八年级数学二次函数
第03讲-二次函数解析式与线段最值(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）二次函数解析式的理解和应用：重点在于让学生掌握二次函数一般形式及其图像性质，能够根据已知条件求解二次函数的系数a、b、c。
举例：讲解如何根据抛物线的顶点坐标、对称轴和开口方向来确定二次函数解析式。
（2）线段最值问题的求解：重点在于培养学生利用二次函数求解线段最值问题的能力，掌握解题步骤。
-通过具体例子，让学生掌握如何根据已知条件求解二次函数的系数a、b、c
2.线段最值问题的探讨：
-利用二次函数求解线段的最值问题，如最大值、最小值
-线段最值在实际问题中的应用，例如求解平面几何中的最大或最小面积问题
-结合实际例题，让学生掌握如何建立二次函数模型解决线段最值问题，并掌握解题技巧。
二、核心素养目标
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生在学习二次函数解析式与线段最值这一章节时，存在一些问题和亮点。在这里，我想结合教学实际，对这次教学进行一些反思。
首先，我发现大部分学生在理解二次函数解析式的过程中，对系数a、b、c的含义和求解方法掌握得不够扎实。在以后的教学中，我需要更加注重基础知识的教学，通过丰富的实例和详细的讲解，帮助学生深入理解二次函数解析式的内涵。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数解析式的基本概念。二次函数解析式是描述抛物线运动规律的一种数学表达形式。它是解决线段最值问题的关键工具，广泛应用于物理、工程等领域。
人教版八年级数学下册第十九章《二次函数的概念》优课件(共21张PPT)
典例分析
例1 关于x的函数yxk23k2kx1是二
次函数,求k的值.
变式 关于x的函数 y(k3)xk23k2kx1
是二次函数,求k的值.
注意:二次函数的二次项系数不能为零
典例分析
例2 已知二次y函x2数 2x3 (1) 求当 x0时，函 y的 数值； (2)求当函 y的 数值0是 时，自x变 的量 值 .
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月3日星期日2022/4/32022/4/32022/4/3 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/32022/4/32022/4/34/3/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/32022/4/3April 3, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
其中，x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次 项系数和常数项.
二次函数y=ax²+bx+c中必须满足a≠0，那么b和c可以
是0吗？
二次函数的其他情形： (1) y=ax² (a≠0,b=0,c=0,)； (2) y=ax²+bx (a≠0,b≠0,c=0)；
(3) y=ax²+c (a≠0,b=0,c≠0).
九年级 上册
22.1.1二次函数
复习回顾
1.一元二次方程的一般形式是什么？
ax2+bx+c=0 (a,b,c是常数, a≠0)
2. 函数的定义是什么？
在某一变化过程中: ①有两个变量x和y; ②自变量x在它的取值范围内每一个值，y都有唯一
八年级数学学习二次函数与二次方程的解法
八年级数学学习二次函数与二次方程的解法二次函数与二次方程是八年级数学学习的重点内容，本文将对二次函数与二次方程的解法进行详细的介绍和讲解。
1. 二次函数二次函数是一个经典的函数形式，表达式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 为常数，a ≠ 0。
二次函数的图像是一个抛物线。
1.1 二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其横坐标为 -b/2a，纵坐标为 f(-b/2a)。
顶点是抛物线的对称轴的最高点或最低点。
1.2 二次函数的开口方向二次函数的开口方向由二次项的系数 a 的正负决定。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
1.3 二次函数的零点二次函数的零点是函数图像与 x 轴相交的点。
要求函数的值为 0，即 f(x) = 0。
可以使用因式分解、配方法或求根公式等方法求解二次函数的零点。
2. 二次方程的解法二次方程是一个含有未知数的二次项、一次项和常数的方程，一般表达式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 为已知数，a ≠ 0。
解二次方程的关键是求出未知数 x 的值。
2.1 因式分解法对于可以因式分解的二次方程，可以通过分解成两个一次因式的形式求解。
例如：x^2 + 5x + 6 = 0，可以分解为 (x + 2)(x + 3) = 0，则得到两个一次方程 x + 2 = 0 和 x + 3 = 0，解得 x = -2 和 x = -3。
2.2 配方法对于不能直接因式分解的二次方程，可以通过配方法将其转化为可因式分解的形式。
例如：x^2 + 5x + 6 = 0，可以通过令 x^2 + 5x + 6 = (x + a)(x + b) 来求解。
根据展开等式，得到 a + b = 5，ab = 6。
解得 a = 2，b = 3，因此原方程可写为 (x + 2)(x + 3) = 0，解得 x = -2 和 x = -3。
八年级数学二次函数的解法与应用
八年级数学二次函数的解法与应用二次函数是一种常见的数学函数，其形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
二次函数具有许多重要的性质和特点，求解二次函数的解法和应用十分广泛。
本文将介绍八年级数学中关于二次函数的解法和应用。
一、二次函数的基本概念二次函数是指二次多项式构成的函数，可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c分别为实数，且a不等于0。
其中，a决定了函数的开口方向，正值代表开口向上，负值代表开口向下；b决定了函数的位置，正值表示向左平移，负值表示向右平移；c为函数在原点的纵截距。
二、二次函数的图像与性质二次函数的图像是抛物线，其性质如下：1. 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)），其中f(x)=ax^2+bx+c。
3. 对称轴：抛物线的对称轴为直线x=-b/2a。
4. 零点：即函数的解，即满足f(x)=0的x值。
若Δ=b^2-4ac>0，则有两个不相等的实根；若Δ=0，则有两个相等的实根；若Δ<0，则没有实根。
5. 最值：当a>0时，函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，函数的最大值为f(-b/2a)。
6. 判别式：Δ=b^2-4ac，可用于判断二次函数的解的情况。
三、二次函数的解法求解二次函数一般可以通过以下两种方法：1. 因式分解法：适用于二次函数可以因式分解的情况。
将二次函数表示为y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为二次函数的根。
通过求解方程a(x-x1)(x-x2)=0，即可得到解。
2. 公式法：适用于二次函数无法因式分解的情况。
根据二次函数的标准形式，利用求根公式x=(-b±√Δ)/2a进行计算，其中Δ=b^2-4ac为判别式。
四、应用举例1. 题目：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像的顶点坐标为(2,-3)，且经过点(1,0)，求二次函数的解析式和另一个零点坐标。
八年级数学下用待定系数法求二次函数的解析式
3、抛物线在x轴上截得的线段长为4，且 顶点坐标是（3，－2）
答案： y 1 ( x 1)( x 5) 1 x2 3x 5
2
2Leabharlann 24、已知抛物线的图象如图所示,求抛物线 的解析式.
答案： y=－2(x＋1)2－3.
5．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中的 x，y 满足下表：
x … －2 －1 0 1 2 …
用一般式比较简便；
②顶点式：_y＝__a_(_x_－__h_)_2_＋__k，当已知抛物线的顶点时， 用顶点式较方便；
③交点式(两根式)：y_＝__a_(_x_－__x_1_)(_x_－__x_2_) _，当已知抛物线与 x 轴的交点坐标(x1，0)，(x2，0)时，用交点式较方便．
例1、求满足下列条件的二次函数的关系式： 图象经过点 A(0,3)，B(1,3)，C(－1,1)；
y … 4 0 －2 －2 0 …
求这个二次函数关系式． 答案： y＝x2－x－2.
6、抛物线y=ax2+bx+c与y= -x2形状相同,对 称轴是直线 x=3, 最高点在直线 y=x+1上,求 抛物线解析式;
答案： y=－(x－3)2＋4
22.1.4用待定系数法求二次函数的解析式
复习：学过的二次函数解析式有哪些？ ①一般式：_y_＝__a_x_2＋__b_x_＋__c_ ②顶点式：_y_＝__a_(_x_－__h_)2_＋__k_
y ax2 bx c
回忆当y=0时
a
x2
b a
x
c a
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0
b
思路：已知三点，选用一般式．
答案：y＝－x2＋x＋3
例2、 求满足下列条件的二次函数的关系式： 图象顶点坐标为(1，－6)，且经过点 (2，－8)．
八年级数学下二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质
1
y ( x 1) 2 1 …
2
再描点连线画图
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5
…
先列表
x
…
1
y ( x 1) 2 1 …
2
再描点画图.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
直线x=－1
思考：
1
2
抛物线 y ( x 1) 1
2
的对称轴、顶点、增减性?
1
y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
-10
y ( x 1) 2 1
2
二次函数
2
y
(
x
1
)
1
y x
(2)抛物线
与
2
2
有什么关系?
y
1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
2
直线 x= n-m
称轴_____________________。
1 2
5.若二次函数 y x 经过平移变换
2
后顶点坐标为(-2,3) ,则平移后的函数解
1
2
y ( x 2) 3
析式为_________。
2
6.在平面直角坐标系中，如果抛物线 y 2 x 不动,
2
而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么
人教版八年级数学下册二次函数知识点总结
人教版八年级数学下册二次函数知识点总结本文将对人教版八年级数学下册二次函数知识点进行总结。
主要内容如下：一、二次函数的定义和性质1. 定义：二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c （a≠0）的函数，其中 a、b、c 是常数，a 称为二次函数的系数。
2. 基本性质：- 二次函数的图象为抛物线，开口方向由 a 的正负确定。
- 抛物线的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。
- 当 a > 0 时，抛物线开口朝上；当 a < 0 时，抛物线开口朝下。
- 当a ≠ 0 时，抛物线的对称轴方程为 x = -b/2a。
二、二次函数的图象1. 抛物线与对称轴：- 抛物线关于对称轴对称。
- 对称轴方程为 x = -b/2a。
2. 抛物线的顶点：- 抛物线的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。
3. 抛物线的焦点与准线：- 抛物线的焦点为 (p, q)，其中 p = -b/2a 且 q = c - b^2/4a。
- 抛物线的准线为 y = q。
4. 抛物线的开口方向：- 当 a > 0 时，抛物线开口朝上；当 a < 0 时，抛物线开口朝下。
三、二次函数的判别式和根的情况1. 判别式 D = b^2 - 4ac：- 若 D > 0，则二次函数有两个不相等的实根。
- 若 D = 0，则二次函数有两个相等的实根。
- 若 D < 0，则二次函数没有实根。
2. 根的情况：- 当 D > 0 时，二次函数的两个根分别为 x1 = (-b + √D) / (2a) 和x2 = (-b - √D) / (2a)。
- 当 D = 0 时，二次函数的解为 x = -b / (2a)。
- 当 D < 0 时，二次函数没有实根。
四、二次函数的应用1. 二次函数在物理学、经济学等领域有广泛的应用，例如：- 抛射运动的轨迹方程。
- 成本函数、收入函数等的建模。
- 其他需要模拟抛物线等曲线的问题。
二次函数的性质的教案
二次函数的性质的教案一、教学内容本节课选自人教版八年级数学下册第十七章《二次函数》的第三节“二次函数的性质”。
具体内容包括：二次函数y=ax^2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的性质，主要包括开口方向、对称轴、顶点坐标、最值等。
二、教学目标1. 让学生掌握二次函数的基本性质，能准确判断开口方向、对称轴、顶点坐标和最值。
2. 培养学生的观察能力和逻辑思维能力，提高解决问题的能力。
3. 使学生能够运用二次函数的性质解决实际问题，体会数学在实际生活中的应用。
三、教学难点与重点教学难点：二次函数性质的推导和应用。
教学重点：开口方向、对称轴、顶点坐标和最值的判断。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示一个抛物线的实际情景（如篮球投篮），引导学生观察抛物线的特点。
2. 探索性质（1）让学生回顾一次函数的性质，探讨二次函数的性质。
（2）指导学生观察抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值，引导学生发现规律。
3. 例题讲解（1）判断二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值。
（2）求解实际问题，如：求最大（小）值、确定物体运动轨迹等。
4. 随堂练习让学生完成教材第17页练习题1、2、3。
六、板书设计1. 二次函数的定义：y=ax^2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）2. 二次函数的性质：（1）开口方向：a>0，开口向上；a<0，开口向下。
（2）对称轴：x=b/2a。
（3）顶点坐标：(b/2a, y最小（大）值)。
（4）最值：当x=b/2a时，y取最小（大）值。
七、作业设计1. 作业题目：（1）求二次函数y=2x^24x+3的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值。
（2）已知二次函数的顶点为（1, 3），且过点（0, 1），求函数的解析式。
2. 答案：（1）开口方向：向上；对称轴：x=1；顶点坐标：（1, 1）；最值：y最小值为1。
八年级数学二次函数知识点
八年级数学二次函数知识点二次函数是初中数学中比较重要的一章，主要研究形如y=ax²+bx+c（a≠ 0）这样的函数。
下面我们来了解一下八年级数学二次函数的知识点。
一、二次函数的图像二次函数的图像通常为一条抛物线，开口方向由二次函数的系数a决定。
当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
二、二次函数的轴对称线二次函数的图像是对称的，称为轴对称。
轴对称线是图像上的一条直线，将图像分成两个完全相同的部分。
轴对称线的方程为x=-b/2a。
三、二次函数的零点二次函数与x轴的交点称为零点，也可称为根。
一般地，二次函数有两个零点，可用求根公式(-b±√(b²-4ac))/2a来计算。
若b²-4ac<0，则二次函数没有实数根，也就是没有与x轴相交的点。
四、二次函数的最值当a>0时，二次函数的最小值为f(-b/2a) = c-b²/4a；当a<0时，二次函数的最大值为f(-b/2a) = c-b²/4a 。
此时的x=-b/2a称为二次函数的顶点。
五、二次函数的基本变形除了y=ax²+bx+c的二次函数外，还有一些变形，如y=a(x-h)²+k的标准式，y=a(x-p)(x-q)的因式分解式等。
需要根据题目的要求，进行不同形式之间的转化。
六、二次函数的应用二次函数在不同领域有广泛的应用，如物理学中的抛体运动，金融学中的股票指数走势预测等。
在运用中需合理选择二次函数的形式，适用于不同的实际问题。
通过学习八年级数学二次函数的知识点，我们可以更好地理解二次函数的概念，掌握求零点、最值等基本技能，为以后更深入的学习打下坚实的基础。
上海教育出版社八年级数学上册二次函数
间？
知识点2 根据具体问题确定二次函数解析式
例2 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场
地，场地面积 S(m²)与矩形一边长a(m)
之间的关系是什么？是哪种函数关系？
并求出自变量的取值范围？
解：S = a( -a) = a(30 －a)
自变量的取 值范围应符 合实际意义
= －a²+ 30 a 是二次函数关系式。 自变量的取值范围：0＜a＜30
有即唯：一的值与之对应，即 y 是③x 的函数．
函数y=6x2 , m 1 n2 1 n , y=20x2+40x+20 ,
22
有什么共同点?
一次项
上述三个函数都是用自变量的二次式表示的。
一般地，形如y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
的函数，叫做二次函数。其中x是自变量，a，b，
上面问题中变量之间的关系可以用二次函数来表示.
这就是我们今天要学习的内容.
知识点1
推进新课
二次函数的概念
正方体的表面积y与棱长x的关系式 为 y=6x2 ，y是x的函数吗？ 是
显然，对于x的每一个值，y都有一个对应 值，即y是x的函数，它们的函数关系式为 .
y=6x2①
我们再来看几个问题。
问题1 n个球队参加比赛，每两队之间进行 一场比赛。比赛的场次数m与球队数n有什 么关系？
其中，y是x的一次函数有_(_1)_、__(_3)___
变
量
之 间 的
函 数
关
系
一次函数
概念 图象和性质
与相应方程的联系
实际问题
新课导入
广
场
喷
水
池
喷
八年级数学上册---二次函数抛物线公式汇总PPT课件
抛物பைடு நூலகம்公式大全
抛物线方程是指抛物线的轨迹方程，是一种用方程来表示 抛物线的方法。在几何平面上可以根据抛物线的方程画出 抛物线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数 图像。
抛物线方程公式
一般式：ax²+bx+c(a、b、c为常数，a≠0） 顶点式：y=a(X-h）2+k（a、h、k为常数，a≠0） 交点式（两根式）：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0） 其中抛物线y=aX2+bX+c(a、b、c为常数，a≠0）与x轴交点坐 标，即方程aX2+bX+c=0的两实数根
抛物线标准方程
右开口抛物线：y^2=2px 左开口抛物线：y^2= -2px 上开口抛物线：x^2=2py y=ax^2（a大于等于0） 下开口抛物线：x^2= -2py y=ax^2（a小于等于0） [p为焦准距（p>0）]
抛物线四种方程的异同
共同点： ①原点在抛物线上，离心率e均为1； ②对称轴为坐标轴； ③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们 与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4。
本课结束
不同点：
①对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2； 对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2；
②开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y 轴）的正半轴上，方程的右端取正号； 开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴） 的负半轴上，方程的右端取负号。
初中数学北师大版八年级下册《二次函数》教案
初中数学北师大版八年级下册《二次函数》教案教案标题：初中数学北师大版八年级下册《二次函数》教案教案正文：教学目标：1. 理解二次函数的定义及其图像特征。
2. 掌握二次函数的性质，包括顶点、轴对称、增减性和零点等。
3. 能够解决与二次函数相关的实际问题。
4. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 二次函数的定义及其图像特征。
2. 二次函数的顶点、轴对称、增减性和零点等性质。
教学难点：1. 能够根据图像特征确定二次函数的基本性质。
2. 能够应用二次函数解决实际问题。
教学准备：1. 教材《初中数学北师大版八年级下册》2. 教学工具：黑板、彩色粉笔、投影仪、计算器等3. 教学资源：与二次函数相关的练习题、实例题等教学过程：【课堂导入】1. 教师通过提问方式，引入二次函数的概念，介绍二次函数在实际生活中的应用，并激发学生对二次函数的兴趣。
【新课讲解】2. 教师通过数学模型、图像以及实例，讲解二次函数的定义、图像特征以及相关性质，如顶点、轴对称、增减性和零点等。
【示范演练】3. 教师通过多个实例演示，引导学生运用二次函数的性质，解决与二次函数相关的问题，并详细讲解解题思路和步骤。
【讲评互动】4. 学生进行课堂练习，教师逐步解答，并对学生的答案进行点评和提问，引导学生思考和进一步理解。
【拓展延伸】5. 教师根据学生的掌握情况，提供更多的拓展题目和练习题，激发学生的思维，培养学生解决问题的能力。
【归纳总结】6. 教师引导学生总结二次函数的基本概念、性质和解题方法，并进行板书整理，以加深学生对二次函数的理解和记忆。
【作业布置】7. 教师布置相关练习题作为课后作业，鼓励学生独立完成，巩固课堂所学知识。
【课堂小结】8. 教师对本节课进行小结，并展望下节课内容，鼓励学生积极参与课后复习和预习。
教学反思：本节课通过生动的导入、清晰的讲解和实例的演示，有效激发了学生的学习兴趣，提高了学生对二次函数的理解和掌握能力。
八年级数学《二次函数的图像与性质》实际探索教案
八年级数学《二次函数的图像与性质》实际探索教案实际探索教案：八年级数学《二次函数的图像与性质》第一部分：引言（100字）本实际探索教案旨在帮助八年级学生深入理解二次函数的图像与性质。
通过实际的探索活动，学生将发现二次函数的图像特点，掌握二次函数的性质，提高数学思维和解题能力。
第二部分：实际探索活动（400字）1. 实验材料准备：准备大量的小球或石子、纸张、直尺、图钉以及直角墨镜。
2. 实际探索步骤：a) 在平面上用纸张固定一段线段AB。
b) 将图钉固定在线段AB的中点C处，使其成为线段AB的中点垂直平分线。
c) 在直线上取一点D，然后将D点沿着垂直平分线上下移动，并记录下相应的坐标。
d) 重复步骤c)，得到一系列点的坐标。
e) 将这些点连线，观察所得到的图形。
3. 实际探索问题：a) 给定线段AB，当点D沿着垂直平分线上下移动时，所得到的图形是什么样的？b) 通过改变线段AB的长度和方向，会对所得到的图形产生怎样的影响？4. 实际探索总结：a) 当线段AB水平时，所得到的图形是什么？b) 当线段AB倾斜时，所得到的图形又是怎样的？c) 图形的对称性与线段AB的位置有何关系？第三部分：二次函数的图像与性质（400字）1. 二次函数的一般形式：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
2. 二次函数的图像为抛物线，开口方向取决于a的正负。
3. 当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
4. 二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)为二次函数。
5. 如果a > 0，则顶点为最小值点；如果a < 0，则顶点为最大值点。
6. 当二次函数的a的绝对值越大或c的绝对值越小，抛物线越窄长；反之，则抛物线越宽短。
7. 二次函数的对称轴为直线x = -b/2a。
8. 二次函数与x轴的交点称为二次函数的零点，可通过求解ax^2 + bx + c = 0来求得。
八年级上册代数知识点
八年级上册代数知识点代数是数学中的一个极其重要的部分，代数涉及了数字和符号的运算和关系，是理解和应用数学的基础。
在八年级上册，学生们将接触和学习更加深入的代数知识，如一次函数、二次函数、线性方程组等等。
本文将从以下几个方面介绍八年级上册的代数知识点。
一. 一次函数和二次函数在学习代数时，最基本的是学习一次函数和二次函数。
一次函数是以y=kx+b的形式出现，其中k和b是常数，x是函数的自变量，y是函数的因变量。
一次函数指的是函数的最高次幂是1的函数式。
一次函数的应用非常广泛，如在房租、工资等方面，都会出现一次函数的应用。
二次函数则是指最高次数为2的函数，它的一般式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c均为常数。
二次函数可以用来描述很多自然和社会现象，如物体运动、抛物线、城市人口增长等等。
掌握一次函数和二次函数的概念和运用是学习代数的重要基础。
二. 线性方程组线性方程组是指一组线性方程的集合。
对于n个未知数x1，x2，…，xn的线性方程组，可以表示成如下形式：a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2……an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn其中，aij和bi均为常数。
当且仅当该线性方程组有解时，称其为可解的。
线性方程组可以用于解决很多实际问题，如求解平面内的交点、解决投资、制作等问题。
三. 负数的运算负数也是代数中非常重要的概念，它是指小于零的整数，常被用来描述负债、温度等现象。
负数的运算包括加、减、乘、除等。
负数运算需要注意的一些点是：1.当两个负数相乘时，结果是正数，例如-3×-4=12。
2.两个负数相除时，结果也是正数，例如-6 ÷ -2=3。
3.同符号两数相加，不改变符号；异符号两数相加，结果符号和绝对值大的一方相同。
4.同符号两数相减，结果符号和绝对值相减的一方相同；异符号两数相减，结果符号和绝对值大的一方相反。
八年级二次函数知识点讲解
八年级二次函数知识点讲解二次函数是数学中的一个重要知识点，广泛应用于各个领域，如物理、经济学、地理、工程学等等。
在初中数学阶段，八年级正是学习二次函数的重要时期。
下面，我们来深入了解八年级二次函数的相关知识点。
一、概念二次函数是函数的一种类型，它的一般式为y = ax² + bx + c，其中a,b,c为实数，a ≠ 0。
其中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
二、图像二次函数的图像是开口朝上或者朝下的抛物线。
如果a>0，则图像开口朝上，如果a<0，则开口朝下。
当a的绝对值越大，抛物线开口越宽。
三、顶点坐标二次函数的顶点坐标为(x,y)，其中x的坐标为-b/2a，y的坐标为f(x)。
如果a>0，则f(x)取最小值，即顶点的函数值最小。
如果a<0，则f(x)取最大值，即顶点的函数值最大。
四、零点二次函数的零点是它与x轴的交点。
一元二次方程ax²+bx+c=0的解可用公式：x = (-b±√(b²-4ac))/2a 求得。
其中，若b²-4ac>0，则解为两个实根，也就是函数与x轴交于两个点；若b²-4ac=0，则解为一个实根，也就是函数与x轴在一个点上相切；若b²-4ac<0，则解为两个虚根，也就是函数与x轴没有交点。
五、对称轴二次函数的对称轴是过顶点且与抛物线垂直的一条直线。
对称轴的方程为x = -b/2a。
六、关于直线的位置关系如果一条直线与二次函数有交点，则交点有且仅有一个、两个或者没有。
若二次函数与直线有且仅有一个交点，则该直线称为切线，交点为切点；若有两个交点，则该直线与二次函数相交；若没有交点，则该直线与二次函数平行或相离。
七、变形对二次函数的变形主要有平移、伸缩和翻折三种变形方式。
平移是指将抛物线整体上下或左右移动；伸缩是指将抛物线纵向或横向拉长或缩短；翻折是指将抛物线上下或左右翻折。
北师大版八年级数学上册 第二章 二次函数知识整理及基础训练(含答案)
第二章 二次函数知识整理及基础训练【知识整理】1. 定义：形如：c bx ax y ++=2（其中a,b,c 是常数，且a ≠0）的函数是二次函数。
2. 本质：二次函数是用自变量的二次式表示的函数。
3. 图象：二次函数的图象是抛物线，抛物线是轴对称图形，对称轴和抛物线的交点叫做抛物线的顶点。
4. 二次项的系数a 对抛物线的影响：当 a>0时,抛物线的开口向上, 当 a<0时,抛物线的开口向下；a 越大开口越小, a 越小开口越大、综上所述：a 决定抛物线的开口大小和方向，即a 决定抛物线的形状。
5. 一次项的系数b 对抛物线的影响： 当b=0时,抛物线的对称轴是y 轴； 当a,b 同号时,对称轴在y 轴的左边；当a,b 异号时,对称轴在y 轴的右边。
即“左同右异” 综上所述：a,b 决定抛物线的左右位置。
6. 常数项c 对抛物线的影响：当c>0时,抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴； 当c<0时,抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴； 当c=0时,抛物线经过原点、综上所述：c 决定抛物线的上下位置。
7. 判别式⊿对抛物线的影响：当⊿>0时,抛物线与x 轴有两个交点；当⊿=0时,抛物线与x 轴有一个交点,即顶点在x 轴上； 当⊿<0时,抛物线与x 轴没有交点。
综上所述：⊿决定抛物线与x 轴交点的个数。
8. 当 a>0且⊿<0时, 二次函数c bx ax y ++=2的值恒为正；当 a<0且⊿<0时, 二次函数c bx ax y ++=2的值恒为负。
9. 当x=0, 二次函数c bx ax y ++=2的值为c, 当x=1, 二次函数c bx ax y ++=2的值为c b a ++, 当x=-1, 二次函数c bx ax y ++=2的值为c b a+-,……10. 二次函数c bx ax y ++=2的对称轴为直线abx 2-=，顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,2211. 二次函数的解析式有如下三种形式：12. 当 a>0时，若a bx 2-<，y 随着x 的增大而减小，若a b x 2->，y 随着x 的增大而增大，当 a<0时，若a bx 2-<，y 随着x 的增大而增大，若ab x 2->，y 随着x 的增大而减小。
八年级二次函数的知识点
八年级二次函数的知识点二次函数是初中数学中十分重要的内容之一，它将直线与曲线融合在一起，形成了一种特殊的函数类型。
在学习了初一、初二的函数知识后，学生们逐渐进入到了初中数学的高峰——二次函数的学习中。
本文将从图像、性质、拐点、零点和应用五个方面分别介绍八年级二次函数的知识点。
一、图像二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线，其标准式为y=ax²+b。
当a>0时，图像开口向上，当a<0时，则开口向下。
二、性质1、对称性二次函数的图像关于直线x=-b/2a对称。
证明如下：设顶点坐标为（h, k），则由二次函数的标准式可得y=a(x-h)²+k。
当x=h±t时，上式中的x分别为h+t和h-t，代入后可得：y-k=a(h+t-h)²=y-k=a(t)²y-k=a(h-t-h)²=y-k=a(-t)²从中可以看出，当t取任意实数时，y-k的值是相等的，因此对于任意的x，都有（x, y）和（2h-x, y）对称。
由此可以得知，二次函数的图像关于直线x=-h对称。
由于二次函数的h坐标为-b/2a，因此可以得知其对称轴方程为x=-b/2a。
2、正负性若a>0，则二次函数是一个上凸的图像，其最低点（即顶点）为（-b/2a, -△/4a）。
若a<0，则二次函数是一个下凸的图像，其最高点（即顶点）为（-b/2a, -△/4a）。
其中，△为一元二次方程中的判别式，△=b²-4ac。
三、拐点二次函数的拐点位于抛物线的顶点处，当二次函数极值不存在时，拐点即为最值点。
拐点处，二次函数的导数为0。
证明如下：对y=ax²+b求导可得y'=2ax，令y’=0，可得x=0。
则当a<0时二次函数开口朝下，有极大值；当a>0时，二次函数开口向上，有极小值。
四、零点二次函数的零点是指函数图像与x轴交点处的横坐标。
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