2016年中国科学院自动化研究所考博试题算法设计与分析

中国科学院自动化研究所

2016年招收攻读博士学位研究生入学考试试题

考试科目： 算法设计与分析

（共2页，7个大题，满分100分，时间为3个小时）

说明：算法设计可以使用类程序语言（伪代码）描述。

1. 完成下列各题（本题包括6个小题，满分30分）：

(1) 下列算法求一个十进制正整数在二进制表示中的二进制数字的个数：

Binary(n ) /* n 为十进制正整数 */

count ← 1

while n > 1 do

count ← count +1

⎣⎦2/n n ←

return count

请问该算法的循环次数大约是多少？n >1时，比较运算次数为多少？

(2) 阅读下面的算法，写出针对图1中的二叉树执行该算法的结果。

Status function (BiTee T, Status (* Visit) (TElemType e)) {

Status PrintElement (TElemType e) { printf (e);

return OK;

} if (T) {

if (Visit (T->data)) if (function(T->lchild, Visit))

if return OK; return ERROR;

} else return OK; } // function

(3) 请设计一个递归函数，计算二叉树的高度（只有一个根结点的二叉树的高

度为1）。

- +

/ a c f e

(4) 对于环状的链式队列，请写出计算队列元素个数的算法。

(5) Fibonacci 序列为0，1，1，2，3，5，8，13，21，…… 其中，每个元素是

前两个元素之和。请设计一个计算该序列任意元素的递归算法。

(6) 设一有向图G 的顶点集合为{v 1, v 2, v 3, v 4, v 5}，边的集合为{〈v 1, v 2〉, 〈v 2, v 4〉,

〈v 3, v 5〉, 〈v 1, v 3〉, 〈v 1, v 5〉, 〈v 2, v 3〉, 〈v 3, v 4〉, 〈v 4, v 5〉}。请写出入度最大的顶点和出度最大的顶点，并给出G 的拓扑序列。

2. 一元n 次多项式可以写成如下形式：

1212()m e e e n m P x p x p x p x =+++

其中，i p 是指数为i e 的项的非零系数，且满足：120m e e e n ≤<<<=。n 和m 均为正整数。假设A (x )和B (x )为满足上述形式的两个一元多项式。请设计算法用于计算：()()A x B x ⨯。 （本题满分10分）

3. 请设计一个广度优先的非递归算法，打印出任意给定无向图的所有结点，给

出算法的时间复杂度。 （本题满分10分）

4. 请设计一个算法，实现如下功能：打开任意给定的文本文件，打印出某个字

符串（可让用户输入）在该文件中出现的所有位置。 （本题满分10分）

5. 设有如下关键字序列：

49 38 65 97 76 13 27 49

(1) 请写出快速排序的过程和结果；(2)写出递归形式的快速排序算法，并说明平均排序时间。 （本题满分10分）

6. 给定n 种物品和一个袋子，物品i 的重量是w i ，其价值为v i ，袋子的容量为

c 。物品i 装入袋子时可以选择物品i 的一部分，而不一定全部装入袋子。请问：如何选择装入袋子的物品，使得装入袋子中物品的总价值最大？要求：

（1）给出该问题的形式化描述；（2）给出算法描述；（3）给出算法的时间复杂度。 （本题满分15分）

7. 一个长度为n 的有序序列加入k 个新元素（k << n ），假设这k 个新元素随机

地分布于整个序列中。请编写算法对插入新元素后的序列排序，并分析该算法的时间代价和空间代价。 （本题满分15分）