第05章习题解答
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测量透镜后焦面上的强度分布。假定 D d 。
(1) 写出所测强度准确代表物体功率谱的最大空间频率的表达式，并计算 D 6 cm ，
d 2.5 cm，焦距 f 50 cm 以及 0.6μm 时，这个频率的数值(单位：/mm)
(2) 在多大的频率以上测得的频谱为零？尽管物体可以在更高的频率上有不为零的频率
则棱镜的相位调制可以表示为： t ( x, y ) eikL ( x , y ) eikn0 e ik ( n 1) y 忽略常系数，则棱镜的相位调制可表示为： t ( x, y ) e ik ( n 1) y 对于小角度入射的平行光束(假设入射角为 )，其复振幅分布为：
a0 ikd i 2kd ( x02 y02 ) ( x0 , y0 ) U 0 ( x0 , y0 )t ( x0 , y0 ) e e U0 t ( x0 , y0 ) d
根据傅里叶变换形式的菲涅耳衍射公式，可计算出 S 位置处的场分布为
U ( x, y )
k 2 2 y0 ) i ( x0 eikd i 2kd ( x2 y 2 ) ( x0 , y0 )e 2 d F U 0 e i d
( D f , d f )
因透镜是圆形孔径，在圆周方向上都有相应的最大空间频率：
max
2 2
max
sin
Dd (6 2.5) 10 58.3 周/mm 2 f 2 6 107 103 50 10
(2) 当某一方面传播的平面波分量完全被透镜孔径拦阻时，在后焦面上没有该频率成分，
sin
yf
f
则任意两个空间频率在后焦面上的间隔为：
3
y f f
由题意， 0.6μm ，最小空间频率 min 20mm 1 ，最大空间频率 max 200mm 1 ，当要 求它们之间对应的间隔为 y f 50mm ，则透镜焦距为：
f y f 50 103 mm 463mm 0.6 180
y x , T2 2a 2a
略去常系数及积分号前的相位因子，则最终在观察屏上衍射图样的复振幅分布正比于 t1 和 t2 变换式的卷积
y x U ( x, y ) t ( x, y ) * T2 , 2a 2a
6
5.7 一个被直径为 d 的圆形孔径的物函数 U 0 ， 把它放在直径为 D 的圆形会聚透镜的前焦面上，
x y , 2 a 2 a
由傅里叶变换的性质，可知：
x y F T1 2 , 2 2a 2a F t2 ( x2 , y2 )
t ( x, y )
x y , 2 a 2 a
x y , 2 a 2 a
将 f1 2a, f 2 a 的关系代入上式，上式就可简化为：
( x2 , y2 ) U2
2 2 1 i 2 f1 ( x2 y2 ) x2 y2 e T1 , t2 ( x2 , y2 ) i f1 f1 f1
k
利用傅里叶变换形式的菲涅耳衍射方程， 则得到距 L2 后 2a f1 处观察屏上菲涅耳衍射图 样的复振幅分布为：
2
y2 )
eik y
上式应用在傍轴近似下，有 tan 。
由 5.1 题的分析可知，对于楔角为 、折射率为 n 的棱镜，共相位变换函数为：
2
t ( x, y ) e ik ( n 1) y
则透射光波的复振幅分布为：
i (x z0 i a ( x, y ) U 0 ( x, y )t ( x, y ) 0 eikz0 e 2 z0 e 2 z0 U0 z0 i (x z0 i a 0 eikz0 e 2 z0 e 2 z0 z0 k
1
(n 1)
5.2 见下图，点光源 S 与楔形薄透镜距离为 z0 ，它发出倾角为 的傍轴球面波照射棱镜，棱镜
楔角为 ，折射率 n 。求透射光波的特征和 S 点虚像的位置。
解：如下图所示，假设点光源 S 位于 y z 平面内。 S 点的坐标为 (0, z0 tan , z0 ) ，则从点光 源 S 发出的倾角为 的球面波在 x y 平面上的复振幅分布可近似表示为：
U 0 ( x, y ) Aeik y
该光束经过棱镜后，忽略能量损失，其透射光束的复振幅分布为：
( x, y ) U 0 ( x, y )t ( x, y ) Aeik y e ik ( n 1) y Ae U0
ik ( n 1) y
与入射光束相比，其传播角度发生了偏转，偏角大小为：
x
d
,
y
d
a0 i 2kd ( x2 y 2 ) a0 i 2kd ( x2 y 2 ) x y F t ( x0 , y0 ) x , y T e e , i d 2 i d 2 d d d d
可见在点光源的像面上的复振幅分布正比于物体的傅里叶变换， 但是变换式之前存在二次 相位因子，这使物体频谱产生了相位弯曲。
i [x a U 0 ( x, y ) 0 eikz0 e 2 z0 z0 k
2
( y z0 tan ) 2 ]
i [x a 0 eikz0 e 2 z0 z0
k
2
( y z0 )2 ]
a0 ikz0 i 2 z0 z0 i 2 z0 ( x e e e z0
k
2
k
4
证明：因为单色点光源通过会聚透镜成像(或会聚)在光轴的 S 位置，所以根据会聚球面波的 性质，在 S 之前距离为 d 的物体之间的光场分布就近似为：
U 0 ( x, y )
a0 ikd i 2kd ( x02 y02 ) e e d
式中：a0 是与振幅有关的常数。假设物体的复振幅透过率函数为 t ( x0 , y0 ) ，则物体的透射光场 为：
5.3 采用如下光路对某一维物体作傅里叶分析。它所包含的最低空间频率为 20/mm，最高空
间频率为 200/mm。 照明光的波长 为 0.6 μm 。 若希望谱面上最低频率成分与最高频率成 分之间与最高频率之间间隔 50/mm，透镜的焦距应取多大？
解：如下图所示，从角谱传播的角度来看，当采用单色平面波垂直照明时，后焦面上某点的 坐标与物体某频率成分的关系为：
eikf1 i 2 f1 ( x e U ( x, y ) i f1 1 i 2 f1 ( x e ( f1 ) 2
k
2
k
2
y2 )
k 2 2 i ( x2 ) y2 2 f1 ( x2 , y2 )e F U 2
x
f1
,
Af , T 2 i d d d
i k ( 2 2 ) 2d
时，二次相位因子消除 。上式中， e
是一个焦距为 f d 的凸透镜的相位调制因子。
因此，只要在输出平面之前放置一个焦距为 f d 的凸/透镜，则输出光场的相位弯曲就可以 消除。
单色点光源 S 通过一个会聚透镜在光轴上 S ' 位置。 物体(透明片)位于透镜后方， 5.5 参看下图， 相距 S 的距离为 d ，被完全照明。求证物体的频谱出现在点光源的像平面上。
式中： T , F{t ( x0 , y0 )} 。输出平面得到物体的傅里叶变换，但带有一个二次相位因 d d
子。若要消除这个相位弯曲，可以利用透镜的相位调制性质。透镜的相位变换函数是一个二 相位因子，当
U f ( , )e
i k ( 2 2 ) 2d
5.4 对于下图所示的变换光路，为了消除在物体频谱上附加的相位弯曲，可在紧靠输出平面
之前放置一个透镜。问这个透镜的类型以及焦距如何选取？
解：如题图所示，在忽略透镜孔径的影响下，输出平面上得到的光场分布为：
Af i 2kd ( 2 2 ) e , U ( , ) T i d 2 d d
测得频谱为零。 如下图所示，当传播方面倾角超过 M 时，该平面波分量正是这种情况。在小角度的情况 下，
D d Dd M 2 2 ， 2f f
( D f , d f )
7
相应的空间频率为：
M
sin M
2
k
2
k
2
y2 )
eik y e ik ( n 1) y
k 2 2 i 2 z [( x ( y z0 ) ] 0
k
2
y2 )
e
ik ( n 1) y
1 a ikz0 0e z0
2 2
2
e
式中： (n 1) 。 因此，透射光波还是一个球面波，其虚像的位置为 S (0, z0 , z0 ) 。
5.6 如下图所示，透明片 t1 ( x1 , y1 ) 和 t2 ( x2 , y2 ) 分别紧贴在焦距为 f1 2a, f 2 a 的两个透镜之
前。透镜 L1 , L2 和观察屏三者间隔相等，都等于 2a 。如果用单位振幅单色平面波垂直照 明，求观察零上的复振幅分布。
解：当采用单位振幅的单色平面波垂直照明时，在透镜 L1 后方距离 f1 2a 处给了透明片
y
f1
y2 )
y x F T1 2 , 2 tBaidu Nhomakorabea ( x2 , y2 ) f1 f1
x
f1
,
y
f1
y ei2 ak i 4ka ( x2 y 2 ) x2 e , 2 * F t2 ( x2 , y2 ) F 2 (2a ) 2a 2a
分量。 解：(1) 透镜有限孔径对于物面空间频率成分传播的限制称为渐晕。仅当某一方向上的平面 波分量不受拦阻地通过透镜时，在后焦面上相应会聚点测得的强度才准确代表物相应空间频 率的傅里叶谱的模的平方。 如下图所示，在小角度情况下，满足这一要求的平面波分量的传播方向 角最大为：
D d 2 2 Dd ， 0 2f f
( x2 , y2 ) U 2 ( x2 , y2 )t2 ( x2 , y2 )e U2
k k i k 2 2 ( x2 y2 ) 2 f2
2 2 2 2 1 i 2 f1 ( x2 y2 ) i 2 f 2 ( x2 y2 ) x2 y2 e e T1 , t2 ( x2 , y2 ) i f1 f1 f1
习题 5 参考解答
5.1
下图所示楔形薄透镜，楔角为 ，折射率 n ，底边厚度为 0 。求其相位变换函数，并利 用它来确定平行光束小角度入射时产生的偏向角 。
解：如下图所示，棱镜的厚度函数为： L( x, y ) n( 0 y ) y n 0 (n 1) y
t1 ( x1 , y1 ) 的傅里叶变换。因此，在透明 t2 ( x2 , y2 ) 之前光场分布为
5
2 2 1 i 2 f1 ( x2 y2 ) x2 y2 U 2 ( x2 , y2 ) e T1 , i f1 f1 f1
k
x y 式中： T1 2 , 2 F{t1 ( x1 , y1 )} x2 y2 。经过透明片 t2 ( x2 , y2 ) 和透镜 L2 后的透射光场为： , f1 f1 f1 f1
(1) 写出所测强度准确代表物体功率谱的最大空间频率的表达式，并计算 D 6 cm ，
d 2.5 cm，焦距 f 50 cm 以及 0.6μm 时，这个频率的数值(单位：/mm)
(2) 在多大的频率以上测得的频谱为零？尽管物体可以在更高的频率上有不为零的频率
则棱镜的相位调制可以表示为： t ( x, y ) eikL ( x , y ) eikn0 e ik ( n 1) y 忽略常系数，则棱镜的相位调制可表示为： t ( x, y ) e ik ( n 1) y 对于小角度入射的平行光束(假设入射角为 )，其复振幅分布为：
a0 ikd i 2kd ( x02 y02 ) ( x0 , y0 ) U 0 ( x0 , y0 )t ( x0 , y0 ) e e U0 t ( x0 , y0 ) d
根据傅里叶变换形式的菲涅耳衍射公式，可计算出 S 位置处的场分布为
U ( x, y )
k 2 2 y0 ) i ( x0 eikd i 2kd ( x2 y 2 ) ( x0 , y0 )e 2 d F U 0 e i d
( D f , d f )
因透镜是圆形孔径，在圆周方向上都有相应的最大空间频率：
max
2 2
max
sin
Dd (6 2.5) 10 58.3 周/mm 2 f 2 6 107 103 50 10
(2) 当某一方面传播的平面波分量完全被透镜孔径拦阻时，在后焦面上没有该频率成分，
sin
yf
f
则任意两个空间频率在后焦面上的间隔为：
3
y f f
由题意， 0.6μm ，最小空间频率 min 20mm 1 ，最大空间频率 max 200mm 1 ，当要 求它们之间对应的间隔为 y f 50mm ，则透镜焦距为：
f y f 50 103 mm 463mm 0.6 180
y x , T2 2a 2a
略去常系数及积分号前的相位因子，则最终在观察屏上衍射图样的复振幅分布正比于 t1 和 t2 变换式的卷积
y x U ( x, y ) t ( x, y ) * T2 , 2a 2a
6
5.7 一个被直径为 d 的圆形孔径的物函数 U 0 ， 把它放在直径为 D 的圆形会聚透镜的前焦面上，
x y , 2 a 2 a
由傅里叶变换的性质，可知：
x y F T1 2 , 2 2a 2a F t2 ( x2 , y2 )
t ( x, y )
x y , 2 a 2 a
x y , 2 a 2 a
将 f1 2a, f 2 a 的关系代入上式，上式就可简化为：
( x2 , y2 ) U2
2 2 1 i 2 f1 ( x2 y2 ) x2 y2 e T1 , t2 ( x2 , y2 ) i f1 f1 f1
k
利用傅里叶变换形式的菲涅耳衍射方程， 则得到距 L2 后 2a f1 处观察屏上菲涅耳衍射图 样的复振幅分布为：
2
y2 )
eik y
上式应用在傍轴近似下，有 tan 。
由 5.1 题的分析可知，对于楔角为 、折射率为 n 的棱镜，共相位变换函数为：
2
t ( x, y ) e ik ( n 1) y
则透射光波的复振幅分布为：
i (x z0 i a ( x, y ) U 0 ( x, y )t ( x, y ) 0 eikz0 e 2 z0 e 2 z0 U0 z0 i (x z0 i a 0 eikz0 e 2 z0 e 2 z0 z0 k
1
(n 1)
5.2 见下图，点光源 S 与楔形薄透镜距离为 z0 ，它发出倾角为 的傍轴球面波照射棱镜，棱镜
楔角为 ，折射率 n 。求透射光波的特征和 S 点虚像的位置。
解：如下图所示，假设点光源 S 位于 y z 平面内。 S 点的坐标为 (0, z0 tan , z0 ) ，则从点光 源 S 发出的倾角为 的球面波在 x y 平面上的复振幅分布可近似表示为：
U 0 ( x, y ) Aeik y
该光束经过棱镜后，忽略能量损失，其透射光束的复振幅分布为：
( x, y ) U 0 ( x, y )t ( x, y ) Aeik y e ik ( n 1) y Ae U0
ik ( n 1) y
与入射光束相比，其传播角度发生了偏转，偏角大小为：
x
d
,
y
d
a0 i 2kd ( x2 y 2 ) a0 i 2kd ( x2 y 2 ) x y F t ( x0 , y0 ) x , y T e e , i d 2 i d 2 d d d d
可见在点光源的像面上的复振幅分布正比于物体的傅里叶变换， 但是变换式之前存在二次 相位因子，这使物体频谱产生了相位弯曲。
i [x a U 0 ( x, y ) 0 eikz0 e 2 z0 z0 k
2
( y z0 tan ) 2 ]
i [x a 0 eikz0 e 2 z0 z0
k
2
( y z0 )2 ]
a0 ikz0 i 2 z0 z0 i 2 z0 ( x e e e z0
k
2
k
4
证明：因为单色点光源通过会聚透镜成像(或会聚)在光轴的 S 位置，所以根据会聚球面波的 性质，在 S 之前距离为 d 的物体之间的光场分布就近似为：
U 0 ( x, y )
a0 ikd i 2kd ( x02 y02 ) e e d
式中：a0 是与振幅有关的常数。假设物体的复振幅透过率函数为 t ( x0 , y0 ) ，则物体的透射光场 为：
5.3 采用如下光路对某一维物体作傅里叶分析。它所包含的最低空间频率为 20/mm，最高空
间频率为 200/mm。 照明光的波长 为 0.6 μm 。 若希望谱面上最低频率成分与最高频率成 分之间与最高频率之间间隔 50/mm，透镜的焦距应取多大？
解：如下图所示，从角谱传播的角度来看，当采用单色平面波垂直照明时，后焦面上某点的 坐标与物体某频率成分的关系为：
eikf1 i 2 f1 ( x e U ( x, y ) i f1 1 i 2 f1 ( x e ( f1 ) 2
k
2
k
2
y2 )
k 2 2 i ( x2 ) y2 2 f1 ( x2 , y2 )e F U 2
x
f1
,
Af , T 2 i d d d
i k ( 2 2 ) 2d
时，二次相位因子消除 。上式中， e
是一个焦距为 f d 的凸透镜的相位调制因子。
因此，只要在输出平面之前放置一个焦距为 f d 的凸/透镜，则输出光场的相位弯曲就可以 消除。
单色点光源 S 通过一个会聚透镜在光轴上 S ' 位置。 物体(透明片)位于透镜后方， 5.5 参看下图， 相距 S 的距离为 d ，被完全照明。求证物体的频谱出现在点光源的像平面上。
式中： T , F{t ( x0 , y0 )} 。输出平面得到物体的傅里叶变换，但带有一个二次相位因 d d
子。若要消除这个相位弯曲，可以利用透镜的相位调制性质。透镜的相位变换函数是一个二 相位因子，当
U f ( , )e
i k ( 2 2 ) 2d
5.4 对于下图所示的变换光路，为了消除在物体频谱上附加的相位弯曲，可在紧靠输出平面
之前放置一个透镜。问这个透镜的类型以及焦距如何选取？
解：如题图所示，在忽略透镜孔径的影响下，输出平面上得到的光场分布为：
Af i 2kd ( 2 2 ) e , U ( , ) T i d 2 d d
测得频谱为零。 如下图所示，当传播方面倾角超过 M 时，该平面波分量正是这种情况。在小角度的情况 下，
D d Dd M 2 2 ， 2f f
( D f , d f )
7
相应的空间频率为：
M
sin M
2
k
2
k
2
y2 )
eik y e ik ( n 1) y
k 2 2 i 2 z [( x ( y z0 ) ] 0
k
2
y2 )
e
ik ( n 1) y
1 a ikz0 0e z0
2 2
2
e
式中： (n 1) 。 因此，透射光波还是一个球面波，其虚像的位置为 S (0, z0 , z0 ) 。
5.6 如下图所示，透明片 t1 ( x1 , y1 ) 和 t2 ( x2 , y2 ) 分别紧贴在焦距为 f1 2a, f 2 a 的两个透镜之
前。透镜 L1 , L2 和观察屏三者间隔相等，都等于 2a 。如果用单位振幅单色平面波垂直照 明，求观察零上的复振幅分布。
解：当采用单位振幅的单色平面波垂直照明时，在透镜 L1 后方距离 f1 2a 处给了透明片
y
f1
y2 )
y x F T1 2 , 2 tBaidu Nhomakorabea ( x2 , y2 ) f1 f1
x
f1
,
y
f1
y ei2 ak i 4ka ( x2 y 2 ) x2 e , 2 * F t2 ( x2 , y2 ) F 2 (2a ) 2a 2a
分量。 解：(1) 透镜有限孔径对于物面空间频率成分传播的限制称为渐晕。仅当某一方向上的平面 波分量不受拦阻地通过透镜时，在后焦面上相应会聚点测得的强度才准确代表物相应空间频 率的傅里叶谱的模的平方。 如下图所示，在小角度情况下，满足这一要求的平面波分量的传播方向 角最大为：
D d 2 2 Dd ， 0 2f f
( x2 , y2 ) U 2 ( x2 , y2 )t2 ( x2 , y2 )e U2
k k i k 2 2 ( x2 y2 ) 2 f2
2 2 2 2 1 i 2 f1 ( x2 y2 ) i 2 f 2 ( x2 y2 ) x2 y2 e e T1 , t2 ( x2 , y2 ) i f1 f1 f1
习题 5 参考解答
5.1
下图所示楔形薄透镜，楔角为 ，折射率 n ，底边厚度为 0 。求其相位变换函数，并利 用它来确定平行光束小角度入射时产生的偏向角 。
解：如下图所示，棱镜的厚度函数为： L( x, y ) n( 0 y ) y n 0 (n 1) y
t1 ( x1 , y1 ) 的傅里叶变换。因此，在透明 t2 ( x2 , y2 ) 之前光场分布为
5
2 2 1 i 2 f1 ( x2 y2 ) x2 y2 U 2 ( x2 , y2 ) e T1 , i f1 f1 f1
k
x y 式中： T1 2 , 2 F{t1 ( x1 , y1 )} x2 y2 。经过透明片 t2 ( x2 , y2 ) 和透镜 L2 后的透射光场为： , f1 f1 f1 f1