高二立体几何大全

立体几何习题

1. 如图，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形，

,,//,PA ABCD AE PD EF CD AM EF ⊥⊥=底面

(1) 证明MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线；

(2) 若3PA AB =,求直线AC 与平面EAM 所成角的正弦值

2. 已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长均为a ，侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，A 1B ＝2

6a ， （Ⅰ）求异面直线AC 与BC 1所成角的余弦值； （Ⅱ）求证：A 1B ⊥面AB 1C .

3. 如图，四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的正方形，SD 垂直于底面

ABCD ，SB =

3

1．求证BC SC ⊥；

2．求面ASD 与面BSC 所成二面角的大小；

3．设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小

B

C D

A P

M F

E

4. 在三棱锥S —ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=23，M 、N 分别为AB 、SB 的中点.

（Ⅰ）证明：AC ⊥SB ；

（Ⅱ）求二面角N —CM —B 的大小； （Ⅲ）求点B 到平面CMN 的距离.

5. 如右下图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB= FB=1.

(1) 求二面角C —DE —C 1的正切值;

(2) 求直线EC 1与FD 1所成的余弦值.

6. 如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=a 2,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1.

（I ）证明PA ⊥平面ABCD ；

（II ）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角 的大小；

（Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF//平面AEC ？证明你的结论.

1

B 1D B

A 1E

F

B C

D

A P E

7. 在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP. (Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；

(Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ；

(Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离.

8. 如图，已知四棱锥 P —ABCD ，PB ⊥AD 侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.

（I ）求点P 到平面ABCD 的距离，

（II ）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小.

9. 如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90o ，AC ＝1，CB ＝2，侧棱AA 1＝1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M ． (Ⅰ)求证：CD ⊥平面BDM ；

(Ⅱ)求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小． · B 1 P

A C D A 1 C 1 D 1

B O H ·

C

A

C

10. 三棱锥P-ABC 中，侧面P AC 与底面ABC 垂直，P A =PB =PC =3. (1)求证 AB ⊥BC

；

(II)如果 AB=BC=AC 与侧面P AC 所成角的大小．

11. 如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.

（Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明PA ⊥BD.

12.已知四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 是菱形，⊥︒=∠PD DAB ,60平面ABCD ，PD=AD ， 点E 为AB 中点，点F 为PD 中点. （1）证明平面PED ⊥平面PAB ；

（2）求二面角P —AB —F 的平面角的余弦值.

C

13. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F

（1）证明PA//平面EDB；

（2）证明PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小

14. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点

（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角A—DF—B的大小；

B

A

C

参考答案

1.解:（I ）证明：因PA ⊥底面，有PA ⊥AB ，又知AB ⊥AD ，

故AB ⊥面PAD ，推得BA ⊥AE ， 又AM ∥CD ∥EF ，且AM=EF ， 证得AEFM 是矩形，故AM ⊥MF.

又因AE ⊥PD ，AE ⊥CD ，故AE ⊥面PCD ， 而MF ∥AE ，得MF ⊥面PCD ， 故MF ⊥PC ，

因此MF 是AB 与PC 的公垂线.

（II ）解：连结BD 交AC 于O ，连结BE ，过O 作BE 的垂线OH ， 垂足H 在BE 上. 易知PD ⊥面MAE ，故DE ⊥BE ， 又OH ⊥BE ，故OH//DE ， 因此OH ⊥面MAE. 连结AH ，则∠HAO 是所要求的线AC 与面NAE 所成的角 设AB=a ，则PA=3a ， a AC AO 2

2

21==.

因Rt △ADE~Rt △PDA ，故

中从而在AHO Rt a ED OH a a a a PD

AD ED ∆==

=

+=

=.10221,

10

)

3(2

2

22

.10

5

20122102sin ==⨯==

a a AO OH HAO 2. 解:

；（Ⅱ）略. 3.解:（