2018年高等数学二试题及完全解析(Word版)

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二考研真题与全面解析（Word 版）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1. 若()2120lim1xx x eax bx →++=，则 （ ）（A ）1,12a b ==- （B ）1,12a b =-=- （C ）1,12a b == （D ）1,12a b =-= 【答案】(B )【解析】由重要极限可得()()()2222222112200111lim211lim lim 1(1)lim 1(1)x x x x xx x x x x e ax bx e ax bx x xe ax bx x x e ax bx e ax bx e ax bx e →→→++-++-•++-→=++=+++-=+++-=，因此， 222222001()12lim 0lim 0xx x x x ax bx x e ax bx x x→→++++++-=⇒=ο 22201()(1)()12lim 00,102x a x b x x a b x →++++⇒=⇒+=+=ο 或用“洛必达”：2(1)200012212lim 0lim lim 0222x x x b x x x e ax bx e ax b e a ax x ⇒=-→→→++-++++=⇒=======， 故 1,12a b ==-，选（B ）. 2. 下列函数中在0x =处不可导的是（ ）（A ）()sin f x x x = （B）()f x x =（C ）()cos f x x = （D）()f x =【答案】(D )【解析】根据导数定义，A. 000sin ()(0)limlim lim 0x x x x x x x f x f x x x→→→-===g ，可导；B. 000()(0)lim 0x x x f x f x →→→-===, 可导；C. 20001cos 1()(0)2lim lim lim 0x x x x x f x f x x x→→→---=== ，可导；D. 20001122lim limx x x x x x→→→--== ，极限不存在。

故选（D ）. 3. 设函数1,0()1,0x f x x -<⎧=⎨≥⎩，2,1(),10,0ax x g x x x x b x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩　，若()()f x g x +在R 上连续，则（ ）. （A ）3,1a b == （B ）3,2a b == （C ）3,1a b =-= （D ）3,2a b =-= 【答案】（D ）【解析】 令1,1()()()1,101,0ax x F x f x g x x x x b x -≤-⎧⎪=+=--<<⎨⎪-+≥⎩　， 则 (1)1,(0)1,F a F b -=+=- (10)2,(00)1,F F -+=--=-因为函数连续，所以极限值等于函数值，即12,113,2a b a b +=--=-⇒=-=，故选 （D ）. 4. 设函数()f x 在[0,1]上二阶可导。

且10()0f x dx =⎰，则 （ ）（A ）当()0f x '<时，1()02f < （B ）当()0f x ''<时，1()02f <（C ）当()0f x '>时，1()02f < （D ）当()0f x ''>时，1()02f <【答案】（D ）【解析一】有高于一阶导数的信息时，优先考虑“泰勒展开”。

从选项中判断，展开点为012x = 。

将函数()f x 在012x =处展开，有 2111()1()()()()()2222!2f f x f f x x ξ'''=+-+-，其中12x ξ<<。

两边积分，得111200111()10()()()()()2222!2f f x dx f f x dx x dx ξ'''==+-+-⎰⎰⎰1201()1()()22!2f f x dx ξ''=+-⎰，由于120()1()0()02!2f f x x dx ξ''''>⇒->⎰，所以1()02f <，应选（D ）. 【解析二】排除法。

（A ）错误。

令1()2f x x =-+，易知10()0f x dx =⎰，()10f x '=-<，但是1()02f =。

（B ）错误。

令21()3f x x =-+，易知10()0f x dx =⎰，()20f x ''=-<，但是1()02f >。

（C ）错误。

令1()2f x x =-，易知10()0f x dx =⎰，()10f x '=>，但是1()02f =。

故选 （D ）.5. 设2222(1)1x M dx xππ-+=+⎰，221x x N dx e ππ-+=⎰，22(1K dx ππ-=⎰，则（ ） （A ）MN K >> （B ）M K N >> （C ）K M N >> （D ）K N M >>【答案】（C ）【解析】积分区间是对称区间，先利用对称性化简，能求出积分最好，不能求出积分则最简化积分。

22222222222(1)122(1)111x x x x M dx dx dx x x x πππππππ---+++===+=+++⎰⎰⎰，2222(11K dx dx πππππ--=+>=⎰⎰g ，令()1,(,)22xf x e x x ππ=--∈-，则()1xf x e '=-，当(,0)2x π∈-时，()0f x '<，当(0,)2x π∈时，()0f x '>，故 对(,)22x ππ∀∈-，有()(0)0f x f ≥=，因而 11x x e +≤，222211x x N dx dx e πππππ--+=<=⎰⎰g ，故K M N >>。

应选（C ）.6.222121(1)(1)x x xxdx xy dy dx xy dy ----+-=⎰⎰⎰⎰（ ）（A ）53 （B ）56 （C ）73 （D ）76【答案】（C ）【解析】还原积分区域，如图所示：积分区域D 关于y 轴对称，被积函数中xy 关于x 是奇函数，所以222121120(1)(1)7(1)(2)3x x xx D Ddx xy dy dx xy dyxy dxdy dxdy x x dx ----+-=-==--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 故选（C ）。

7. 下列矩阵中阵，与矩阵110011001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似的是（ ） （A ）111011001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （B ）101011001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （C ）111010001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （D ）101010001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦【答案】（A ）【解析】记矩阵110011001H ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则秩()3r H =，迹()3tr H =,特征值1λ= （三重）。

观察,,,A B C D 四个选项，它们与矩阵H 的秩相等、迹相等、行列式相等，特征值也相等，进一步分析可得：()2r EH λ-=,()2r E A λ-=，()1r E B λ-=()1r E C λ-=, ()1r E D λ-=。

如果矩阵A 与矩阵X 相似，则必有kE A -与kE X-相似（k 为任意常数），从而()()r kEA r kE X -=-），故选（A ）,8. 设,A B 是n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，(,)X Y 表示分块矩阵，则（ ） （A ）(,)()r A AB r A = （B ）(,)()r A BA r A =（C ）(,)max{(),()}r A B r A r B = （D ）(,)(,)T T r A B r A B =【答案】（A ）【解析】把矩阵,A AB 按列分块，记1212(,,),(,,)n n A AB αααβββ==L L ，则向量组12,,n βββL可以由向量组12,,n αααL 线性表出，从而12,,n αααL 与12,,n αααL ，12,,n βββL ，等价，于是(,)()r A AB r A =，故选（A ）。

,二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9. 若2lim [arctan(1)arctan ]x x x x →+∞+-= 。

【答案】 1.【解析】【方法一】 由拉格朗日中值定理可得21arctan(1)arctan ,1x x +-=+ξ其中 1,0x x x ξ<<+>，可知 2221111(1)11x x <<++++ξ，而 2222lim lim 11(1)1x x x x x x →+∞→+∞==+++， 根据夹逼定理可得，222lim [arctan(1)arctan ]lim11x x x x x x →+∞→+∞+-==+ξ。

【方法二】0∞g型未定式的极限必须化成商式。

22arctan(1)arctan lim [arctan(1)arctan ]limx x x xx x x x-→+∞→+∞+-+-= 32222322111[1(1)(1)]1(1)1lim lim 22(1)[1(1)]x x x x x x x x x x -→+∞→+∞-++-++++==-+++ 432212lim 12(1)[1(1)]x x x x x →+∞+==+++。

10. 曲线22ln y x x =+在其拐点处的切线方程为 。

【答案】43yx =-.【解析】函数的定义域为(0,)+∞，22y x x '=+，222y x''=-；34y x'''=。

令 0y ''=，解得 1x=，而(1)0y '''≠，故点 (1,1)是曲线唯一的拐点。

曲线在该点处的斜率(1)4y '=，所以切线方程为 43y x =-。

11.2543dxx x +∞=-+⎰； 【答案】1ln 22。

【解析】2555111131ln ln 243231212dx x dx x x x x x +∞+∞+∞-⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪-+---⎝⎭⎝⎭⎰⎰。