中央财经大学 研究生 博弈论课件

（三）纳什均衡与子博弈精炼 纳什均衡


子博弈精炼纳什均衡本身是纳什均衡， 是比纳什均衡更强的均衡概念，是动态 博弈中最核心的概念和基本着眼点。 子博弈精炼纳什均衡的价值在于能够排 除均衡策略中不可置信的威胁或承诺， 把动态博弈中的合理纳什均衡和不合理 纳什均衡分开，从而给出动态博弈结果 的一个合理稳定的预测。而非子博弈精 炼纳什均衡则不能做到这一点。

琼斯夫人准备与其丈夫离婚。按照婚前协议， 如果她能证明她的丈夫有过外遇就能得到10万 元，反之只能得到5万元。她的律师只有雇佣 私人侦探才能证明她的丈夫有外遇。雇佣私人 侦探的费用为1万元，由律师支付。琼斯夫人 有两个选择：不管诉讼结果如何，都付给律师 2万元，或者支付诉讼收入的1/3。律师只有在 有利可图的情况下才会雇佣私人侦探。写出这 个博弈的扩展式表示，并判断哪种支付方法能 使她赢得诉讼。

例子：分级协调博弈I
Jones large
Smith
small
large
small
2，2
-1，-1
-1，-1
1，1
例子：分级协调博弈I
small small S small large J2 large ● (2，2) ● (-1，-1) J1 large ● (-1，-1) ● (1，1)
例子：分级协调博弈II
• （大，大）：如果Smith 选择“大”，Jones选择
Jones
（大，大） （大，小）
（小，大）
（小，小）
Smith
大
2，2
2，2
-1，-1
-1，-1
小
-1，-1
1，1
-1，-1
1，1
二、策略的可信性问题

在动态博弈中，纳什均衡可能失效。原 因在于它不能排除策略不可信问题。
例子
不同版本的开金矿博弈——分钱和打官司的可信性
五、应用举例

斯坦克尔伯格模型 讨价还价博弈
思考题：强盗分赃



五个海盗抢到了100颗宝石，他们通过抓阄确 定了提出方案的顺序，五个强盗分别抓到号码 一、二、三、四、五。号码是他们的发言顺序。 规则如下： 首先，一号强盗提出分配方案，全部强盗（包 括一自己）中过半数通过其方案即实施该方案， 博弈结束；否则将一号强盗喂鲨鱼； 其次，二号强盗提出方案，全部强盗（注：此 时全部强盗是二、三、四、五，因为一已死去） 中过半数通过其方案即实施该方案，博弈结束； 否则将二号强盗喂鲨鱼；
逆向归纳法

一般方法：从博弈最后一个决策结开始 分析，寻找参与者的最优选择，然后逆 推至倒数第二个决策结，寻找参与者最 优选择，这样一直逆推到初始结为止。 每一步都得到了对应子博弈的一个纳什 均衡。由定义可知，这一个纳什均衡一 定是该子博弈的所有子博弈的纳什均衡。 它也一定是子博弈精炼纳什均衡。
例子：
1 n
1
n
i
i
1
n
例子：古诺模型

P=8-Q， Q q1 q2 FC=0 MC=2
wenku.baidu.com
2.基本特征


阶段博弈之间没有“物质”上的联系。 所有参与者都观测到博弈过去的历史， 即知道过去阶段博弈的结果和过程。 参与者的总支付是所有阶段博弈支付的 贴现值之和或加权平均值。
3.分类


有限次重复博弈：阶段博弈的有限次重 复。 无限次重复博弈：阶段博弈一直重复下 去。
（二）有限次重复博弈


扩展式表示所扩展的主要是参与者 的策略空间。 有限博弈的扩展式表示一般可用博 弈树来表示。博弈树给出了有限博 弈的几乎所有信息。博弈树包括结、 枝和信息集三部分组成。
信息集
信息集：博弈树上所有的决策结可以分割成不 同的信息集。参与者的一个信息集是指满足以 下条件的决策结的集合： ①其中的每个决策结都是同一参与者的决策结； 这意味着参与者不会将自己行动的结与他人行 动的结相混淆。 ②当博弈进行到信息集中的某个决策结时，应该 行动的参与者并不知道达到了信息集中的哪个 结。这意味着参与者在一个信息集中的每个决 策结都有着相同的可行动集合；否则，该参与 者可通过他面临的不同的可行动集合来推断博 弈进行到某个决策结。
R d 2 r D (2,2) 1 R D 1 R d 2 r D 1 R d 2 (100,100) r
1 D (1,1)
(0,3)
(98,98) (97,100)(99,99) (98,101)
存在问题


逆向归纳法未对某些未预料到的事情出 现时，人们如何形成预期做出解释，使 得在理性人假设下得出的结论是否符合 实际，还需要另外分析。 由于子博弈精炼纳什均衡是逆向归纳法 理论的扩展，上面有关逆向归纳法理论 的批评自然也适用于子博弈精炼纳什均 衡。
三、子博弈精炼纳什均衡
（一）子博弈： 一个扩展式博弈的子博弈由一个决策结及 其所有的后续结组成，且满足： （1）始于单结信息集的决策结n。 （2）包含博弈树中n之后所有决策结和终 点结（后续结）。 （3）没有对任何信息集形成分割。
（二）子博弈精炼纳什均衡


如果一个策略组合在它本身和每个子博 弈上都构成纳什均衡，就是子博弈精炼 纳什均衡。 子博弈精炼纳什均衡要求参与者是序贯 理性的，即不论过去发生了什么，参与 者应该在博弈的每个时点上最优化自己 的决策。
强盗分赃



再次，三号强盗提出方案，全部强盗中 过半数通过其方案即实施该方案，博弈 结束；否则将三号强盗喂鲨鱼； 然后，四号强盗提出方案，全部强盗中 过半数通过其方案即实施该方案，博弈 结束；否则将四号强盗喂鲨鱼； 最后，五号强盗提方案，博弈结束。
六、逆向归纳法与子博弈精炼 纳什均衡存在的问题
例子：两市场博弈
厂商B
大 小
1，4
厂商 A
大 小
3，3
4，1
0，0
（三）无限次重复博弈

民间定理：设G是一个完全信息的静态博 G 弈， (, ) 是以G为阶段博弈的无限次重 复博弈。用 (e ,, e ) 表示G的一个纳什均衡 决定的支付，用 ( x ,, x ) 表示G的任意可实 x 现支付。如果对于任意参与者i， e 都成 立，而δ足够接近1，那么无限次重复博 弈 G(, ) 中一定存在一个子博弈精炼的纳 什均衡，各参与者的平均支付为 ( x ,, x ) 。
借
甲 分 乙 不借 借 甲 （1，0） 不分 分 （0，4） （2，2） 打 （1，0） 乙 不借 乙 借 甲 分 不借
（1，0） 不分 乙 不打 （0，4）
（2，2）
（2，2）
打
（1，0） 不分 乙 不打
（-1，0）
（0，4）
开金矿博弈
有法律保障的开金矿博弈 ——分钱打官司都可信
法律保障不足的开金矿博弈 ——分钱打官司都不可信


共同知识假定是一个非常强的假定，随 着参与者数量增加，这个假定越难满足。 按照定义，逆向归纳法过程不适用于无 限博弈和不完美信息博弈。但这并不意 味着无限博弈没有纳什均衡解。另外， 有些不完美信息博弈也可以运用逆向归 纳法的逻辑求解。
例子：蜈蚣博弈

该博弈是说明逆推归纳法和博弈分析困难的经典博弈
small small S small large J2 large ● (2，2) ● (-1，-1) J1 large ● (-1，-1) ● (1，1)

Smith的策略： “大”或者“小” Jones的策略：
“大”；如果 Smith选择“小”，Jones选择“大”。 • （大，小）：如果Smith 选择“大”，Jones选择 “大”；如果 Smith选择“小”，Jones选择“小”。 • （小，大）：如果Smith 选择“大”，Jones选择 “小”；如果 Smith选择“小”，Jones选择“大”。 • （小，小）：如果Smith 选择“大”，Jones选择 “小”；如果 Smith选择“小”，Jones选择“小”。
纳什均衡与子博弈精炼纳什均 衡

纳什均衡只要求均衡策略在均衡路径的 决策结上是最优的，对一个参与者在非 均衡路径的信息集上的选择没有限制。 而子博弈精炼纳什均衡的策略不仅在均 衡路径的决策结是最优的，是在非均衡 路径决策结上也是最优的（这是两者的 实质区别）。
四、逆向归纳法


对有限完美信息博弈，逆向归纳法是求 解子博弈精炼纳什均衡的最简便方法。 逻辑基础：动态博弈中先行动的参与者 必然会考虑到后行动的参与者的选择行 为，只有在最后一个决策结上，不再有 后续的牵制的参与者，才能直接做出明 确选择，而当最后一个决策结的最优选 择确定以后，前面的选择也就容易确定 了。
七、重复博弈

重复博弈的含义与特征 有限次重复博弈 无限次重复博弈
（一）含义、特征与分类
1.含义 重复博弈：同样结构的博弈重复进行多次的博 弈过程，其中每次博弈称为“阶段博弈”。 重复博弈是动态博弈 。 重复博弈尽管形式上是重复进行，但不是阶段 博弈的简单重复或简单叠加。 重复次数的重要性在于改变博弈的结果，这来 自于参与者长短期利益之间的权衡。
1.存在惟一纯策略纳什均衡博弈的有限次 重复博弈 一般结论：重复博弈的阶段博弈G有惟一 的纯策略纳什均衡，则对任意正整数T， 重复博弈G（T）有惟一的子博弈精炼纳 什均衡，即各个参与者每个阶段都采用G 的纳什均衡策略。G（T）的总支付为G 的支付的T倍，平均支付为G 的支付。

例子：囚徒困境
囚徒B
第二章
完全信息的动态博弈
主要内容



博弈的扩展式表示 策略的可信性 子博弈精练纳什均衡 逆向归纳法 应用举例 逆向归纳法与子博弈精炼纳什均衡存在的问题 重复博弈
一、扩展式表示
扩展式表示的主要要素： 参与者 行动顺序：每个参与者在何时行动 行动空间：每次行动时参与者可供选择 的行动是什么 信息集：每次行动时参与者所知道的情 况 支付函数：参与者可能选择的每一行动 组合相对应的各个参与者的支付。
坦白 抵赖
0，-20 -1，-1
囚徒 A
坦白 抵赖
-10，-10 -20，0

例子：重复两次的囚徒困境
囚徒B
坦白 抵赖
-10，-30 -11，-11
囚徒 A
坦白 抵赖
-20，-20 -30，-10


2.存在多个纯策略纳什均衡博弈的有限次重复 博弈 民间定理：设原博弈的一次性博弈有均衡支付 数组优于各参与者在一次性博弈中的最差支付 构成的数组，则在该博弈的多次重复中，所有 不小于个体理性支付或保留支付的可实现支付， 都至少有一个子博弈精炼纳什均衡的极限的平 均支付来实现它们。 民间定理的意义在于保证有一定次数重复博弈 的子博弈精炼纳什均衡的平均支付可以实现或 逼近这些可实现支付。