概率论-随机变量的几种重要分布及数字特征

相关系数的性质
1. XY 1; 2. 若 X 和 Y 相互独立，则 XY 0;
此时 cov( X ,Y ) 0, 易见结论成立.
注： X 与Y 相互独立
X 与 Y 不相关.
3. 若D( X ) 0, D(Y ) 0, 则 XY 1, 当且仅当存
在常数 a,b(a 0), 使 P{Y aX b} 1,
D( X Y ) D( X ) D(Y ).
相关系数的定义
定义 设 ( X ,Y )为二维随机向量，D( X ) 0, D(Y ) 0, 称
XY
cov( X ,Y ) D( X )D(Y )
为随机变量 X 和 Y 的相关系数，有时也记 XY 为 . 特别地， 当 XY 0 时，称 X 与 Y 不相关.
协方差的定义
按定义，
若 ( X ,Y )为离型随机向量，其概率分布为
P{ X xi ,Y yi } pij (i, j 1,2,),
则
cov( X ,Y ) [ xi E( X )][ y j E(Y )] pij .
i,j
若( X ,Y )为连续型随机向量，其概率密度为 f ( x, y),则
其密度函数和分布函数常用 ( x) 和 ( x) 表示：
(x)
1
e

x2 2
,
2
(x)
( x) 1
x t2
e 2 dt
2
( x)
1
0.5
O
x
O
x
标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分
布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.
3 准则
3 2 2 3
范围的可能性仅占不到此为0.3%. 这在统计学上称为
3 准则
随机变量数字特征
数学期望 方差 协方差及相关系数
随机变量的数学期望
1. 离散型随机变量的数学期望
定义 设X 是离散型随机变量的概率分布为
P{ X xi } pi ,i 1,2,

如果 xi Pi 绝对收敛, 则定义 X 的数学期望(又 i 1

cov( X ,Y )
[x E( X )][ y E(Y )] f ( x, y)dxdy.

协方差的定义
利用数学期望的性质，易将协方差的计算化简.
cov( X ,Y ) E{[ X E( X )][Y E(Y )]} E( XY ) E( X )E(Y ) E(Y )E( X )
数，简称为概率密度或密度函数. 由定义及分布函数 的性质，易见概率密度具有下列性质：

(1) f ( x) 0; (2) f ( x)dx 1.
几种重要的离散型分布
两点分布
定义 若一个随机变量 X 只有两个可能的取值，
且其分布为
P{X xk } pk (1 p)1k , k 0, 1, (0 p 1),
利型, 有
P{ X

k}

C
k n
pk (1
p)nk ,
k 0,1,,n
(1)
泊松分布
定义 若一个随机变量 X 的概率分布为
P{ X k} e k , k 0,1,2,,
k! 则称 X 服从参数为 的泊松分布，记为
X ~ P( ) 或 X ~ ( ).
泊松分布的图形 P( )
E( X )E(Y ) E( XY ) E( X )E(Y ).
特别地，当X与Y 独立时，有 cov( X ,Y ) 0.
协方差的性质 1. 协方差的基本性质
(1) cov( X , X ) D( X ); (2) cov( X ,Y ) cov(Y , X ); (3) cov(aX ,bY ) abcov( X ,Y ), 其中 a,b 是
称均值)为

E( X ) xi Pi . i 1
随机变量的数学期望
2. 连续型随机变量的数学期望
定义 设 X 是连续型随机变量, 其密度函数为 f ( x),
如果

xf ( x)dx
绝对收敛, 则定义 X 的数学期望为

E( X ) xf ( x)dx.
随机变量函数的数学期望
i 1
(2) 若 X 为连续型随机变量，其概率密度为 f ( x),
若 g(x) f (x)dx. 绝对收敛，则Y的数学期望为


E(Y ) E[g(X )] g(x) f (x)dx.
定理2 设 ( X ,Y )是二维随机向量，Z g( X ,Y ), 且
E(Z ) 存在， 则 (1) 若 ( X ,Y ) 为离散型随机向量，其概率分布为
且当 a 0 时，XY 1; 当 a 0 时，XY 1.
注： 相关系数刻画了X 和 Y 间“线性相关”程的度.
P{ X xi ,Y y j } pij (i, j 1,2,)
则Z 的数学期望为

E(Z ) E[g( X ,Y )]
g( xi , y j ) pij;
j1 i1
(2) 若( X ,Y ) 为连续型随机向量，其概率密度为
f ( x, y), 则 Z 的数学期望为
记为 X ~U (a,b). 易见，

(1) f ( x) 0; (2) f ( x)dx 1.
分布函数：
0,
F
(
x)


x b
a
a 1,
,
xa a x b. xb
指数分布
定义 若随机变量 X 的概率密度为
ex ,
f (x) 0,
2
x
其中 和 ( 0) 都是常数，则称 X服从参数为
Байду номын сангаас 2 的正态分布，记为 X ~ N ( , 2 ).
易见，
(1) f ( x) 0;


(2) f ( x)dx
1
e dx (
x )2 2 2

2
标准正态分布
当 0, 1 时称为标准正态分布，此时，

E(Z ) E[g( X ,Y )
g( x, y) f ( x, y)dxdy.


若
g(xi , y j ) pij g(x, y) f (x, y)dxdy. 绝对收敛
j1 i1

数学期望的性质
1. 设 C 是常数，则 E(C ) C;

必然满足：
(1) pi 0,i 1,2,;
(2) pi 1. i
连续型随机变量及其概率密度
定义 如果对随机变量 X 的分布函数 F ( x), 存在非 负可积函数 f ( x), 使得对任意实数 x有
x
F ( x) P{X x} f (t)dt,
则称 X 为连续型随机变量，称 f ( x)为X 的概率密度函
2. 若X 是随机变量，若C是常数，则 E(CX ) CE( X );
3. 若 ( X ,Y )是二维随机向量，则
E( X Y ) E( X ) E(Y );
注： 推广到 n 维随机向量，有
n
n
E( Xi ) E(Xi )
i 1
i 1
数学期望的性质
4. 若 ( X ,Y ) 是二维随机向量，且 X ,Y相互独立,
常数；
(4) cov(C, X ) 0, C 为任意常数；
(5) cov( X1 X2,Y ) cov( X1,Y ) cov( X2,Y ); (6) 当 X 与Y 相互独立，则 cov( X ,Y ) 0.
协方差的性质
2. 随机变量的方差与协方差的关系
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2cov( X ,Y ), 特别地， 若 X 与Y 相互独立，则
特征如右图所示.
0.12 0.10
0.08
注：历史上，泊松
0.06 0.04
0.02
分布是作为二
O
1
2
3 4 5 6 7 8 910
泊松分布
12 14
P( )
16 18
(
20 22
12)
24
k
项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的.
退化分布
定义 若一个随机变量 X 以概率1取某一常数，即 P{ X a} 1,
x0
x0
其中 0,
则称 X 服从参数为 的指数分布，简记为 X ~ E().
易见， (1) f ( x) 0;
f (x)


(2) f ( x)dx 1.
f ( x)的几何图形如图.
O
x
正态分布
定义 若随机变量 X 的概率密度为
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
则称 X 服从 a 处的退化分布.
注：在所有分布中，最简单的分布是退化分布， 其之所以称为退化分布，是因为其取值几乎是 确定的，即这样的随机变量退化成了一个确定 的常数.
几种重要的连续型分布
均匀分布
定义 若连续型随机变量 X 的概率密度为
f
(
x
)

b
1
a
,
0,
a xb
其它
则称 X 在区间 (a,b)上服从均匀分布，
68.26% 95.44% 99.74%
P{ X } 0.6826,
P{ 2 X 2 } 0.9544, P{ 3 X 3 } 0.9974,
如图，尽管正态随机变量 X 的取值范围是 (, ),
但它的值几乎全部集中在 ( 3 , 3 ),超出这个
则称 X 服从 x1, x2 处参数为 p 的两点分布. 特别地，若 X 服从 x0 0, x1 1, 处参数为 p
的两点分布，即
X
01
pi 1 p p
则称 X 服从参数为 p 的 0 1 分布.
二项分布
在 n 重伯努利试验中, 设每次试验中事件 A 发生 的概率为 p(0 p 1), 用 X 表示 n 重伯努利试 验中事件 A 发生的次数, 则 X 的可能取值为 0,1, , n, 且对每一 k(0 k n), 事件 { X k}即为 “ n 次试验中事件 A 恰好发生的 k 次”,根据伯努
则 E( XY ) E( X )E(Y ).
注：推广到 n维随机向量的情形，有
n
n
E[ Xi ] E( Xi ), ( X1, X2 ,, Xn 相互独立).
i 1
i 1
协方差的定义
定义 设 ( X ,Y ) 为二维随机向量，若 E{[ X E( X )][Y E(Y )]}存在，则称其为随机变量 X 和 Y 的协方差，记为 cov( X ,Y ), 即 cov( X ,Y ) E{[ X E( X )][Y E(Y )]}.
定理1 设 X 是一个随机变量，Y g( X ), 且E(X ) 存
在, 于是
(1) 若X 为离散型随机变量，其概率分布为
P{ X xi } pi , i 1,2,
若 g(xi ) pi 绝对收敛，则Y的数学期望为
i 1

E(Y ) E[g( X )] g(xi ) pi;
离散型随机变量及其分布律
定义 设离散随机变量 X 的所有可能的取值为 xi (i 1,2,), 称
P{ X xi } pi , i 1,2, 为X 的概率分布或分布律，也称概率函数.
常用表格形式来表示 X 的概率分布：
X x1 x2 xn pi p1 p2 pn 由概率的定义，pi (i 1,2,)