方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习附答案

方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习附答案
一、选择题
1．解方程组：
222(1)20(2)x y x xy y -=⎧⎨--=⎩
【答案】1212
14,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 【解析】
【分析】
先由②得x ＋y ＝0或x−2y ＝0，再把原方程组可变形为：20x y x y -=⎧⎨
+=⎩或220
x y x y -=⎧⎨-=⎩，然后解这两个方程组即可．
【详解】 222(1)20
(2)x y x xy y -=⎧⎨--=⎩， 由②得：（x ＋y ）（x−2y ）＝0， x ＋y ＝0或x−2y ＝0，
原方程组可变形为：20x y x y -=⎧⎨+=⎩或220x y x y -=⎧⎨-=⎩
， 解得：1212
1412x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩，. 【点睛】
此题考查了高次方程，关键是通过把原方程分解，由高次方程转化成两个二元一次方程，用到的知识点是消元法解方程组．
2．解方程组：
⑴3{351x y x y -=+= ⑵3+10{2612
x y z x y z x y z -=+-=++= 【答案】（1）2
{1x y ==-；（2）3{45
x y z ===
【解析】（1）先用代入消元法求出x 的值，再用代入消元法求出y 的值即可．
（2）先利用加减消元法去z 得到关于x 、y 的两个方程，解这两个方程组成的方程组求出x 、y ，然后利用代入法求z ，从而得到原方程组的解.
（1）2
{1x y ==- ； (2) 3{45
x y z ===
“点睛”本题考查了解二元一次方程组、三元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把解三元一次方程组的问题转化为二元一次方程组的问题.
3．解方程组：2322441x y x xy y +=⎧-+=⎨⎩
【答案】2112115,175x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩
【解析】
分析：把方程组中的第二个方程变形为两个一元一次方程，与组中的第一个方程构成新方程组，求解即可．
详解：2322441x y x xy y +=⎧-+=⎨⎩
①② 由②得2
(2)1x y -=，
所以21x y -=③，21x y -=-④
由①③、①④联立，得方程组： 2321x y x y +=⎧-=⎨⎩
，23
21x y x y +=⎧-=-⎨⎩ 解方程组23
21x y x y +=⎧-=⎨⎩得，{
11x y == 解方程组2321x y x y +=⎧-=-⎨⎩得，1575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． 所以原方程组的解为：11
11x y =⎧=⎨⎩，221575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，解决本题亦可变形方程组中的①式，代入②式得一元二次方程求解．
4．解方程组
【答案】原方程组的解为：，
【解析】
【分析】
把第一个方程代入第二个方程，得到一个关于x的一元二次方程，解方程求出x，把x代入第一个方程，求出y即可.
【详解】
解：
把①代入②得：x2-4x（x+1）+4（x+1）2=4，
x2+4x=0，
解得：x=-4或x=0，
当x=-4时，y=-3，
当x=0时，y=1，
所以原方程组的解为：，．
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了解高次方程，降次是解题的基本思想.
5．解方程组：
【答案】，．
【解析】
【分析】
先由①得x=4+y，将x=4+y代入②，得到关于y的一元二次方程，解出y的值，再将y的值代入x=4+y求出x的值即可.
【详解】
解：
由①得：x=4+y③，
把③代入②得：（4+y）2-2y2=（4+y）y，
解得：y1=4，y2=-2，
代入③得：当y1=4时，x1=8，
当y2=-2时，x2=2，
所以原方程组的解为：，．
故答案为：，.
【点睛】
本题考查了解高次方程.
6．解方程组：2226691
x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩． 【答案】14
11x y =⎧=⎨⎩，2216575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． 【解析】
【分析】
先由②得(x-3y)2
=1，x-3y=1或x-3y=-1，再把原方程组分解为：2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，2631,x y x y +=⎧⎨-=-⎩
最后分别解这两个方程组即可． 【详解】
解：2226691,x y x xy y +=⎧
⎨-+=⎩①② 由②得：(x-3y)2=1，
x-3y=1或x-3y=-1，
所以原方程组变为：2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，2631,x y x y +=⎧⎨-=-⎩
解这两个方程组得：41x y =⎧⎨=⎩，16575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
所以原方程组的解为14
11x y =⎧=⎨⎩，2216575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． 【点睛】
此题考查了解高次方程，解答此类题目一般是先把高次方程分解为低次方程，再分别解低次方程．
7．解方程组()()22x y x y 0x y 8⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩
.
【答案】11x 2y 2⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22x 2y 2⎧=-⎪⎨=⎪⎩，33x 2y 2⎧=⎪⎨=⎪⎩
，44x 2y 2⎧=-⎪⎨=-⎪⎩． 【解析】
【分析】
先把方程组转化成两个二元二次方程组，再求出两个方程组的解即可．
【详解】
解：由原方程组变形得：22x y 0x y 8⎧+=⎪⎨+=⎪⎩①②， 22x-y 0x y 8⎧=⎪⎨+=⎪⎩
③④ 由①变形得：y=-x ，
把y=-x 代入②得：22x -x 8+=（），解得12x =2x =-2，，
把12x =2x =-2，代入②解得：12y =-2y =2，，
所以解为：11x 2y 2⎧=⎪⎨=-⎪⎩
，22x 2y 2⎧=-⎪⎨=⎪⎩， 由③变形得：y=x ，
把y=x 代入②得：22x x 8+=，解得34x =2x =-2，，
把34x =2x =-2，代入②解得：34y =2y =-2，，
所以解为：33x 2y 2⎧=⎪⎨=⎪⎩
，44x 2y 2⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， 综上所述解为：11x 2y 2⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22x 2y 2⎧=-⎪⎨=⎪⎩，33x 2y 2⎧=⎪⎨=⎪⎩
，44x 2y 2⎧=-⎪⎨=-⎪⎩． 【点睛】
本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元二次方程组是解此题的关键．
8．解方程组：226021x xy y x y ⎧+-=⎨+=⎩
【答案】2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
. 【解析】
【分析】
先将原方程组化为两个二元一次方程组，然后求解即可．
【详解】
原方程组变形为
(3)(2)021x y x y x y +-=⎧⎨+=⎩
， ∴3021x y x y +=⎧⎨+=⎩或2021x y x y -=⎧⎨+=⎩
∴原方程组的解为2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
【点睛】
本题考查了二次方程组的解，将二次方程组化为一次方程组是解题的关键．
9．解方程组：222,
{230.x y x xy y -=--=
【答案】1111x y =⎧⎨=-⎩22
31x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
【详解】
x 2-2xy-3y 2="0"
(x-y)2-4y 2=0
又因：x-y=2代入上式
4-4y 2=0
y=1或y=-1
再将y=1、y=-1分别代入x-y=2
则 x=1、x=3
∴1111x y =⎧⎨=-⎩22
31x y =⎧⎨=⎩
10．解方程组: 22212320x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩
【答案】1144x y =⎧⎨=⎩，22
63x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
首先把第二个方程左边分解因式，即可转化为两个一次方程，分别与第一个方程组成方程
组，即可求解．
【详解】
解：由（2）得（x−y ）（x−2y ）＝0．
∴x −y ＝0或x−2y ＝0，
原方程组可化为2120x y x y +=⎧⎨-=⎩，21220x y x y +=⎧⎨-=⎩
， 解这两个方程组，得原方程组的解为：1144x y =⎧⎨=⎩，22
63x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】
本题主要考查了高次方程组的解法，解题的基本思想是降次，掌握降次的方法是解高次方程的关键．
11．解方程组： 22320449x y x xy y -+=⎧⎨++=⎩
． 【答案】1111x y =⎧⎨=⎩,2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
． 【解析】
【分析】
由完全平方公式，组中②可变形为（x +2y ）2＝9，即x +2y ＝3或x +2y ＝﹣3．这样原方程组可变形为关于x 、y 的两个二元一次方程组，这两个二元一次方程组的解就是原方程组的解．
【详解】
22320449x y x xy y -+=⎧⎨++=⎩①②
由②得：（x +2y ）2＝9，
即：x +2y ＝3或x +2y ＝﹣3
所以原方程组可化为3223x y x y -=-⎧⎨+=⎩； 3223x y x y -=-⎧⎨+=-⎩
． 解方程组3223x y x y -=-⎧⎨+=⎩
；得1111x y =⎧⎨=⎩； 解方程组3223x y x y -=-⎧⎨+=-⎩．得2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
．
∴原方程组的解是得1111x y =⎧⎨=⎩；得2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
． 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法．把二元二次方程组转化为一元一次方程组是解决本题的关键．
12．解方程组222221690
x xy y x y ⎧-+=⎨=-⎩． 【答案】1131x y =⎧⎨=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，33
31x y =-⎧⎨=⎩，4462x y =-⎧⎨=-⎩． 【解析】
【分析】
由于组中的两个高次方程都能分解为两个一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，求出的四个二元一次方程组的解就是原方程组的解．
【详解】
解：222221690x xy y x y ⎧-+=⎨-=⎩
①② 由①，得(x ﹣y )2＝16，
所以x ﹣y ＝4或x ﹣y ＝﹣4．
由②，得(x +3y )(x ﹣3y )＝0，
即x +3y ＝0或x ﹣3y ＝0
所以原方程组可化为：
430x y x y -=⎧⎨+=⎩，430x y x y -=⎧⎨-=⎩，430x y x y -=-⎧⎨+=⎩，430
x y x y -=-⎧⎨-=⎩ 解这些方程组，得
1131x y =⎧⎨=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，3331x y =-⎧⎨=⎩，4462
x y =-⎧⎨=-⎩． 所以原方程组的解为：1131x y =⎧⎨
=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，33
31x y =-⎧⎨=⎩，4462x y =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，利用分解因式法将二元二次方程组转化为四个二元一次方程组是解题的关键.
13．解方程组：()25()230x y x y x y +=⎧⎪⎨----=⎪⎩
①②． 【答案】1141x y =⎧⎨=⎩ ，22
23x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
先将②化为30x y --=或10x y -+=，再分别和①式结合，分别求解即可.
【详解】
解：由②得()()310x y x y ---+=，
得30x y --=或10x y -+=，
原方程组可化为53x y x y +=⎧⎨-=⎩，51x y x y +=⎧⎨-=-⎩
解得，原方程组的解为1141x y =⎧⎨=⎩ ，22
23x y =⎧⎨=⎩ ∴原方程组的解为1141x y =⎧⎨
=⎩ ，22
23x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】 本题考查了二元二次方程组的解，将二次降为一次是解题的关键.
14．21238438xy x y yz z y zx z x =+-⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩
【答案】231x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3521
x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩ 【解析】
【分析】
将x 和z 分别都用y 表示出来，代入第三个方程，解出y ，然后就可以解出x 、z ．
【详解】
解：21238438xy x y yz z y zx z x =+-⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩
①②③ 由①得：12
y x y -=-④
由②得：382
y z y -=-⑤ 将④⑤代入③得：
1384(38)3(1)82222y y y y y y y y ----=+-----g ， 去分母整理得：2422300y y -+=，
∴2(3)(25)0y y --=，
3y ∴=或52
=， 将3y =分别代入④⑤得：2x =，1z =； 将52
y =分别代入④⑤得：3x =，1z =-； 综上所述，方程组的解为：231x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3521
x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩． 【点睛】
本题考查了三元二次方程组的解法，解方程的基本思想是消元，任意选择两个方程将两个未知数用第三个未知数表示，即可代入第三个方程，解出一个未知数之后，剩下两未知数就可直接算出．
15．解方程组：2256012
x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩ 【答案】1184x y =⎧⎨=⎩或22
93x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
利用因式分解法求22
560x xy y -+=，得到20x y -=或30x y -=，然后得到两个二元一次方程组，分别求出方程组的解即可.
【详解】
解：由（1）得20x y -=或30x y -=， 2012x y x y -=⎧⎨+=⎩或3012x y x y -=⎧⎨+=⎩
， 解方程组得：1184x y =⎧⎨=⎩，22
93x y =⎧⎨=⎩ ， 则原方程组的解为 1184x y =⎧⎨
=⎩和 2293x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】
本题主要考查解二元二次方程组，解此题的关键在于利用因式分解法将第一个方程求解，然后得到新的方程组.也可以利用代入消元法进行求解.
16．解方程组：2225210x y x y xy +=⎧⎨+--=⎩
． 【答案】7343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或12x y =⎧⎨=⎩． 【解析】
【分析】
将方程22
210x y xy +--=变形整理求出1x y -=或1x y -=-，然后分别与25x y +=组成方程组，求出对应的x ，y 的值即可．
【详解】
解：2225210x y x y xy +=⎧⎨+--=⎩①②
， 对②变形得：()21x y -=，
∴1x y -=③或1x y -=-④，
①－③得：34y =，解得：43y =
， 把43
y =代入①得：4253x +⨯=，解得：73x =； ①－④得：36y =，解得：2y =，
把2y =代入①得：225x +⨯=，解得：1x =， 故原方程组的解为：7343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或12x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】
本题考查了解二元二次方程组，解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”，掌握好消元和降次的方法和技巧是解二元二次方程组的关键．
17．解方程组：2223,44 1.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩
【答案】111,1;x y =⎧⎨=⎩221,57.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
【解析】
分析：对②中的式子进行变形，把原来的二元二次方程转化为两个二元一次方程组，解方程即可.
详解：2223441x y x xy y ①②+=⎧
⎨-+=⎩ 由②得：()221x y -=
即：21x y -=或21x y -=-
所以原方程组可化为两个二元一次方程组：
23,21;x y x y +=⎧⎨-=⎩ 23,21;
x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 分别解这两个方程组，得原方程组的解是111,1;x y =⎧⎨=⎩ 221,57.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
. 点睛：考查二元二次方程，对②中的式子进行变形，把原来的二元二次方程转化为两个二元一次方程组是解题的关键，需要学生掌握加减消元法.
18．（探究证明）
(1)在矩形ABCD 中，EF ⊥GH ，EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，GH 分别交AD ，BC 于点G ，
H.，求证：
=EF AD GH AB
； （结论应用） (2)如图2，在满足(1)的条件下，又AM ⊥BN ，点M ，N 分别在边BC ，CD 上．若11=15EF GH ，求BN AM
； （联系拓展）
(3)如图3，四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝AD ＝10，BC ＝CD ＝5，AM ⊥DN ，点M ，N 分别在边BC ，AB 上，求DN AM
的值．
【答案】（1）证明见解析；(2)11
15
；（3）
4
5
.
【解析】
分析：(1)过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，根据矩形的性质
证明△PDA∽△QAB；(2)根据(1)的结论可得BN
AM
；(3)过点D作平行于AB的直线，交过点
A平行于BC的直线于R，交BC的延长线与S，SC＝x，DS＝y，在Rt△CSD，Rt△ARD中，用勾股定理列方程组求出AR，AB，结合(1)的结论求解.
详解：(1)如图1，过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四边形AEFP，四边形BHGQ都是平行四边形，
∴AP＝EF，GH＝BQ．
又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT＋∠AQT＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠D＝90°，∴∠DAP＋∠DPA＝90°，
∴∠AQT＝∠DPA.∴△PDA∽△QAB.
∴AP AD
BQ AB
＝，∴
EF AD
GH AB
＝.
(2)如图2，∵GH⊥EF，AM⊥BN，
∴由(1)的结论可得EF AD
GH AB
＝，
BN AD
AM AB
＝，
∴
11
15 BN EF
AM GH
＝＝.
(2)如图3，过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线与S，则四边形ABSR是平行四边形．
∵∠ABC＝90°，∴▱ABSR是矩形，
∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝10，AR＝BS．
∵AM⊥DN，∴由(1)中的结论可得DN AR AM AB
＝．
设SC ＝x ，DS ＝y ，则AR ＝BS ＝5＋x ，RD ＝10﹣y ，
∴在Rt △CSD 中，x 2＋y 2＝25①，
在Rt △ARD 中，(5＋x )2＋(10﹣y )2＝100②，
由②﹣①得x ＝2y ﹣5③，
222525x y x y ⎧⎨-⎩
＋＝＝，解得34x y ⎧⎨⎩＝＝，50x y -⎧⎨⎩＝＝(舍)， 所以AR ＝5＋x ＝8
，则8410
5DN AR AM AB ＝＝＝.
点睛：这是一个类比题，主要考查了相似三角形的判定与性质，在特殊图形中存在的结论，放在非特殊图形中结论是有可能成立也有可能不成立，但特殊图形中结论的推导过程仍然适用于一般图形.
19．△ABC 中，BC ＞AC ，CD 平分∠ACB 交于AB 于D ，E ，F 分别是AC ，BC 边上的两点，EF 交于CD 于H ，
（1）如图1，若∠EFC=∠A ，求证：CE•CD=CH •BC ；
（2）如图2，若BH 平分∠ABC ，CE=CF ，BF=3，AE=2，求EF 的长；
（3）如图3，若CE≠CF ，∠CEF=∠B ，∠ACB=60°，CH=5，CE=43，求AC BC
的值．
【答案】（1）见解析;（2）6 ; （3）
57. 【解析】
【分析】
（1）只要证明△ECH ∽△BCD ，可得EC BC =CH CD
，即可推出CE•CD=CH•BC ； （2）如图2中，连接AH ．只要证明△AEH ∽△HFB ，可得
AE HF =EH FB ，推出FH 2=6，推出6，即可解决问题．
（3）只要证明△ECF ∽△BCA ，求出CF 即可解决问题．
【详解】
（1）证明：如图1中，
∵∠EFC+∠FEC+∠ECF=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，又∵∠EFC=∠A，∠ECF=∠ACB，
∴∠CEF=∠B，∵∠ECH=∠DCB，
∴△ECH∽△BCD，
∴EC CH BC CD
=，
∴CE•CD=CH•BC．
（2）解：如图2中，连接AH．
∵BH、CH都是△ABC的角平分线，∴AH是△ABC的角平分线，
∴∠BHC=180°﹣1
2
（∠ABC+∠ACB）=180°﹣
1
2
（180°﹣∠BAC）=90°+
1
2
BAC=90°+∠HAE，
∵CE=CF，∠HCE=∠HCF，
∴CH⊥EF，HF=HE，
∴∠CHF=90°，
∵∠BHC=∠BHF+∠CHF=∠BHF+90°，∴∠HAE=∠BHF，
∵∠CFE=∠CEF，
∴∠AEH=∠BFH，
∴△AEH∽△HFB，
∴AE EH HF FB
=，
∴FH2=6，
∴HE=HF=6，
∴EF=26．
（3）解：如图3中，作HM⊥AC于M，HN⊥BC于N．设HF=x，FN=y．
∵∠HCM=∠HCN=30°，HC=5，
∴HM=HN=52
，
， ∵
∴
∵S △HCF ：S △HCE =FH ：EH=FC ：EC ， ∴x
（
）：
， 又∵x 2=y 2+（
52）2， 解得
∴
∵∠CEF=∠B ，∠ECF=∠ACB ，
∴△ECF ∽△BCA ， ∴EC CF BC AC
=，
∴AC CF BC EC ===57． 【点睛】
本题考查三角形综合题、相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、二元二次方程组等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程组解决问题，属于中考压轴题．
20．解方程组22224024x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩
． 【答案】原方程组的解是114,32;3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩224,32;3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
334,2;x y =⎧⎨=⎩44
4,2.x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
由①得x+2y=0，或x-2y=0，由②得x-y=2，或x-y=-2，从而可将原方程组化为4个二元一次方程组求解．
【详解】
22224024x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩①②
， 由①得
(x+2y)(x-2y)=0，
∴x+2y=0或x-2y=0，
由②得
(x-y)2=4，
∴x-y=2或x-y=-2，
∴原方程组可化为
202x y x y +=⎧⎨-=⎩，202x y x y +=⎧⎨-=-⎩，202x y x y -=⎧⎨-=⎩，202x y x y -=⎧⎨-=-⎩
， 分别解这四个方程组得
114323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，224323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，3342x y =⎧⎨=⎩，4442x y =-⎧⎨=-⎩， ∴原方程组的解是
114323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，224323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，3342x y =⎧⎨=⎩，4442x y =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，将原方程组化为4个二元一次方程组求解是解答本题的关键．。