概率论与数理统计期中试卷(1-4章)附答案及详解
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X，
23π+=X Y
5．设随机变量1X ,2X ,3X 相互独立，1X 在)5,1(-服从均匀分布，)2,
0(~22N X
，)2(~3Exp X （指数分布），记32132X X X Y +-=，则)(Y E )(Y D
6. 设二维正态分布的随机变量)0,3,4,2
,1( ),(2
2-N ~Y X ，且知8413.0)1(=Φ，则
-<+)4(Y X P
7. 已知随机变量X 的概率密度2
01()0 a bx x f x
⎧+<<=⎨⎩其他, 且41)(=X E ，则a b )
(X D 8. 设4.
0,36)(,25)(===XY Y D X D ρ，则=+)(Y X D =-)(Y X D 二. （10分） 某车间有甲乙两台机床加工同一种零件，甲机床加工的零件数量比乙机床多一倍，甲乙机床加工零件的废品率分别为0.03，0.02. 两机床加工出的零件放在一起. 试求 （1）任取一个零件是合格品的概率；
（2）任取一个零件经检验是废品，试求它是由乙机床生产的概率.
解：设“从放在一起的零件中任取一件发现是甲/乙机床加工的”分别记为事件,A .A
再记“从放在一起的零件中任取一件发现是废品”为事件.B 由已知得
.02.0)(,03.0)(;3
1
)(,32)(====A B P A B P A P A P …… 3’
（1）由全概率公式知
027.075
2
02.03103.032)()()()()(≈=⨯+⨯=
+=A B P A P A B P A P B P . …… 3’ 故任取一个零件是合格品的概率73
()1()0.973.75
P B P B =-=
≈ …… 1’ （2）由贝叶斯公式知
.4
102.03
103.03202.031
)()()()()()()(=⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P …… 3’
三. （10分）设某型号的电子元件的寿命X （单位: 小时）的分布密度为
⎪⎩
⎪
⎨⎧>=其它,01000,1000
)(2
x x x f
各元件在使用中损坏与否相互独立，现在从一大批这种元件中任取5只，求其中至少有一只元件的寿命大于1500小时的概率。 解：一只元件的寿命大于1500小时的概率
2100010002
(1500) ()3
P X f x dx dx x +∞+∞
-∞
>===⎰
⎰
…… 4’ 设任取的5只元件中寿命大于1500小时的元件个数为Y ，则
).32
,5(~b Y …… 2’ 则 .243242
)321(1)0(1)1(5=
--==-=≥Y P Y P …… 4’
四. （12分）设二维离散型随机向量(,)X Y 的分布律为
若X 和Y 相互独立，（1）填写上表空白部分；（2）求max{,}U X Y =的分布律；（3）求)(Y X P >，（4）求)(X E . 解： （2）
24
11
4112181 )2,3()1,3()1,2()( )3(=
++===+==+===>Y X P Y X P Y X P Y X P
（4）
6
13
313212611)(=⨯+⨯+⨯=X E . …… 每一小题占3分 -----------------------
密
封线----------------------------------------
密封线
---------------------------------------
密封线
------------------------------------
学院
专
业班级
学号
姓
名
----------------------装订线----------------------------------------
装订线
----------------------------------------
装订线
------------------------------------------
五. （12分）设(,)X Y 的概率密度函数为⎪⎩⎪
⎨⎧
<<<<=其它
，
02,10当,4),(x y x x y x f ，求（1）)(x f X ；
（2）)(x y f X Y ；（3）)21(=X y f X Y ；（4）
)2
1
8381(=< （1）242, 01 () (,) 0, x x X dx x x f x f x y dy else +∞-∞⎧=<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰. …… 3’ （2）当10< ⎪ ⎨⎧<<===else x y x x x x f y x f x y f X X Y ,0 2 ,2 24)(),()(. …… 3’ （3）上式中令2 1=x ，则⎪⎩⎪⎨⎧<<==else y X y f X Y ,02141 ,4)21(. …… 3’ （4）33 881184 13111()() 488222 Y X P Y X f y X dy dy <<=====⎰⎰. …… 3’ 1/8 1/4 3/8 1/2 x