奇偶函数的性质及其应用

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1.3.2奇偶函数性质的应用(绝对经典)

关于
对称。
（3）二次函数 f x x2 2bx 1对任意 x R, f 2 x f 2 x ，则其增区间是
例 2. 若函数 f x 定义在0, 4 上，且满足 f 2 x f 2 x ，在2, 4 上 f x 是减函
数，则不等式 f 1 x f 1 2x 的解集是
1 2017

f

2 2017

f

3 2017

f
2016 2017

（2）如果函数 y f x 的图象关于点 M 1, 2 对称，则 f 2019 f 2017 f 2015 f 2017
二、对称性的延伸
思考： y f x 图像关于 y 轴对称 f x f x ，那么： y f x 图像关于 x 1对称 f 1 x f 1 x ，对吗？
结论: y f x 图像关于 x a 对称 f m x f n x 且 a m n
。
思考： y f x 图像关于原点对称 f x f x ，
那么： y f x 图像关于 1,0 对称 f 1 x f 1 x ，对吗？
结论: y f x 图像关于 a,0对称 f m x f n x且 a m n
2
或者 y f x 图像关于 x a b 对称 f a x f b x
2
例 1.（1）如果函数 y f x 对任意实数 x 满足 f 2 x f (2 x) ，则 y f x 的图像
关于
对称。
（2）如果函数 y f x 对任意实数 x 满足 f 3 x f (7 x) ，则 y f x 的图像

函数的奇偶性(精辟讲解)

[难点正本疑点清源] 1．函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x)(或 f(－x)＝－f(x))，那么函数 f(x)就叫做偶函数(或奇函数)．其中包含两个必备条件： ①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地解决问题； ②判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 (f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数)) 是否成立．
2．函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反． (2)若 f(x)为偶函数，则 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． (3)若奇函数 f(x)定义域中含有 0，则必有 f(0)＝0. f(0)＝0 是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件． (4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”． (5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”． (6)既奇又偶的函数有无穷多个(如 f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集)．
∴f(x)为偶函数．
题型二函数的奇偶性与单调性
例 2 (1)已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x>0 时，f(x) ＝x2－x－1，求 f(x)的解析式； (2)设 a>0，f(x)＝eax＋eax是 R 上的偶函数，求实数 a 的值；
(3)已知奇函数 f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间 [－2,0]内递减，求满足 f(1－m)＋f(1－m2)<0 的实数 m 的取值范围．思维启迪 (1)f(x)是一个分段函数，当 x<0 时，转化为

奇偶函数与周期函数的性质及应用

奇偶函数与周期函数的性质及应用数学中，奇偶函数与周期函数是两种重要的特殊函数。

它们有着不同的数学特性，不仅对于理论数学有一定的应用，而且在各个实际领域中都有重要的应用。

一、奇偶函数的概念及性质奇偶函数是指满足以下条件的函数：对于任意 $x$，有 $f(-x)=-f(x)$ 或者 $f(-x)=f(x)$。

其中，满足前者条件的函数叫做奇函数，满足后者条件的函数则叫做偶函数。

奇偶函数的性质有如下几点：1. 偶函数具有对称性：关于 $y$ 轴对称。

2. 奇函数具有反对称性：关于原点对称。

3. 任意两个奇函数的和是奇函数，任意两个偶函数的和是偶函数。

奇函数与偶函数之和是一个一般函数。

4. 任意奇函数乘以任意偶函数得到的函数是奇函数。

5. 偶函数的导数是奇函数，奇函数的导数是偶函数。

二、周期函数的概念及性质周期函数是指满足以下条件的函数：对于任意的 $x$，都有$f(x+T)=f(x)$，其中 $T$ 称为周期。

周期函数有时也被称为循环函数。

周期函数的性质如下：1. 周期函数的导数也是周期函数，但它的周期可能不同于原周期函数的周期。

2. 周期函数的积分不一定是周期函数，但它的积分周期一定是原周期函数的周期的整数倍。

3. 任意两个周期函数的和（或差）仍然是周期函数，它的周期是两个周期函数的周期的最小公倍数。

三、奇偶函数与周期函数的应用1.在物理学中，很多现象都可以用奇偶函数与周期函数进行描述。

在机械波传播中，波形通常是周期函数；当波形与导致波形的物理量相反变化时，波形就是一个奇函数。

2. 在电学中，很多电路中的电流和电压的变化都可以用周期函数表示。

3. 在信号处理领域中，很多信号都是周期函数，并且由于傅里叶级数可以将任意函数分解成一组正弦和余弦函数的和，所以奇偶函数与周期函数就成为了分析信号的基础。

4. 在统计学中，正态分布的概率密度函数是一个偶函数，而 t 分布的概率密度函数是一个奇函数。

总之，奇偶函数与周期函数不仅有着自身的数学定义，而且在实际应用中也有着广泛的应用领域。

(完整版)函数奇偶性的归纳总结

函数的奇偶性的归纳总结考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。

教学目标：1、理解函数奇偶性的概念；2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法；3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法；4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。

教学重点：1、理解奇偶函数的定义；2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。

教学难点：1、对奇偶性定义的理解；2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。

教学过程：一、知识要点：1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。

一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。

理解：(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。

这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象：奇函数⇔图象关于原点成中心对称的函数，偶函数⇔图象关于y 轴对称的函数。

4、函数奇偶性的性质：①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。

②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。

③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。

奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a<b)上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上也是单调递增（减）；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。

偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a<b ）上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上单调递减（增）④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。

函数奇偶性及单调性的综合应用课件

定义
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，则称$f(x)$为增函数。
性质
增函数的图像是上升的，即随着$x$的增大，$y$的值也增大。
单调减函数的定义与性质
定义
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称 $f(x)$为减函数。
奇偶性与单调性在数学问题中的应用实例
函数图像分析
通过分析函数的奇偶性和单调性，可以更好地理解函数的图像和性质，进而解决相关的数学问题。
数值计算优化
在数值计算中，利用函数的奇偶性和单调性，可以更高效地求解数学问题和优化算法。
数学建模应用
在数学建模中，结合奇偶性和单调性，可以建立更精确的数学模型，解决实际问题。
THANKS
感谢观看
性质
减函数的图像是下降的，即随着$x$的增大，$y$的值减小。
单调性在函数图像中的应用
1 2 3
判断函数图像的单调性
通过观察函数图像的走势，可以判断函数的单调性。
利用单调性判断函数值大小
在单调增函数中，如果$x_1 < x_2$，则有 $f(x_1) < f(x_2)$；在单调减函数中，如果$x_1 < x_2$，则有$f(x_1) > f(x_2)$。
对于函数$f(x) = x^{2}$，其在区间 $(-infty, 0)$上单调递减，在区间$(0, +infty)$上单调递增。对于函数$f(x) = frac{1}{x}$，其在区间$(-infty, 0)$ 和$(0, +infty)$上均为单调递减。

函数的性质综合应用

②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数
③一个奇函数，一个偶函数和积函数是奇函数 4、若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0
5、奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称
（三）奇偶性式子的变形 f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) 0 f ( x) 1( f ( x) 0) f ( x)
5、f ( x) a x a x (a 0, 且a 1)在定义域上是奇函数 6、f ( x y ) f ( x) f ( y )(a 0, 且a 1)在定义域上是奇函数
周期性
（1）定义设函数y f ( x), x D如果存在非零常数T ,使得对任何x D都有f ( x T ) f ( x)，则称函数y f ( x)为周期函数 T 为的一个周期，所有周期中最小的正数，称为最小正周期，简称周期。
变式：设函数f ( x)对任意实数满足f (2 x) f (2 x)，f (7 x) f (7－x)且f (0) 0, 判断函数f ( x)图象在区间上－30， 30 与x轴至少有多少个交点.
解：由题设知函数f ( x)图象关于直线x 2和x 7对称，又由函数的性质得是以10为周期的函数.在一个周期区间 0， 10 内 f (0) 0, f (4) f (2 2) f (2 2) f (0) 0且f ( x)不能恒为零, 故图象与x轴至少有2个交点而区间 30,30 上有6个周期，故在闭区间－30， 30 上f ( x)图象与x轴至少有13个交点.
C. f ( x) x cos x D . f ( x) x( x
例3．已知函数f ( x)

2

函数的奇偶性质及其应用

函数的奇偶性质及其应用云南昭通昭翼高考补习学校陈培泽1.定义:函数y ()f x =在其定义域D 内满足: ()()f x f x -=,则称函数为偶函数, 函数y ()f x =在其定义域D 内满足: ()()f x f x -=-则称函数为奇函数.分析定义:(1)奇偶函数定义中的自变量x 与-x 互为相反数,确定了奇,偶函数的定义域必然关于原点对称..(2) 奇函数满足: ()()f x f x -=-,当0x D =∈时,有(0)0f =;偶函数在其定义域D 内满足: ()()f x f x -=,当x D ∈时有()()(||)f x f x f x -==.(3)由定义知道,奇函数图象关于原点对称;偶函数图象关于y 轴对称,因此奇函数在对称区间上有相同的单调性,若在区间(,)a b 有最大(最小)值M,则在区间(,)b a --上有最小(最大)值-M,最大值与最小值的和为0; 偶函数在对称区间上有相反的单调性.若在区间(,)a b 有最大(最小)值M,则在区间(,)b a --上也有相等的最大(最小)值M 。

(4)若y ()f x =既是奇函数又是偶函数,,由定义有()0f x =,由定义域D 确定,它表示直线或线段.(5) 若y ()f x =是偶函数,且图象又关于x a =(0)a ≠对称,则有()()f x f x -=和()(2)f x f a x =-同时成立,所以有()(2)f x f a x =+,故y ()f x =又是周期2T a =的周期函数.推而广之：函数()y f x =图象如果有两条对称轴x a =和x b = (0,)ab a b ≠≠则有(2)y f a x =-和(2)y f b x =-,所以有(2)(2)f a x f b x -=-,即()(22)f x f b a x =-+,所以()y f x =是周期2||T b a =-的周期函数.(6) 若y ()f x =是奇函数,图象又关于x a =(0)a ≠对称, 则有()()f x f x -=-和()(2)f x f a x =-同时成立,所以有()(2)f x f a x -=--,()(2)f x f a x ⇒=-+ ()(4)f x f a x ⇒=+,所以y ()f x =又是周期4T a =的周期函数.(7)复合函数()y f x a =+ (0)a ≠为偶函数,由定义有()()f x a f x a -+=+,容易看出函数图象关于直线x a =对称,令t x a =-+;则()(2)(4)f t f a t f a t =-=+,所以()f x 是周期4T a =的周期函数.(8) 复合函数()y f x a =+ (0)a ≠是奇函数,由定义有()()f x a f x a -+=-+,令t x a =-+,则有()(2)f t f a t =--,所以 ()(4)f t f a t =+,所以()f x 是周期4T a =的周期函数.2.常用结论:(1)任意定义域关于原点对称的函数()y f x =均可以表示成一个奇函数()()()2f x f x g x --=和一个偶函数()()()2f x f x h x +-=的和, 即:()()()f xg xh x =+. (2) ;±=±=奇奇奇偶偶偶;; ⨯=奇奇偶; ⨯偶偶=偶; ⨯奇偶=奇3.部分重要奇偶函数:(1)奇函数: ()x xf x a a -=-;()x x x x a a f x a a --+=-;()x x x x a a f x a a ---=+;221()1x x a f x a -=+ 1()log 1a x f x x-=+;()log (a f x x =+ (0,1)a a ≠≠ (2)偶函数: ()x x f x a a -=+ (0,1)a a ≠≠4．奇偶函数定义的等价形式:奇函数等价式: ()()0f x f x -+=, ()1,(()0)()f x f x f x -=-≠. 偶函数等价式: ()()0f x f x --=;()1,(()0)()f x f x f x -=≠’ 5.常见题型归类:<1>考察奇偶函数的定义域关于原点对称:例题:(1)已知二次函数2()f x ax bx =+是定义在[1,2]a a -上的偶函数则________a b +=.(2)已知222()log ()f x x a b =++是定义在(3,2)b a --上的偶函数,图象过点(1,3)则函数的定义域是________;解析式是________.<2>考察函数的定义:例题:(1)已知函数2()lg()1f x a x=+-是奇函数,则使()0f x <的x 取值范围是: (1,0)A - (0,1)B (,0)C -∞ (,0)(1,)D -∞+∞U(2) a R ∈,函数2()21x f x a =-+是奇函数,则_______a =. <3>判断函数奇偶性:例题:(1)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ).1A y x =+ 2.B y x =- 1.C y x= .||D y x x = (2) 下列函数中,既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是( )3.A y x = .||1B y x =+ 2.1C y x =-+ ||.2x D y -=<4>求函数表达式:例题:(1)已知()y f x =是奇函数,当0x ≤时2()2f x x x =-,则_____________()f x =.(2) 已知()y f x =是偶函数,当0x <时()x f x e x =-,则_____________()f x =.(3)(2011年全国卷)设()f x 是周期为2的奇函数,当01x ≤≤时()2(1)f x x x =-,则___________________5()2f -= (4)(2011年湖北卷)已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2(x x f x g x a a a -+=-+>且1)a ≠若(2)g a =则(2)f =( ) .2A 15.4B 17.4C 2.D a <5>简单求值计算例题:(1)(2012年上海卷)已知2()y f x x =+是奇函数,且(1)1f =,若()()2g x f x =+,则________(1)g -=.(2)()f x 是定义在R 上的奇函数,若()()4g x f x =+且(3)5g -=则__________(3)g =;若()()2h x f x =+在(0,)+∞上有最大值5,则()h x 在区间(,0)-∞上的最小值是________.(3)(2011年广东卷)设函数3()cos 1f x x x =+.若()11f a =,则______()f a -=.(4)设函数22(1)sin ()1x x f x x ++=+的最大值为M,最小值为m,则M+m __________=. 点评：运用“奇函数在定义域内最大值与最小值的和为0。

了解函数的基本奇偶性

了解函数的基本奇偶性函数的奇偶性是数学中一个非常重要的概念，它与函数的图像、方程和性质密切相关。

了解函数的基本奇偶性对于理解和解决许多数学问题至关重要。

本文将介绍函数的奇偶性及其应用。

一、函数的奇偶性定义在数学中，任何一个函数都可以判断其奇偶性。

对于定义在实数域上的函数f(x)，如果对于任意实数x，有f(-x)=f(x)，则函数f(x)是偶函数；如果对于任意实数x，有f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数；如果函数既不满足偶性也不满足奇性，则称其为一般函数或无奇偶性函数。

二、奇偶性函数的性质1. 偶函数的性质（1）奇次幂的多项式函数是奇函数；偶次幂的多项式函数是偶函数。

（2）偶函数关于y轴对称，即其图像与y轴关于原点对称。

（3）偶函数在原点处有对称轴，即原点是其对称轴的一部分。

（4）偶函数乘以偶函数还是偶函数，偶函数乘以奇函数还是奇函数。

2. 奇函数的性质（1）奇次幂的多项式函数是奇函数；偶次幂的多项式函数是偶函数。

（2）奇函数关于原点对称，即其图像与原点关于原点对称。

（3）奇函数在原点处有旋转对称性。

（4）奇函数乘以奇函数还是偶函数，奇函数乘以偶函数还是奇函数。

三、奇偶性函数的应用1. 确定函数的奇偶性可以简化一些数学计算，特别是在求导、积分和解方程等问题中。

对于奇函数，若其在原点处取值为零，则其他与原点对称的点也为零；对于偶函数，若其在原点处取值为零，则关于原点对称的点也为零。

2. 函数的奇偶性可以帮助我们确定函数的对称性，以及函数图像在平面上的分布情况。

3. 偶函数的性质常用于解决对称性相关的问题，如求曲线的对称轴等；奇函数的性质常用于解决旋转对称性相关的问题，如求曲线的旋转中心等。

4. 在解方程中，可以利用奇偶性来帮助我们简化问题，特别是当方程中包含奇偶函数时。

四、总结了解函数的基本奇偶性对于数学的学习和问题求解至关重要。

通过分析函数的奇偶性可以简化计算，确定图像的对称性，解决对称性相关问题，并提供更多的数学思路和方法。

常见的奇偶函数总结

常见的奇偶函数总结奇偶函数是数学中常见的一类函数，它们具有一些特殊的性质和规律。

本文将对奇偶函数进行总结和介绍，以帮助读者更好地理解和应用这些函数。

一、什么是奇偶函数奇偶函数是指满足特定条件的函数。

根据定义，如果对于函数f(x)的定义域内的任意x，都有f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；而如果对于函数f(x)的定义域内的任意x，都有f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。

换句话说，偶函数关于y轴对称，而奇函数关于原点对称。

二、奇偶函数的性质和特点1. 对称性：奇函数和偶函数都具有对称性。

奇函数关于原点对称，即当一点(x, y)在函数图像上时，点(-x, -y)也在函数图像上；而偶函数关于y轴对称，即当一点(x, y)在函数图像上时，点(-x, y)也在函数图像上。

2. 奇函数的特点：奇函数在原点O处必须过原点，即f(0) = 0；奇函数的定义域内任意两点(x, f(x))和(-x, -f(x))的斜率相等，即f’(x) = -f’(-x)。

3. 偶函数的特点：偶函数在原点O处也必须过原点，即f(0) = 0；偶函数的定义域内任意两点(x, f(x))和(-x, f(-x))的斜率相等，即f’(x) = f’(-x)。

4. 奇偶性的判断：对于一个函数，可以通过函数的解析式来判断它的奇偶性。

如果函数的解析式中只包含奇次幂的项，那么该函数就是奇函数；如果函数的解析式中只包含偶次幂的项，那么该函数就是偶函数；如果函数的解析式中既包含奇次幂的项，又包含偶次幂的项，那么该函数既不是奇函数也不是偶函数。

三、常见的奇偶函数及其图像1. 奇函数：最常见的奇函数是正弦函数(sin x)和正切函数(tan x)。

它们的图像都以原点为对称中心，关于原点对称。

2. 偶函数：最常见的偶函数是余弦函数(cos x)和正切函数(sec x)。

它们的图像都以y轴为对称轴，关于y轴对称。

3. 既是奇函数又是偶函数的函数：常数函数(y = 0)既是奇函数又是偶函数。

函数的奇偶性与周期性的应用

函数的奇偶性与周期性的应用函数是数学中的重要概念，它描述了数值之间的关系。

在实际问题中，我们经常会遇到需要研究函数的奇偶性和周期性的情况。

本文将讨论函数的奇偶性和周期性在数学和实际问题中的应用。

一、函数的奇偶性奇函数和偶函数是指具有特定对称性质的函数。

1. 奇函数奇函数是指满足以下条件的函数：对任意实数 x，有 f(-x) = -f(x)。

奇函数具有关于原点对称的性质，即图像关于原点对称。

例如，常见的奇函数有正弦函数 sin(x) 和三角函数 tan(x)。

在实际问题中，奇函数的应用很广泛。

比如，当我们研究对称材料的性质时，可以使用奇函数来描述。

此外，奇函数在信号处理和电路设计中也有很多应用，可以用于滤波和调制等方面。

2. 偶函数偶函数是指满足以下条件的函数：对任意实数 x，有 f(-x) = f(x)。

偶函数具有关于 y 轴对称的性质，即图像关于 y 轴对称。

例如，常见的偶函数有余弦函数 cos(x) 和绝对值函数 |x|。

在实际问题中，偶函数也有许多应用。

比如，在对称图形的研究中，可以使用偶函数来描述图形的特性。

此外，偶函数在信号处理和图像处理中也有广泛应用，可以用于图像增强和去噪等方面。

二、函数的周期性周期函数是指在一定区间内具有重复性质的函数。

1. 周期函数的定义周期函数是指满足以下条件的函数：存在一个正数 T，对任意实数x，有 f(x+T) = f(x)。

周期函数的图像在一定区间内重复出现，具有明显的周期性。

常见的周期函数有正弦函数和余弦函数。

2. 周期函数的应用周期函数在实际问题中的应用非常广泛。

比如，当我们研究震动问题时，可以使用周期函数来描述物体的运动轨迹。

此外，在电路设计和信号处理中，周期函数也有很多应用，例如音乐信号的合成和调节。

总结：函数的奇偶性和周期性在数学和实际问题中起着重要作用。

通过研究函数的奇偶性，我们可以揭示问题中的对称性质，从而更好地理解问题。

而函数的周期性则描述了重复出现的模式，使我们能够分析问题的重复特征。

奇偶函数的性质及其应用

奇偶函数的性质及其应用Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】奇偶函数的性质及其应用一、知识点总结奇偶函数的性质1）若函数f（x）是定义在区间d的奇函数，则具备以下性质：a.定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;b.对于定义域内任意x都有f（-x）=-f（x）；c.图像关于原点（0,0）对称；d.若0∈d则f（0）=0;e.奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性。

2）若函数是定义在区间d的偶函数，则具备以下性质：a.定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;b.对于定义域内任意x都有f（-x）=f（x）=f（|x|）；c.图像关于y轴对称；d.偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性二、奇偶函数性质的应用热点题型一：利用奇偶性求参数的值例1 已知f（x）=ax2+bx是定义在[a-1,2a]的偶函数，那么a+b的值为.解：∵f（x）是定义在[a-1,2a]的偶函数，∴b=0a-1+2a=0，解得b=0,a=故a+b=.点评：对于多项式型的函数f（x）=a1xn+a2xn-1+…+an，若f（x）为奇函数，则应只保留x的奇次项，若为偶函数则应只保留x的偶次项.故b=0，又奇偶函数定义域关于原点对称，故a-1+2a=0.例2 已知函数f（x）=是定义在r上的奇函数，求a的值.解法一：∵f（x）是定义在r上的奇函数∴f（x）=0，即：=0，∴a=1解法二：∵f（x）是定义r在的奇函数∴f（-x）=-f（x）即：=-整理得（2a-2）（2x+1）=0∴2a-2=0解之得a=1点评：对于奇函数f（x），若0∈f（0）定义域，则此性质可大大减少运算量。

故首选f（0）=0，若0埸定义域，再考虑f（-x）=-f（x），利用恒等式求解。

热点题型二：利用奇偶性求函数解析式例3 已知函数f（x）是定义在r上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x （1+x）求出函数的解析式。

常用的奇偶函数

常用的奇偶函数奇偶函数是数学中常见的一种函数类型，它具有特殊的对称性质。

在日常生活中，我们也可以找到一些奇偶函数的例子，它们存在于各个方面，给我们的生活带来了不少乐趣和启发。

一、奇函数的魅力奇函数是指满足对称性质的函数，即f(x) = -f(-x)。

这种函数的特点是关于原点对称，图像呈现出左右对称的形态。

在生活中，我们可以找到很多奇函数的例子。

1. 自然界中的奇函数在大自然中，存在着许多奇函数的例子。

比如，天空中的云朵形状往往具有奇函数的特点，它们在不同的高度上形成了各种各样的对称形态，给人一种美丽而神秘的感觉。

2. 艺术中的奇函数奇函数的美学特点也被广泛应用于艺术创作中。

绘画、雕塑、音乐等艺术形式中，都可以找到奇函数的身影。

比如，著名的音乐作品《春江花月夜》中，音符的起伏变化呈现出奇函数的特点，给人们带来了一种动人心弦的感觉。

3. 生活中的奇函数除了自然界和艺术领域，奇函数还存在于我们的日常生活中。

比如，钟表的指针运动就是一个奇函数，它们在不同的时间点上呈现出对称的形态。

另外，花朵的形状、人体的结构等也都具有奇函数的特点，给我们的生活带来了美的享受。

二、偶函数的魅力与奇函数不同，偶函数是指满足对称性质的函数，即f(x) = f(-x)。

这种函数的特点是关于y轴对称，图像呈现出上下对称的形态。

在我们的生活中，也可以找到很多偶函数的例子。

1. 几何中的偶函数在几何学中，偶函数也有广泛的应用。

比如，圆的方程就是一个偶函数，它具有关于y轴的对称性质。

另外，对称图形的性质也可以用偶函数来描述，比如正方形、矩形等，它们在对称轴两侧的性质是一样的。

2. 物理中的偶函数在物理学中，偶函数也有着重要的应用。

比如，物体的质量分布、电场的分布等都可以用偶函数来描述。

同时，偶函数还可以用来描述物体的对称性质，比如球体的形状、杆的长度等。

3. 经济中的偶函数在经济学中，偶函数也有一定的应用。

比如，收入分配的曲线往往具有偶函数的特点，即富人和穷人的收入分布呈现出对称的形态。

第四讲函数的奇偶性

第四讲：函数的奇偶性及其应用一．知识点梳理1. 奇、偶函数的定义对于函数f(x)定义域内的任意x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)+f(x)=0),则称f(x)为奇函数;对于函数f(x)的定义域内的任意x,都有f(-x)=f(x)(或f(-x)-f(x)=0),则称f(x)为偶函数.2. 奇、偶函数的性质(1) 具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称).(2) 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称.(3) 若奇函数的定义域包含0,则f(0)=0. 偶函数()y f x =必满足()()()(f x f x f x x ==-（4）偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。

(5) 定义关于原点对称的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.（6）运算函数的奇偶性规律运算函数是指两个(或多个)函数式通过四则运算所得函数；若设定偶函数为正实数，奇函数为负实数，则运算函数的奇偶性满足实数运算的符号法则。

（7）复合函数的奇偶性原理：一偶即偶，两奇为奇。

二．考点突破1.函数奇偶性的判断与证明例1：判断下列函数的奇偶性: (1) f(x)=22x 2xx 1++; (2) f(x)=x 3-2x; (3) f(x)=a(x ∈R ).（4）()ln(f x x = （5）1()lg 1x f x x -=+ （6）(1),0()(1),0x x x f x x x x ->⎧=⎨-+<⎩变式练习：1.函数f(x)=x3-x是函数.(填“奇”或“偶”)2.已知函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+3是偶函数,那么实数m的值为.3.已知函数f(x)=xxk-21k2+⋅(k为常数)在定义域上为奇函数,则实数k的值为.4.已知函数f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值为.2.函数奇偶性的应用例3：已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,那么f(1)+g(1)=.变式练习：1.若函数f(x)为奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+x,则f(-2)的值为.2. 已知f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,那么f(-2)=.3. 已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,那么g(1)=.4.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),那么f(-6)=.5.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是.6.已知函数f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,当x∈[0,1]时,f(x)=2x+ln(x+1)-1.(1) 求函数f(x)的解析式,并判断f(x)在[-1,1]上的单调性(不要求证明);(2) 解不等式:f(2x-1)+f(1-x2)≥0.当堂检测1. 若函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= .2. 若f(x)=x 12-1+a 是奇函数,则a= .3. 下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的是 .(填序号)①y=1x ; ②y=e -x ; ③y=-x 2+1; ④y=lg|x|.4.设函数f(x)=asinx+x 2,若f(1)=0,则f(-1)的值为 .5.设f(x)是定义在R 上的奇函数,当x ≤0时,f(x)=2x 2-x,则f(1)= .6.若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线对称.7．若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)关于点中心对称.8.设函数f(x)是定义在R 上的奇函数,若当x ∈(0,+∞)时,函数f(x)的图像如图所示,则满足f(x)>0的x 的取值范围是 .9.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上是减少的,f(2)=0,若f(x-1)>0,则x 的取值范围是 .10.判断函数的奇偶性① ()f x = ②()(f x x =-∈(-1,1).课后练习（函数的奇偶性）一、填空题1. 定义域为R 的四个函数y=x 3,y=2x ,y=x 2+1,y=2sinx 中,奇函数的个数是 .2.已知函数f(x)为偶函数,且当x<0时,f(x)=x 2-1x ,那么f(1)= .3. 已知f(x)=ax 2+(b+2)x+3a+b 是偶函数,且定义域为[1-a,2a+1],那么a= ,b= .4. 若函数f(x)=kx 2+(k-1)x+2是偶函数,则f(x)的单调减区间是 .5.已知y=f(x)+x 2是奇函数,且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)= .6.若y=f(x)是定义在R 上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则满足f(m)<f(1)的实数m 的取值范围是 .7.若函数f(x)=的图象关于原点对称,则f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ .8. 若f(x)是偶函数,且当x ∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则f(x-1)<0的解集是 .二、解答题9. 判断下列函数的奇偶性: (1) f(x)=x+1x ;(2) f(x)=x 2+21x10. 已知奇函数f(x)在定义域(-1,1)内是单调减函数,求：满足f(1-m)+f(1-m 2)<0的实数m 的取值范围.11. 设函数f(x)=x 2-2|x|-1,-3≤x ≤3.(1) 求证:f(x)是偶函数; (2) 画出函数f(x)的图象;(3) 指出函数f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上f(x)是单调递增还是单调递减;(4) 求函数f(x)的值域.参考答案1. 2 .2. 23. -2 -24. (-∞,0]5. -16. (-1,1)7. 8. (0,2) 9. (1) 定义域为A={x|x ∈R ,且x ≠0}.因为对定义域内的每一个x,都有f(-x)=-x+1-x =-1x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-f(x),所以f(x)=x+1x 为奇函数. (2) 定义域为A={x|x ∈R ,且x ≠0}.因为对定义域内的每一个x,都有f(-x)=(-x)2+21(-x)=x 2+21x =f(x),所以函数f(x)=x 2+21x 为偶函数.(3) 函数的定义域为A={x|x>0},关于原点不对称,所以函数.(4) 由221-x 0,x -10,⎧≥⎨≥⎩得x 2=1,所以x=±1,所以函数的定义域为{-1,1}.于是f(x)=0,x ∈{-1,1},满足f(-x)=f(x)=0,f(-x)=-f(x)=0,所以f(x)既是奇函数又是偶函数.10. 由f(1-m)+f(1-m 2)<0,得f(1-m)<-f(1-m 2),因为函数f(x)是奇函数,所以f(1-m)<f(m 2-1). 因为f(x)在定义域(-1,1)内是减函数,所以22-11-m 1,-11-m 11-m m -1,<<⎧⎪<<⎨⎪>⎩,解得0<m<1. 所以实数m 的取值范围是(0,1).11. (1) 因为x ∈[-3,3],所以f(x)的定义域关于原点对称.对定义域内的每一个x,都有f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x 2-2|x|-1=f(x),即f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.(2) 当0≤x ≤3时,f(x)=x 2-2x-1=(x-1)2-2;当-3≤x<0时,f(x)=x 2+2x-1=(x+1)2-2.所以f(x)=22(x-1)-2,0x 3,(x 1)-2,-3x 0.⎧≤≤⎨+≤<⎩函数f(x)的图象如图所示. (3) 由(2)知函数f(x)的单调区间为[-3,-1),[-1,0),[0,1),[1,3].f(x)在区间[-3,-1)和[0,1)上单调递减,在[-1,0)和[1,3]上单调递增.(4) 当x ≥0时,函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2,最大值为f(3)=2;当x<0时,函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2,最大值为f(-3)=2.故函数f(x)的值域为[-2,2].。

函数奇偶性的性质应用

函数奇偶性的应用一、利用函数的奇偶性判断函数的单调性1奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致,偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．2奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比拟大小中作用很大．对于偶函数,如果两个自变量在关于原点对称的两个不同的单调区间上,即自变量的正负不统一,应利用图象的对称性将自变量化归到同一个单调区间,然后再根据单调性判断．例．假如奇函数f<x>在[a,b]上是增函数,且有最大值M,如此f<x>在[－b,－a]上是增函数,且有最小值－M.例．假如偶函数f<x>在<－∞,0>上是减函数,如此f<x>在<0,＋∞>上是增函数．例如果f<x>是R上的奇函数,且在[3,6]上有最大值4,最小值2,那么函数f<x>在[－6,－3]上的最大值和最小值各是多少？提示：奇函数的图象关于原点对称,联想图象可知函数f<x>在[－6,－3]上的最大值为－2,最小值为－4.例．假如函数y＝f<x><x∈R>是奇函数,且f<1><f<2>,如此必有<>A．f<－1><f<－2> B．f<－1>>f<－2>C．f<－1>＝f<1> D．f<－2>＝f<1>解析：∵f<1><f<2>,∴－f<1>>－f<2>．又f<x>是奇函数,∴f<－1>>f<－2>．答案：B例函数y＝f<x><x∈R>是奇函数,图象必过点A．〔a,－f<a>> B．〔-a,－f<a>>C．〔a,f<－a>> D．〔-a,－f<a>>例．设f<x>是R上的偶函数,且在[0,＋∞>上单调递增,如此f<－2>,f<－π>,f<3>的大小顺序是________．解析：∵f<x>是R上的偶函数,∴f<－2>＝f<2>,f<－π>＝f<π>,又f<x>在[0,＋∞>上递增,而2<3<π,∴f<π>>f<3>>f<2>,即f<－π>>f<3>>f<－2>．答案：f<－π>>f<3>>f<－2>例．函数f<x>是R上的偶函数,且在[0,＋∞>上单调递增,如此如下各式成立的是<>A．f<－2>>f<0>>f<1>B．f<－2>>f<1>>f<0>C．f<1>>f<0>>f<－2>D．f<1>>f<－2>>f<0>解析：∵f<x>是R上的偶函数,∴f<－2>＝f<2>,又∵f<x>在[0,＋∞>上递增,∴f<－2>>f<1>>f<0>．答案：B例．函数f<x>在区间[－5,5]上是奇函数,在区间[0,5]上是单调函数,且f<3><f<1>,如此<>A．f<－1><f<－3> B．f<0>>f<－1>C．f<－1><f<1> D．f<－3>>f<－5>思路分析：要比拟各函数值的大小,需判断函数在区间[－5,5]上的单调性,根据题意,应首先判断函数在区间[0,5]上的单调性．解析：函数f <x >在区间[0,5]上是单调函数,又3>1,且f <3><f <1>,故此函数在区间[0,5]上是减函数．由条件与奇函数性质,知函数f <x >在区间[－5,5]上是减函数．选项A 中,－3<－1,故f <－3>>f <－1>．选项B 中,0>－1,故f <0><f <－1>．同理选项C 中f <－1>>f <1>,选项D 中f <－3><f <－5>．答案：A例．设f <x >是定义在R 上单调递减的奇函数．假如x 1＋x 2>0,x 2＋x 3>0,x 3＋x 1>0,如此< >A ．f <x 1>＋f <x 2>＋f <x 3>>0B ．f <x 1>＋f <x 2>＋f <x 3><0C ．f <x 1>＋f <x 2>＋f <x 3>＝0D ．f <x 1>＋f <x 2>>f <x 3>解析：利用减函数和奇函数的性质判断．∵x 1＋x 2>0,∴x 1>－x 2.又∵f <x >是定义在R 上单调递减的奇函数,∴f <x 1><－f <x 2>．∴f <x 1>＋f <x 2><0.同理,可得f <x 2>＋f <x 3><0,f <x 1>＋f <x 2><0.∴2f <x 1>＋2f <x 2>＋2f <x 3><0.∴f <x 1>＋f <x 2>＋f <x 3><0.答案：B例〔2009年某某文科卷〕定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠,有2121()()0f x f x x x -<-．如此〔〕A ．(3)(2)(1)f f f <-<Ｂ．(1)(2)(3)f f f <-<Ｃ．(2)(1)(3)f f f -<<Ｄ．(3)(1)(2)f f f <<-答案：A例定义在R 上的偶函数f <x >满足：对任意的x 1,x 2∈<－∞,0]<x 1≠x 2>,有<x 2－x 1>·[f <x 2>－f <x 1>]>0.如此当n ∈N ＋时,有< >A ．f <－n ><f <n －1><f <n ＋1>B ．f <n －1><f <－n ><f <n ＋1>C ．f <n ＋1><f <－n ><f <n －1>D ．f <n ＋1><f <n －1><f <－n >思路分析：先判断出函数f <x >的单调性,再转化为同一单调区间内判断函数值的大小关系．解析：由<x 2－x 1>[f <x 2>－f <x 1>]>0得f <x >在x ∈<－∞,0]为增函数．又f <x >为偶函数,所以f <x >在x ∈[0,＋∞>为减函数．又f <－n >＝f <n >且0≤n －1<n <n ＋1,∴f <n ＋1><f <n ><f <n －1>,即f <n ＋1><f <－n ><f <n －1>．答案：C例．假如y ＝<a －1>x 2－2ax ＋3为偶函数,如此在<－∞,3]内函数的单调区间为________．解析：a ＝0,y ＝－x 2＋3结合二次函数的单调性知．答案：增区间<－∞,0>,减区间[0,3]例定义在区间<－∞,＋∞>上的奇函数)(x f 为增函数,偶函数)(x g 在区间[0,＋∞>上的图象与)(x f 的图象重合,设a ＞b ＞0,给出如下不等式：〔1〕f －f <－a >＞g <a >－g <－b >；〔2〕f －f <－a >＜g <a >－g <－b >；〔3〕f <a >－f <－b >＞g －g <－a >；〔4〕f <a >－f <－b >＜g －g <－a >．其中成立的是〔〕A ． <1>与<4>B ． <2>与<3>C ． <1>与<3>D ． <2>与<4>解析：根据函数)(x f 、)(x g 的奇偶性将四个不等式化简,得：〔1〕f ＋f <a >＞g <a >－g ；〔2〕f ＋f <a >＜g <a >－g ；〔3〕f <a >＋f ＞g －g <a >；〔4〕f <a >＋f ＜g －g <a >．再由题义,有 )(a f ＝)(a g ＞)(b f ＝)(b g ＞0)0()0(==g f ．显然〔1〕、〔3〕正确,应当选C ．[技巧提示]具有奇偶性的函数可以根据某个区间的单调性判定其对称的区间内的单调性,因而往往与不等式联系严密．二. 求函数的函数值和函数解析式此类问题的一般解法是：<1>"求谁如此设谁〞,即在哪个区间求解析式,x 就设在哪个区间内．<2>要利用区间的解析式进展代入．<3>利用f <x >的奇偶性写出－f <x >或f <－x >,从而解出f <x >例函数y ＝f <x >是偶函数,其图象与x 轴有四个交点,如此方程f <x >＝0的所有实根之和是< >A ．4B ．2C ．1D ．0思路分析：以偶函数的图象特征进展判断．解析：∵偶函数y ＝f <x >的图象关于y 轴对称,∴f <x >与x 轴的四个交点也关于y 轴对称．因此,假如一根为x 1,如此它关于y 轴对称的根为－x 1；假如一根为x 2,如此它关于y 轴对称的根为－x 2,故f <x >＝0的四根之和为x 1＋<－x 1>＋x 2＋<－x 2>＝0.∴应选D.例．()2f x ax bx 3a b =+++是偶函数,且定义域为[],a 22a -,如此____,____;a b == 例.函数1().21x f x a =-+,假如()f x 为奇函数,如此a =________. 例. 设f x a a b x x x x xc ()log ()=-+⋅+++-2122〔其中a,b,c 为常数〕,且f()-=25,试求f<2>的值. 解：设g x a a b x x x xc ()log ()=-+⋅++-212,易证g<x>是奇函数,故于是f g f g ()()()()()()-=-+=--+⎧⎨⎩22412242两式相加得：f f ()()282853=--=-=,即f()23=例：8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ,那么=)2(f例.f <x >是偶函数,且当x >0时,f <x >＝x 3＋2x －3,求f <x >在x <0时的解析式．解：∵f <x >是偶函数,∴f <－x >＝f <x >,∵x <0,∴－x >0,∴f <－x >＝<－x >3＋2<－x >－3＝－x 3－2x －3.∴f <x >＝－x 3－2x －3<x <0>．例.函数f<x>在〔0,+∞〕上的解析式是f<x>=2x+1,根据如下条件求函数在〔-∞,0〕上的解析式.〔1〕f<x>是偶函数；〔2〕f<x>是奇函数.例设f<x>是定义在R 上的奇函数,当x>0时,f x x x ()lg()=+-+1212.试求此函数的解析式.解：〔1〕当x ＝0时,f f f ()()()000=-=-,于是f()00=；〔2〕当x<0时,->x 0,如此f x x x ()lg()()-=-+--+1212,由于f<x>是定义在R 上的奇函数,如此此函数的解析式为例．f <x >是R 上的奇函数,且当x >0时,f <x >＝－x 2＋2x ＋2.<1>求f <x >的解析式；<2>画出f <x >的图象,并指出f <x >的单调区间．解<2>先画出y ＝f <x ><x >0>的图象,利用奇函数的对称性可得到相应y ＝f <x ><x <0>的图象,其图象如如下图所示由图可知,其增区间为[－1,0>与<0,1],减区间为<－∞,－1]与[1,＋∞>例．f <x >是奇函数,且当x >0时,f <x >＝x |x －2|,求x <0时,f <x >的表达式．解：∵x <0,如此－x >0,∴f <－x >＝<－x >|<－x >－2|.又∵f <x >为奇函数,∴f <x >＝－f <－x >＝－<－x >|<－x >－2|＝x |x ＋2|.故当x <0时,f <x >＝x |x ＋2|. 于原点对称,f<a>求f<－a>,可尝试利用函数的奇偶性．f<x>＝u<x>＋1,f<－x>＝u<－x>＋1,∴ f<x>＋f<－x>＝u<x>＋u<－x>＋2．∵ u<x>是奇函数,u<x>＋u<－x>＝0,∴ f<x>＋f<－x>＝2,如此例. 设x ∈-()11，,f<x>是奇函数,g<x>是偶函数,f x g x x x ()()lg()+=-+21,求f<x>的表示式.解：f<x>是奇函数,有f x f x ()()-=-；g<x>是偶函数,有g x g x ()()-=,如此即f x g x x x f x g x x x ()()lg()()()lg()+=-+-+=---⎧⎨⎩2121 两式相减得f x x x x()lg()=+-+21211例设x∈<－1,1>,f<x>是偶函数,g<x>是奇函数,且f<x>＋g<x>＝－2lg<1＋x>,求10f<x>和10g<x>的表达式．解：法一：与上例同法二：∵x∈<－1,1>关于原点对称,又f<x>是偶函数f<－x>＝f<x>,g<x>是奇函数g<－x>＝－g<x>,设f<x>＋g<x>＝－2lg<1＋x>＝F<x>,如此F<－x>＝－2lg<1－x>,而F<－x>＝f<－x>＋g<－x>＝f<x>－g<x>,∴2f<x>＝F<x>＋F<－x>＝－2[lg<1＋x>＋lg<1－x>]＝－2lg<1－x 2>．又2g<x>＝F<x>－F<－x>＝－2[lg<1＋x>－lg<1－x>]三. 解不等式例．假如函数f <x >满足f <－x >＝－f <x >,又在<0,＋∞>上单调递增,且f <3>＝0,如此不等式x ·f <x ><0的解集是________．解析：∵f <－x >＝－f <x >,∴f <x >为奇函数,如此f <x >的简图如右图所示．∴当x <0时,f <x >>0,如此x ∈<－3,0>；当x >0时,f <x ><0,如此x ∈<0,3>．答案：<－3,0>∪<0,3>例. 〔2004年某某卷〕设奇函数f<x>的定义域是［-5,5］.当x ∈[]05，时,f<x>的图象如图1,如此不等式f<x><0的解是______________.图1解：根据奇函数图象关于原点成中心对称的性质,画出函数y f x =()在区间［-5,5］上的图象如图2,易知不等式f x ()<0的解是()(]-⋃2025，，.图2四. 函数的奇偶性的综合应用题解决有关函数的奇偶性、单调性以与求字母取值X 围的综合问题时,一般先利用奇偶性得出区间上的单调性,再利用单调性脱去函数的符号"f 〞,转化为解不等式<组>的问题．需要注意的是：在转化时,自变量必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号"f 〞时,需转化为含符号"f 〞的形式．例函数f <x >是定义域为实数集R 的偶函数,且在区间[0,＋∞>上是增函数,假如f <m >≥f <－2>,某某数m 的取值X 围．解：函数f <x >是实数集R 上的偶函数,且在[0,＋∞>上是增函数,所以f <x >在<－∞,0>上是减函数．当m <0时,由f <m >≥f <－2>,知m ≤－2；当m ≥0时,由f <m >≥f <－2>,f <－2>＝f <2>,可得f <m >≥f <2>,知m ≥2.故所求的m 的取值X 围为<－∞,－2]∪[2,＋∞>．例函数f <x >是奇函数〔x ≠0〕,当x ∈〔0,+∞〕时是增函数,假如(1)f =0,求不等式1()2f x -〈0的解集.思路分析：由f <x >的奇偶性与函数在<0,＋∞>上的单调性,不难得出f <x >在<－∞,0>上的单调性．再将不等式两边化为函数值的形式,利用单调性便可脱去函数记号"f 〞,于是问题转化为解不等式．答案13(,)22⋃1(,)2-∞-例偶函数)(x f 在定义域为R ,且在〔－∞,0]上单调递减,求满足)3(+x f ＞)1(-x f 的x 的集合．解析：偶函数)(x f 在〔－∞,0]上单调递减,在［0,＋∞〕上单调递增．根据图象的对称性,)3(+x f ＞)1(-x f 等价于 |3|+x ＞|1|-x ．解之,1->x ,∴ 满足条件的x 的集合为〔－1,＋∞〕．例 y ＝f<x>是定义在<－1,1>上的偶函数,且f<x>在<0,1>上是增函数,假如f<a －2>－f<4－a 2>＜0,试确定a 的取值X 围．解因f<x>是定义在<－1,1>上的偶函数,故它在关于原点对称的两个区间<0,1>和<－1,0>上具有相反的单调性．而f<x>在<0,1>上是增函数,于是f<x>在<－1,0>上为减函数,且f<4－a 2>＝f<a 2－4>．根据f<a －2>＜f<4－a 2>＝f<a 2－4>,考虑几种情况：<1>当a －2和a 2－4都在<0,1>上时,有<2>当a －2和a 2－4都在<－1,0>上时,有<3>当a －2和a 2－4分别在<－1,0>、<0,1>或<0,1>、<－1,0>时,相应的不等式组无解．例 f <x >是定义在[－1,1]上的奇函数,对任意a 、b ∈[－1,1],当a ＋b ≠0时,都有错误!>0.<1>假如a >b ,试比拟f <a >与f 的大小；<2>解不等式f <x －错误!><f <2x －错误!>．解：<1>假如a >b ,如此a －b >0,依题意有错误!>0成立,∴f <a >＋f <－b >>0.又∵f <x >是奇函数,∴f <a >－f >0,即f <a >>f ．<2>由<1>可知f <x >在[－1,1]上是增函数．如此所求不等式等价于错误!例：定义在R 上的偶函数)(x f 在)0,(-∞是单调递减,假如)123()12(22+-<++a a f a a f ,如此a 的取值X 围是如何？例. 函数f x ax bx c a b ()()=++>>2100，是奇函数,当x>0时,f<x>有最小值2,其中b N ∈+,且f()152<〔1〕试求f<x>的解析式；〔2〕问函数f<x>的图象上是否存在关于点〔1,0〕对称的两点,假如存在,求出点的坐标；假如不存在,说明理由. 解：知函数y f x a b =>>()()00，是奇函数,f x f x ()()-=-,如此c ＝0 由于f x a b x bx a b ()=+≥122,所以a b =2,又a b =2,又f a b ()1152=+<,于是25202b b -+< 解得122<<b ,又b N ∈+ 所以b ＝1,a ＝1 所以f x x x()=+1 〔2〕设点〔x 0,y 0〕存在关于点〔1,0〕对称点〔20-x ,y 0〕,此两点均在函数y x x=+21的图象上,如此y x y x x 002002012212=+-=-+-，() 联立以上两式得x x 020210--=,即x 012=±,从而,当x 012=+时,得y 022=；当x 012=-时,得y 022=- 即存在点〔1222+，〕,〔1222--，〕关于点〔1,0〕对称.。

函数奇偶性的性质应用

函數奇偶性の應用一、利用函數の奇偶性判斷函數の單調性1 奇函數在關於原點對稱の兩個區間上の單調性一致，偶函數在關於原點對稱の兩個區間上の單調性相反．2 奇函數、偶函數の單調性の對稱規律在不同區間內の引數對應の函數值比較大小中作用很大．對於偶函數，如果兩個引數在關於原點對稱の兩個不同の單調區間上，即引數の正負不統一，應利用圖象の對稱性將引數化歸到同一個單調區間，然後再根據單調性判斷．例．若奇函數f(x)在[a，b]上是增函數，且有最大值M，則f(x)在[－b，－a]上是增函數，且有最小值－M.例．若偶函數f(x)在(－∞，0)上是減函數，則f(x)在(0，＋∞)上是增函數．例如果f(x)是R上の奇函數，且在[3,6]上有最大值4，最小值2，那麼函數f(x)在[－6，－3]上の最大值和最小值各是多少？提示：奇函數の圖象關於原點對稱，聯想圖象可知函數f(x)在[－6，－3]上の最大值為－2，最小值為－4.例．若函數y＝f(x)(x∈R)是奇函數，且f(1)<f(2)，則必有()A．f(－1)<f(－2) B．f(－1)>f(－2)C．f(－1)＝f(1) D．f(－2)＝f(1)解析：∵f(1)<f(2)，∴－f(1)>－f(2)．又已知f(x)是奇函數，∴f(－1)>f(－2)．答案：B例函數y＝f(x)(x∈R)是奇函數，圖象必過點A．（a, －f(a)) B．（-a, －f(a))C．（a, f(－a)) D．（-a, －f(a))例．設f(x)是R上の偶函數，且在[0，＋∞)上單調遞增，則f(－2)，f(－π)，f(3)の大小順序是________．解析：∵f(x)是R上の偶函數，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又f(x)在[0，＋∞)上遞增，而2<3<π，∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2)．答案：f(－π)>f(3)>f(－2)例．函數f(x)是R上の偶函數，且在[0，＋∞)上單調遞增，則下列各式成立の是()A．f(－2)>f(0)>f(1)B．f(－2)>f(1)>f(0)C．f(1)>f(0)>f(－2)D．f(1)>f(－2)>f(0)解析：∵f(x)是R上の偶函數，∴f(－2)＝f(2)，又∵f(x)在[0，＋∞)上遞增，∴f(－2)>f(1)>f(0)．答案：B例．已知函數f (x )在區間[－5,5]上是奇函數，在區間[0,5]上是單調函數，且f (3)<f (1)，則( ) A ．f (－1)<f (－3) B ．f (0)>f (－1) C ．f (－1)<f (1) D ．f (－3)>f (－5)思路分析：要比較各函數值の大小，需判斷函數在區間[－5,5]上の單調性，根據題意，應首先判斷函數在區間[0,5]上の單調性．解析：函數f (x )在區間[0,5]上是單調函數，又3>1，且f (3)<f (1)，故此函數在區間[0,5]上是減函數．由已知條件及奇函數性質，知函數f (x )在區間[－5,5]上是減函數．選項A 中，－3<－1，故f (－3)>f (－1)．選項B 中，0>－1，故f (0)<f (－1)．同理選項C 中f (－1)>f (1)，選項D 中f (－3)<f (－5)．答案：A例．設f (x )是定義在R 上單調遞減の奇函數．若x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，則( ) A ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0 B ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)<0 C ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＝0 D ．f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)解析：利用減函數和奇函數の性質判斷． ∵x 1＋x 2>0，∴x 1>－x 2.又∵f (x )是定義在R 上單調遞減の奇函數， ∴f (x 1)<－f (x 2)．∴f (x 1)＋f (x 2)<0.同理，可得f (x 2)＋f (x 3)<0，f (x 1)＋f (x 2)<0.∴2f (x 1)＋2f (x 2)＋2f (x 3)<0. ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)<0. 答案：B例（2009年陝西文科卷）定義在R 上の偶函數()f x 滿足：對任意の1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-．則（）A ．(3)(2)(1)f f f <-< Ｂ．(1)(2)(3)f f f <-< Ｃ．(2)(1)(3)f f f -<< Ｄ．(3)(1)(2)f f f <<-答案：A例定義在R 上の偶函數f (x )滿足：對任意のx 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)·[f (x 2)－f (x 1)]>0.則當n ∈N ＋時，有( )A ．f (－n )<f (n －1)<f (n ＋1)B ．f (n －1)<f (－n )<f (n ＋1)C ．f (n ＋1)<f (－n )<f (n －1)D ．f (n ＋1)<f (n －1)<f (－n )思路分析：先判斷出函數f (x )の單調性，再轉化為同一單調區間內判斷函數值の大小關係．解析：由(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0得f (x )在x ∈(－∞，0]為增函數．又f (x )為偶函數，所以f (x )在x ∈[0，＋∞)為減函數．又f (－n )＝f (n )且0≤n －1<n <n ＋1，∴f (n ＋1)<f (n )<f (n －1)，即f (n ＋1)<f (－n )<f (n －1)．答案：C例．若y ＝(a －1)x 2－2ax ＋3為偶函數，則在(－∞，3]內函數の單調區間為________．解析：a ＝0，y ＝－x 2＋3結合二次函數の單調性知．答案：增區間(－∞，0)，減區間[0,3]例定義在區間(－∞，＋∞)上の奇函數)(x f 為增函數，偶函數)(x g 在區間[0，＋∞)上の圖象與)(x f の圖象重合，設a ＞b ＞0，給出下列不等式：（1）f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b )；（2）f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b )；（3）f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a )；（4）f (a )－f (－b )＜g (b )－g (－a )．其中成立の是（）A ． (1)與(4)B ． (2)與(3)C ． (1)與(3)D ． (2)與(4) 解析：根據函數)(x f 、)(x g の奇偶性將四個不等式化簡，得：（1）f (b )＋f (a )＞g (a )－g (b )；（2）f (b )＋f (a )＜g (a )－g (b )；（3）f (a )＋f (b )＞g (b )－g (a )；（4）f (a )＋f (b )＜g (b )－g (a )．再由題義，有 )(a f ＝)(a g ＞)(b f ＝)(b g ＞0)0()0(==g f ．顯然（1）、（3）正確，故選C ．【技巧提示】具有奇偶性の函數可以根據某個區間の單調性判定其對稱の區間內の單調性，因而往往與不等式聯繫緊密．二. 求函數の函數值和函數解析式此類問題の一般解法是：(1)“求誰則設誰”，即在哪個區間求解析式，x 就設在哪個區間內． (2)要利用已知區間の解析式進行代入．(3)利用f (x )の奇偶性寫出－f (x )或f (－x )，從而解出f (x )例已知函數y ＝f (x )是偶函數，其圖象與x 軸有四個交點，則方程f (x )＝0の所有實根之和是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．0 思路分析：以偶函數の圖象特徵進行判斷．解析：∵偶函數y ＝f (x )の圖象關於y 軸對稱，∴f (x )與x 軸の四個交點也關於y 軸對稱．因此，若一根為x 1，則它關於y 軸對稱の根為－x 1；若一根為x 2，則它關於y 軸對稱の根為－x 2，故f (x )＝0の四根之和為x 1＋(－x 1)＋x 2＋(－x 2)＝0.∴應選D.例．已知()2f x ax bx 3a b =+++是偶函數，且定義域為[],a 22a -，則____,____;a b ==例.已知函數1().21xf x a =-+，若()f x 為奇函數，則a =________。

函数的奇偶性及其应用

函数的奇偶性及其应用函数是数学中常见的概念，它描述了一种映射关系，即根据给定的输入值，得到相应的输出值。

函数的奇偶性是指函数图像在坐标系中的对称性质。

了解函数的奇偶性对于解题和分析函数性质具有重要的意义。

本文将就函数的奇偶性及其应用进行讨论。

一、函数的奇偶性函数的奇偶性即函数关于原点(0,0)的对称性质。

若函数满足$f(-x) =f(x)$，则称该函数为偶函数；若函数满足$f(-x) = -f(x)$，则称该函数为奇函数。

也就是说，对于偶函数来说，函数关于Y轴对称；对于奇函数来说，函数关于原点对称。

二、奇偶函数的性质1. 偶函数和奇函数的性质(1) 任意两个偶函数相加是偶函数，任意两个奇函数相加是奇函数。

(2) 偶函数乘以偶函数是偶函数，奇函数乘以奇函数是偶函数。

(3) 偶函数乘以奇函数是奇函数，奇函数乘以偶函数是奇函数。

(4) 偶数次幂的多项式函数是偶函数，奇数次幂的多项式函数是奇函数。

(5) 偶函数关于Y轴对称，奇函数关于原点对称。

2. 函数的奇偶性与代数运算的关系(1) 若$f(x)$是偶函数，则$f(x)+c$也是偶函数，其中$c$是常数。

(2) 若$f(x)$是奇函数，则$f(x)+c$也是奇函数，其中$c$是常数。

(3) 若$f(x)$是偶函数，则$f(x)\cdot c$仍是偶函数，其中$c$是常数。

(4) 若$f(x)$是奇函数，则$f(x)\cdot c$仍是奇函数，其中$c$是常数。

三、奇偶函数的应用1. 函数图像的性质分析通过函数的奇偶性，可以推导出函数图像关于Y轴或关于原点的对称性。

利用对称性可以简化函数图像的绘制和分析。

2. 奇偶函数在积分计算中的应用(1) 对于奇函数，其在关于原点对称的区间上的定积分为0，例如$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$。

(2) 对于偶函数，其在关于Y轴对称的区间上的定积分可以通过积分区间的对称性进行简化，例如$\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$。

奇偶函数加减

奇偶函数加减摘要：一、奇函数与偶函数的定义及性质1.奇函数的定义2.偶函数的定义3.奇函数与偶函数的性质二、奇偶函数的加减法1.奇函数与奇函数的加法2.奇函数与偶函数的加法3.偶函数与偶函数的加法4.奇函数与偶函数的加法5.奇函数与奇函数的减法6.奇函数与偶函数的减法7.偶函数与偶函数的减法8.奇函数与偶函数的减法三、奇偶函数在实际问题中的应用1.简化计算2.求解方程3.求解不等式4.求解最值问题四、总结与拓展1.奇偶函数加减法的规律2.奇偶函数在实际问题中的优势3.进一步研究奇偶函数的性质及其应用正文：一、奇函数与偶函数的定义及性质1.奇函数的定义：对于定义域内的任意x，有f(-x)=-f(x)，则函数f(x)为奇函数。

2.偶函数的定义：对于定义域内的任意x，有f(-x)=f(x)，则函数f(x)为偶函数。

3.奇函数与偶函数的性质：（1）奇函数关于原点对称，即图像关于y轴对称；（2）偶函数关于y轴对称，即图像关于原点对称；（3）奇函数的图像是关于原点对称的，而偶函数的图像是关于y轴对称的；（4）奇函数和偶函数的周期性：奇函数没有周期，而偶函数有周期；（5）奇函数和偶函数的单调性：奇函数在定义域内单调递增或递减，偶函数在定义域内单调递增或递减。

二、奇偶函数的加减法1.奇函数与奇函数的加法：两个奇函数相加，结果仍为奇函数。

2.奇函数与偶函数的加法：奇函数与偶函数相加，结果为奇函数。

3.偶函数与偶函数的加法：两个偶函数相加，结果仍为偶函数。

4.奇函数与偶函数的加法：奇函数与偶函数相加，结果为奇函数。

5.奇函数与奇函数的减法：两个奇函数相减，结果仍为奇函数。

6.奇函数与偶函数的减法：奇函数与偶函数相减，结果为奇函数。

7.偶函数与偶函数的减法：两个偶函数相减，结果仍为偶函数。

8.奇函数与偶函数的减法：奇函数与偶函数相减，结果为偶函数。

三、奇偶函数在实际问题中的应用1.简化计算：利用奇偶函数的性质，可以将复杂的计算问题简化，减少计算量。

常见奇偶函数

常见奇偶函数奇偶函数是数学中的一类特殊函数，经常被用来求解微积分、线性系统和电路相关的科学问题。

这类函数在数学上有着重要的地位，也是学习数学的基础内容之一。

本文将介绍一些常见的奇偶函数，并分析其定义、性质及用途。

一、定义奇偶函数的定义是指：函数f(x)在定义域内对给定的任意值x满足类似于$f(-x)=f(x)$的对称性质，则称$f(x)$为奇偶函数。

具体而言，只要满足下面条件之一就可以称为奇偶函数：1.于任意x，有$f(-x)=f(x)$；2.于任意x，有$f(-x)=-f(x)$；3.于任意x，有$f(-x)=f(x)+c$，其中c为常数。

二、性质奇偶函数的一个重要的性质是它的积分性质，即对于任意给定的定义域，$f(x)$的积分$int^{b}_{a}f(x)dx=0$，其中a,b为定义域的上下界，$f(x)$满足奇偶函数定义。

也就是说，它将定义域上每一条直线的积分结果都抵消掉，这是利用其对称性质而得出的一个结论。

此外，奇偶函数的对称性质还可以表示为：对于任意x，$f(x+0.5)=f(-x+0.5)$，其中0.5为一个常数。

这表明，对于任意x，我们可以将$f(x)$的值沿着x轴向右移动半个长度，改变得到的函数值仍然是原来的函数值，这就是奇偶函数的另一种特性。

三、常见的奇偶函数1.函数$y=x^n$：对于任意x，有$f(-x)=(-x)^n= (-1)^nx^n=f(x)$，因此可以说它是一个奇偶函数；2.方函数$y=x^2$：对于任意x，有$f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$，因此可以说它是一个奇偶函数；3.曲正弦函数$y=sinh x$：对于任意x，有$f(-x)=sinh(-x)=sinh x=f(x)$，因此可以说它是一个奇偶函数；4.曲余弦函数$y=cosh x$：对于任意x，有$f(-x)=cosh(-x)=cosh x=f(x)$，因此可以说它是一个奇偶函数；5.曲正切函数$y=tanh x$：对于任意x，有$f(-x)=tanh(-x)=-tanh x=-f(x)$，因此可以说它是一个奇偶函数；6.数函数$y=a^x$：对于任意x，有$f(-x)=a^{-x}=frac{1}{a^x}=frac{1}{f(x)}$，因此可以说它是一个奇偶函数。

奇偶函数的性质及其应用

1.3.2奇偶函数性质的应用(绝对经典)

函数的奇偶性(精辟讲解)

奇偶函数与周期函数的性质及应用

(完整版)函数奇偶性的归纳总结

函数奇偶性及单调性的综合应用课件

函数的性质综合应用

函数的奇偶性质及其应用

了解函数的基本奇偶性

常见的奇偶函数总结

函数的奇偶性与周期性的应用

奇偶函数的性质及其应用

常用的奇偶函数

第四讲 函数的奇偶性

函数奇偶性的性质应用

函数奇偶性的性质应用

函数的奇偶性及其应用

奇偶函数加减

常见奇偶函数

第四讲函数的奇偶性