n阶幂零矩阵的判别及构建_吴险峰

第23卷第4期 齐 齐 哈 尔 大 学 学 报 Vol.23,No.4 2007年7月 Journal of Qiqihar University July,2007

n 阶幂零矩阵的判别及构建

吴险峰

（齐齐哈尔大学理学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006）

摘要：利用幂零矩阵的特征值、特征多项式、相似性等性质，给出构建幂零矩阵的几种方法。 关键词：幂零矩阵；严格三角形矩阵；主子式

中图分类号：O151.21 文献标识码：A 文章编号：1007-984X(2007)04-0072-04

对于有限维的线性空间，在给定基下线性变换与矩阵有着一一对应关系, 而线性变换是比较抽象的，不如矩阵容易理解，因此总是借助于矩阵来研究有限维线性空间的线性变换。幂零变换是一种特殊的线性变换，有许多特殊的性质可以利用，但除了用定义外，怎样判定所给的线性变换是否为幂零变换，又如何构建幂零变换。因为在有限维的线性空间中，幂零变换对应着幂零矩阵，由此幂零矩阵的判定和构建是解决这一问题的关键。因此本文给出了n 阶幂零矩阵的判定方法和构建方法。文中所指的矩阵均为数域F 上的矩阵，数均为数域F 上的数。

1 幂零矩阵的判别

引理1 n 阶矩阵A 是幂零矩阵，当且仅当A 的所有特征根都是零。 引理2 设n 阶矩阵)(ij a A =的特征多项式为

n n n n A b x b x b x A xI x f ++++=−=−−111)("

则k b 为A 的一切k 阶主子式的和乘以k )1(−，n k ,,2,1"=，即

∑

≤<<≤−=n

i i i

i i

i i

i i

i i i i i i

i i

i i

i k

k k k

k k k k

k

a a a a a a a a a

b ""#

###""12

122

21

212

11

11)

1(

定理1 数域F 上n 阶矩阵A 为幂零矩阵，当且仅当A 的一切k (n k ,,2,1"=)阶主子式之和为零。 证

必要性：设)(ij a A =，则由引理2有

n n n n A b x b x b x A xI x f ++++=−=−−111)("

其中系数k b 为A 的一切k 阶主子式的和乘以k )1(−，n k ,,2,1"=，即

∑

≤<<≤−=n

i i i

i i

i i

i i

i i i i

i i

i i

i i

i k

k k k

k k k k

k

a a a a a a a a a

b ""#

###""12

122

21

212

11

11)

1(

收稿日期：2006-11-23

基金项目：黑龙江省教育厅科研项目（11521313）

作者简介：吴险峰（1970-），女，黑龙江省拜泉县人，副教授，大学本科，现主要从事李代数及李超代数，E-mail：wuxianfenglaoshi@。

第4期 n 阶幂零矩阵的判别及构建 ·７３·　

已知A 为幂零矩阵，则n A x x f =)(，所以有021====n b b b "，从而A 的一切k (n k ,,2,1"=)阶主子式之和为零。

充分性：已知A 的一切k (n k ,,2,1"=)阶主子式的和为零，由引理2，021====n b b b ",于是, n A x x f =)(，则A 的特征根都为零，由引理1知A 为幂零矩阵，至此定理1得证。

因为严格三角形矩阵的一切k 阶主子式的和为零，故严格上(下)三角形矩阵为幂零矩阵。

推论1 数域F 上的二阶矩阵A 为幂零矩阵的充要条件是A 的一切k (2,1=k )阶主子式之和为零。 推论2 数域F 上的三阶矩阵A 为幂零矩阵的充要条件是A 的一切k (3,2,1=k )阶主子式之和为零。 定理2 数域F 上n 阶矩阵A 为幂零矩阵，当且仅当A 与严格上(下)三角形矩阵相似。 由引理1不难证明定理2。证略。

2 幂零矩阵的构建

方法1 利用定理1的充分性，特别适合二，三阶幂零矩阵的构建。

二阶矩阵⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛=2221

1211a a a a A 为幂零矩阵的充要条件是02211=+a a ，且0=A ，即主对角元之和等于零，且它的两行(或列)成比例。

例1 ⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛−−=52515A ，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝

⎛−−=2212B ，⎟⎟⎠

⎞⎜⎜

⎝⎛−=0010C 都是二阶的幂零矩阵。 三阶矩阵⎟⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎜

⎝⎛=3332312322

211312

11a a a

a a a a a a A 为幂零矩阵的充要条件是0332211=++a a a ，−+−331121122211a a a a a a 0322333223113=−+a a a a a a ，且0=A ，即A 的主对角元之和为零，主对角线两元素乘积之和等于所有位置关于主对角线对称的两元素乘积之和，且0=A 。

例2 ⎟⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=01102

2212A ，⎟

⎟⎟⎟

⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎛

−−−−=2521342121021252

B 都是三阶的幂零矩阵。 方法2 利用定理2的充分性，特别适合三阶以上的幂零矩阵的构建。

由定理2知，与严格三角形矩阵相似的矩阵就是幂零矩阵，因此由相似矩阵可以构建新的幂零矩阵。众所周知，可逆矩阵是初等矩阵的乘积，故可逆矩阵P 可取为各种初等矩阵或初等矩阵之积。

例3 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=0000100001000010A 是严格上三角形矩阵，故A 是幂零矩阵，取⎟⎟⎟⎟

⎟⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=881144

1122

111111

P ，求得