正确用判别式法求值域着重点辨析

正确用判别式法求值域“着重点”辨析

用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要方法之一，它主要适用于分式型二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的一些函数求值域问题。但在用判别式法求值域时因忽视一些“着重点”而经常出错，下面针对“着重点”一一加以辨析

着重点1 对二次方程的二次项系数是否为零加以讨论

例1 求函数3

22122+-+-=x x x x y 的值域。 错解 原式变形为0)13()12()12(2=-+-+-y x y x y （*）

∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2≥----=∆y y y ，解得

21103≤≤y 。 故所求函数的值域是]21,103[

分析 把21=y 代入方程（*）显然无解，因此21=y 不在函数的值域内。事实上，21=y 时，方程（*）的二次项系数为0，显然用“∆”来判定其根的存在情况是不正确的，因此要注意判别式存在的前提条件，即需对二次方程的二次项系数加以讨论。

正解 原式变形为0)13()12()12(2

=-+-+-y x y x y （*） （1）当2

1=

y 时，方程（*）无解； （2）当2

1≠y 时，∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2≥----=∆y y y ，解得2

1103<≤y 。 由（1）、（2）得，此函数的值域为)21,103[ 着重点2 将原函数转化为方程时应等价变形

例2 求函数1++=x x y 的值域。

错解 移项平方得：()011222=+++-y x y x ，

由()014)]12([22≥+---=∆y y 解得43≥y ，则原函数的值域是⎪⎭

⎫⎢⎣⎡+∞,43. 分析 由于1-=

-x x y 平方得()011222=+++-y x y x ，这种变形不是等价变

形，实际上扩大了x 的取值范围，如果从原函数定义域1≥x ，那么11≥++

=x x y ，显然⎪⎭

⎫⎢⎣⎡+∞∈,43

y 是错误的。 正解 令1-=x t ，则t ≥0，得12+=t x ，∴432112

2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=t t t y ， 又 t ≥0，∴14321012

2=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥++=t t y ， 故原函数的值域为[)+∞∈,1y

着重点3 整体换元后新旧变量的限制条件要一致

例3 求函数5

422++=x x y 的值域 错解 令42+=x t ，则1

2+=t t y ，∴02=+-y t yt ，由0412≥-=∆y 及0>y 得值域为]2

1,0(∈y 。

分析 解法中忽视了新变元t 满足条件2≥t 。

正解 设y t yt t f +-=2)(，0>y ，),2[+∞∈t ， ⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧>≤>>≥∆2210)2(0)2(0,0y f f y 或520≤<⇔y 。故函数得值域为]520，（。

着重点4 力求先化简，不盲目用判别式法

当用分子分母有公因式时，不能转化为二次方程再用判别式法，而应先约去公因式

例4 求函数1

222--+=x x x y 的值域 错解 1

222--+=x x x y )1(±≠x ----------------------①

∴222-+=-x x y yx ，即()0212=+---y x x y ---------②

当01=-y ，即1=y 时，由②得1=x （舍去），∴1≠y ；

当01≠-y 即1≠y 时，()()02141≥+---=∆y y x 得()0322

≥-y , ∴R y ∈。 综上可述，原函数的值域为{y |1≠y 且R y ∈}。

分析 事实上，当23=y ，即1

222--+x x x =23时，解得1=x ，而当1=x 时原函数没有意义，故2

3≠y 。错误的原因在于，当1=x 时，()212+---y x x y 的值为零，所以1=x 是方程②的根，但它不属于原函数的定义域，所以方程②与方程①不同解，故函数1

222--+=x x x y 不能转化为二次方程，用二次方程的理论行不通。 正解 原函数可化为y =)1)(1()1)(2(+--+x x x x =)1()2(++x x )1(±≠x ，即111++=x y )1(±≠x , 11+x 0≠，1≠∴y 且2

3≠y 故原函数的值域为{y |1≠y 且23≠

y }。