数学模型分类和建模步骤

刍议数学模型分类和建模步骤

【摘要】本文按照不同的标准对数学模型进行了分类，并介绍了数学建模的步骤。

【关键词】数学模型；数学建模；步骤

【关键词】mathematical model； mathematical modeling；steps

1 数学模型分类

建立数学模型，可能会涉及许多数学分支，一个问题，往往可以利用不同方法建立不同的模型。因此绝对的分类，对于建立数学模型是不利的，但是大致的分类，对初学者，在确立原型所属系统或采用数学工具时，会有一定的帮助。数学模型按不同标准可分为不同的类型：

1.1 按时间变化对模型的影响，可分为时变与时不变模型，静态与动态模型等。

1.2 按变量情况可分为离散型与连续型模型，确定性模型或随机性模型等。

1.3 按实际系统与周围环境相互关系可分为自治的或非自治模型。

1.4 按研究方法和对象的数学特征，可分为优化模型、逻辑模型、稳定性模型、扩散模型等。

1.5 按研究对象的实际领域可分为人口模型、交通模型、生态模型、经济模型、社会模型等。

2 数学建模的步骤

建立数学模型是一种积极的思维活动，从认识论角度看，是一种极为复杂且应变能力很强的心理现象，一般可分为以下几个步骤：第一步：模型准备。建模的问题可能来自各行各业，而学生都不可能是全才。因此，当刚接触某个问题时，学生可能对其背景知识一无所知，这就需要学生想方设法地去了解问题的实际背景。通过查阅、学习，可能对问题有了一个模糊的印象。再通过进一步的分析，对问题的了解会更明朗化。模型准备跟炒菜前的准备一样，准备得越充分，解决问题就越得心应手。

第二步：模型的假设。现实世界的复杂性和多样性，使得学生不得不根据实际情况扩大思考的范围，再根据实际对象的特性和建模的目的，在分析问题的基础上对问题进行必要的、合理的取舍简化，并使用精确的语言作出假设。如果假设过于详细，试图把复杂的实际现象的各个因素都考虑进去，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为。在假设中，应抓住问题的关键因素，抛弃次要因素。当然，如果假设不合理或过分简单，也同样会因为与实际相去甚远而使建模归于失败。必要而合理化的模型假设应遵循两条原则：（1）简化问题；（2）保持模型与实际问题的“贴近度”。

第三步：模型的建立。根据所做的假设，利用适当的数学工具（应用相应的数学知识），建立多个量之间的等式或不等式关系，列出表格，画出图形，或确定其他数学结构。事实上，建模时还有一个原则，即尽可能采用简单的数学工具，以便使更多的人能够了解和

使用模型。

第四步：模型的求解。对建立的模型进行数学上的求解，包括解方程、画图形、证明定理以及逻辑运算等，会用到传统的和近代的数学方法，特别是软件和计算机技术。目前有一些非常优秀的数学软件，如matlab、mathematica、maple、lingo等，它将为学生求解数学模型提供方便快捷的手段和方法。

第五步：模型的分析。将求得的模型结果进行数学上的分析。有时根据问题的性质，分析各变量之间的关系和特定状态；有时根据所得的结果给出数学上的预测；有时则给出数学上的最优决策或控制。这一步有时视实际问题的情况也可以合并在下一步。

第六步：模型的检验。把模型分析的结果返回到实际所研究的对象中，如果检验的结果不符合或部分符合实际情况，那么必须回到建模之初，修改、补充假设，重新建模；如果检验结果与实际情况相符，则进行最后的工作——模型的应用。

当在面临新的建模问题时，这几个步骤具有指导意义，应当注意的是，这几个步骤的目的是指导更好地进行建模实践，其应用是可以有弹性的，切勿生搬硬套。也就是说，不是每个建模问题都要经过这六个步骤，其顺序也不是一成不变的。一个具体建模问题要经过那些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关。因此，在建模过程中不要局限于形式上的按部就班，重要的是根据所研究对象的特点和建模的目的，去粗取精、去伪存真，不断完善。

【参考文献】

[1]颜文勇.数学建模[m].高等教育出版社，2011.

[2]姜启源.数学模型[m].北京：高等教育出版社，1993：125-126.