4+四+贪心算法+习题参考答案

第四章作业 部分参考答案

1． 设有n 个顾客同时等待一项服务。顾客i 需要的服务时间为n i t i ≤≤1,。应该如何安排n 个顾客的服务次序才能使总的等待时间达到最小？总的等待时间是各顾客等待服务的时间的总和。试给出你的做法的理由（证明）。

策略：

对 1i t i n ≤≤进行排序，,21n i i i t t t ≤≤≤ 然后按照递增顺序依次服务12,,...,n

i i i 即可。

解析：设得到服务的顾客的顺序为12,,...,n j j j ，则总等待时间为

,2)2()1(1221--+++-+-=n n j j j j t t t n t n T 则在总等待时间T 中1j t 的权重最大，jn

t 的权重最小。故让所需时间少的顾客先得到服务可以减少总等待时间。

证明：设,21n i i i t t t ≤≤≤ ，下证明当按照不减顺序依次服务时，为最优策略。

记按照n i i i 21次序服务时，等待时间为T ，下证明任意互换两者的次序，T

都不减。即假设互换j i ,)(j i <两位顾客的次序，互换后等待总时间为T ~

，则有.~

T T ≥

由于

,2)2()1(1221--+++-+-=n n i i i i t t t n t n T

,2)()()2()1(1221--+++-++-++-+-=n n j i i i i i i i t t t j n t i n t n t n T ,2)()()2()1(~

1221--+++-++-++-+-=n n i j i i i i i i t t t j n t i n t n t n T

则有

.0))((~

≥--=-i j i i t t i j T T

同理可证其它次序，都可以由n i i i 21经过有限次两两调换顺序后得到，而每次交换，总时间不减，从而n i i i 21为最优策略。

2． 字符h a ~出现的频率分布恰好是前8个Fibonacci 数，它们的Huffman 编码是什么？将结果推广到n 个字符的频率分布恰好是前n 个Fibonacci 数的情形。Fibonacci 数的定义为：

1

,1,11210>+===--n if F F F F F n n n

解：前8个数为a ， b ， c ， d ， e ， f ， g ， h

1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21

Huffman 哈夫曼编码树为：

所以a 的编码为：1111111 b 的编码为：1111110 c 的编码为：111110 d 的编码为：11110

e 的编码为：1110

f 的编码为：110

g 的编码为：10 h 的编码为：0

推广到n 个字符：

第1个字符： n-1个1，

1

111-n 第2个字符： n-2个1，1个0， 01112

-n 第3个字符： n-3个1，1个0， 01113

-n ……

第n-1个字符：1个1 ，1个0， 10 第 n 个字符：1个0 ， 0

3． 设n p p p ,,,21 是准备存放到长为L 的磁带上的n 个程序，程序i p 需要的带长为i a 。设L a n

i i >∑=1，要求选取一个能放在带上的程序的最大子集合（即其中

含有最多个数的程序）Q 。构造Q 的一种贪心策略是按i a 的非降次序将程序计入集合。

1) 证明这一策略总能找到最大子集Q ，使得

∑∈≤Q

p i

i L a 。

2) 设Q 是使用上述贪心算法得到的子集合，磁带的利用率可以小到何种程度？ 3) 试说明1)中提到的设计策略不一定得到使

∑∈Q

p i

i L a /取最大值的子集合。

1）证明：不妨设12...n a a a ≤≤≤，若该贪心策略构造的子集合Q 为},,,{21s a a a ，则s 满足∑∑=+=>+≤s

i s s s

i i L a a L a 1

11

、。

要证明能找到最大子集，只需说明s 为可包含的最多程序段数即可。

即证不存在多于s 个的程序集合)(},,,,{~

21s k a a a Q k i i i >= ，使得∑∈≤Q

p i i L a ~。

反证法，假设存在多于s 个的程序集)(},,,,{~

21s k a a a Q k i i i >= ，满足∑=≤k

j i L a j 1

。

因为12...n a a a ≤≤≤非降序排列，则L a a a a a a a k i i i k s ≤+++≤++++ 2121。 因为s k >且为整数，则其前s+1项满足L a a a a s s ≤++++121 。 这与贪心策略构造的子集和Q 中s 满足的

∑=+>+s

i s s

L a a

1

1矛盾。故假设不成立，得证。

2）磁带的利用率为

∑∈Q

p i

i L a

/;（甚至最小可为0，此时任意L a i >或者∑∈<

p i i L a ）

3)按照1）的策略可以使磁带上的程序数量最多，但程序的总长度不一定是最大的，假设},,,{21i a a a 为Q 的最大子集，但是若用1+i a 代替i a ，仍满足

∑-=+<+1

1

1i k i k

L a a

，则},,,,{1121+-i i a a a a 为总长度更优子集。

4.答案见后面所附程序。

5. 已知n 种货币

12,,,n

c c c 和有关兑换率的n n ⨯表R ，其中[,]R i j 是一个单位的

货币i c

可以买到的货币j c 的单位数。

1）试设计一个算法，用以确定是否存在一货币序列12,,,k

i i i c c c 使得：

12231[,][,]

[,]

1

k

R i i R i i R i i > 2）设计一个算法打印出满足1）中条件的所有序列，并分析算法的计算时间。

解：

基本解题思想：

通过FLOYD 算法求出最大环。判断最大环的权值之积是否大于1，如果大于1说明可以实现套汇，如果不大于1 说明不能实现套汇。在求解最大环的同时记录下兑换过程中的步骤。 算法实现的数据结构：

int Path[MAX_VERTECX_NUM][MAX_VERTECX_NUM];//用来记录套汇过程中要经过的路径 float value[MAX_VERTECX_NUM][MAX_VERTECX_NUM];//用来记录经过讨回操作后得到的值 //借助图来实现该算法 typedef struct{

int vexs[MAX_VERTECX_NUM]; //顶点向量 每种货币对应一个顶点

float arc[MAX_VERTECX_NUM][MAX_VERTECX_NUM];//邻接矩阵 存放兑换率信息 int vexnum,arcnum; //图中当前顶点数和弧数 }MGraph; 算法中的关键步骤：

for(k=1;k<=G->vexnum;k++) {

for(i=1;i<=G->vexnum;i++) {

for(j=1;j<=G->vexnum;j++) {

if(value[i][k]*value[k][j]>value[i][j])//这里判断是否使兑换率增大，如果增大则记录下来 {

value[i][j]=value[i][k]*value[k][j]; Path[i][j]=Path[k][j]; } } }