 在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个 二值变量）， ），即 和 。 值（二值变量），即0和1。
基本运算规则
， 加运算规则: 加运算规则: 0+0=0 ，0+1=1 ，1+0=1，1+1=1 A+0 =A，A+1 =1，A+A =A， ， ， ， A+A =1 乘运算规则: 0•0=0 乘运算规则: A•0 =0 非运算规则: 非运算规则: 0=1
根据逻辑表达式，可以画出相应的逻辑图， 根据逻辑表达式，可以画出相应的逻辑图，表 达式的形式决定门电路的个数和种类， 达式的形式决定门电路的个数和种类，因此实际中 需要对表达式进行变换。 需要对表达式进行变换。 例如L=A⊕B ⊕ 例如 1.用与非门实现：与或表达式→摩根定律 用与非门实现：与或表达式 摩根定律 用与非门实现 有反变量输入、 有反变量输入、无反变量输入 2.用或非门实现：或与表达式→摩根定律 用或非门实现：或与表达式 摩根定律 用或非门实现 有反变量输入、 有反变量输入、无反变量输入 3.用最少门实现 用最少门实现 化简；选用异（ 化简；选用异（同）或门
逻辑代数常用恒等式
逻辑代数常用恒等式逻辑代数是一种数学分支，它研究的是逻辑关系和逻辑运算。
在逻辑代数中，恒等式是一种非常重要的概念，它们可以帮助我们简化逻辑表达式，提高计算效率。
本文将介绍逻辑代数中常用的恒等式，并按照类别进行划分。
1. 布尔恒等式布尔恒等式是逻辑代数中最基本的恒等式，它们描述了布尔代数中的逻辑运算规律。
其中最常用的恒等式有以下几个：（1）交换律：A∧B=B∧A，A∨B=B∨A（2）结合律：(A∧B)∧C=A∧(B∧C)，(A∨B)∨C=A∨(B∨C)（3）分配律：A∧(B∨C)=(A∧B)∨(A∧C)，A∨(B∧C)=(A∨B)∧(A∨C)（4）德摩根定律：¬(A∧B)=¬A∨¬B，¬(A∨B)=¬A∧¬B2. 德摩根恒等式德摩根恒等式是逻辑代数中非常重要的一类恒等式，它们描述了逻辑运算中的否定关系。
其中最常用的恒等式有以下几个：（1）双重否定律：¬(¬A)=A（2）否定的交换律：¬(A∧B)=¬A∨¬B（3）否定的结合律：¬(A∨B)=¬A∧¬B3. 布尔-德摩根恒等式布尔-德摩根恒等式是布尔恒等式和德摩根恒等式的结合体，它们描述了逻辑运算中的复合关系。
其中最常用的恒等式有以下几个：（1）德摩根第一定律：¬(A∨B)=(¬A)∧(¬B)（2）德摩根第二定律：¬(A∧B)=(¬A)∨(¬B)（3）布尔第一定律：A∨(A∧B)=A（4）布尔第二定律：A∧(A∨B)=A4. 其他恒等式除了以上三类恒等式外，逻辑代数中还有一些其他的恒等式，它们描述了逻辑运算中的特殊情况。
其中最常用的恒等式有以下几个：（1）恒等律：A∨¬A=1，A∧¬A=0（2）同一律：A∨1=1，A∧0=0（3）零律：A∨0=A，A∧1=A总结逻辑代数中的恒等式是逻辑运算中的基本规律，它们可以帮助我们简化逻辑表达式，提高计算效率。
第3章(1) 逻辑代数
3.2 逻辑函数的卡诺图化简法
3.2.1 最小项的定义及其性质
1、最小项 ⑴、定义：
在n个变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘 积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m 中出现一次，则称m为该组变量的最小项。
例：3变量逻辑函数中
ABC , ABC, ABC , ABC, ABC , ABC, ABC , ABC 是最小项
一、化简的意义和最简的概念 1、化简的意义
• 节省器材。元器件减少，成本降低。
• 提高了工作的可靠性。单个门电路减少，输入、输出头减 少，电路的工作可靠性提高
· 例： A B·
·· &
１
&
C
·１
&
≥１ Y=ABC+ABC+ABC
A
&
Y=ABC+ABC+ABC
B
≥１
C
=A(BC+BC+BC) =A(BC+BC+BC+BC) =A(B+C)
4、配项法：
利用 A=A（B+ B ）作配项用，然后消去更多的项 Z=AB+ A C+BC=AB+ A C+（A+ A ）BC
=AB+ A C+ABC+ A BC=AB+ A C 也可利用 A+1=1 或 A+A=A 来配项
Z=ABC+ A BC+ AB C=ABC+ A BC+ AB C+ABC =（A+ A ）BC+（ AB +AB）C=BC+C=C
3.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式 1 基本关系 加运算规则: 0+0=0 ，0+1=1 ，1+0=1，1+1=1 A+0 =A，A+1 =1，A+A A+A =1 =A， 乘运算规则: 0•0=0 0•1=0 1•0=0 1•1=1
逻辑代数中的基本定律和公式
逻辑代数中的基本定律和公式
逻辑代数是一种用来研究逻辑的数学，它通过使用变元和逻辑公式来描述逻辑系统，它被用来解释和分析许多不同类型的逻辑结构。
它还可以帮助我们理解计算机语言、逻辑设计和许多其他类型的数学理论。
基本定律和公式是逻辑代数的基础，它们用来描述一个逻辑系统的行为。
以下是一些常见的定律和公式：* 交换律：如果A和B是同类元素，则A+B = B+A。
* 结合律：如果A、B和C是同类元素，则A+（B+C）=（A+B）+C。
* 分配率：如果A、B和C是同类元素，则A（B+C）= AB + AC。
* 吸收律：如果A和B是同类元素，则A+AB=A。
* 对立律：如果A是一个元素，则A+ A'=
1，其中A'是A的补充。
* 析取律：如果A和B是同类元素，则A+B'=A'B。
* 推理律：如果A和B是同类元素，则A→B = A'+B。
* 合取律：如果A和B是同类元素，则A+B = A'B'。
这些定律和公式提供了一种方法来描述逻辑系统的行为，这些定律和公式可以用来构建逻辑系统，并且可以用来解释和分析逻辑系统的行为。
它们也可以用来构建计算机语言，并用来解释和分析计算机语言的行为。
因此，我们可以看出，逻辑代数中的基本定律和公式是一种非常重要的工具，它们可以帮助我们理解和分析逻辑系统，也可以帮助我们理解和分析计算机语言的行为。
此外，它们还可以用来解释和分析许多不同类型的逻辑结构。
因此，逻辑代数中的基本定律和公式是一种非常重要的研究工具，它们可以帮助我们理解和探索逻辑系统的行为，从而有助于我们更好地理解和设计逻辑系统。
逻辑代数的基本定律及规则
逻辑代数的基本定律及规则文章来源：互联网作者：佚名发布时间：2012年05月26日浏览次数： 1 次评论：[已关闭] 功能：打印本文一、逻辑代数相等：假定Ｆ、Ｇ都具有ｎ个相同变量的逻辑函数，对于这ｎ个变量中的任意一组输入，如Ｆ和Ｇ都有相同的输出值，则称这两个函数相等。
在实际中，可以通过列真值表来判断。
二、逻辑代数的基本定律：在逻辑代数中，三个基本运算符的运算优先级别依次为：非、与、或。
由此推出10个基本定律如下：1.交换律Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ；Ａ·Ｂ＝Ｂ·Ａ2.结合律Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）＝（Ａ＋Ｂ）＋Ｃ；Ａ·（ＢＣ）＝（ＡＢ）·Ｃ3.分配律Ａ·（Ｂ＋Ｃ）＝ＡＢ＋ＡＣ；Ａ＋ＢＣ＝（Ａ＋Ｂ）·（Ａ＋Ｃ）4.0－1律Ａ＋0＝Ａ；Ａ·1＝ＡＡ＋1＝1 ；Ａ·0＝05.互补律Ａ＋＝1 ；Ａ·＝06.重叠律Ａ·Ａ＝Ａ；Ａ＋Ａ＝Ａ7.对合律＝Ａ8.吸收律Ａ＋ＡＢ＝Ａ；Ａ·（Ａ＋Ｂ）＝ＡＡ＋Ｂ＝Ａ＋Ｂ；Ａ·（＋Ｂ）＝ＡＢＡＢ＋Ｂ＝Ｂ；（Ａ＋Ｂ）·（＋Ｂ）＝Ｂ9.反演律＝·；＝＋10.多余项律ＡＢ＋Ｃ＋ＢＣ＝ＡＢ＋Ｃ；(Ａ＋Ｂ）·（＋Ｃ）·（Ｂ＋Ｃ）＝（Ａ＋Ｂ）·（＋Ｃ）上述的定律都可用真值表加以证明，它们都可以用在后面的代数化简中。
三、逻辑代数的基本规则：逻辑代数中有三个基本规则：代入规则、反演规则和对偶规则。
1.代入规则：在任何逻辑代数等式中，如果等式两边所有出现某一变量（如Ａ）的位置都代以一个逻辑函数（如Ｆ），则等式仍成立。
利用代入规则可以扩大定理的应用范围。
例：＝＋，若用Ｆ＝ＡＣ代替Ａ，可得＝＋＋2.反演规则：已知函数Ｆ，欲求其反函数时，只要将Ｆ式中所有的“·”换成“＋”，“＋”换成“·”；“0”换成“1”，“1”换成“0”时，原变量变成反变量，反变量变成原变量，便得到。
逻辑代数的基本定律和规则
（3）、对偶规则： 首先了解什么是对偶式；
对偶式：已知函数为 F ，将 F 中的所有 “·” 换为 “＋”，“＋” 换为 “·” ，0 换为 1 ，1 换为 0，变 量保持不变。得到的函数式就是原函数的对偶式 F′。 F AB C 例： F ' A BC
F ( A B)( A C 1) F ' AB AC 0
◇与非逻辑表达式： F A B ◇与非门逻辑符号：A B& NhomakorabeaF
A B
F
A B
F
◇与非门真值表：
A B F A B 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1
与非门运算顺序是： 有0为1,全1为0
先与后非
1 0
即：当输入A、B中，只要有一个 0,输出就是 1,只有输入全为 1时， 输出才是0。
D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
F 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0
F AB CD ◇工作波形图：
A B C D F
A,B为两个单刀双掷开关。 灯亮的条件是：一个开关打在上 220V F 面，另一个开关打在下面。两个开关 同时打在上面或者下面，则灯不亮。 假设： ★取F=1列与项逻辑式。 真值表： 开关打在上面为1 ★如果输入变量是“1”,记原 开关打在下面为0 A B F 变量。如果输入变量是“0”, 记反变量。 灯亮为1 0 0 0 灯灭为0 0 1 1 ★对任何一种输入变量组合， 异或运算特点： 1 0 1 变量之间是“与”运算。 相异为1，相同为0 1 1 0 ★各组合之间是“或”逻辑关 系。 F AB AB A B ◇由真值表写出逻辑表达式：
电工电子技术 第十二章逻辑门和常用组合逻辑电路 第三节逻辑代数的基本运算规则及定理
例：证明A+AB=A+B 解： A+AB=（A+A）（A+B）
=（A+B）
反演定理：A • B = A+B A+B = A • B
例：证明：若 F=AB+AB 则 F=AB+A B
解：F=AB+AB =AB•AB =(A+B)•(A+B)
=AA+AB+A B+BB =AB+A B
2. 利用逻辑代数公式化简
（1）并项法 A+A=1 （2）吸收法 A+AB=A（1+B）=A （3）消去法 A+AB=A+B （4）配项法 A=A（B+B）
例 ：证明AB+AC+BC=AB+AC 配项法
解：AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC =AB+AC+ABC+ABC =AB+ABC+AC+ABC
吸收法
=AB(1+C)+A(1+B) =AB+AC
例；：0• 0=0 • 1=1 • 0 1 • 1=1
0+1=1+0=1+1
0+0=0
0=1 1=0
（2）基本定律
交换律：A+B=B+A
A • B=B • A
结合律：A+(B+C)=(A+B)+C A • (B • C)=(A • B) • C
分配律：A(B+C)=A • B+A • C A+B • C=(A+B) • (A+C)
1．1逻辑代数的基本运算
1．1逻辑代数的基本运算一、 基本概念 1.数字信号的特点数字信号在时间上和数值上均是离散的。
数字信号在电路中常表现为突变的电压或电流。
图1.1 典型的数字信号2、正逻辑与负逻辑数字信号是一种二值信号，用两个电平（高电平和低电平）分别来表示两个逻辑值（逻辑1和逻辑0） 有两种逻辑体制：正逻辑体制规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑0。
负逻辑体制规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑0。
如果采用正逻辑，图1.1所示的数字电压信号就成为下图所示逻辑信号。
3、在数字电路中，输入信号是“条件”，输出信号是“结果”，因此输入、输出之间存在一定的因果关系，称其为逻辑关系。
它可以用逻辑表达式、图形和真值表来描述。
二、基本逻辑运算1．与运算——只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生。
我们把这种因果关系称为与逻辑。
与逻辑举例：图1.2（a）所示, A、Ｂ是两个串联开关，L 是灯，用开关控制灯逻辑0逻辑1逻辑0逻辑1逻辑0V t (V)(ms)51020304050亮和灭的关系如图2（b）所示。
设1表示开关闭合或灯亮；0表示开关不闭合或灯不亮，则得真值表图2（c）所示V(c)图1.2与逻辑运算（a）电路图（b）真值表（c）逻辑真值表（d）逻辑符若用逻辑表达式来描述，则可写为与运算的规则为： “输入有0，输出为0；输入全1，输出为1”。
数字电路中能实现与运算的电路称为与门电路，其逻辑符号如图（d）所示。
与运算可以推广到多变量：⋅⋅⋅=C B A L ……2．或运算——当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就发生。
我们把这种因果关系称为或逻辑。
或逻辑举例：如图1.3（a）所示，或运算的真值表如图1.3（b ）所示，逻辑真值表如图1.3（c ）所示。
若用逻辑表达式来描述，则可写为L ＝A+B或运算的规则为：“输入有1，输出为1；输入全0，输出为0”。
BA L ⋅=(c)图1.3或逻辑运算（a） 电路图（b）真值表（c）逻辑真值表（d）逻辑符号在数字电路中能实现或运算的电路称为或门电路，其逻辑符号如图（d）所示。
(完整版)逻辑代数的运算规则
逻辑代数的运算规则逻辑代数的基本定律逻辑代数的三个规则1、代入规则在任一逻辑等式中，如果将等式两边所有出现的某一变量都代之以一个逻辑函数，则此等式仍然成立，这一规则称之为代入规则。
2、反演规则已知一逻辑函数F，求其反函数时，只要将原函数F中所有的原变量变为反变量，反变量变为原变量；“＋”变为“·”,“·”变为“＋”；“0”变为“1”；“1”变为“0”。
这就是逻辑函数的反演规则。
3、对偶规则已知一逻辑函数F，只要将原函数F中所有的“＋”变为“·”,“·”变为“＋”；“0”变为“1”；“1”变为“0”，而变量保持不变、原函数的运算先后顺序保持不变，那么就可以得到一个新函数，这新函数就是对偶函数F'。
其对偶与原函数具有如下特点：1.原函数与对偶函数互为对偶函数；2.任两个相等的函数，其对偶函数也相等。
这两个特点即是逻辑函数的对偶规则。
逻辑运算的常用公式逻辑代数的总结基本逻辑运算：与（或称“积”）---符号（&、•、无、∧、∩）或（或称“和”）---符号（| 、＋、∨、∪）非（或称“反”）---符号（! 、）10-1律：0•A=0 0＋A=11•A=A 1＋A=A同一律：A•A=A A＋A=A互补律：A•A=0 A＋A=0反演律A•B =A＋B A＋B=A•还原律A =A√⊕⊙••＋A=02、常用公式交换律：A•B=B•A A+B=B+A结合律：A•(A•B)=(A•B)•C A＋(A＋B)=(A＋B)＋C 分配律：A•(A＋B)=A•B＋A•C A＋(A•B)=(A＋B)•(A＋C) 吸收律：A•(A+B)=AB A+(A•B)=ABA•B+(A•B)=A (A+B)•(A+B)=A。
逻辑代数基础
C D
A
B C
+Y
D
4. 异或运算（XOR） 异或逻辑表达式
Y A B AB AB
异或逻辑真值表
AB
Y
异或门逻辑符号
A B
=1
Y
A B
Y
A B
⊕
Y
00
0
01
1
10
1
11
0
异或逻辑功能口诀： 同为“0”； 异为“1”。
5. 同或运算（XNOR） 同或逻辑表达式
Y A ⊙ B AB AB
F f (x1, x2 ,, xn )
2.1 基本逻辑运算
1. 与运算（逻辑乘）（AND） 只有决定事件结果的全部条件同时具备时，结果才发生。
与运算功能表
A
B
AB
Y
断开 断开 不亮
Y
断开 闭合 不亮
(a) 说明与逻辑的电路
闭合 断开 不亮
闭合 闭合 灯亮
1 表示开关闭合，灯亮 0 表示开关断开，灯不亮
或运算功能表
A
AB
Y
B
Y
断开 断开 不亮
断开 闭合 灯亮
闭合 断开 灯亮
闭合 闭合 灯亮
1 表示开关闭合，灯亮 0 表示开关断开，灯不亮
或运算真值表
AB
Y
00
0
01
1
10
1
11
1
或逻辑功能口诀： 有“1”出“1”； 全“0”出“0”。
或运算表达式
Y = A+B
或运算符，也可用 “∨”、“∪”表示
或门逻辑符号
与运算真值表
AB
Y
00
0
逻辑代数基本公式及定律
一、基本定律
或运算规则:
0+0=0 ，0+1=1 ，1+0=1，1+1=1
A 0 A , A 1 1, A A A, A A 1
与运算规则:
0•0=0
非运算规则:
0•1=0
1 0
1•0=0
0 1
1•1=1
（2）
求证: （分配律第2条） A+BC=(A+B)(A+C) 证明: 右边 =(A+B)(A+C) =AA+AB+AC+BC =A +A(B+C)+BC ; 分配律 ; 结合律 , AA=A
=A(1+B+C)+BC ; 结合律 =A • 1+BC ; 1+B+C=1 =A+BC =左边 ; A • 1=A
（3）
五、德 摩根定理(反演律） （De Morgan)
AB A B A B AB
1 2
证明： 真值表法、 穷举法
推广到多变量：
ABC A B C
A B C ABC
说明：两个（或两个以上）变量的与非（或非） 运算等于两个（或两个以上）变量的非或（非 与）运算。
证明：
A· A· B=A
A· A· B = A·(A+B) =A · B
(A+B)=A A· A· B= A· A· A· B= ?
A × A √ A· B A· B × ×
（9）
§ 2.4 逻辑代数的基本定理
2.4.1 代入定理
内容：在任何一个包含变量A的逻辑等式中， 若以另外一个逻辑式代替式中所有的变量A， 则等式仍然成立。
1.3.1逻辑代数基本定律和规则
Y A C B D
应用反演规则应注意：
1.保持原来的运算优先顺序，即如果在原函数表达式中，AB 之间先运算，再和其它变量进行运算， 那么非函数的表达式 中，仍然是AB之间先运算。 2.不属于单个变量上的反号应保留不变。
Y AB C D C
Y ( A B)C D C
对偶规则：如果两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。
Y A(B C) Y AB CD
Y D A BC Y D ( A B) (C D)
利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。
1 A A
A(B C) AB AC
0 A A
A BC ( A B)( A C)
例如，在反演律中用BC 去代替等式中的 B，则新的等式仍成立。
BC代替等式中的B
ABC A BC A B C
02
如果将逻辑函数Y 中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成
“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，
则可得到的一个新的函数表达式 Y D, Y D 称为Y 的对偶式。
一
一、逻辑代数的基本定律：有10个基本定律
定律名称 0-1律 自等律 重叠律 互补律 交换律 结合律 分配律 吸收律 反演律 还原律
定律1
A·0=0 A·1=A A·A=A
A A 0
A·B=B·A A·(B·C )=(A·B )·C A·(B+C )=AB+AC
A(A+B )=A
AB A B
(B B
C) C
A (A
B B)
A A B A B A B
摩根定律
A B AB BA 00 0 0 01 0 0 10 0 0 11 1 1
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（4）特殊的定理
德 · 摩根定理
表2-10 反演律(摩根定理)真值表
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表2-11 逻辑代数的基本公式
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2.3.2 逻辑代数的基本定律
A：公因子
B：互补
A是AB的因子
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A的反函数 是因子
添加项
与互补变量A相与的 B、C是第三项
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常用公式
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2.3.3逻辑函数的三个重要规则 （1）代入规则 在任何一个逻辑等式（如 F＝G ）中，如果将等 理论依据：任何一个逻辑函数也和任何一个逻辑 式两端的某个变量（如 B ）都以一个逻辑函数（如 变量一样，只有逻辑0和逻辑1两种取值。因此，可将 Y=BC）代入，则等式仍然成立。这个规则就叫代入规 则。 逻辑函数作为一个逻辑变量对待。
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请特别注意 与普通代数 不同之处
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或
（2）常量与变量之间的关系
普通代数结 果如何？
（3）与普通代数相似的定理
交换律 A· = B· B A A+B =B+A
结合律
分配律
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A· C）=（A· C （B· B）·
A· （B+C）=A· + A· B C
A +(B+C)=(A+B)+C
“﹒”→“﹢”
“﹢”→“﹒”
Y AB A(C 0) Y ( A B)( A C 1)
“0” → “1”
“1” →“0”
运用对偶规则时，同样应注意运算的优先顺序， 必要时可加或减扩号。
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对偶定理： 若等式Y=G成立，则等式Y ˊ=Gˊ也成立。 利用对偶定理，可以使要证明和记忆的公式数目 减少一半。
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举例说明:
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y 0 0 0 1
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
G 1 0 0 1
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1. 基本公式 （1）常量之间的关系 与 0· =0 0 0· =0 1 1· =0 0 1· =1 1 0=1 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1 1=0 这些常量之间的关 系，同时也体现了逻辑 代数中的基本运算规则， 也叫做公理，它是人为 规定的，这样规定，既 与逻辑思维的推理一致， 又与人们已经习惯了的 普通代数的运算规则相 似。
2.3
逻辑代数的基本定律和规则
2.3.1 逻辑代数的基本公式 2.3.2 逻辑代数的基本定律 2.3.3 逻辑代数的三个重要规则
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复习
举例说明什么是“与”逻辑？ 逻辑代数有哪三种基本运算？分别对应的开关电
路图？真值表？ 逻辑表达式？逻辑图？
Y = A⊕B 实现怎样的逻辑功能？
什么是逻辑函数？有哪些表示方法？
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互为对偶式
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小结: 1、基本定律和公式；
2、三大规则的运用。
作业：
2-2;
2-4
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再 见！
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2013-9-12 入规则可以扩大公式的应用范围。
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（2）反演规则 对任何一个逻辑表达式Y 作反演变换，可得Y 的 反函数 Y 。这个规则叫做反演规则。 反演变换： “﹒”→“﹢” “﹢”→“﹒” “0” → “1” “1” →“0”， 原变量→反变量 反变量→原变量
Y A B CD 0 Y A B (C D ) 1
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2.3.1
逻辑代数的基本公式
已知逻辑函数Y = F1 (A、B、C……)和 G= F2 (A、B、C……) 问：逻辑函数Y = G相等的条件？ 仅当A、B、C……的任一组取值所对应的Y和G 都相同，具体表现为二者的真值表完全相同时， Y =G。 等号“＝”不表示两边数值相等，仅表示一种 等价、等效的逻辑关系。因为逻辑变量和逻辑函数 的取值0和1是不能比较大小的，仅表示一种状态。 结论：可用真值表验证逻辑函数是否相等。
Y A B C D E Y A B C D E Y A (B C D E )
运用反演规则时，要注意运算的优先顺序（先 括号、再相与，最后或） ，必要时可加或减扩号。
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（3）对偶规则 对任何一个逻辑表达式Y 作对偶变换，可Y的对偶 式Yˊ。 对偶变换：