中考数学必会几何模型：半角模型

半角模型

已知如图：①∠2=1

2

∠AOB；②OA=OB.

O

A

B

E

F

1

23

连接FB，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E，FE，可得△OEF≌△OEF′

43

2

1

F'

F

E B

A

O

模型分析

∵△OBF≌△OAF′，

∴∠3=∠4，OF=OF′.

∴∠2=1

2

∠AOB，

∴∠1+∠3=∠2

∴∠1+∠4=∠2

又∵OE是公共边，

∴△OEF≌△OEF′.

（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；

（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；

（3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°.

模型实例

例1 已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N．（1）求证：BM+DN=MN．

（2）作AH⊥MN于点H，求证：AH=AB．

证明：（1）延长ND 到E ，使DE=BM ，

∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ． 在△ADE 和△ABM 中， ⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=BM DE B ADE AB AD

∴△ADE ≌△ABM ．

∴AE=AM ，∠DAE=∠BAM ∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠NAD=45°． ∴ ∠MAN=∠EAN=45°． 在△AMN 和△AEN 中， ⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=AN AN EAN M AN EA M A

∴△AMN ≌△AEN ． ∴MN=EN ．

∴BM+DN=DE+DN=EN=MN ．

（2）由（1）知，△AMN ≌△AEN ． ∴S △AMN =S △AEN ．

即EN AD 2

1

MN AH 21⋅=⋅．

又∵MN=EN ， ∴AH=AD ． 即AH=AB ．

例2 在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且

∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．

（1）如图①，当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_______________；

（2）如图②，当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．

图①图②

解答

（1）BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN．

（2）猜想：BM+NC=MN．

证明：如图③，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．

∵BD=CD，且∠BDC=120°，

∴∠DBC=∠DCB=30°．

又∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°．

∴∠MBD=∠NCD=90°．

在△MBD与△ECD中，

∵DB=DC，∠DBM=∠DCE=90°，BM=CE，

∴△MBD≌△ECD（SAS）．

∴DM=DE，∠BDM=∠CDE．

∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．

在△MDN和△EDN中，

∵MD=ED，∠MDN=∠EDN=60°，DN=DN，

∴△MDN≌△EDN（SAS）．

∴MN=NE=NC+CE=NC+BM．

图③

例3 如图，在四边形ABCD 中，∠B+∠ADC=180°，AB=AD ，E 、F 分别是BC 、CD 延 长线上的点，且∠EAF=

2

1

∠BAD ．求证：EF=BE-FD ．

证明：在BE 上截取BG ，使BG=DF ，连接AG ． ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， ∴∠B=∠ADF ．

在△ABG 和△ADF 中， ⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=DF BG ADF B AD AB

∴△ABG ≌△ADF （SAS ）． ∴∠BAG=∠DAF ，AG=AF ． ∴∠GAF=∠BAD ．

∴∠EAF=21∠BAD=2

1

∠GAF ． ∴∠GAE=∠EAF ． 在△AEG 和△AEF 中， ⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=AE AE FAE GAE AF AG

∴△AEG ≌△AEF （SAS ）． ∴EG=EF ．

∴EF=BE-FD ．

跟踪练习：

1．已知，正方形ABCD ，M 在CB 延长线上，N 在DC 延长线上，∠MAN=45°． 求证：MN=DN-BM ．

【答案】

证明：如图，在DN 上截取DE=MB ，连接AE ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=AB ，∠D=∠ABC=90°． 在△ABM 和△ADE 中， ⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=DE BM ABM D AB AD

∴△ABM ≌△ADE ．

∴AM=AE ， ∠MAB=∠EAD ． ∵∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN ， ∴∠DAE+∠BAN=45°． ∴∠EAN=90°-45°=45°=∠MAN ． 在△AMN 和△AEN 中， ⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=AN AN EAN M AN AE AM

∴△ABM ≌△ADE ．