物理玻色爱因斯坦凝聚

n0(T)2 h3(2m )32 0
12
e/k T 1dn
因为考虑 T TC ，在第二项中已取极限μ→－0。
令 x/kT
n02 h3(2m)32 0
12
e/k
d T1
2h3 (2mk)3T2 0
12
exx1dx
n( T TC
)3
2
n0(T)n[1(T T C)32]
玻色系统
态1 态2 态3
AA
AA
AA
AA
AA
A
A
６个
费米系统
态1 态2 态3
AA
AA
A
A
３个
3个玻色子占据2个能级（ 12,21）的分布与微观状态
分布
a1
a2
30
21 12
分布对应的 微观状态数
4
3 2
能级１
态1 态２
•••
•••
•• •
• ••
••
••
•• •
•
能级２ 态３
• • •
•• ••
平衡态对应的分布是最概然分布
四. 玻色和费米分布
玻尔兹曼分布：
al lel
玻色分布：
al ell 1
费米分布：
al ell 1
其中， 和由下式决定：
al N,
lal E
l
l
若满足经典极限条件：e 1
则玻色和费米分布过渡到玻尔兹曼分布
e1al 1 (对所l)有
l
经典极限条件， 或非简并性条件
F .D . l
al!
l! la l !
(la l)
三. 最概然分布
可能存在这样一个分布，它使系统的微观状态数最多。
分布 al 出现的几率：
W 每 个 微 观 状 态 的 几 率 微 观 状 态 数 微 观 状 态 数 每 个 微 观 状 态 的 几 率
根据等概率原理，对处于平衡态的孤立系统，每一个可能的 微观状态的几率是相等的。因此，微观状态数最多的分布， 出现的几率最大，称为最概然分布。
物理玻色爱因斯坦凝聚
...Created 1995
美国科罗拉多大学的Eric Connel和Carl Wieman以及麻省理工学院的 Wolfgang Ketterle。
E. A. Cornell C. E. Wieman W. Ketterle
The Nobel Prize in Physics 2001
当理想玻色气体
n3 2.612
强简并条件
等价于
TTc (2.6212)2/3
n 2 2/3 mk
临界温度条件
Critical temperature
时，出现独特的玻色－爱因斯坦凝聚现象。
§1 玻色分布 一. 微观粒子全同性原理
全同的粒子系统就是由具有完全相同的属性（相同的质量、自旋、电荷
等）的同类粒子所组成的系统，如自由电子组成的自由电子气体是全同的粒
经典极限条件表示，在所有的能级，粒子数都远小于量子态数。
§2 玻色—爱因斯坦凝聚
一.凝聚温度TC 的计算
据玻色分布，处在能级 l 的粒子数为
al
e
Hale Waihona Puke Baidu
l
l
1
1 kT
kT
al
l
l
ekT1
(8.3.1)
l
显然 al 0 e kT 1
以 0 表示粒子的最低能级，这个要求表示为： 0
若取最低能级为能量的零点，即 0 0
1
Vl
l
l
Nn V
ekT 1
Ok?
(8 .3 .5 ):
2 h 3(2 m )32 0e( )1 /k 2 T 1dn
(8.3.4):
1
Vl
l
l
Nn V
ekT 1
Ok?
(8 .3 .5 ):
2 h 3(2 m )32 0e( )1 /k 2 T 1dn
1 /2
当 0 , 0 时 ,
则
0
由公式
1
Vl
l
l
Nn V
ekT 1
知 为T和n的函数。在n给定时，T 越小则要求 越小。
即化学势随温度的降低而升高。
1
Vl
l
l
ekT 1 l
2 h 3(2 m )32
12 l
l
dl
ekT 1
2 h3(2m )32 0
12
e()/k
T 1d
n
假设自旋为0
化学势随温度的降低而升高，当温度降至某一临界温度 T C
子组成的系统。
全同粒子是不可分辨的
2
2
t 0
1
t 0
1
经典
量子
对于不可分辨的全同粒子，确定系统的微观状态归结为确定 每一个体量子态上的粒子数。
二. 玻色子(bose)和费米子(fermi)
玻色子：即自旋量子数是整数的。 如光子自旋量子数为1、π介子自旋量子数为0，是玻
色子。
费米子：即自旋量子数为半整数的。 如电子、质子、中子等自旋量子数都是1/2，是费米子。
03
1
•••
3个费米子占据2个能级（12,21）的分布与微观状态
分布
a1
a2
21
分布对应的 微观状态数
1
能级１ 态1 态２
••
能级２ 态３
•
玻色系统微观状态数
粒子不可分辨，每个个体量子态能容纳的粒子个数不受限制。
费米系统微观状态数
B.E.
l
l al 1 ! al!l 1 !
粒子不可分辨，每个个体量子态最多只能容纳一个粒子。
时，μ将趋于－0。这时 e kTC 趋于1。
临界温度 T C
令 x/kTC
2(2m)32
h3
0
12
e/kC T1d n
2 h3(2mkc)3T2 0
12
x dxn
ex1
x
12
0
ex
dx 1
2
2.612
对于给定的粒子数密度n，临界温度TC为
TC(2.621)23 2m 2(k n)23
(8.3.8)
0 , 而 1 较 大
ek T 1
ek T 1
0的 项 丢 掉 了 ！
T T C : 0 的 粒 子 数 是 一 个 小 量 ☺ Ok!
T T C : 0 的 粒 子 数 很 大 No!
从物理上看，…
l必为正数
当 0, 0时 , 0, 而1 较大
ekT1
ekT1
由此在 T TC 时，应保留基态上的粒子数密度 n0 (T )
不可分辨性导致对称性要求 玻色子：交换对称 费米子：交换反对称
凡是由玻色子构成的复合粒子是玻色子，由偶数个费 米子构成的复合粒子是玻色子，由奇数个费米子构成 的复合粒子是费米子。
如：4He是玻色子，3He是费米子 费米子和玻色子遵从不同的统计规律。
举例说明
设系统由两个粒子组成，粒子的个体量子态有3个，如果 这两个粒子是玻色子和费米子时，试分别讨论系统各有那 些可能的微观状态？
二. 温度低于TC 时有何现象出现？
化学势随温度的降低而升高，且 0
所 以 T T C时 ， -0
2 h 3(2 m )3 2 0e /k T 1 2 1 d 2 h 3(2 m )3 2 0e /k T 1 C 2 1 d n
!与n=N/V 为给定的条件矛盾
?
(8.3.4):