初三数学专题讲义存在性问题

初三数学讲义 存在性问题教学过程：一、教学衔接（课前环节）1、回收上次课的教案，了解家长的反馈意见；2、检查学生的作业，及时指点3、捕捉学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容二、知识点解析存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。

这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。

若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。

由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。

一、函数中的存在性问题（相似）1.（2011枣庄10分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，把抛物线2y x =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2()y x h k =-+.所得抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D.（1）写出h k 、的值；（2）判断△ACD 的形状，并说明理由；（3）在线段AC 上是否存在点M ，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.二、函数中的存在性问题（面积）2. 如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线ky x=相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan∠AOX＝4．过点A 作直线AC∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．三、函数中的存在性问题（四边形）3． 如图，二次函数y = -x 2+ax +b 的图像与x 轴交于A (-21，0)、 B (2，0)两点，且与y 轴交于点C ； (1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC 的形状；(2) 在x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P巩固练习，及时反馈1.如图，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （﹣3，3）及原点O ，顶点为C ． （1）求抛物线的解析式；（2）若点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作PMx 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以P 、M 、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．yA BC Ox2.如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y=k x+3。

(1) 设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式。

(2)设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP。

请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；(3)是否存在使△AMN的面积等于3225的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由。

3．已知直角坐标系中有一点A（－4，3），点B在x轴上，△AOB是等腰三角形．(1）求满足条件的所有点B的坐标；(2）求过O、A、B三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条即可）；(3）在（2）中求出的抛物线上存在点P，使得以O，A，B，P四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积．4、在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数23=y（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：①求出点A，B，C的坐标．②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的12．若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．5．如图所示，抛物线与x 轴交于点()()1030A B -，、，两点，与y 轴交于点()03.C -，以AB 为直径作M ⊙，过抛物线上一点P 作M ⊙的切线PD ，切点为D ，并与M ⊙的切线AE 相交于点E ，连结DM 并延长交M ⊙于点N ，连结.AN AD 、 (1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标； (2）若四边形EAMD 的面积为43，求直线PD 的函数关系式；(3）抛物线上是否存在点P ，使得四边形EAMD 的面积等于DAN △的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.1、【答案】解：（1）∵由平移的性质知，2()y x h k =-+的顶点坐标为Ｄ（－１，－４），∴14h k =-=-，。

（2）由（1）得()2=14y x +-.当=0y 时，()2140x +-=． 解之，得1231x x =-=， 。

∴A(30)B 10- ，，(，).又当0x =时，()()22=140143y x +-=+-=-，∴C 点坐标为（0，－3）。

又抛物线顶点坐标D （－1，－4），作抛物线的对称轴1x =-交x 轴于点E ，DF⊥ y 轴于点F 。

易知 在Rt△AED 中，AD 2=22+42=20，在Rt△AOC 中，AC 2=32+32=18，在Rt△CFD 中，CD 2=12+12=2， ∴AC 2＋ CD 2＝AD 2。

∴△ACD 是直角三角形。

（3）存在．作OM ∥BC 交AC 于M ，Ｍ点即为所求点。

由（2）知，△AOC 为等腰直角三角形，∠BAC＝450，AC 1832==。

由△AOM∽ △ABC，得AO AMAB AC =。

即39,AM 24432== 。

过M 点作MG⊥AB 于点G ，则AG=MG=29281942164⎛⎫⎪⎝⎭==，OG=AO －AG=3－9344=。

又点M 在第三象限，所以M （－34，－94）。

2、【答案】解：（1）把点B （－2，－2）的坐标代入k y x =得，22k-=-，∴k ＝4。

∴双曲线的解析式为：4y x=。

设A 点的坐标为（m ，n ）．∵A 点在双曲线上，∴mn＝4。

又∵tan∠AOX＝4，∴m n＝4，即m ＝4n 。

∴n 2＝1，∴n＝±1。

∵A 点在第一象限，∴n＝1，m ＝4。

∴A 点的坐标为（1，4）。

把A 、B 点的坐标代入2y ax bx =+得，4422a b a b +=⎧⎨-=-⎩，解得，a ＝1，b ＝3。

∴抛物线的解析式为：23y x x =+。

（2）∵AC∥x 轴，∴点C 的纵坐标y ＝4，代入23y x x =+得方程，2340x x +-=，解得x 1＝－4，x 2＝1（舍去）。

∴C 点的坐标为（－4，4），且AC ＝5。

又∵△ABC 的高为6，∴△ABC 的面积＝12×5×6＝15。

（3）存在D 点使△ABD 的面积等于△ABC 的面积。

理由如下：过点C 作CD∥AB 交抛物线于另一点D ，此时△ABD 的面积等于△A BC 的面积（同底：AB ，等高：CD 和AB 的距离）。

∵直线AB 相应的一次函数是：22y x =+，且CD∥AB， ∴可设直线CD 解析式为2y x p =+， 把C 点的坐标（﹣4，4）代入可得，12p =。

∴直线CD 相应的一次函数是：212y x =+。

解方程组23212y x x y x ⎧=+⎨=+⎩，解得，318x y =⎧⎨=⎩。

∴点D 的坐标为（3，18）。

3、答案：[解] (1) 根据题意，将A (-21，0)，B (2，0)代入y = -x 2+ax +b 中，得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+--02402141b a b a ，解这个方程，得a =23，b =1，∴该拋物线的解析式为y = -x 2+23x +1，当 x =0时，y =1， ∴点C 的坐标为(0，1)。

∴在△AOC 中，AC =22OC OA +=221)21(+=25。

在△BOC 中，BC =22OC OB +=2212+=5。

AB =OA +OB =21+2=25，∵AC 2+BC 2=45+5=425=AB 2，∴△ABC 是直角三角形。

(2) 点D 的坐标为(23，1)。

(3) 存在。

由(1)知，AC ⊥BC 。

若以BC 为底边，则BC //AP ，如图1所示，可求得直线BC 的解析式为y = -21x +1，直线AP 可以看作是由直线BC 平移得到的，所以设直线AP 的解析式为y = -21x b ， y A B COxP把点A (-21，0)代入直线AP 的解析式，求得b = -41，∴直线AP 的解析式为y = -21x -41。

∵点P 既在拋物线上，又在直线AP 上，∴点P 的纵坐标相等，即-x 2+23x +1= -21x -41，解得x 1=25，x 2= -21(舍去)。

当x =25时，y = -23，∴点P (25，-23)若以AC 为底边，则BP //AC ，如图2所示。

可求得直线AC 的解析式为y =2x +1。

直线BP 可以看作是由直线AC 平移得到的，所以设直线BP 的解析式为y =2x +b ，把点B (2，0)代 入直线BP 的解析式，求得b = -4，∴直线BP 的解析式为y =2x -4。

∵点P 既在拋物线 上，又在直线BP 上，∴点P 的纵坐标相等，即-x 2+23x +1=2x -4，解得x 1= -25，x 2=2(舍去)。

当x = -25时，y = -9，∴点P 的坐标为(-25，-9)。

综上所述，满足题目条件的点P 为(25，-23)或(-25，-9)。

练习1、【答案】解：（1）设抛物线的解析式为()20y ax bx c a =++≠，∵抛物线过A （﹣2，0），B （﹣3，3），O （0，0）可得 42=093=3=0a b c a b c c -+⎧⎪-+⎨⎪⎩，解得 =1=2=0a b c ⎧⎪⎨⎪⎩。

∴抛物线的解析式为22y x x =+。

（2）①当AE 为边时，∵A、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，∴DE=AO=2，则D 在x 轴下方不可能，∴D 在x 轴上方且DE=2，则D 1（1，3），D 2（﹣3，3）。