人教A版选修2-2 1.5.3 定积分的概念 学案 (1)

1．5.3 定积分的概念

预习课本P45～47，思考并完成下列问题 (1)定积分的概念是什么？几何意义又是什么？

(2)定积分的计算有哪些性质？

[新知初探]

1．定积分的概念与几何意义

(1)定积分的概念：一般地，设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0

－1

＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1

n

f (ξi )Δx ＝

i ＝1n

b －a

n

f (ξi )， 当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的

定积分，记作⎠⎛a b

f (x )d x ，即⎠⎛a

b

f (x )d x ＝lim n →∞i ＝1n b －a n

f (ξi )， 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．

(2)定积分的几何意义：如果在区间[a ，b ]上函数连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛a

b

f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a

中的阴影部分的面积)．

[点睛] 利用定积分的几何意义求定积分的关注点．

(1)当f (x )≥0时，⎠⎛a b

f (x )d x 等于由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0与曲线y ＝f (x )围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义．

(2)计算⎠⎛a b

f (x )d x 时，先明确积分区间[a ，b ]，从而确定曲边梯形的三条直边x ＝a ，x ＝b ，y ＝0，再明确被积函数f (x )，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积S 而得到定积分的值：

当f (x )≥0时，⎠⎛a b

f (x )d x ＝S ；当f (x )<0时，

⎠⎛a

b

f (x )d x ＝－S . 2．定积分的性质

(1)⎠⎛a b

kf (x )d x ＝k ⎠⎛a b

f (x )d x (k 为常数)． (2)⎠⎛a b

[f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b

f 1(x )d x ±⎠⎛a b

f 2(x )d x . (3)⎠⎛a b

f (x )d x ＝⎠⎛a c

f (x )d x ＋⎠⎛c b

f (x )d x (其中a

[点睛]

性质(1)的等式左边是一个定积分，等式右边是常数与一个定积分的乘积． 性质(2)对于有限个函数(两个以上)也成立．

性质(3)对于把区间[a ，b ]分成有限个(两个以上)区间也成立．

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)⎠⎛02

x

2d x ＝1.( )

(2)⎠⎛a b

f (x )d x 的值一定是一个正数．( )

(3)⎠⎛a b (x 2＋2x )d x ＝⎠⎛a b x 2d x ＋⎠⎛a b

2x d x .( )

答案：(1)√ (2)× (3)√ 2．已知⎠⎛02

f (x )d x ＝8，则( ) A.⎠⎛01

f (x )d x ＝4 B.⎠⎛02f (x )d x ＝4

C.⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12

f (x )d x ＝8

D ．以上答案都不对 答案：C

3．直线x ＝1，x ＝2，y ＝0与曲线y

＝1

x

围成曲边梯形的面积用定积分表示为( )

A.⎠⎛01

2d x

B.⎠⎛12

0d x C.⎠⎛02

1x d x

D.⎠⎛12

1

x d x

答案：D

4．已知⎠⎛0t

x d x ＝2，则⎠

⎛0

－t x d x ＝________. 答案：－2

利用定义求定积分

[典例] 利用定义求定积分⎠⎛03

x 2

d x .

[解] 令f (x )＝x 2

，

(1)分割：在区间[0,3]上等间隔地插入n －1个点，把区间[0,3]分成n 等份，其分点为x i ＝3i n (i ＝1,2，…，n －1)，这样每个小区间[x i －1，x i ]的长度Δx ＝3

n

(i ＝1,2，…，n )．

(2)近似代替、求和：令ξi ＝x i ＝3i n

(i ＝1,2，…，n )，于是有和式：∑i ＝1

n

f (ξi )Δx ＝i ＝1

n ⎝ ⎛⎭

⎪

⎫3i n 2

·3n ＝27n 3∑i ＝1n i 2＝27n 3·16n (n ＋1)(2n ＋1)＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

2＋1n . (3)取极限：根据定积分的定义，有⎠⎛03

x 2d x ＝lim n →∞

∑i ＝1

n

f (ξi )Δx ＝lim n →∞⎣⎢⎡⎦⎥⎤92⎝

⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＝9.

用定义求定积分的一般步骤

(1)分割：n 等分区间[a ，b ]；