例析抽象函数周期的求法
高中数学抽象函数专题含答案-教师版
抽象函数周期性的探究(教师版)抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.而在教学中我发现同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难 ,所以特探究一下抽象函数的周期性问题.利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法 .此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题.以下给出几个命题：命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x) 是周期函数.(1)函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.(2)函数y=f(x)满足f(x+a)=1f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.(3)函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.命题2：若a、b(a b )是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.(1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期.(2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期.命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x) 是周期函数.(1)若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a 是它的一个周期.(2)若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a 是它的一个周期.我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3 (1)，其他命题的证明基本类似.设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数.条件B: f(x)关于x=a对称条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期.结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个.证明: ①已知A、B→ C (2001年全国高考第22题第二问)∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x)又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期②已知A、C→B∵定义在R上的函数f(x)是一个偶函数∴f(-x)=f(x)又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x+2a) ∴ f(x)关于x=a对称③已知C、B→A∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x) ∴f(x)是R上的偶函数T由命题3(2)，我们还可以得到结论:f(x)是周期为T的奇函数，则f( )=02基于上述命题阐述，可以发现，抽象函数具有某些关系.根据上述命题，我们易得函数周期，从而解决问题，以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用.1.求函数值例1：f(x) 是R上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x∈[0，2]时f(x)=x，求f(2007) 的值解：方法一∵f(x)=－f(x+4) ∴f(x+8) =－f(x+4) =f(x)∴8是f(x)的一个周期∴f(2007)= f(251×8-1)=f(-1)=－f(1)=－1方法二∵f(x)=－f(x+4)，f(x)是奇函数∴f(-x)=f(x+4) ∴f(x)关于x=2对称又∵f(x)是奇函数∴8是f(x)的一个周期，以下与方法一相同.例2：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值解：由条件知f(x)1，故f (x + 2) =：f (x + 4) = = 1f(x)类比命题1可知，函数f(x)的周期为8，故f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=22. 求函数解析式例3：已知f(x)是定义在R上的偶函数， f(x)= f(4-x)，且当x[2,0]时， f(x)=－2x+1，则当x [4,6]时求f(x)的解析式解：当x [0,2]时x [2,0] ∴f(－x)=2x+1∵f(x)是偶函数∴f(－x)=f(x) ∴f(x)=2x+1当x [4,6]时 4 + x [0,2] ∴f(－4+x)=2(－4+x)+1=2x－7又函数f(x)是定义在R上的偶函数， f(x)= f(4-x)，类比命题3 (1)知函数f(x)的周期为4故f(-4+x)=f(x)∴当x [4,6]时求f(x)=2x－73.判断函数的奇偶性例4：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=1f(x)，f(999+x)=f(999－x)，试刘云汉判断函数f(x)的奇偶性.解：由f(x+999)=一1f(x)，类比命题1可知，函数f(x)的周期为1998即f(x+1998)=f(x)；由f(999+x)=f(999－x)知f(x)关于x=999对称，即f(－x)=f(1998+x)故f(x)=f(－x) ：f(x)是偶函数 4.判断函数的单调性例5：已知f(x)是定义在R 上的偶函数， f(x)= f(4-x)，且当x =[一2,0]时， f(x)是减函数， 求证当x =[4,6]时f(x)为增函数解：设4 共 x < x 共 6 则一2 共 一x + 4 < 一x + 4 共 01 2 2 1∵ f(x)在[-2，0]上是减函数∴ f (一x + 4) > f (一x + 4)2 1又函数f(x)是定义在R 上的偶函数， f(x)= f(4-x)，类比命题3 (1)知函数f(x)的周期为 4故f(x+4)=f(x ) ∴ f (一x ) > f (一x ) ∵ f(-x)=f(x) ∴ f (x ) > f (x )2 1 2 1故当 x =[4,6]时f(x)为增函数例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a ∈ [5，9]且f(x) 在[5，9]上单调.求a 的值.解：∵ f(x)=-f(6-x ) ∴f(x)关于(3，0)对称∵ f(x)= f(2-x ) ∴ f(x)关于x=1对称∴根据命题2 (4)得8是f(x)的一个周期 ∴f(2000)= f(0) 又∵f(a) =-f (2000) ∴f(a)=-f(0)又∵f(x) =-f(6-x) ∴f(0)=-f(6) ∴f(a)=f(6)∵a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调∴a =6 5.确定方程根的个数例7：已知f(x)是定义在R 上的函数， f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0， 求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？解：依题意f(x)关于x=2，x=7对称，类比命题2 (2)可知f(x)的一个周期是10故f(x+10)=f(x ) ∴f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0即在区间(0，10]上，方程f(x)=0至少两个根又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根，因此方程f(x)=0在区间[－1000，1000]上至少有1+2人200010=401个根.两类易混淆的函数问题：对称性与周期性已知函数 y = f (x ) (x ∈R)满足 f (5+x ) = f (5－x )，问： y = f (x )是周期函数吗它的图像是不是轴对称图形已知函数 y = f (x ) (x ∈R)满足 f (5+x ) = f (5－x )，问： y = f (x )是周期函数吗它的图像是不是轴对称图形这两个问题的已知条件形似而质异。
对抽象函数周期性的认识
对抽象函数周期性的认识麻城实验高中 阮 晓 锋对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
可见周期函数是一类特殊的函数，下面就谈谈我对抽象函数周期性的认识。
几种特殊的抽象函数的周期：设函数()y f x =对定义域内任一实数x 满足：（1）()(x)f x T f ±=(T ≠0），则T 是函数()y f x =的一个周期，且kT （k єZ)也是其周期 推论：若(+)=(+)f x a f x b ，则T=b-a 是函数()y f x =的一个周期。
（2)()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； 推论：若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件)()(b x f x a f --=+，则)(x f y =是 以)(2b a T +=为周期的周期函数。
(3）()()1f x a fx +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；（4）()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；（5）1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.（6）()+1(+)=()-1f x f x a f x ，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.（7）1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.（8）1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.（9）若函数f(x)有一条对称轴x=a 和一个对称点(b,c)，那么该函数一定为周期函数，且 其中一个周期为T ＝4|a －b|推论：若奇函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），则其周期为4T a =。
抽象函数问题解法
抽象函数问题解法抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数。
它与函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等函数性质联系在一起，具有很强的抽象性。
这类问题主要考查数学思想方法的运用能力，以及对数学语言以及符号的阅读理解能力。
本文结合具体问题分类剖析这类问题的求解策略。
一、利用函数性质的解题思想函数性质是反映函数特征的主要途径，充分利用题设条件中已表明或隐含的函数性质，选择适当的方法解决抽象函数问题。
1.利用对称性，数形结合例1：已知函数f（x）对一切实数x都有f（2+x）= f（2-x），如果方程f（x）=0恰好有4个不同的实根，求这些实根之和。
策略：由f（2+x）= f（2-x）可知是函数图像关于直线x=2对称。
又f（x）=0四个根按由小到大的顺序可设为x1、x2、x3、x4，则x1+x4=2×2=4，x2+x3=2×2=4，∴x1+x2+x3+x4=8。
2. 利用奇偶性分析函数特征例2：已知函数f（x）=ax+bsinx+3，且f（-3）=7，求f（3）的值。
策略：注意到g（x）=ax+bsinx=f（x）-3是奇函数，可得g（-3）= -g（3），即f（-3）-3= -[f（3）-3]，f（3）=6-f（-3）= -1。
3. 利用单调性等价转化例3：已知奇函数f（x）在定义域（－１，1）上是减函数，试求满足不等式f（１－a）+f（1-a2）4.利用周期性研究函数特征例4：已知f（x）是定义在正整数集上的函数，对任意正整数x 都有f（x）=f（x-1）+f（x+1），且f（1）=2002，求f（2002）。
分析：根据x的任意性，判断函数的周期。
略解：由f（x）=f（x-1）+f（x+1），可得：f（x+3）=-f（x）。
∴f（x+6）=-f（x+3）=[-f（x）]=f（x），∴f（x）是以6为周期的周期函数，∴f（2002）=f（333×6+4）=f（４）＝f（３＋１）＝－f（１）＝－２００２。
重难点2-4-抽象函数及其性质8大题型(解析版) (1)
重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。
抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。
一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性；3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性；4、换x 为+x T 确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为：()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为：()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f . 三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式；2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式. 四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口；3、抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。
抽象函数单调性、奇偶性、周期性和对称性典例分析
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性一、典例分析1.求函数值例1.设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于（ ）（A ）0.5;（B ）-0.5; （C ）1.5; （D ）-1.5.例2．已知)(x f 是定义在实数集上的函数，且[])(1)(1)2(x f x f x f +=-+，,32)1(+=f 求)1989(f 的值.(1989)f = 。
2、比较函数值大小例3.若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，当[]1,0∈x 时，,)(19981xx f =试比较)1998(f 、)17101(f 、)15104(f 的大小.3、求函数解析式例4.设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上且以2为周期的函数，对Z k ∈，用k I 表示区间),12,12(+-k k 已知当0I x ∈时，.)(2x x f =求)(x f 在k I 上的解析式.例5．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，.4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式.4、判断函数奇偶性例6.已知)(x f 的周期为4，且等式)2()2(x f x f -=+对任意R x ∈均成立，判断函数)(x f 的奇偶性.5、确定函数图象与x 轴交点的个数例7.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f ,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点.6、在数列中的应用例8.在数列{}n a 中，)2(11,3111≥-+==--n a a a a n n n ，求数列的通项公式，并计算.1997951a a a a ++++7、在二项式中的应用例9.今天是星期三，试求今天后的第9292天是星期几？8、复数中的应用例10.（XX 市1994年高考题）设)(2321是虚数单位i i z +-=，则满足等式,z z n =且大于1的正整数n 中最小的是()（A ） 3 ； （B ）4 ； （C ）6 ； （D ）7.9、解“立几”题例11.ABCD —1111D C B A 是单位长方体，黑白二蚁都从点A 出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。
SX2020A099高考数学必修_抽象函数周期性的结论及应用
抽象函数周期性的结论及应用抽象函数是指没有具体地给出函数解析式，只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数．下面例析其周期性的三个重要结论及应用．一、三个结论若a，b是非零常数，且a≠b，则有满足以下条件的函数f(x)为周期结论1 (递推式与周期关系结论)⑴若f(x＋a)＝f(x－a)，则T＝2a；⑵若f(x＋a)＝－1()f x，则T＝2a；⑶若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；⑷若f(x＋a)＝1()1()f xf x+-，则T＝4a．结论2(对称性与周期关系结论)⑴f(x)关于x＝a及x＝b对称，则T＝2(b－a)；⑵f(x)关于x＝b及M(a，0)对称，则T＝4(b－a)；⑶f(x)关于点M(a，0)和N(b，0)对称，则T＝2(b－a)．结论3 (奇偶性与周期关系结论)⑴f(x)是偶函数且关于直线x＝a对称，则T＝2a；⑵f(x)是奇函数且关于直线x＝a对称，则T＝4a．二、应用举例1．求值例1设f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，当x∈(0，1)时，f(x)＝3x－2，求13log 36f ⎛⎫ ⎪⎝⎭．解：由结论1⑴，得T ＝2．∴ ()133log 36log 36f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭f (－log 336＋4)＝39log 4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 易知0＜log 394＜1， ∴ 13log 36f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝39log 4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝39log 43－2＝94－2＝41． 例2 已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)[1－f (x )]＝1＋f (x )，f (1)＝2005，求f (2001)的值．解：由f (x )≠1，则有f (x ＋2)＝1()1()f x f x +-，由结论1⑷，得T ＝2×4＝8． ∴ f (2001)＝f (1＋8×250)＝f (1)＝2005．例3 已知函数f (x )＝f (x ＋2)＋f (x －2)对于x ∈R 成立，且f (1)＝100，求f (2005)的值．解：由f (x )＝f (x ＋2)＋f (x －2)， ①得f (x ＋2)＝f (x ＋4)＋f (x )． ②由①、②，得f (x ＋4)＝－f (x －2)，即f (x ＋6)＝－f (x )．由结论1⑵，知T ＝12．故有f (2005)＝f (1＋12×167)＝f (1)＝100．2．判断奇偶性例4 若函数f (x )对于x ∈R 满足，f (x ＋1002)＝－1()f x ，f (1002＋x )＝f(1002－x)，则f(x)为( )(A) 是奇函数而不是偶函数(B) 是偶函数而不是奇函数(C) 是奇函数又是偶函数(D) 不是奇函数也不是偶函数解：由f(x＋1002)＝－1()f x，结合结论1⑵，知T＝2004．∴f(x)＝f(2004＋x)＝f[1002＋(1002＋x)]＝f[1002－(1002＋x)]＝f(－x)．即f(－x)＝f(x)．∴y＝f(x)是偶函数．故选(B)．3．求解析式例5已知偶函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且x∈[3，4]时，f(x)＝2x－1，求当x∈[14，15]时，f(x)的解析式．解：由条件及结论3⑴，知f(x)的周期是2．故当x∈[14，15]时，f(x)＝f(x－18)＝f(18－x)．而知3≤18－x≤4，故f(x)＝f(18－x)＝[2×(18－x)－1]＝－2x＋35．。
10 第二章 微专题 抽象函数的性质
THANKS
(3)如果f (x＋a)＋f (x)＝c(a≠0)，那么f (x)是周期函数，其中一个周期T＝2a.
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微专题 抽象函数的性质
类型三 抽象函数的奇偶性和对称性
【例3】已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋6)＝f (x)，y＝f (x＋3)为偶函数．若
f (x)在(0，3)内单调递减，则下面结论正确的是( )
D．c>b>a
A
解析：因为∀x1，x2∈(－∞，0]且x1≠x2时，有f
x1 －f
x1－x2
x2 >0，
所以函数f (x)在(－∞，0]上单调递增．
由f (x)为偶函数，得函数f (x)在[0，＋∞)上单调递减．
因为0<sin 3<1，1<ln 3<2，21.5＞2，f
ln
1 3
＝f (－ln 3)＝f (ln 3)，
所以f (sin 3)>f (ln 3)>f (21.5)，即a>b>c.
微专题 抽象函数的性质
思维建模 比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转 化到同一单调区间上，进而利用函数单调性比较大小．
微专题 抽象函数的性质
类型二 抽象函数的周期性 【例2】(2022·新高考全国Ⅱ卷)若函数f (x)的定义域为R，且f (x＋y)＋f (x－y)＝f
22
所以∑ f k ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1－1－2－1＝－3.故选A．
k=1
微专题 抽象函数的性质
思维建模
抽象函数的周期
(1)如果f (x＋a)＝－f (x)(a≠0)，那么f (x)是周期函数，其中一个周期T＝2a.
关于抽象函数问题的解法
抽象函数问题有关解法一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知 ()211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x -=- 2.凑配法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x x x +=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。
抽象函数解题方法与技巧
抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1、定义在x ∈R 上的函数y=fx ,满足fx+a=fx -a 或fx -2a=fxa >0恒成立,则y=fx 是周期为2a 的周期函数；2、若y=fx 的图像关于直线x=a 和x=b 对称,则函数y=fx 是周期为2|a -b|的周期函数；3、若y=fx 的图像关于点a,0和b,0对称,则函数y=fx 是周期为2|a -b|的周期函数；4、若y=fx 的图像有一个对称中心Aa,0和一条对称轴x=ba ≠b ,则函数y=fx 是周期为4|a -b|的周期函数；5、若函数y=fx 满足fa+x=fa -x ,其中a>0,且如果y=fx 为奇函数,则其周期为4a ；如果y=fx 为偶函数,则其周期为2a ；6、定义在x ∈R 上的函数y=fx ,满足fx+a=-fx ()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或,则y=fx 是周期为2|a|的周期函数；7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=fx 是周期为4a 的周期函数；8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=fx 是周期为2a 的周期函数;7、8应掌握具体推导方法,如7 函数图像的对称性：1、若函数y=fx 满足fa+x=fb -x ,则函数y=fx 的图像关于直线2a b x +=对称；2、若函数y=fx 满足fx=f2a -x 或fx+a=fa -x ,则函数y=fx 的图像关于直线x=a 对称；3、若函数y=fx 满足fa+x+fb -x=c ,则y=fx 的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形； 4、曲线fx,y=0关于点a,b 的对称曲线的方程为f2a -x,2b -y=0； 5、形如()0,ax by c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线,由常数分离法 ()()()()()()()1111212112()()11f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++d ad ad a x b ba c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知：对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭；6、设函数y=fx 定义在实数集上,则y=fx+a 与y=fb -x 的图像关于直线2b a x -=对称；7、若函数y=fx 有反函数,则y=fa+x 和y=f -1x+a 的图像关于直线y=x+a 对称;一、换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法,它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知f1+sinx=2+sinx+cos 2x , 求fx二、方程组法 运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题;例2．.232|)(:|,)1(2)(),)(,(≥=-=x f x x f x f x f x f(x)y 求证且为实数即是实数函数设三、待定系数法如果抽象函数的类型是确定的,则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题; 例3．已知fx 是二次函数,且fx+1+fx -1=2x 2-4x ,求fx .四、赋值法有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决; 例4．对任意实数x,y ,均满足fx+y 2=fx+2fy 2且f1≠0,则f2001=_______. 例5．已知fx 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的实数a,b 都满足 fab=afb+bfa. 1求f0,f1的值；2判断fx 的奇偶性,并证明你的结论;五、转化法 通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系,为问题的解决带来极大的方便.例6．设函数fx 对任意实数x,y ,都有fx+y=fx+fy ,若x>0时fx<0,且f1= -2, 求fx 在-3,3上的最大值和最小值;例7．定义在R +上的函数fx 满足： ①对任意实数m ,fx m =mfx ； ②f2=1. 1求证：fxy=fx+fy 对任意正数x,y 都成立； 2证明fx 是R +上的单调增函数； 3若fx+fx -3≤2,求x 的取值范围;六、递推法 对于定义在正整数集N 上的抽象函数,用递推法来探究,如果给出的关系式具有递推性,也常用递推法来求解.例8．已知fx 是定义在R 上的函数,f1=1,且对任意x ∈R 都有fx+5≥fx+5,fx+1≤fx+1;若gx=fx+1-x ,则g2002=_________.模型法模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体的函数模型,再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法; 应掌握下面常见的特殊模型：=_____________ 例11．设定义在R 上的函数fx ,满足当x>0时,fx>1,且对任意x,y ∈R ,有fx+y=fxfy,f1=2 1解不等式f3x -x 2>4；2解方程fx 2+12fx+3=f2+1 例12．已知函数fx 对任何正数x,y 都有fxy=fxfy ,且fx ≠0,当x>1时,fx<1;试判断fx 在0,+∞上的单调性,并说明理由;函数性质练习1. 已知函数为偶函数,则的值是A. B. C. D.2. 若偶函数在上是增函数,则下列关系式中成立的是)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f m 1234)(x f (]1,-∞-A. B.C. D.3. 如果奇函数在区间 上是增函数且最大值为,那么在区间上是A. 增函数且最小值是B. 增函数且最大值是C. 减函数且最大值是D. 减函数且最小值是4. 设是定义在上的一个函数,则函数在上一定是 A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数5. 下列函数中,在区间上是增函数的是A. B. C. D. 6. 函数是A. 是奇函数又是减函数B. 是奇函数但不是减函数C. 是减函数但不是奇函数D. 不是奇函数也不是减函数7. 设奇函数的定义域为,若当时,的图象如右图,则不等式的解是8. 函数________________.9. 已知,则函数的值域是.10. 若函数是偶函数,则的递减区间是 .11. 下列四个命题 1; 2函数是其定义域到值域的映射;)2()1()23(f f f <-<-)2()23()1(f f f <-<-)23()1()2(-<-<f f f )1()23()2(-<-<f f f )(x f [3,7]5)(x f []3,7--5-5-5-5-)(x f R )()()(x f x f x F --=R ()0,1x y =x y -=3xy 1=42+-=x y )11()(+--=x x x x f )(x f []5,5-[0,5]x ∈)(x f ()0f x <2y x =+[0,1]x ∈y =2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+)(x f ()f x =3函数的图象是一直线；4函数的图象是抛物线,其中正确的命题个数是____________.12. 已知函数的定义域为,且同时满足下列条件：1是奇函数；2在定义域上单调递减；3求的取值范围.抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1、定义在x ∈R 上的函数y=fx ,满足fx+a=fx -a 或fx -2a=fxa >0恒成立,则y=fx 是周期为2a 的周期函数；2、若y=fx 的图像关于直线x=a 和x=b 对称,则函数y=fx 是周期为2|a -b|的周期函数；3、若y=fx 的图像关于点a,0和b,0对称,则函数y=fx 是周期为2|a -b|的周期函数；4、若y=fx 的图像有一个对称中心Aa,0和一条对称轴x=ba ≠b ,则函数y=fx 是周期为4|a -b|的周期函数；5、若函数y=fx 满足fa+x=fa -x ,其中a>0,且如果y=fx 为奇函数,则其周期为4a ；如果y=fx 为偶函数,则其周期为2a ；6、定义在x ∈R 上的函数y=fx ,满足fx+a=-fx ()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或,则y=fx 是周期为2|a|的周期函数；7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=fx 是周期为4a 的周期函数；8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=fx 是周期为2a 的周期函数;7、8应掌握具体推导方法,如7 函数图像的对称性：1、若函数y=fx 满足fa+x=fb -x ,则函数y=fx 的图像关于直线2a b x +=对称；2、若函数y=fx 满足fx=f2a -x 或fx+a=fa -x ,则函数y=fx 的图像关于直线x=a 对称；2()y x x N =∈22,0,0x x y x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩()f x ()1,1-()f x ()f x 2(1)(1)0,f a f a -+-<a ()()()()()()()1111212112()()11f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++3、若函数y=fx 满足fa+x+fb -x=c ,则y=fx 的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形； 4、曲线fx,y=0关于点a,b 的对称曲线的方程为f2a -x,2b -y=0； 5、形如()0,ax by c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线,由常数分离法 d ad ad a x b ba c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知：对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭；6、设函数y=fx 定义在实数集上,则y=fx+a 与y=fb -x 的图像关于直线2b a x -=对称；7、若函数y=fx 有反函数,则y=fa+x 和y=f -1x+a 的图像关于直线y=x+a 对称;二、换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法,它是解答抽象函数问题的基本方法. 例2. 已知f1+sinx=2+sinx+cos 2x , 求fx解：令u=1+sinx ,则sinx=u -1 0≤u ≤2,则fu=-u 2+3u+1 0≤u ≤2 故fx=-x 2+3x+1 0≤x ≤2二、方程组法 运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题;例2．.232|)(:|,)1(2)(),)(,(≥=-=x f x x f x f x f x f(x)y 求证且为实数即是实数函数设解:xx x f x x f x f x x 323)(,1)(2)1(,1--==-联立方程组，得得代换用三、待定系数法如果抽象函数的类型是确定的,则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题; 例3．已知fx 是多项式函数,且fx+1+fx -1=2x 2-4x ,求fx . 解：由已知得fx 是二次多项式,设fx=ax 2+bx+c a≠0 代入fx+1=ax+12+bx+1+c=ax 2+2a+bx+a+b+c fx -1= ax -12+bx -1+c=ax 2+ b -2ax+a -b+c∴fx+1+ fx -1=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x比较系数得：a=1,b= -2,c= -1 , fx=x 2-2x -1.四、赋值法有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决; 例4．对任意实数x,y ,均满足fx+y 2=fx+2fy 2且f1≠0,则f2001=_______. 解：令x=y=0,得：f0=0,令x=0,y=1,得f0+12=f0+2f12,∵f1≠0 ∴f1= . 令x=n,y=1,得fn+1=fn+2f12=fn+ 即fn+1-fn = 12,故fn = 2n ,f2001= 20012例5．已知fx 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的实数a,b 都满足 fab=afb+bfa. 1求f0,f1的值；2判断fx 的奇偶性,并证明你的结论; 3若f2=2,u n =f2n n ∈N ,求证：u n+1>u n n ∈N . 解：1令a=b=0,得f0=0,令a=b=1,得f1=0.2fx 是奇函数;因为：令a=b=-1,得f -1-1=-f -1-f -1,f -1=0, 故f -x=f -1x= -fx+xf -1= -fx ,故fx 为奇函数. 3先用数学归纳法证明：u n =f2n >0 n ∈N 略五、转化法 通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系,为问题的解决带来极大的方便.例6．设函数fx 对任意实数x,y ,都有fx+y=fx+fy ,若x>0时fx<0,且f1= -2,求fx 在-3,3上的最大值和最小值;解：令x=y=0,得f0=0,令y=-x ,得f -x+fx=f0=0,即fx 为奇函数. 设x 1<x 2,则x 2-x 1>0,由已知得fx 2-x 1<0,故fx 2=fx 2-x 1+x 1=fx 2-x 1+fx 1< fx 1 所以fx 是R 上的减函数,又f3=f1+f2=3f1=-6,f -3=6 故fx 在-3,3上的最大值为6,最小值为-6.例7．定义在R +上的函数fx 满足： ①对任意实数m ,fx m =mfx ； ②f2=1. 1求证：fxy=fx+fy 对任意正数x,y 都成立； 2证明fx 是R +上的单调增函数； 3若fx+fx -3≤2,求x 的取值范围;解：1令x=2m ,y=2n ,其中m,n 为实数,则fxy=f2m+n =m+nf2=m+n .1212又fx+fy=f2m +f2n =mf2+nf2=m+n ,所以fxy=fx+fy 2证明：设0<x 1<x 2,可令m<n 且使x 1=2m ,x 2=2n 由1得fx 1-fx 2=12x f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=f2m -n=m -nf2=m -n<0故fx 1<fx 2,即fx 是R +上的增函数;3由fx+fx -3≤2及fx 的性质,得fxx -3≤2f2=f4 解得 3<x ≤4;六、递推法 对于定义在正整数集N 上的抽象函数,用递推法来探究,如果给出的关系式具有递推性,也常用递推法来求解.例8．已知fx 是定义在R 上的函数,f1=1,且对任意x ∈R 都有fx+5≥fx+5,fx+1≤fx+1;若gx=fx+1-x ,则g2002=_________.解：由fx+1≤fx+1得fx+5≤fx+4+1≤fx+3+2≤fx+2+3≤fx+1+4 又∵fx+5≥fx+5 ∴fx+5≤fx+1+4 ∴fx+1≤fx+1 又∵fx+1≤fx+1 ∴fx+1=fx+1又∵f1=1 ∴fx=x gx=fx+1-x=1,故g2002=1;模型法模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体的函数模型,再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法; 应掌握下面常见的特殊模型：=_____________ 分析：因为函数fx 恒满足f2+x= f2-x ,方程fx=0有5个实根,可以将该函数看成是类似于二次函数y=kx -22为模型引出解题思路,即函数的对称轴是x=2,并且函数在f2=0,其余的四个实数根关于x=2对称 解：因为实数集上的函数fx 恒满足f2+x= f2-x ,方程fx=0有5个实根,所以函数关于直线x=2对称,所以方程的五个实数根也关于直线x=2对称,其中有一个实数根为2,其它四个实数根位于直线x=2两侧,关于直线x=2对称,则这5个根之和为10;例11．设定义在R 上的函数fx ,满足当x>0时,fx>1,且对任意x,y ∈R ,有fx+y=fxfy,f1=2 1解不等式f3x -x 2>4；2解方程fx 2+12fx+3=f2+1 分析：可联想指数函数fx=a x ;解：1先证fx>0,且单调递增,因为fx=fx+0=fxf0,x>0时fx>1,所以f0=1 对于任意x<0,则-x>0,fxf -x=fx -x=f0=1,∴fx=()1f x - ∵-x>0,f -x>1 ∴0<fx<1 综上所述 fx>0 任取x 1,x 2∈R 且x 1<x 2,则x 2-x 1>0,fx 2-x 1>1, 所以fx 1-fx 2=fx 2-x 1+x 1-fx 1=fx 2-x 1fx 1-fx 1=fx 1fx 2-x 1-1>0 所以x ∈R 时,fx 为增函数;不等式f3x -x 2>4可化为3x -x 2>2 解得：{x|1<x<2}2f1=2,f2=4,f3=8,原方程可化为：fx 2+4fx -5=0,解得fx=1或fx=-5舍 由1得x=0;例12．已知函数fx 对任何正数x,y 都有fxy=fxfy ,且fx ≠0,当x>1时,fx<1;试判断fx 在0,+∞上的单调性,并说明理由;分析：可联想幂函数 fx=x n 解：对x ∈R +,有fx=20ff =≥,又fx ≠0,故fx>0设x 1,x 2∈R +,且x 1<x 2,则211x x >,则()()()()()2211211211111x x f x f f x f x x x x f f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭===< ⎪⎝⎭所以fx 1>fx 2,故fx 在R +上为减函数;函数性质答案1. B 奇次项系数为2. D3. A 奇函数关于原点对称,左右两边有相同的单调性4. A5. A 在上递减,在上递减,在上递减,6. A为奇函数,而为减函数. 7. 奇函数关于原点对称,补足左边的图象8. 是的增函数,当时,9. 该函数为增函数,自变量最小时,函数值最小；自变量最大时,函数值最大10.11. 1,不存在；2函数是特殊的映射；3该图象是由离散的点组成的；4两个不同的抛物线的两部分组成的,不是抛物线.12. 解：,则,0,20,2m m -==3(2)(2),212f f =--<-<-()()()()F x f x f x F x -=--=-3y x =-R 1y x=(0,)+∞24y x =-+(0,)+∞()(11)(11)()f x x x x x x x f x -=----+=+--=-222,12,01(),2,102,1x x x x f x x x x x -≥⎧⎪-≤<⎪=⎨-≤<⎪⎪<-⎩(](2,0)2,5-[2,)-+∞1,x y ≥-x 1x =-min 2y =-[)0,+∞210,1,()3k k f x x -===-+121x x ≥≤且22(1)(1)(1)f a f a f a -<--=-2211111111a a a a -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩∴01a <<。
如何解答抽象函数问题
解题宝典抽象函数问题的难度一般不大.常见的抽象函数问题有求抽象函数的值域，求抽象函数的定义域，判断抽象函数的周期性、单调性、奇偶性等.下面结合实例，谈一谈三类常见的抽象函数问题的解法.一、求抽象函数的值域求抽象函数的值域问题，往往要求根据已知关系式和定义域来求函数的值域.解答此类问题，需对已知关系式进行赋值，以便根据函数单调性的定义，判断出函数的单调性，然后根据函数的单调性求得函数在定义域内的最值，即可确定函数的值域.若定义域包含了多个单调区间，则需在每个区间内讨论函数的单调性，再比较各个区间上的最大、最小值，即可解题.例1.若对任意实数x ，y 都有f ()x +y =f ()x +f ()y ，当x >0时恒有f ()x >0，且f ()-1=-2，求函数f ()x 在区间[]-2,1上的值域.解:令x 1=y ，x 2=x +y ，可得x 2-x 1>0，∵f ()x 2-f ()x 1=f ()()x 2-x 1+x 1-f ()x 1=f ()x 2-x 1+f ()x 1-f ()x 1>0，∴f ()x 1<f ()x 2，可得f ()x 在R 上单调递增，∴当x ∈[]-2,1时，f ()-2≤f ()x ≤f ()1，∵f ()-2=f ()-1-1=f ()-1+f ()-1=-4，f ()1=f ()-1+2=f ()-1+f ()2=f ()-1+f ()1+f ()1=2，∴f ()x 在区间[]-2,1上的值域为[]-4,2.解答本题，需对已知关系式f ()x +y =f ()x +f ()y 进行赋值，令x 1=y ，x 2=x +y ，通过等量代换判断出f ()x 2-f ()x 1的符号，便可判断出函数f ()x 的单调性.再根据函数的单调性，即可求得抽象函数的值域.二、抽象函数的单调性问题抽象函数的单调性问题通常要求根据已知关系式或函数的性质判断函数的单调性，求得函数的单调区间.解答此类问题，需灵活运用单调性的定义.解题的基本思路为：①在定义域内任选两个数x 1、x 2，且使x 1＜x 2，②结合已知条件，化简f ()x 2-f ()x 1或f ()x 2f ()x 1，并将其与0、1比较，③得出结论.若f ()x 2>f ()x 1，则函数在定义域上单调递增；若f ()x 2<f ()x 1，则函数f ()x 单调递减.例2.已知对任意x ∈R ，恒有f ()x >0，当x >0时，f ()x >1.对任意x ,y ∈R ，均有f ()x +y =f ()x f ()y ，试证明：f ()x 在R 上单调递增.分析：我们需先设出x 1，x 2，然后通过等量代换，判断出f ()x 2f ()x 1与1的大小关系，以便根据函数单调性的定义证明抽象函数f ()x 在R 上单调递增.证明：令x 1<x 2，则f ()x 2>0，f ()x 1>0，x 2-x 1>0，f ()x 2f ()x 1=f ()x 2-x 1+x 1f ()x 1=f ()x 2-x 1f ()x 1f ()x 1=f ()x 2-x 1>1,所以f ()x 2>f ()x 1，故函数f ()x 在R 上单调递增.三、抽象函数的奇偶性问题对于抽象函数的奇偶性问题，通常需根据奇偶函数的定义来求解.在解题时，要首先对已知关系式进行赋值，如令x =0、1、-1、-x 等，并将其代入式子中，以便判断出f ()-x 与f ()x 之间的关系.若f ()-x =f ()x ，则函数为偶函数；若f ()-x =-f ()x ，则该函数为奇函数.例3.若函数f ()x ，g ()x 的定义域为R ，对于任意x ,y ∈R ，均有f (x +y )+f ()x -y =2f ()x f ()y ，且f ()0≠0，试判断函数f ()x 的奇偶性.解:令x =y =0，由f (x +y )+f ()x -y =2f ()x f ()y 可得2f 2()0=2f ()0，因为f ()0≠0，所以f ()0=1，令x =0，可得f ()0+y +f ()0-y =2f ()0f ()y =2f ()y ，则f ()y =f ()-y ，故函数f ()x 为偶函数.要判断出函数的奇偶性，需令x =y =0，通过多次赋值，才能判断出f ()-x 与f ()x 之间的关系.总之，抽象函数是一类较为特殊的函数，它没有具体的解析式和图象，因而在解答抽象函数问题时，需重点研究已知关系式和抽象函数的性质，从中找到解题的突破口.（作者单位：云南省曲靖市会泽县实验高级中学）方琼41。
抽象函数
高考数学总复习：抽象函数题型抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型：一. 求某些特殊值这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。
其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。
例1 定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，求f ()2000的值。
解：由f x f x ()()220-+-=， 以t x =-2代入，有f t f t ()()-=， ∴f x ()为奇函数且有f ()00= 又由f x f x ()[()]+=--44=-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x ()()()()()84故f x ()是周期为8的周期函数， 二. 求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
例2 已知f x ()是定义在（-11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足f a f a ()()---<2402，试确定a 的取值范围。
解： f x ()是偶函数，且在（0，1）上是增函数， ∴f x ()在()-10，上是减函数，由-<-<-<-<⎧⎨⎩1211412a a 得35<<a 。
（1）当a =2时，f a f a f ()()()-=-=2402，不等式不成立。
（2）当32<<a 时，f a f a f a a a a a a ()()()-<-=-⇔-<-<-<-<->-⎧⎨⎪⎩⎪<<24412014024322222解之得，（3）当25<<a 时， f a f a ()()-<-242=-⇔<-<<-<-<-⎧⎨⎪⎩⎪<<f a a a a a a ()22240210412425解之得，综上所述，所求a 的取值范围是()()3225，， 。
抽象函数解题方法与技巧
抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x -a)（或f(x -2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数；3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数；4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a -b|的周期函数；5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a -x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ；6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数；7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数；8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。
（7、8应掌握具体推导方法，如7）函数图像的对称性：1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b -x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2a b x +=对称；2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a -x)或f(x+a)=f(a -x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称；3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b -x)=c ，则y=f(x)的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形； 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a -x,2b -y)=0；()()()()()()()1111212112()()11f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++5、形如()0,ax by c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线，由常数分离法 d ad ad a x b ba c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知：对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭；6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b -x)的图像关于直线2b a x -=对称；7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。
例析抽象型周期函数的周期求法
例析抽象型周期函数的周期求法
抽象型周期函数是在线性代数、几何等领域的基本概念，是指由其他种类的有限长度无穷循环复制而成的函数。
在这里，我们来谈谈抽象型周期函数的周期求法。
通常，在线性代数中有把多项式表示为域上相同的形式。
那么，抽象型周期函数的周期就可以从多项式的系数和步长来求得。
具体的求法如下：
1、首先，要用基向量（也就是把多项式的系数用v1、v
2、v3……表示）来表示多项式形式的抽象型周期函数；
2、把所有v1、v2、v3……的向量的夹角的最小值求出来，他就是该抽象函数的周期；
3、最后，将求出的最小值乘以多项式的步长，就是抽象型周期函数的周期。
以上就是抽象型周期函数的周期求法，它首先要用基向量来表示多项式形式的抽象函数，然后求出向量夹角的最小值，最后再乘以多项式的步长，就可以得到抽象型周期函数的周期了。
由此可见，抽象型周期函数的周期是一种很有用的求法，有助于我们研究和解决线性代数以及几何等领域的问题。
抽象函数几类问题的解题方法与技巧
一、求解析式的一般方法 1、换元法例1：已知f(x+1)=x 2-2x 求f(x)解：令t=x+1则x=t-1 f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t 2-4t-3∴f(x)=x 2-4x-3换元法是解决抽象函数问题的基本方法，换元法包括显性换元法和隐性换元法。
2、方程组法例2：若函数f(x)满足f(x)+2f(x1)=3x ，求f(x) 解：令x=x 1则f(x 1)+2f(x)= x 3 f(x)+2f(x 1)=3x ＝＞f(x)= x 2-x2f(x)+f(x 1)=x 3∴f(x)= x2-x例3 .例43、待定系数法例5：如果f[f(x)]=2x-1则一次函数f(x)=______ 解：f(x)是一次函数∴不妨设f(x)=ax+b(a ≠0)则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b 又已知f[f(x)]=2x-1例6：已知f(x)是多项式函数，解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1.如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。
二、判断奇偶性的一般方法在奇偶性的求解中，常用方法是赋值法，赋值法中常见的赋值有-1、0、1。
例7 定义在（-1、1）上的函数f(x)满足。
（1）对任意x、y∈ (-1、1) 都有f(x)+f(y)=f()（2）当x∈ (-1、0) 时,有f(x)＞0求证（I）f(x)是奇函数,（II）f(证明：（1）令x=y=0，则2f(0)=f(0) ∴f(0)=0令y=-x，则f(x)+f(y)=f(x)+f(-x)=f(=f(0)=0∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)是奇函数例8定义在R上的函数f(x)，对任意 x,y属于R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0（1）求证f(0)=1 （2）求证y=f(x)是偶函数证明：（1）令x=y=0∴f(0)+f(0)=2×f(0)2∵f(0)≠0∴f(0)=1(2)令x=0则f(0+y)+ f(0-y)=2 f(0)f(y)f(y)+f(-y)=2f(y) ＝＞f(-y)=f(y) ＝＞y=f(x)是偶函数例9.对任意实数x,y ，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.解:令x=y=0,得：f(0)=0,令x=0,y=1,得f(0+1)=f(0)+2f[(1)]2,三、单调性的求解方法例6：定义域为R 的函数f(x)满足：对于任意的实数x 、y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x ＞0时，f(x)＜0恒成立。
求解抽象函数问题的思路
探索探索与与研研究究抽象函数是函数中的重要知识.这类函数通常没有具体的解析式，因而抽象函数问题具有较强的抽象性.那么如何求解抽象函数问题呢？下面重点谈一谈三类抽象函数问题的解法.一、求抽象函数的值由于抽象函数没有具体的解析式，所以在求抽象函数的值时，通常需根据函数的关系式、某个点的坐标，以及抽象函数的性质：单调性、周期性、奇偶性来求函数的值.同时要关注一些特殊点，如零点、原点、对称点等的值，以找到更多的条件，顺利获得相应的函数值.例1.已知f(x)的定义域为R，f(x+2)=1-f(x)1+f(x)，f(-2)=1-3，则f(2006)=().A.2-3B.1-3C.2+3D.1+3解：∵f(x+4)=f()()x+2+2=1+1+f(x)1-f(x)1-1+f(x)1-f(x)=-1f（x），且f(x+8)=f()()x+4+4=1-11f(x)=f(x)，∴函数f(x)为周期函数，且周期为8，∴f(2006)=f(8×250+6)=f(6)=f(-2+8)=f(-2)=1-3.∴本题的答案为B项.解答此题，需从已知的函数关系式入手，通过恒等变换，求得函数的周期.然后根据已知点的坐标和函数的周期性求函数的值.二、求抽象函数的定义域函数的定义域往往受函数的对应法则、自变量影响，要求抽象函数的定义域，需先明确函数的对应法则以及自变量.通常可通过变换函数的自变量，利用函数的单调性、周期性、奇偶性来进行等量代换，从而求得抽象函数的定义域.例2.已知函数f(x)的定义域为[0，3]，求函数f(3x+2)的定义域.解：因为函数f(x)的定义域为[0，3]，所以0≤x≤3，则0≤3x+2≤3，解得-23≤x≤13，故函数f(3x+2)的定义域为[-23,13].解答本题，关键要明确f(x)中的x与f(3x+2)的3x+2的意义相同，那么二者的取值范围一致，据此建立不等式，解该不等式即可求出函数的定义域.三、抽象函数的奇偶性问题对抽象函数的奇偶性问题，通常要先根据已知的函数关系式，函数的单调性、周期性来选择合适的值进行赋值、代换；再根据奇函数、偶函数的定义判断出函数的奇偶性.一般地，若f(-x)=-f(x)成立，则该函数为奇函数；若f(-x)=f(x)成立，则该函数为偶函数.赋值法是解答抽象函数问题的基本方法之一.例3.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上是单调递增的.如果实数t满足f(ln t)+fæèöøln1t≤2f(1)，那么t的取值范围是______.解：由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(ln t)=fæèöøln1t，由f(ln t)+fæèöøln1t≤2f(1)，得f(ln t)≤f(1).又函数f(x)在区间[0，+∞)上是单调递增的，所以|ln t|≤1，即-1≤ln t≤1，故1e≤t≤e.由于已知函数为偶函数，所以可以先根据偶函数的定义判断出f(ln t)与fæèöøln1t的关系；然后根据已知关系式判断出f(ln t)与f(1)的大小关系，进而根据函数单调性的定义判断出函数的单调性，建立关于t的不等式，求得问题的答案.例4.若定义域为R的函数f(x)在(4，+∞)上为减函数，且函数y=f(x+4)为偶函数，则().A.f(2)>f(3)B.f(2)=f(6)C.f(3)=f(5)D.f(3)>f(6)解：∵y=f(x+4)为偶函数，∴f(-x+4)=f(x+4)，∴y=f(x)的图象关于直线x=4对称，∴f(2)=f(6)，f(3)=f(5).又y=f(x)在(4,+∞)上为减函数，∴f(5)>f(6)，所以f(3)>f(6).故本题的答案为BCD.解答本题，需灵活运用抽象函数的单调性、奇偶性、对称性，并根据选项中的数值对函数进行赋值，才能顺利得到正确的答案.由此可见，解答抽象函数问题，关键在于研究已知关系式和函数的性质，必要时需对函数进行赋值，以得到更多的条件，为解题提供更多的依据.(作者单位：江苏省滨海中学)王颖53Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
例析抽象函数周期的求法
例析抽象函数周期的求法抽象函数周期问题是近年来高考及各地模拟试题中高频出现的问题，其周期求法能有效考查学生的逻辑思维能力和代数推理能力，对培养学生思维品质大有帮助。
下面举例说明求周期的常用方法及技巧。
一、仅含抽象关系式的周期函数例1 若存在常数m>0，使函数f(x满足，则的一个正周期是____________。
解：设，则，依题意有，由周期函数的定义，是的一个周期所以期例 2 已知函数满足，求证：函数为周期函数。
证明：因为对有（2）代入（1）得这样所以为周期函数，且为它的一个周期。
例 3 设函数的定义域关于原点对称，且对定义域内任意，有，且存在常数，使。
试证：是周期函数，且有一个周期为4a。
证明：设，则所以y=f(x为周期函数，且有一个周期为4a。
说明：从以上几例可见，适当的赋值和变量代换，是探求抽象函数周期的关键。
下面再给一个探求周期来计算函数值的例子。
例4 设是定义在R上的函数，且对任意，都有，又，求的值。
解：又所以可知是以2为一个周期的周期函数所以二、图象中有两条对称轴的抽象函数例5 若函数的图象关于两条直线和都对称，试证：是周期函数，且是它的一个周期。
证明：因为的图象关于直线和（a ）都对称 < span>所以且这样所以是周期函数，且是它的一个周期。
例 6 设是定义在R上的偶函数，且它的图象关于x=2对称，已知时，，求时，的表达式。
解：由题设知：有两条对称轴和所以为周期函数，且为它的一个周期又当时，所以三、图象关于两点成中心对称的抽象函数例7 设函数的图象关于相异两点A（a,0），B（b，0）都对称，则是一个周期为的周期函数。
证明：由题设有，这样故原命题得证例8 定义在R上的函数f(x是奇函数，又也是奇函数，求的值。
解：因为f(x是R上的奇函数，所以f(x关于O（0，0）对称，且f(0=0又是奇函数，所以f(x关于点（-1，0）对称所以是f(x的一个周期所以四、图象有一条对称轴和一个中心对称点的抽象函数例10 设函数的图象关于点A（a，0）与直线都对称，则f(x为周期函数，且是它的一个周期。
例析求解抽象函数问题的几种途径
解题宝典抽象函数问题对同学们的抽象思维能力和分析能力有较高的要求.抽象函数问题中往往不会给出具体的函数解析式，要求我们根据已知条件求函数的单调区间、最值、定义域，解函数不等式.下面结合实例，谈一谈解答抽象函数问题的几种途径.一、利用函数的单调性对于一些有关抽象函数的值域、单调区间、函数不等式、单调性问题，通常需根据函数单调性的定义判断出函数的单调性，进一步利用函数的单调性解题.在利用函数的单调性解题时，往往要先根据题意确定函数的定义域，判断抽象函数的单调性和单调区间，再根据函数的单调性建立关系式.例1.函数f()x是定义在R上的奇函数，且满足以下两个条件：①对任意x、y∈R，都有f()x+y=f()x+f()y；②当x>0时，f()x<0，且f()1=-2.则函数f()x在区间[]-3,3上的值域为_____.解：设x1,x2∈[]-3,3，且x1>x2，则f()x1-f()x2=f()x1+f()-x2=f()x1-x2<0，所以f()x1<f()x2，则函数f()x在区间[]-3,3上是减函数，所以f()x max=f()-3=-f()3=-f()1+2=-f()1-f()1+1=-3f()1=6，f()x min=f()3=-f()-3=-6，即函数f()x在区间[]-3,3上的值域为[]-6,6.我们根据函数单调性的定义，先令x1,x2∈[]-3,3，x1>x2；然后将f()x1-f()x2，判断出差式的符号，即可判断出函数的单调性；再根据函数在[]-3,3上的单调性确定函数的最值点，即可解题.对于闭区间上的函数最值问题，通常要重点关注区间端点值，由函数的单调性可知函数的最值往往在区间端点处取得.例2.已知函数f()x对于任意正数a,b都有f()ab=f()a⋅f()b，且f()0=1，当x>1时，f()x>1，若f()x⋅f()5-x>1，求x的取值范围.解：令x1,x2∈()0,+∞，x1<x2，则f()x2f()x1=f()x2x1⋅x1f()x1=f()x2x1f()x1f()x1=f()x2x1，因为x2x1>1，所以f()x2f()x1=f()x2x1>1，f()x2>f()x1，可知函数f()x在()0,+∞上单调递增，因为f()ab=f()a f()b，所以不等式f()x f()5-x>1等价于f()x()5-x>f()0，可得x()5-x>0，解得0<x<5，故x的取值范围为()0,5.首先将f()x1、f()x2作商，即可根据函数单调性的定义判断出抽象函数在()0,+∞上的单调性；然后利用函数的单调性去掉f()x()5-x>f()0中函数符号“f”，将不等式转化为常规不等式，即可通过解不等式求得问题的答案.解函数不等式，通常要将不等式中的自变量转化到同一单调区间内，才能根据函数的单调性将问题转化为常规不等式问题.二、换元对于含有复杂式子、复合函数的抽象函数问题，往39往要采用换元法求解.即将复杂的式子、复合函数中的某一部分式子用一个新元替换，即可将函数简化，根据函数的性质、定义域求得问题的答案.例3.已知函数y =f ()2x 的定义域为[]-1,1，求函数y =f ()x +3的定义域.解：由函数y =f ()2x 的定义域为[]-1,1，可知-1≤x ≤1，∴-2≤2x ≤2，设t =2x ，∴y =f ()t 的定义域为[]-2,2，令t =x +3，可得-2≤x +3≤2，解得-5≤x ≤-1，∴函数y =f ()x +3的定义域为[]-5,-1.函数y =f ()2x 、y =f ()x +3均为复合函数，而y =f ()2x 中的2x ，y =f ()x +3中的x +3均与y =f ()x 中的x 的意义相同，于是令t =x +3，并将t 替换2x ，通过等量代换，求得函数y =f ()x +3的定义域.三、数形结合数形结合法是解答函数问题的重要思想方法.在解答抽象函数问题时，我们可以先根据已知条件确定抽象函数的周期性、单调性、奇偶性、对称性；然后画出相应的函数图象，以明确函数图象的变化趋势，尤其要关注函数的最高点、最低点、单调区间、对称轴、对称中心、周期；再建立新的关系式，即可求得问题的答案.例4.已知f ()x 在R 上是奇函数，在区间[]0,2上单调递增，且f ()x -4=-f ()x .若方程f ()x =m ()m >0在区间[]-8,8上有四个不相等的根x 1、x 2、x 3、x 4，求x 1+x 2+x 3+x 4的值.图1解：∵f ()x 在R 上是奇函数且满足f ()x -4=-f ()x ，∴f ()x -4=f ()-x ，f ()4-x =f ()x ，∴函数的对称轴为直线x =±2，且f ()0=0，∵f ()x -4=-f ()x ，∴f ()x -8=f ()x ，∴函数的周期为8，∵函数f ()x 在区间[]0,2上单调递增，∴函数f ()x 在区间[]-2,2上单调递增，令x 1<x 2<x 3<x 4，根据图象的对称性可知x 1+x 2=-12，x 3+x 4=4，∴x 1+x 2+x 3+x 4=-12+4=-8.解答本题，需先根据已知条件确定函数的对称轴、周期以及单调性；然后画出f ()x 的大致图象，即可通过研究图象的变化情况，确定f ()x 与函数y =m 在区间[]-8,8上的4个交点的位置；再结合图象的对称性，求出x 1+x 2+x 3+x 4的值.例5.设函数f ()x 满足f ()2+x =f ()2-x ，f ()x 在[)2,+∞上是减函数，若f ()3x -1>f ()x +3，则x 的取值范围是_________.解：由题意知f ()x 的图象关于直线x =2对称，∵f ()x 在[)2,+∞上是减函数，∴f ()x 在()-∞,2上是增函数，其图象如图2所示.图2∵f ()3x -1>f ()x +3，可知点()3x -1,0到点()2,0的距离比点()x +3,0到点()2,0的距离小，∴||()3x -1-2<||()x +3-2，将不等式两边的式子平方并化简得：2x 2-5x -2<0，解得：12<x <2，∴x 的取值范围为()12,2.首先根据已知关系式确定函数的对称轴x =2和函数的单调性，即可画出函数的图象；然后结合图象，比较出点()3x -1,0和点()x +3,0到点()2,0的距离的大小关系，进而得到新不等式，通过解不等式得到x 的取值范围.解答抽象函数的问题方法很多，同学们只需根据已知条件和解题需求，进行赋值、换元、画图，灵活运用函数的性质，选择合适的方法，即可快速获得问题的答案.（作者单位：安徽省临泉第一中学）解题宝典40。
例谈求函数周期的几种常见方法
例谈求函数周期的几种常见方法董㊀强(西安市第八十五中学ꎬ陕西西安７１００６１)摘㊀要:周期性是函数的基本性质ꎬ文章通过高考真题和一些模拟题对函数周期的几种常见求法进行总结.关键词:周期性ꎻ公式法ꎻ函数ꎻ高考题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１０－００１２－０３收稿日期:２０２３－０１－０５作者简介:董强(１９８５－)ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.基金项目:西安市教育科学研究 十四五 规划２０２１年度小课题: 思维型教学理论指导下的教师专业成长研究 (项目编号:２０２１ＸＫＴ－ＺＸＳＸ１６２).㊀㊀一般地ꎬ对于函数ｙ＝ｆ(ｘ)ꎬ设其定义域为Ｄꎬ若存在非零常数Ｔꎬ使得∀ｘɪＤꎬｆ(ｘ＋Ｔ)＝ｆ(ｘ)都成立ꎬ那么就称函数ｙ＝ｆ(ｘ)为周期函数ꎬＴ为函数ｆ(ｘ)的一个周期.当Ｔ为函数ｆ(ｘ)的周期时ꎬｋＴ(ｋɪＺ)也是该函数的周期.对于三角函数ꎬ可以通过公式求得其周期ꎻ对于抽象函数ꎬ可以根据周期函数的定义ꎬ合理运用所给函数性质ꎬ求出其周期.１三角函数的周期性(公式法)三角函数是典型的周期函数ꎬ对于三角函数ｙ＝Ａｓｉｎ(ωｘ＋φ)ꎬｙ＝Ａｃｏｓ(ωｘ＋φ)ꎬｙ＝Ａｔａｎ(ωｘ＋φ)(ｘɪＲ)而言ꎬ它们的周期分别是２πωꎬ２πωꎬπωꎻ而函数ｙ＝Ａ｜ｓｉｎ(ωｘ＋φ)｜ꎬｙ＝Ａ｜ｃｏｓ(ωｘ＋φ)｜ꎬｙ＝Ａ｜ｔａｎ(ωｘ＋φ)｜的周期均为πω.例１㊀(２０１５年天津理第１５题第(１)问)已知函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ２ｘ－ｓｉｎ２(ｘ－π６)ꎬｘɪＲ.求ｆ(ｘ)的最小正周期.解析㊀ｆ(ｘ)＝１－ｃｏｓ２ｘ２－１－ｃｏｓ(２ｘ－π３)２＝１２(１２ｃｏｓ２ｘ＋３２ｓｉｎ２ｘ)－１２ｃｏｓ２ｘ＝３４ｓｉｎ２ｘ－１４ｃｏｓ２ｘ＝１２ｓｉｎ(２ｘ－π６).所以ｆ(ｘ)周期Ｔ＝２π２＝π.评析㊀求解三角函数问题的一般思路是先通过三角函数恒等变形将函数式进行化简ꎬ再由公式求出三角函数的周期.本题先利用降幂公式将已知函数化简ꎬ再利用辅助角公式将其转化为同一个角的三角函数ꎬ从而利用公式法求得周期.㊀例２㊀(２０１５年重庆理第１８题第(１)问)已知２１函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ(π２－ｘ)ｓｉｎｘ－３ｃｏｓ２ｘ.求ｆ(ｘ)的最小正周期和最大值.解析㊀ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ(π２－ｘ)ｓｉｎｘ－３ｃｏｓ２ｘ＝ｃｏｓｘｓｉｎｘ－３２(１＋ｃｏｓ２ｘ)＝１２ｓｉｎ２ｘ－３２ｃｏｓ２ｘ－３２＝ｓｉｎ(２ｘ－π３)－３２.所以ｆ(ｘ)的最小正周期为πꎬ最大值为２－３２.评析㊀在求解三角函数的问题时常需进行恒等变形ꎬ常用方法有降幂法和变量归一法ꎬ本题利用诱导公式㊁二倍角公式㊁辅助角公式化简ｆ(ｘ)后ꎬ即可求出ｆ(ｘ)的最小正周期及最大值.２利用函数周期的定义求周期对于一些抽象函数ꎬ充分利用函数周期的定义是求函数周期的常见方法.例３㊀(２０１２年山东)定义在Ｒ上的函数ｆ(ｘ)满足ｆ(ｘ＋６)＝ｆ(ｘ).当－３ɤｘ<－１时ꎬｆ(ｘ)＝－(ｘ＋２)２ꎻ当－１ɤｘ<３时ꎬｆ(ｘ)＝ｘ.则ｆ(１)＋ｆ(２)＋ ＋ｆ(２０１２)＝(㊀㊀).Ａ.３３５㊀㊀Ｂ.３３８㊀㊀Ｃ.１６７８㊀㊀Ｄ.２０１２解析由ｆ(ｘ＋６)＝ｆ(ｘ)知ꎬ函数ｆ(ｘ)的周期为６ꎬ结合题设有ｆ(－３)＝ｆ(３)＝－１ꎬｆ(－２)＝ｆ(４)＝０ꎬｆ(－１)＝ｆ(５)＝－１ꎬｆ(０)＝ｆ(６)＝０ꎬｆ(１)＝１ꎬｆ(２)＝２ꎬ所以ｆ(１)＋ｆ(２)＋ ＋ｆ(６)＝１＋２－１＋０－１＋０＝１.所以ｆ(１)＋ｆ(２)＋ ＋ｆ(２０１２)＝ｆ(１)＋ｆ(２)＋３３５ˑ１＝１＋２＋３３５＝３３８.评析㊀由函数周期的定义知ｆ(ｘ)的周期为６ꎬ故需要算出一个周期内的６个函数值ꎬ再将待求式子分成周期的倍数ꎬ利用分段函数来计算前６个函数值就可以了.例４㊀设ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的奇函数ꎬ且对任意实数ｘꎬ恒有ｆ(ｘ＋２)＝－ｆ(ｘ).当ｘɪ[０ꎬ２]时ꎬｆ(ｘ)＝２ｘ－ｘ２.求证:ｆ(ｘ)是周期函数.证明㊀因为ｆ(ｘ＋２)＝－ｆ(ｘ)ꎬ所以ｆ(ｘ＋４)＝－ｆ(ｘ＋２)＝ｆ(ｘ).故ｆ(ｘ)是周期为４的周期函数.评析㊀证明一个函数是周期函数ꎬ只需证明存在一个非零常数Ｔꎬ使ｆ(ｘ＋Ｔ)＝ｆ(ｘ).在周期性与奇偶性相结合的函数综合问题中ꎬ周期性起到转换自变量值的作用ꎬ奇偶性起到调节函数值符号的作用.㊀３利用抽象函数的对称性求周期函数的对称性往往和周期性密不可分ꎬ如果一个函数既有对称轴ꎬ又有对称中心ꎬ那么这个函数是一个周期函数ꎬ可结合函数周期的定义推出其周期.例５㊀已知函数ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的奇函数ꎬ且它的图象关于直线ｘ＝１对称ꎬ求证:ｆ(ｘ)是周期为４的周期函数.证明㊀由函数ｆ(ｘ)的图象关于ｘ＝１对称ꎬ有ｆ(ｘ＋１)＝ｆ(１－ｘ)ꎬ即有ｆ(－ｘ)＝ｆ(ｘ＋２).又函数ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的奇函数ꎬ故有ｆ(－ｘ)＝－ｆ(ｘ).故ｆ(ｘ＋２)＝－ｆ(ｘ).从而ｆ(ｘ＋４)＝－ｆ(ｘ＋２)＝ｆ(ｘ).即ｆ(ｘ)是周期为４的周期函数.例６㊀已知定义在Ｒ上的函数ｆ(ｘ)ꎬ对任意ｘɪＲꎬ都有ｆ(ｘ＋６)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(３)成立ꎬ若函数ｙ＝ｆ(ｘ＋１)的图象关于直线ｘ＝－１对称ꎬ则ｆ(２０１３)＝(㊀㊀).３１Ａ.０㊀㊀Ｂ.２０１３㊀㊀Ｃ.３㊀㊀Ｄ.－２０１３解析㊀由ｙ＝ｆ(ｘ＋１)关于ｘ＝－１对称知ꎬｙ＝ｆ(ｘ)关于ｘ＝０对称ꎬ故ｆ(ｘ)为偶函数.在ｆ(ｘ＋６)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(３)中ꎬ令ｘ＝－３ꎬ得ｆ(３)＝ｆ(－３)＋ｆ(３).即ｆ(－３)＝０.所以ｆ(３)＝０ꎬｆ(ｘ＋６)＝ｆ(ｘ).所以Ｔ＝６.ｆ(２０１３)＝ｆ(６ˑ３３５＋３)＝ｆ(３)＝０.故选Ａ.例７㊀已知函数ｆ(ｘ)对任意ｘɪＲ都有ｆ(ｘ＋６)＋ｆ(ｘ)＝２ｆ(３)ꎬｙ＝ｆ(ｘ－１)的图象关于点(１ꎬ０)对称ꎬ且ｆ(４)＝４ꎬ则ｆ(２０１２)＝(㊀㊀).Ａ.０㊀㊀㊀Ｂ.－４㊀㊀㊀Ｃ.－８㊀㊀㊀Ｄ.－１６解析㊀由ｙ＝ｆ(ｘ－１)的图象关于点(１ꎬ０)对称ꎬ可知ｆ(ｘ)关于点(０ꎬ０)对称.故ｆ(ｘ)为奇函数.令ｘ＝－３ꎬ则ｆ(３)＋ｆ(－３)＝２ｆ(３)ꎬｆ(－３)＝ｆ(３).又ｆ(－３)＝－ｆ(３)ꎬ所以ｆ(３)＝０.所以ｆ(６＋ｘ)＋ｆ(ｘ)＝０.所以ｆ(１２＋ｘ)＝－ｆ(６＋ｘ)＝ｆ(ｘ).于是ｆ(ｘ)是一个周期为１２的周期函数.因此ｆ(２０１２)＝ｆ(－４)＝－ｆ(４)＝－４.故选Ｂ.例８㊀已知定义在Ｒ上的奇函数ｆ(ｘ)ꎬ满足ｆ(ｘ－４)＝－ｆ(ｘ)ꎬ且在区间[０ꎬ２]上单调递增ꎬ若方程ｆ(ｘ)＝ｍ(ｍ>０)在区间[－８ꎬ８]上有四个不同的根ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３ꎬｘ４ꎬ则ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＝.解析㊀因为函数ｆ(ｘ)在区间[０ꎬ２]上单调递增ꎬ又ｆ(ｘ)是Ｒ上的奇函数ꎬ故ｆ(０)＝０ꎬｆ(ｘ)的图象关于坐标原点对称ꎬ这样就得到了函数ｆ(ｘ)在[－２ꎬ２]上的特征图象(如图１).由ｆ(ｘ－４)＝－ｆ(ｘ)得ｆ(４－ｘ)＝ｆ(ｘ).故函数ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝２对称ꎬ这样就得到了函数ｆ(ｘ)在[２ꎬ６]上的特征图象.因为ｆ(ｘ－４)＝－ｆ(ｘ)ꎬ所以ｆ(ｘ－８)＝－ｆ(ｘ－４)＝ｆ(ｘ).故函数ｆ(ｘ)是以８为周期的周期函数.根据函数的周期性得到ｆ(ｘ)在[－８ꎬ８]上的特征图象(如图１所示).图１根据图象不难看出ꎬ方程ｆ(ｘ)＝ｍ(ｍ>０)的两根关于直线ｘ＝２对称ꎬ另两根关于直线ｘ＝－６对称ꎬ故四个根的和为２ˑ(－６)＋２ˑ２＝－８.评析㊀例５~例８是根据函数的对称性求得函数的周期.一般地ꎬ有以下一些常用的结论:(１)若ｘ＝ａꎬｘ＝ｂ都是函数ｆ(ｘ)图象的对称轴ꎬ则Ｔ＝２ａ－ｂ是函数ｆ(ｘ)的周期ꎻ(２)若(ａꎬ０)ꎬ(ｂꎬ０)都是函数ｆ(ｘ)图象的对称中心ꎬ则Ｔ＝２ａ－ｂ是函数ｆ(ｘ)的周期ꎻ(３)若ｘ＝ａ是函数ｆ(ｘ)图象的对称轴ꎬ(ｂꎬ０)是函数ｆ(ｘ)图象的对称中心ꎬ则Ｔ＝４ａ－ｂ是函数ｆ(ｘ)的周期ꎻ(４)若ｘ＝ａ是函数ｆ(ｘ)图象的对称轴ꎬＴ是ｆ(ｘ)的一个周期ꎬ则直线ｘ＝ａ＋ｎＴ２(ｎɪＺ)也是函数ｆ(ｘ)图象的对称轴ꎻ(５)若(ａꎬ０)是函数ｆ(ｘ)图象的对称中心ꎬＴ是ｆ(ｘ)的一个周期ꎬ则点(ａ＋ｎＴ２ꎬ０)(ｎɪＺ)也是函数ｆ(ｘ)图象的对称中心.参考文献:[１]任志鸿.十年高考分类解析与应试策略(数学)[Ｍ].北京:知识出版社ꎬ２０１５.[责任编辑:李㊀璟]４１。
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例析抽象函数周期的求法
抽象函数周期问题是近年来高考及各地模拟试题中高频出现的问题，其周期求法能有效考查学生的逻辑思维能力和代数推理能力，对培养学生思维品质大有帮助。
下面举例说明求周期的常用方法及技巧。
一、仅含抽象关系式的周期函数
例1 若存在常数m>0，使函数f(x)满足，则的一个正周期是____________。
解：设，则，依题意有
，由周期函数的定义，是的一个周期
所以期
例2 已知函数满足，求证：函数为周期函数。
证明：因为对有
（2）代入（1）得
这样
所以为周期函数，且为它的一个周期。
例3 设函数的定义域关于原点对称，且对定义域内任意，有
，且存在常数，使。
试证：是周期函数，且有一个周期为4a。
证明：设，则
所以y=f(x)为周期函数，且有一个周期为4a。
说明：从以上几例可见，适当的赋值和变量代换，是探求抽象函数周期的关键。
下面再给一个探求周期来计算函数值的例子。
例4 设是定义在R上的函数，且对任意，都有
，又，求的值。
解：
又
所以
可知是以2为一个周期的周期函数
所以
二、图象中有两条对称轴的抽象函数
例5 若函数的图象关于两条直线和都对称，试证：是周期函数，且是它的一个周期。
证明：因为的图象关于直线和（a<B）都对称< span>
所以且
这样
所以是周期函数，且是它的一个周期。
例6 设是定义在R上的偶函数，且它的图象关于x=2对称，已知时，，求时，的表达式。
解：由题设知：有两条对称轴和
所以为周期函数，且为它的一个周期
又当时，
所以
三、图象关于两点成中心对称的抽象函数
例7 设函数的图象关于相异两点A（a,0），B（b，0）都对称，则是一个周期为的周期函数。
证明：由题设有，这样
故原命题得证
例8 定义在R上的函数f(x)是奇函数，又也是奇函数，求
的值。
解：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)关于O（0，0）对称，且f(0)=0
又是奇函数，所以f(x)关于点（-1，0）对称
所以是f(x)的一个周期
所以
四、图象有一条对称轴和一个中心对称点的抽象函数
例10 设函数的图象关于点A（a，0）与直线都对称，则f(x)为周期函数，且是它的一个周期。
证明：因为函数f(x)图象点于点A（a，0）对称
所以
又函数f(x)图象关于直线对称
所以
这样
所以为周期函数且为它的一个周期。