工科数学分析课件

二、导数的定义
定义 设函数 y = f ( x)在点x0的某个邻域内
有定义, 当自变量x在 x0处取得增量∆x (点 x0 + ∆x 仍在该邻域内 时, 相应地函数 y取 ) 得增量∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ); 如果∆y与 ∆x之比当∆x → 0时的极限存在, 则称函数 y = f ( x)在点x0处可导, 并称这个极限为函 数 y = f ( x)在点x0处的导数, 记为y′ x= x0 ,
= a x ln a .
即
(a x )′ = a x ln a.
(e x )′ = e x .
例5 求函数 y = log a x (a > 0, a ≠ 1) 的导数 . 解
log a ( x + h) − log a x y ′ = lim h→ 0 h h log a (1 + ) x ⋅1 = lim h→ 0 h x x x 1 h h 1 = lim log a (1 + ) = log a e . x h→ 0 x x
( x + h) n − x n ( x n )′ = lim h→ 0 h n( n − 1) n− 2 n −1 x h + L + h n−1 ] = nx n − 1 = lim[nx + h→ 0 2!
即
更一般地 例如, 例如
( x n )′ = nx n −1 .
( xµ )′ = µxµ−1 .
设函数 f ( x )在点 x 0 可导,
∆y lim = f ′( x 0 ) ∆x → 0 ∆ x ∆y = f ′( x 0 ) + α ∆x
∆ y = f ′( x0 ) ∆ x + α ∆ x
α → 0 ( ∆x → 0 )
∆x → 0 ∆x → 0
lim ∆y = lim [ f ′( x 0 )∆x + α∆x ] = 0
§1 导数概念
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题 自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 如图 求 t 0时刻的瞬时速度 ,
取一邻近于 t 0的时刻 t , 运动时间 ∆t ,
∆s s − s 0 g 平均速度 v = = ( t 0 + t ). = ∆t t − t 0 2
取极限得
t0
t
∆t
例如, 例如
x2, f ( x) = x,
x≤0 x>0
y = x2
y=x
,
0
x
在 x = 0处不可导, x = 0为 f ( x )的角点.
2. 设函数 f ( x )在点 x 0 连续, 但 f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ∆y lim = lim = ∞, ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x 称函数 f ( x )在点 x 0有无穷导数 . (不可导)
注意: 注意: 1. f ′( x0 ) = f ′( x ) x = x .
0
2.导函数 瞬时变化率 是函数平均变化率的逼近 导函数(瞬时变化率 导函数 瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近 函数. 函数
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★ 单侧导数 1.左导数 左导数: 左导数
f −′ ( x 0 ) = lim
x → x0 − 0
f ( x ) − f ( x0 ) f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) = lim ; ∆x → − 0 x − x0 ∆x
2.右导数 右导数: 右导数
f +′ ( x 0 ) = lim
x → x0 + 0
f ( x ) − f ( x0 ) f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ; = lim ∆x → + 0 x − x0 ∆x
即 1 (log a x )′ = log a e . x
1 (ln x)′ = . x
例6 讨论函数 f ( x ) = x 在x = 0处的可导性 . 解 Q f ( 0 + h) − f ( 0 ) = h ,
h h
f ( 0 + h) − f ( 0 ) h lim+ = lim+ = 1, h→ 0 h→ 0 h h f ( 0 + h) − f ( 0 ) −h lim− = lim− = −1. h→ 0 h→ 0 h h
∆q dq i ( t ) = lim = . ∆t → 0 ∆ t dt
非均匀的物体:质量对长度 面积 体积)的导 面积,体积 非均匀的物体:质量对长度(面积 体积 的导 数为物体的线(面 体 密度 密度. 数为物体的线 面,体)密度
五、可导与连续的关系
定理 证 凡可导函数都是连续函数. 凡可导函数都是连续函数.
∆x
= f −′( x0 ) 存在,
f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) 若 lim0 ∆x → + ∆x
= ∆lim0 x→+
ϕ ( x 0 + ∆x ) − ϕ ( x 0 )
∆x
= f +′( x 0 ) 存在,
且 f −′( x0 ) = f +′( x 0 ) = a ,
解 由导数的几何意义 得切线斜率为 由导数的几何意义,
k = y′
1 x= 2
1 = ( )′ x
1 x= 2
1 =− 2 x
1 x= 2
= − 4.
1 所求切线方程为 y − 2 = −4( x − ), 即 4 x + y − 4 = 0. 2 1 1 法线方程为 y − 2 = ( x − ), 即 2 x − 8 y + 15 = 0. 4 2
MN → 0, ∠NMT → 0.
y = f (x)
N T
C M
o
α
ϕ
x0
x
x
设 M ( x 0 , y 0 ), N ( x , y ).
y − y0 f ( x ) − f ( x0 ) 割线MN的斜率为 tan ϕ = 割线 , = x − x0 x − x0 N 沿曲线C → M , x → x 0 , f ( x ) − f ( x0 ) . 切线MT的斜率为 k = tan α = lim x → x0 x − x0
关于导数的说明： 关于导数的说明： ★
点导数是因变量在点 x0处的变化率 , 它
反映了 因变量随自变量的变化 而变化的快 慢程度.
★
如果函数 y = f ( x )在开区间 I 内的每点
处都可导, 就称函数 f ( x )在开区间 I 内可导.
★ 对于任一 x ∈ I , 都对应着 f ( x ) 的一个确定的
导数值 .这个函数叫做原来函数 f ( x ) 的导函数 . dy df ( x ) . 记作 y′, f ′( x ), 或 dx dx
f ( x + ∆x ) − f ( x ) 即 y ′ = lim ∆x → 0 ∆x f ( x + h) − f ( x ) . 或 f ′( x ) = lim h→ 0 h
1
(µ ∈ R)
1 2 −1 = 1 . ( x )′ = x 2 x 2
( x )′ = ( −1) x
−1 − 1− 1
1 =− 2. x
例4 求函数 f ( x ) = a x (a > 0, a ≠ 1) 的导数 . 解
a x+h − a x ( a x )′ = lim h→ 0 h ah − 1 = a x lim h→ 0 h
1
,
－1/π
0
1/π
x
在x = 0处不可导. 处不可导
4. 若f ′( x0 ) = ∞ , 且在点 x0的两个单侧导数 符号相反 , 则称点 x 0为函数 f ( x )的尖点 (不可导点) .
y
y = f (x)
y
y = f (x)
o
x
o
x0
x
1 x sin , x ≠ 0 例8 讨论函数 f ( x ) = , x 0, x=0 在x = 0处的连续性与可导性 .
★ 函数 f (x)在点x0 处可导⇔左导数f − ( x0 ) 和右 ′
′ 都存在且相等. 导数 f + ( x0 )都存在且相等
★ 如果 f ( x )在开区间(a, b )内可导，且 f +′ (a ) 及 内可导，
都存在， 上可导 f −′ (b) 都存在，就说 f ( x ) 在闭区间[a, b]上可导.
x ≥ x0 , 讨论在点 x0的 x < x0
ϕ ( x ), ★ 设函数 f ( x ) = ψ ( x ), 可导性 .
f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) 若 lim0 ∆x → − ∆x
= ∆lim0 x→−
∆ →−
ψ ( x 0 + ∆x ) − ϕ ( x 0 )
α
y
y = f (x)
T
M
x0
x
切线方程为 y − y0 = f ′( x0 )( x − x0 ).
1 ( x − x0 ). 法线方程为 y − y0 = − f ′( x0 )
1 1 例7 求等边双曲线 y = 在点( ,2)处的切线的 x 2 斜率, 并写出在该点处的切线 方程和法线方程 .
2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率 物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率.
变速直线运动: 变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度. 瞬时速度 ∆s ds v ( t ) = lim = . ∆t → 0 ∆ t dt 交流电路:电量对时间的导数为电流强度. 交流电路:电量对时间的导数为电流强度