函数、极限、连续与导数练习题

经济数学第一章练习题

经济数学第一章练习题一、函数与极限1. 判断下列函数的单调性：(1) f(x) = 2x + 3(2) f(x) = x^2 + 4x + 1(3) f(x) = e^x 2x2. 求下列极限：(1) lim(x→0) (sin x / x)(2) lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)(3) lim(x→+∞) (1 + 1/x)^x3. 讨论下列函数在指定区间内的连续性：(1) f(x) = |x|，区间为[1, 1](2) f(x) = sqrt(4 x^2)，区间为[2, 2]二、导数与微分1. 求下列函数的导数：(1) f(x) = 3x^2 2x + 1(2) f(x) = ln(x + 1)(3) f(x) = e^x sin x2. 计算下列函数的微分：(1) f(x) = x^3 2x^2 + 3x 4(2) f(x) = arcsin(x/2)3. 求下列隐函数的导数：(1) y = e^(x + y)(2) x^2 + y^2 = 4三、高阶导数与微分方程1. 求下列函数的二阶导数：(1) f(x) = x^4 3x^3 + 2x^2(2) f(x) = ln(x^2 + 1)2. 求下列微分方程的通解：(1) y' + y = x(2) y'' 2y' + y = e^x3. 求下列微分方程的特解：(1) y' = 2x + y，初始条件为y(0) = 1(2) y'' + y = sin x，初始条件为y(0) = 0，y'(0) = 1四、泰勒公式与应用1. 将下列函数在指定点处展开成泰勒级数：(1) f(x) = e^x，展开点为x = 0(2) f(x) = sin x，展开点为x = π/22. 利用泰勒公式求下列极限：(1) lim(x→0) (1 cos x) / x^2(2) lim(x→0) (e^(x^2) 1 x^2) / x^43. 计算下列函数的近似值：(1) f(x) = sqrt(1 + x)，当x = 0.01时(2) f(x) = ln(1 + x)，当x = 0.1时五、多元函数微分法1. 计算下列多元函数的偏导数：(1) z = x^2 + y^2，对x和y求偏导数(2) u = sin(xy) + e^z，对x、y和z求偏导数2. 求下列函数的全微分：(1) z = x^2y + y^2x(2) u = ln(xyz)3. 验证下列函数是否满足拉格朗日中值定理：(1) f(x, y) = x^2 + y^2，在直线y = x上(2) f(x, y) = e^(x^2 + y^2)，在圆x^2 + y^2 = 1上六、极值与条件极值1. 求下列函数的极值：(1) f(x) = x^3 3x^2 + 2(2) f(x, y) = x^2 + y^2 2x 4y + 52. 求下列函数在给定区间上的最大值和最小值：(1) f(x) = x^2 + 4x，区间为[0, 3](2) f(x, y) = x^2 + y^2，在圆x^2 + y^2 = 4内3. 求下列条件极值问题：(1) max f(x, y) = x + y，约束条件为x^2 + y^2 = 1(2) min f(x, y, z) = x + y + z，约束条件为x^2 + y^2 + z^2 = 4，x + y + z = 1七、积分与定积分的应用1. 计算下列不定积分：(1) ∫(3x^2 2x + 1)dx(2) ∫(e^x sin x)dx2. 计算下列定积分：(1) ∫_{0}^{1} (x^2 + 1)dx(2) ∫_{π/2}^{π/2} (cos x)dx3. 利用定积分求解下列实际问题：(1) 计算由曲线y = x^2与直线x = 1，y = 0围成的平面图形的面积(2) 计算由曲线y = e^x，直线x = 0，y = e及y轴围成的平面图形的体积八、多元积分1. 计算下列二重积分：(1) ∬_D (x^2 + y^2)dxdy，其中D为圆x^2 + y^2 ≤ 1(2) ∬_D (e^(x + y))dxdy，其中D为矩形区域0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 22. 计算下列三重积分：(1) ∭_E (x + y + z)dV，其中E为长方体0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 2，0 ≤ z ≤ 3(2) ∭_E (xyz)dV，其中E为球体x^2 + y^2 + z^2 ≤ 13. 利用二重积分求解下列实际问题：(1) 计算由抛物线y = x^2与直线x = 1，y = 0围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积(2) 计算由曲面z = x^2 + y^2与平面z = 4围成的立体图形的体积答案一、函数与极限1. (1) 单调递增(2) 单调递减(3) 单调递增2. (1) 1(2) 2(3) e3. (1) 在[1, 1]上连续(2) 在[2, 2]上连续，但在x = ±2处不连续二、导数与微分1. (1) f'(x) = 6x 2(2) f'(x) = 1 / (x + 1)(3) f'(x) = e^x sin x + e^x cos x2. (1) df(x) = (6x^2 4x + 3)dx(2) df(x) = (1 / sqrt(1 (x/2)^2))dx3. (1) y' = (e^(x + y) y') / e^(x + y)(2) y' = x / y三、高阶导数与微分方程1. (1) f''(x) = 12x^2 12x(2) f''(x) = 2 / (x^2 + 1)^22. (1) y = C e^(x) + x(2) y = C1 e^x + C2 e^(x)3. (1) y = x + 1(2) y = (1/2) sin x (1/2) cos x四、泰勒公式与应用1. (1) e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! +(2) sin x = 1 (x π/2)^2/2! + (x π/2)^4/4!2. (1) 1/2(2) 1/23. (1) f(0.01) ≈ 1.005(2) f(0.1) ≈ 0.09516五、多元函数微分法1. (1) ∂z/∂x = 2x，∂z/∂y = 2y(2) ∂u/∂x = y cos(xy)，∂u/∂y = x cos(xy)，∂u/∂z = e^z2. (1) dz = (2xy + y^2)dx + (x^2 + 2xy)dy(2) du = (1/x + 1/y + 1/z)dx + (1/x + 1/y + 1/z)dy + (1/x + 1/y + 1/z)dz3. (1) 满足(2) 满足六、极值与条件极值1. (1) 极大值f(1) = 0，极小值f(2/3) = 4/27(2) 极小值f(1, 2) = 52. (1) 最大值f(3) = 3，最小值f(1) = 1(2) 最大值f(0, 2) = 4，最小值f(0, 2) = 03. (1) 最大值f(√2/2, √2/2)= √2(2) 最小值f(1, 0, 0) = 1七、积分与定积分的应用1. (1) (x^3 x^2 + x) + C(2) (e^x + cos x) + C2. (1) 5/3(2) 23. (1) 1/3 π(2) (e^2 e)π八、多元积分1. (1) π(2) e^2 12. (1) 3(2) 0（因为积分区域关于y轴对称，被积函数关于x为奇函数）3. (1) (2/3)π(2) (π/6)。

微积分复习题集带参考答案(二)

微积分习题集带参考答案综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题（1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是．答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ．答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （） A ．)1(+x x B ．2xC ．)2(-x xD ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ．解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题（1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是．答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ．答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ．答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题（1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题（1）函数的单调增加区间是．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足．答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ．间断点答案：C（3）下列结论中（）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。

高三数学第2、3章《极限》《导数》测试及答案

高三数学第2、3章《极限》《导数》测试及答案一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项正确 1．（理）若复数z 满足方程022=+z ，则=3z（）A ．22±B ． 22-C ．i 22-D ． i 22±(文)曲线y=4x －x 3在点(－1,－3)处的切线方程是（）A ． y=7x+4B ． y=7x+2C ． y=x －4D ． y=x －22．函数y=x 2(－21≤x ≤21)图像上一点P,以点P 为切点的切线为直线l,则直线l 的倾斜角的范围是（）A ．［0,4π］∪［43π,π］B ．［0,π］C ．［4π,43π］D ．［0,4π］∪(2π,43π) 3．（理）若2lim →x 434222=--+x ax x ,则a 的值为（）A ．0B ．1C ．－1D ．21（文）在曲线y=x 2+1的图像上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx ,2+Δy ）,则yx∆∆为（） A ．Δx+x∆1+2 B ．Δx －x ∆1－2 C ．Δx+2D ．2+Δx －x ∆14．曲线y=51x 5+3x 2+4x 在x =－1处的切线的倾斜角是（）A ．－4πB ．4πC ．43πD ．45π5．函数f(x)=x 3－ax 2－bx+a 2在x=1时,有极值10,则a 、b 的值为（）A ．⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==1143,3b a b a 或 B ．⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=1141,4b -a b a 或 C ．⎩⎨⎧=-=51b aD ．以上皆错6．（理）已知()23,12,1x x f x x +≠⎧=⎨=⎩，下面结论正确的是（）A ．()f x 在1x =处连续B ．()5f x =C ．()1lim 2x f x -→= D ．()1lim 5x f x +→=（文）设f （x ）=a x 3+3x 2+2,若f ′（－1）=4,则a 的值等于A ．319B ．316 C ．313 D ．3107．函数f(x )=x 3－3x +1,x ∈［－3,0］的最大值、最小值分别是（）A ．1,－1B ．1,－17C ．3, －17D ．9,－198．（理）数列{a n }中，a 1=1,S n 是前n 项和.当n ≥2时，a n =3S n ,则∞→n lim311-++n n S S 的值是（）A ．－31B ．－2C ．1D ．－54（文）曲线y=x 3－3x 2+1在点（1，－1）处的切线方程为（）A ．y=3x －4B ．y=－3x+2C ．y=－4x+3D ．y=4x －5 9．（理）2+23i 的平方根是（）A ．3+iB ．3±iC ．±3+iD ．±(3+i)（文）已知f （x ）=2x 3－6x 2+m （m 为常数）在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值是（）A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对10．已知函数)(x f x y '=的图像如右图所示（其中 )(x f '是函数)(x f 的导函数），下面四个图像中)(x f y =的图像大致是11．设f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,)()()()(x g x f x g x f '-' ＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是（）A ．（－3,0)∪(3,+∞)B ．(－3,0)∪(0, 3)C ．(－∞,- 3)∪(3,+∞)D ．(－∞,－ 3)∪(0, 3)12．已知两点O （0,0），Q （a ,b ）,点P 1是线段OQ 的中点，点P 2是线段QP 1的中点，P 3是线段P 1P 2的中点，┅，2+n P 是线段n P 1+n P 的中点，则点n P 的极限位置应是（） A ．（2a ,2b） B ．(3,3b a ) C ．(32,32b a ) D ． (43,43ba )二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13．垂直于直线2x －6y+1=0且与曲线y=x 3+3x 2－1相切的直线方程的一般式是__________.14．(理) （2006年安徽卷）设常数0a >，42ax ⎛ ⎝展开式中3x 的系数为32，则2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=_____.(文)(2006福建高考)已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则______.a = 15．函数f(x)=2x 3+3x 2－12x －5,则函数f(x)的单调增区间是______. 16．（理）用数学归纳法证)"(212111211214131211"*N n nn n n n ∈+++++=--++-+- 的过程中，当n=k 到n=k+1时，左边所增加的项为_______________.（文）若函数f （x ）=x 3+x 2+mx+1是R 上的单调递增函数，则m 的取值范围是______________．三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分12分）（理）设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤-+-<≤<=)3(4)31(24)10()0(0)(2x xx x x x x x x f（1）画出函数的图像；（2）在x=0，x=3处函数)(x f 是否连续；（3）求函数)(x f 的连续区间. （文）已知函数ax ax x f 313)(23-+-=. （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）若曲线)(x f y =上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实数a 的取值范围.18．（本题满分12分）（理）已知复数z 1=cosθ－i ，z 2=sinθ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值.（文）(2006福建高考)已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12。

高等数学作业题及参考答案

高等数学作业题（一）第一章函数1、填空题（1）函数1142-+-=x x y 的定义域是 2、选择题(1)下列函数是初等函数的是（）。

A.3sin -=x y B.1sin -=x y C.⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,01,112x x x x yD. ⎩⎨⎧≥<+=0,0,1x x x x y (2)xy 1sin =在定义域内是（）。

A. 单调函数 B. 周期函数 C. 无界函数 D. 有界函数3、求函数2)1ln(++-=x x y 的定义域4、设,1)(2+-=x x x f 计算xf x f ∆-∆+)2()2(5、要做一个容积为250立方米的无盖圆柱体蓄水池，已知池底单位造价为池壁单位造价的两倍，设池底单位造价为a 元，试将总造价表示为底半径的函数。

6、把一个圆形铁片，自中心处剪去中心角为α的一扇形后，围成一个无底圆锥，试将此圆锥体积表达成α的函数。

第二章极限与连续1、填空题（1）32+=x y 的间断点是（2）0=x 是函数x x y +=1的第类间断点。

（3）若极限a x f x =∞→)(lim 存在，则称直线a y =为曲线=y ()x f 的渐近线。

（4）有界函数与无穷小的乘积是（5）当0→x ，函数x 3sin 与x 是无穷小。

（6）xx x 1)21(lim 0+→= （7）若一个数列{}n x ，当n 时，无限接近于某一个常数a ，则称a 为数列{}n x 的极限。

（8）若存在实数0>M ，使得对于任何的R x ∈，都有()M x f <，且()0lim 0=→x g x ，则()()=→x g x f x 0lim （9）设x y 3sin =，则=''y(10) x x x)211(lim -∞→=2、选择题（1）xx x sin lim 0→的值为（）。

A.1 B.∞ C.不存在 D.0 （2）当x →0时，与3100x x +等价的无穷小量是( )。

微积分综合练习题与参考答案完美版

微积分综合练习题与参考答案完美版综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题（1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是．答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f．答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k（5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k 2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（）A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ．解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x（3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题（1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是．答案：21 （2）曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是．答案：1+=x y（3）已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ．答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ．答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若x x x f -=e )(，则='')0(f．答案：x xx x f --+-=''e e2)(='')0(f 2-（1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=-答案：C（2）设y x =lg2，则d y =（）． A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx 答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （）．A ．x x f d )2(cos 2'B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （）．A ．23cos a x +B ．a x 6sin +C ．x sin -D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-=综合练习题3（导数应用部分）1．填空题（1）函数y x =-312()的单调增加区间是．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足．答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ．间断点答案：C（3）下列结论中（）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（）． A ．x sin B ．xe C ．2xD ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。

高等数学习题及解答(极限,连续与导数)

高等数学习题库淮南联合大学基础部2008年10月第一章映射，极限，连续习题一集合与实数集基本能力层次：1: 已知：A ＝{x|1≤x ≤2}∪{x|5≤x ≤6}∪{3},B={y|2≤y ≤3} 求：在直角坐标系内画出 A ×B解：如图所示A ×B ＝{（x,y ）| ,x A y B ∈∈ }.2：证明：∵ P 为正整数，∴p ＝2n 或p ＝2n+1，当p ＝2n+1时，p 2＝4n 2+4n+1，不能被2整除，故p ＝2n 。

即结论成立。

基本理论层次：习题二函数、数列与函数极限基本能力层次1：解：2：证明：由得cxy ay ax b -=+即 ay bx cy a+=-，所以 ()x f y = 所以命题成立3：（1）22x y -= （2）lg(sin )y x x =+（3 []y x = （4）0,01,0x y x ≥⎧⎫=⎨⎬<⎩⎭解：4：用极限定义证明： 1lim1n n n →∞-=(不作要求)证明：因为 ω∀ 有11|1|n n n ω--=<成立,只要1n ω>取N ＝[1ω]，则当n>N 时,就有11|1|n n nω--=<有定义变知1lim 1n n n →∞-=成立5：求下列数列的极限（1）lim 3n n n→∞ （2）222312limn n n →∞+++（3）（4）1lim 1n n→∞+解：（1） 233nn n n <,又2lim 03n n x →∞=,所以 0lim 03n n n →∞≤≤ , 故：lim 3n n n →∞＝0 （2）由于2223312(1)(21)111(1)(2)6n n n n n n n n n+++++==++又因为：1111lim (1)(2)63n n n n →∞++=,所以：2223121lim3n n n →∞+++ （3）因为：所以：（4）因为：11111n n n ≤+≤+，并且1lim(1)1n n →∞+=, 故由夹逼原理得111n n+=6：解：由于7：解：8：9：习题三无穷小与无穷大、极限运算法则及两个重要极限基本理论层次1：解：同理：（3），（4）习题四无穷小的比较、函数的连续及性质基本理论层次1：（1）（2）2：第二章一元微分学及应用习题一导数及求导法则、反函数及复合函数的导数.基本理论层次21,1,,,,1()(1)(1)lim lim 1x a b x bx x f x f bx x ⎧+≥⎪⎨-+<⎪⎩-+-==-2222-ax 1.设f(x)=试求常数使f(x)在x=1处可导。

微积分练习1

C.非奇非偶函数
函数奇, 偶性定义 : 1.若对任意x, 恒有f ( x) = f ( x), 则称f ( x)为偶函数.
2.若对任意x, 恒有f ( x) = f ( x), 则称f ( x)为奇函数.
解: 设f ( x) = x sin x, 则 f ( x) = ( x) sin( x) = ( x)( sin x) = x sin x = f ( x)
说明 : 函数的间断点一般是使分母为0的点.
解 : 令x + 1 = 0 x = 1
导数基本公式
(1) ( 2) (3) ( 4) (5) ( 6) (7 ) (8) (9 ) (10 ) (c )' = 0 (c为常数 ) (α为任意实数 ) ( a > 0, a ≠ 1) ( a > 0, a ≠ 1) ( x α ) ' = α xα 1 ( a x ) ' = a x ln a (e x ) ' = e x (log a x ) ' = 1 x ln a
2
ax + bx+ c < 0
2
(a, b, c均为常数且a > 0) , x > x2或 x < x1 x <x<x
1
2
( x位于两根之外 )
( x位于两根之内)
堂上练习: 1 1 函数f ( x) = , 的定义域是 (2,3) U (3,+∞) . ln( x 2) 1 2, 函数f ( x) = + 5 x的定义域是 ( 1,0 ) U (0,5] . ln( x + 1)
x →0 x →0
.
B .2
C.1
D .0

高等数学第一章测试题

高等数学第一章测试题测试题一：导数与求导法则1. 求以下函数的导数：(a) $y = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 7x + 4$(b) $y = \sqrt{2x^3 + 5x^2 - 3x + 1}$(c) $y = e^x \cdot \ln{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$2. 利用导数的定义计算以下函数在给定点处的导数：(a) $f(x) = 3x^2 + 2x + 1$，在点$x = 2$处的导数(b) $g(x) = \frac{1}{x^2}$，在点$x = -1$处的导数(c) $h(x) = \sin{x}$，在点$x = \frac{\pi}{4}$处的导数3. 根据给定函数的导数，确定函数的表达式：(a) 已知函数$f'(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 1$，求$f(x)$。

(b) 已知函数$g'(x) = \frac{1}{x^2} - 3x$，求$g(x)$。

(c) 已知函数$h'(x) = e^x \cdot \cos{x}$，求$h(x)$。

测试题二：微分与应用1. 计算以下函数在给定点处的微分：(a) $y = \sqrt{x^2 + 3x + 2}$，在点$x = 2$处的微分(b) $y = e^x \cdot \ln{x}$，在点$x = 1$处的微分(c) $y = \sin{x} \cdot \cos{2x}$，在点$x = \frac{\pi}{6}$处的微分2. 使用微分，求以下函数的近似值：(a) $f(x) = \sqrt[3]{x}$，当$x$接近于$8$时的近似值(b) $g(x) = \ln{(1 + x)}$，当$x$接近于$0$时的近似值(c) $h(x) = e^{2x}$，当$x$接近于$0$时的近似值3. 利用微分进一步求解以下问题：(a) 当物体从起点开始以速度$v(t) = 5t - 2$移动时，求$t = 3$时的位移。

极限导数方面习题

f (0 0) lim ln（1 x） 0 x00
x 0为第一类的跳跃间断点
x
x 1 f (1 0) lim e1x 0 x10 x f (1 0) lim e1x x10 x 1为第二类的无穷间断点
例. 求
的间断点, 并判别其类
型.
解: lim (1 x)sin x 1 sin 1 x 1 x (x 1)(x 1) 2
x
（〈x 0时 x x x2）
例*. 求
(2000考研)
解:
lim
x0
2 1
1
ex
4
ex
sin x
x
lim
x0
2
e
4 x
e
e
4 x
1
3 x
sin x
x
1
lim
x0
2
e
1 x
1
e
4 x
1
ex
4
ex
sin x
x
1
原式 = 1
1
例 lim(1 x2 )1cosx
本章小结
一,函数（会求定义域，函数值）
二,极限求法（lim （f x）=A）
1)分析定义 2)夹逼性 3)单调有界必有极限 4)四则运算
5)无穷小性质（无穷小量乘以有界量仍为无穷小，例lim 1 sin x 0） x x
6)f (x) A f (x) A 0(x) （反映了极限与无穷小的关系，常用于理论证明）
lim x xk tgx
x k
2
x k (k 0)为第二类的无穷间断点
lim x 0
xk tgx x k2
为第一类的可去间断点
2
例

高职专科高等数学练习题

高职专科高等数学练习题一、函数与极限1. 判断下列函数的单调性：(1) f(x) = 2x + 3(2) g(x) = x^2 + 4x + 12. 求下列极限：(1) lim(x→0) (sinx / x)(2) lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)3. 讨论函数f(x) = |x 2|在x = 2处的连续性。

二、导数与微分1. 求下列函数的导数：(1) y = x^3 3x + 2(2) y = (3x + 1)^22. 求下列函数的微分：(1) y = ln(x)(2) y = e^x3. 已知f(x) = x^2 + 2x，求f'(x)在x = 1处的值。

三、积分与定积分1. 计算不定积分：(1) ∫(3x^2 + 2x)dx(2) ∫(e^x + sinx)dx2. 计算定积分：(1) ∫_{0}^{1} (x^2 + 1)dx(2) ∫_{π/2}^{π/2} (cosx)dx3. 求曲线y = x^2在x = 0到x = 2之间的弧长。

四、多元函数微分学1. 求函数z = x^2 + y^2的偏导数。

2. 计算二重积分：(1) ∬D (x + y)dxdy，其中D为x^2 + y^2 ≤ 1的区域。

(2) ∬D (e^(x+y))dxdy，其中D为0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 2的区域。

五、线性代数1. 解下列线性方程组：(1) x + 2y z = 32x y + 3z = 7x + y + 2z = 4(2) 3x + 4y 2z = 12x y + z = 0x + 2y 3z = 52. 计算矩阵A的行列式，其中A为：A = | 1 2 3 || 4 5 6 || 7 8 9 |3. 求矩阵B的逆矩阵，其中B为：B = | 2 1 || 1 3 |六、概率论与数理统计1. 抛掷一枚硬币三次，求恰好出现两次正面的概率。

2. 已知随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，μ = 50，σ = 5，求P(45 < X < 55)。

高等数学B(1)练习题

第一章函数、极限与连续作业题一、计算下列函数极限1.220()lim h x h x h →+-2. 231lim (2sin )x x x x x→∞-++3. 322232lim 6x x x x x x →-++-- 4. 1x →5 3tan sin lim x x xx →- 6 0x →7 21lim 1x x →+∞⎛- ⎪⎝⎭8. 01lim 1cos x x →-9．()2sin 0lim 13xx x →+10.22x →11．()120lim e x xx x -→+ 12.()1lim 123nn nn →∞++13．21sinlim x x →+∞e 1lim e 1nn n →∞-+二、确定下列极限中含有的参数1.2212lim22x ax x bx x →-+=-+-2．(lim 1x x →-∞=三、解答题1.探讨函数,0()(0,0,1,1)0,0x xa b x f x a b a b x x ⎧-≠⎪=>>≠≠⎨⎪=⎩在0x =处的连续性，若不连续，指出该间断点的类型.练习题一、单项选择题1.以下结论正确的是 .A. lim 0n n y A ε→∞=⇔∀>，在(,)A A εε-+之外只有{}n y 的有限项B. 设n a y b <<，且lim nn y A →∞=，则有a A b <<C. 收敛数列必有界D. 发散数列必无界 2.若函数()f x 在某点0x 极限存在，则 . A. ()f x 在点0x 的函数值必存在且等于该点极限值B. ()f x 在点0x 的函数值必存在,但不肯定等于该点极限值C. ()f x 在点0x 的函数值可以不存在D. 若()f x 在点0x 的函数值存在，必等于该点极限值 3.极限0limx xx→= . A. 1 B. 1- C. 0 D. 不存在 4.下列命题正确的是 .A. 无穷小量的倒数是无穷大量B. 无穷小量是肯定值很小很小的数C. 无穷小量是以零为极限的变量D. 无界变量肯定是无穷大量 5.下列变量在给定的改变过程中为无穷小量的是 .A. 1sin(0)x x→ B. 1e(0)xx →C. 2ln(1)(0)x x +→D. 21(1)1x x x -→-6.变量11sin xx.A. 是0x →时的无穷小B. 是0x →时的无穷大C. 有界但不是0x →时的无穷小D. 无界但不是0x →时的无穷大 7.0x =是1()sin f x x x=的 .A. 可去间断点B. 跳动间断点C. 无穷间断点D. 振荡间断点8.函数21,0(),012,12x x f x x x x x ⎧-<⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩.A. 在0,1x x ==处都间断B. 在0,1x x ==处都连续C. 在0x =处连续，1x =处间断D. 在0x =处间断，1x =处连续9.设函数2,0(),0x f x xk x ≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则k = . A. 4 B. 14 C. 2 D. 1210.方程sin 2x x +=有实根的区间为 .A. ,32π⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题1.0sin lim x x x →= ；sin lim x x x→∞= .2.0sin limsin x x x x x →-=+ ；sin lim sin x x xx x→∞-=+ . 3.21lim 1xx x x →∞-⎛⎫=⎪+⎝⎭； 10lim 12xx x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭ . 4.当0x →时，sin3x 是2x 的无穷小；2sin x x +是x 的无穷小；1cos sin x x -+是2x 的无穷小；23e1x x --是2arcsin x 的无穷小；1(1)1nx +-是xn的无穷小；32x x -是22x x -的无穷小. 5.已知0x →时，()12311ax +-与cos 1x -为等价无穷小，则常数a = .6.设2,0()sin ,0a bx x f x bxx x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩ 在0x =处连续，则常数,a b 应满意的关系为 . 7.()sin xf x x=的可去间断点为；221()32x f x x x -=-+的无穷间断点为 .8．函数21()23f x x x =--的连续区间是．三、计算题1.220e 1lim x x x →-2.0ln(12)lim sin x x x→-3.0x +→4.x →.5.lim x →+∞6. n7.0x → 8.220tan lim e 1x x x x x -→+-9.20sin cos 1lim sin 3x x x x x→+-- 10.()21ln(1)0lim cos x x x +→11．探讨函数11e ,0()ln(1),10x x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<≤⎩ 在0x =处的连续性.12.证明方程e 2x x -=在区间(0,2)内至少有一实根.其次章导数与微分作业题1.利用导数定义计算()ln()f x a x =+的导数(1)f '.2.探讨函数1arctan ,0()x x f x x⎧≠⎪=⎨在0x =处的连续性和可导性.求下列函数的导数（3-7小题） 3.21arctan 2ln ln 2y x x x =-+-，求'y4.2sin(21)e x y x -=⋅ ，求'y5.sin 3cos xy x=-，求'y6.1,0xy x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，求'y7设()f x 可导，计算函数(e )x y f x =+的导数d d y x.求下列函数的二阶导数（8-10小题）8. (ln y x =，求''y9 2e cos x y x =⋅，求''y10.设2(sin )y f x =，其中()f x 二阶可导，求22d d yx.11.已知arctan y x =d d yx12.求曲线35230y y x x ++-=在0x =处的切线方程.13 求由参数方程2ln(1)arctan x t y t t⎧=+⎨=-⎩，所确定的隐函数的二阶导数利用对数求导法求下列函数的导数d d yx.（14-15小题）14.sin x y x =，求'y 15.y ='y求下列函数的微分（16-19小题）16.2ln sin y x x x =+，求dy 17.21cot exy =，求dy18.42ln x y y =+，求dy 19.y x x y =，求dy练习题一、单项选择题 1.已知(3)2f '=，则0(3)(3)lim2h f h f h→--= .A ．2 B.2- C.1- D.1 2.()|2|f x x =-在点2x =处的导数是 .A.1B.0C.1-D.不存在 3.设()(1)(2)...()f x x x x x n =+++，则(0)f '= .A.(1)!n -B.nC.!nD.04.()f x 在0x x =处左导数0()f x -'和右导数0()f x +'存在且相等是()f x 在0x x =处可导的条件.A ．必要非充分 B.充分非必要 C ．充分必要 D. 既非充分又非必要 5.设函数()y y x =由方程3330x y axy +-=所确定，则d d yx= . A.22ay x y - B.22x y ay ax+- C.22ay x y ax -- D.22x ax y - 6.设22()f x y y +=，其中22()f x y +是可导函数，则d d yx= . A.22()f x y '+ B.22222()12()xf x y yf x y '+'-+C.222()()x y f x y '++ D.2222()12()f x y yf x y '+'-+ 7.由参数方程所确定的函数cos sin x a t y b t =⎧⎨=⎩的函数()y y x =的二阶导数22d d yx = .A.2csc bt a - B.32csc b t a -C.2csc b t a D.32csc b t a8.设()y y x =由参数方程2e 321sin 02x t t t y y π⎧=++⎪⎨-+=⎪⎩所确定，则0d d t yx == . A.0 B.12 C.1e sin 2x y D.23二、填空题1.设sin ,0(),0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩，则(0)f '= .2.设(0)0f =，(0)f '存在，则0()limx f x x→= . 3.设2,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则(0)f +'= ，(0)f -'= ，(0)f ' .4.设2111f x x x⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则()f x '= . 5.设2()y f x =，且()f x 可导，则d d yx= . 6.设()sin cos 22xf x x =+，则(100)()f π= .7.设(ln )y f x =，其中()f x ''存在，则22d d yx= .8.设g 是f 的反函数，且2(4)5,(4)3f f '==，则(5)g '= . 9.d ＝x，d ＝1d x x .10.由方程e 0x y xy ++=所确定的函数()y y x =的微分d y = .三、计算题1.求曲线sin y x =在3x π=处的切线方程和法线方程.2.(ln e x y =+，求'y3.)11y⎫=-⎪⎭，求'y4.a a xa x a y x a a =++，求'y5.cos (sin )x y x =，求'y6.设2()1n f x x x x =++++，计算()(0)n f .7. y =dyarctaney x=，求dy9. .求参数方程e sin cos tx t y t t⎧=⎨=+⎩所确定的函数()y y x =的微分d y .10. .证明：当||x 1x n≈+.第三章微分中值定理与导数的应用作业题一、证明题1. 证明：若()f x 在区间I 内可导，且()0f x '=，则()f x 在区间I 内是一个常数．2.证明方程510x x +-=只有一个正实根.3．证明恒等式arctan arccot 2x x π+=.4.证明：当02x π<<时，sin tan 2x x x +>.二、求下列函数的极限.1.30sin lim ;x x x x →-2.1lim 1ln x x x x x x →--+3.21lim(cos)x x x → 4.1lim (1);xx x →+∞+5.arctan 2lim ;1x x xπ→+∞- 6.2cos lim;2x xx ππ→-三、解答题1. 判定函数)2x (0 cos )(π≤≤+=x x x f 的单调性．2. 证明：当1>x 时，xx 132->．3. 求32 )52(x x y -=的极值点与极值．4. 求函数593)(23+--=x x x x f 在]4,2[-上的最大值与最小值．5. 求曲线31x y =的拐点和凹凸区间．6. 求下列曲线的渐近线(1) 12+-=x x y ； (2) xx y )1ln(+=7. 作函数23)1(22--=x x y 的图形．练习题一、证明题1. 已知函数()f x 在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且(1)0f =，证明在(0,1)内至少存在一点ξ使得()()tan f f ξξξ'=-.2．证明：当0a b <<时，ln b a b b ab a a--<<.3. 证明：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)(>'x f ，则)(x f 在],[b a 上严格单增．4. 设01 (21)0=++++n a a a n ，证明多项式n n x a x a a x f +++=...)(10在)1,0(内至少有一个零点．二、求下列函数的极限.1.0e 1lim sin x x x x →-- 2.30sin cos lim sin x x x x x→-3.2ln 2lim tan x x x ππ+→⎛⎫- ⎪⎝⎭ 4.2201lim cot x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭5.sin 0lim(cot )xx x → 6.210arcsin lim xx x x →⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题1.确定下列函数的单调区间.（1）82y x x=+ （2）23(1)y x x =-2.列表求曲线2ln(1)y x =+的拐点和凹凸区间.4.求函数()(1)e x f x x -=+的极值.5.求函数32()21f x x x x =-+-在[0,2]上的极值，最大值与最小值.6. 设324x y x+=，求：⑴ 函数的增减区间与其极值； ⑵ 函数图象的凹凸区间与其拐点； ⑶ 渐近线； ⑷ 做出其图形.第四章不定积分作业题一、求下列不定积分： (1) ⎰-dx xx )1(2； (2) ⎰++dx x x 1124；(3) dx xx e e x xx⎰--) 2(3； (4) dx xx ⎰sin cos 122；二、用第一换元法求下列不定积分(1) ⎰xdx x 54cos sin ； (2) )0( 22>-⎰a xa dx ；(3) dx x x x )1(arctan ⎰+； (4) )0( 22≠+⎰a xa dx；三、用其次换元法求下列不定积分 (1) dx x x x ln ln 1⎰+； (2) dx xx x x ln 12⎰++；(3) ⎰-24xx dx ． (4) )0( 22>+⎰a xa dx ．四、用分部积分计算下列不定积分(1) ⎰xdx x ln ； (2) ⎰dx e x x 2；(3) ⎰≠=)0( sin ab bxdx e I ax (4) ⎰dx xe x ．五、求下列不定积分（三角函数、有理式、无理式）(1) ⎰+--+dx x x x x x 223246)1(24； (2) ⎰+)1(24x x dx ；（3）dx xx ⎰ cos sin 32． (4)dx x x xx cos 3sin 2cos 2sin 3⎰++．(5) ⎰-+342)1()1(x x dx； (6) dx xx 14⎰+；练习题一、填空题1．设2()ln(1)d f x x x C =++⎰，则()f x = . 2.()d d f x ⎰= .3.设()F x 是()f x 的一个原函数，则()e e d x x f x --⎰＝ .二、单项选择题1．下列等式正确的是 .A ．()()d d f x x f x =⎰B ．()()d f x x f xC '=+⎰C ．()()d f x f x =⎰D ．()()dd d f x x f x C x =+⎰ 2. 曲线()y f x =在点(,())x f x 处的切线斜率为1x ，且过点2(,3)e ，则该曲线方程为 .A ．ln y x =B ．ln 1y x =+C ．211y x=-+ D ．ln 3y x =+3. 设()f x 的一个原函数是2e x -，则()d xf x x '=⎰ . A ．222e x x C --+ B ．222e xx --C ．22(21)e x x C ---+ D ．()()d xf x f x x +⎰三、求下列不定积分1. x2. ⎰xdx x 35sec tan3. dx x x x ⎰++)1(212224. x ⎰5. 23sin cos d x x x ⎰6. 3tan d x x ⎰7.x 8.9.2(1)d xx x -⎰10.d x ⎰11.x ⎰12. 2sin e d xx x ⎰13.x ⎰ 14.21(1)d x x x +⎰第五章定积分作业题一、求下列定积分1. 22sec (1tan )40d x x x π+⎰ 2.13-21(115)d x x +⎰3. 122(1)0d x x +⎰ 4.41x ⎰5.221x ⎰ 6.401cos 2d x x x π+⎰7.220sin d x x x π⎰ 8.1cos(ln )ed x x ⎰9.1ex ⎰ 10.2x ⎰二、解答题 1.把极限)221limn n n →∞++表示成定积分．2. 03(sin )lim(1)d e xxx t t tx →--⎰3. 设21,1()1,12x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，求20()d f x x ⎰与0()()d x x f x x ϕ=⎰.4.设()f x 在(,)-∞+∞上连续，且()(2)()0d xF x x t f t t =-⎰，证明：若()f x 单调不增，则()F x 单调不减．三、定积分的几何应用1.求抛物线243y x x =-+-与其在点()0,3-和()3,0处的切线所围成的图形的面积.2. 设有曲线y =过原点作其切线，求由此曲线、切线与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积.3. 计算底面是半径R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的全部截面都是等边三角形的立体体积.练习题一、填空题1.依据定积分的几何意义，20d x x =⎰ ，1x -=⎰ ， sin d x x ππ-=⎰ ．2. 设0sin d t x u u =⎰，0cos d t y u u =⎰，则d d y x = . 3．31d d d x x ⎰= .4．设e x x -为()f x 的一个原函数，则10()d xf x x '=⎰ ．5. 设()f x 是连续函数，且2-1()0d x f t t x =⎰，则(7)f = .二、单项选择题1. 定积分()d b a f x x ⎰ ．A ．与()f x 无关B ．与区间[],a b 无关C ．与()d b a f t t ⎰相等D ．是变量x 的函数2．设()f x 在[],a b 上连续，()()d x a x f t t φ=⎰，则． A ．()x φ是()f x 在[],a b 上的一个原函数B ．()f x 是()x φ在[],a b 上的一个原函数C ．()x φ是()f x 在[],a b 上唯一的一个原函数D ．()f x 是()x φ在[],a b 上唯一的一个原函数 3.arctan b d d d a x x x=⎰______． A ．arctan x B ．211x + C ．arctan arctan b a - D ．0 4．下列反常积分收敛的是．A ．+0e d x x ∞⎰B ．1ln e d x x x +∞⎰C ．1sin 1-1d x x⎰ D ．32+1d x x -∞⎰ 5．211-1d x x=⎰ ．A ．0B ．2C ．－2D ．发散三、计算题1．ln 0x ⎰ 2．)211d x x -⎰3．x ⎰ 4．20sin cos sin cos d x x x x xπ-++⎰5．已知sin ,01(),12x x f x x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩，求0()()d x F x f t t =⎰．四、求下列定积分与反常积分1．求1ln e e d x x x ⎰ 2．220cos x x x π⎰d3．1sin(ln )x x ⎰e d 4．244cos e d x x x ππ-⎰5.1x ⎰06．0d e ex x x +∞-+⎰7．322arctan (1)+0d x x x ∞+⎰ 8．+1x ∞⎰五、证明题1．设()f x 是连续函数，证明()()d d b ba a f x x f ab x x =+-⎰⎰六、计算题1．直线y x =将椭圆2236x y y +=分为两部分.设小块面积为A ，大块面积为B ，求A B的值.2．求由曲线1sin y x =+与直线0,0,y x x π===围成的曲边梯形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积．。

微积分习题集带参考答案(5)

微积分习题集带参考答案综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题（1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是．答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ．答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （） A ．)1(+x x B ．2xC ．)2(-x xD ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ．解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题（1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是．答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ．答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ．答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题（1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题（1）函数的单调增加区间是．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足．答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ．间断点答案：C（3）下列结论中（）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。

极限与导数练习题

极限与导数练习题一、极限问题1. 计算以下极限：a) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $b) $ \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x $c) $ \lim_{x \to 0} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x $d) $ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} $2. 当 $ x \to 0 $ 时，证明以下极限等式：a) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $b) $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} $c) $ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 $d) $ \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{x}}}{e} = 1 $二、导数问题1. 求以下函数的导数：a) $ f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1 $b) $ g(x) = \sin x \cos x $c) $ h(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}} $d) $ k(x) = \ln (2x + 3) $2. 求以下函数在指定点处的导数：a) $ f(x) = x^3 - 2x^2 + x $，求 $ f'(2) $b) $ g(x) = \frac{1}{x} $，求 $ g'(1) $c) $ h(x) = \sqrt{x} $，求 $ h'(4) $d) $ k(x) = e^x $，求 $ k'(0) $三、综合练习1. 求函数 $ f(x) = \frac{x^3 - 4x}{2x^2 + 3} $ 的极值点。

微积分练习题

微积分练习题一、极限与连续(1) lim(x→0) (sin x / x)(2) lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)(3) lim(x→∞) (1 + 1/x)^x(1) f(x) = |x| 1，在x = 0处(2) f(x) = (x^2 1) / (x 1)，在x = 1处(3) f(x) = sqrt(x + 2) 2，在x = 1处二、导数与微分(1) f(x) = x^3 3x + 2(2) f(x) = e^x sin x(3) f(x) = ln(sqrt(1 + x^2))(1) f(x) = x^2 + 3x 5(2) f(x) = cos(2x)(3) f(x) = 1 / (1 x)三、高阶导数与微分方程(1) f(x) = x^4 2x^2 + 1(2) f(x) = e^x cos x(3) f(x) = ln(x^2 + 1)(1) y' = 2x + y(2) y'' 2y' + y = e^x(3) (1 + x^2) y'' + 2x y' = 0四、不定积分与定积分(1) ∫(x^2 + 1) dx(2) ∫(e^x x) dx(3) ∫(1 / (x^2 + 1)) dx(1) ∫_{0}^{1} (3x^2 2x + 1) dx(2) ∫_{π}^{π} (sin x) dx(3) ∫_{1}^{e} (1 / x) dx五、多元函数微分学(1) f(x, y) = x^2 + y^2(2) f(x, y) = e^(x + y) sin(x y)(3) f(x, y) = ln(x^2 + y^2)(1) f(x, y) = x^3 + y^3(2) f(x, y) = sin(x + y)(3) f(x, y) = sqrt(x^2 + y^2)六、重积分(1) ∬_D (x^2 + y^2) dxdy，其中D为圆心在原点，半径为1的圆(2) ∬_D (x y) dxdy，其中D为矩形区域0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 2(3) ∬_D (e^(x + y)) dxdy，其中D为三角形区域0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ x(1) ∭_E (x^2 + y^2 + z^2) dxdydz，其中E为立方体区域0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 1，0 ≤ z ≤ 1(2) ∭_E (xyz) dxdydz，其中E为长方体区域0 ≤ x ≤ 2，0 ≤ y ≤ 3，0 ≤ z ≤ 4七、级数(1) Σ (1/n^2)，n从1到∞(2) Σ (n/(n+1)^2)，n从1到∞(3) Σ ( (1)^n / n )，n从1到∞(1) Σ (x^n / n)，n从1到∞(2) Σ (n! x^n)，n从0到∞(3) Σ ( (n^2 + 1)^n x^n )，n从0到∞八、微分方程的应用(1) 物体在空气中自由下落，其速度v与时间t的关系，已知阻力与速度成正比。

第五讲：极限、连续、偏导数(24题)

0,
x2 y2 0
讨论 f (x , y) 在 (0 , 0) 点处的可微性
解只需验证
lim f (0 x,0 y) f (0,0) f x (0,0)x f y (0,0)y 0
x0 y0
(x)2 (y)2
f (x,0) f (0,0)
0
f
x
(0,0)

lim
x0
x
lim 0 x0 x
f y (0,0)
lim
y0
f (0,y) y
f (0,0)

0 lim x0 y

0
lim f (0 x,0 y) f (0,0) f x (0,0)x f y (0,0)y
lim
l
0

lim 2 cos2 2 cos2 lim 1
0

0
例11 求函数 u ln(x y2 z2 ) 在点(1,0,1) 处的最大方向导数
解在点(1,0,1) 处方向导数最大的方向
l u(1,0,1) {ux , uy , uz }(1,0,1)
h0
h
lim f ( x0 h, y0 ) f ( x0 , y0 ) ( f ( x0 h, y0 ) f ( x0 , y0 ))
h0
h
lim{ f ( x0 h, y0 ) f ( x0 , y0 ) f ( x0 h, y0 ) f ( x0 , y0 )}
(y
)2
]sin
(x
)2
1
(y)2
x0 y0
(x)2 (y)2

高等数学练习册及答案

高等数学练习册及答案### 高等数学练习册及答案#### 第一章：极限与连续练习题1：计算下列极限：1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$2. $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$3. $\lim_{x \to 1} (x^2 - 1)$答案：1. 根据洛必达法则，我们首先对分子分母同时求导，得到 $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$。

2. 由于 $\sin x$ 的周期为 $2\pi$，当 $x$ 趋向无穷大时，$\frac{\sin x}{x}$ 趋向于0。

3. 直接代入 $x = 1$，得到 $\lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = 0$。

练习题2：判断函数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ 在 $x =1$ 处是否连续。

答案：函数 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处的极限为2，但 $f(1)$ 未定义，因此 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处不连续。

#### 第二章：导数与微分练习题1：求下列函数的导数：1. $f(x) = x^3 - 2x$2. $g(x) = \sin x + e^x$答案：1. $f'(x) = 3x^2 - 2$2. $g'(x) = \cos x + e^x$练习题2：利用导数求函数 $h(x) = x^2$ 在 $x = 2$ 处的切线方程。

答案：首先求 $h'(x) = 2x$，然后计算 $h'(2) = 4$，切点坐标为$(2, 4)$。

切线方程为 $y - 4 = 4(x - 2)$，简化得 $y = 4x - 4$。

#### 第三章：积分学练习题1：计算下列不定积分：1. $\int x^2 dx$2. $\int \frac{1}{x} dx$答案：1. $\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$2. $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$练习题2：计算定积分 $\int_{0}^{1} x^2 dx$。

高等数学》第七版课后练习题

第一章、函数、极限与连续1、已知函数2,02()2,24x f x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩，试求函数g()(2)(5)x f x f x =+-的定义域。

2、设函数()y f x =的定义域是[]0,8，试求3()f x 的定义域。

3、已知函数[]()12f x 的定义域，，试求下列函数的定义域。

4、要使下列式子有意义，函数()f x 应满足什么条件5、求下列函数的定义域。

6、在下列各对函数中，哪对函数是相同的函数。

7、设函数()2,()55x f x g x x ==+，求1(1),(),(()),(())f x g f g x g f x x x+-的表达式。

8、设2()23,()45f x x g x x =+=-，求(()),(()),(())f g x g f x f f x 的表达式。

9、设2211(),()f x x f x x x +=+求。

10、设(1)(1),()f x x x f x -=-求。

11、下列函数中，那哪些是奇函数，哪些是偶函数哪些是非奇非偶函数。

12、判断下列函数的奇偶性。

13、求下列函数的周期。

14、下列函数能够复合成一个函数。

15、函数13ln sin y y x==，由哪些较简单的函数复合而成。

16、设()1x f x e =+，函数2(2)()1x x x φ+=+，求1(())f x φ-。

17、下列函数的极限。

18、求下列函数的极限。

19、求下列函数的极限。

20、求下列极限。

21、求下列函数的极限。

22、求下列函数的极限23、求下列函数的极限。

21,0(1)()1,0x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩设，求10lim (),lim ()x x f x f x →→ 2,2(2)()2,22,2x x f x x x x -≤⎧⎪==⎨⎪->⎩设，求20lim (),lim ()x x f x f x →→ 232,0(3)()21,013(1),1x x f x x x x x -<⎧⎪=+≤<⎨⎪+-≥⎩设，求012lim (),lim (),lim ()x x x f x f x f x →→→ 24、当0x →时，证明：1133(1)sin x x x +→x →25、下列函数在指定点是否连续为什么20(1)()1,0f x x x =+=在点。

高数期末练习题推荐

高数期末练习题推荐一、极限与连续1. 计算下列极限：(1) lim(x→0) (sinx/x)(2) lim(x→1) (1 cosx)/x^2(3) lim(x→+∞) (1 + 1/x)^x2. 判断下列函数在指定点的连续性：(1) f(x) = |x| 1，在x = 1处(2) f(x) = (x^2 1)/(x 1)，在x = 1处(3) f(x) = sqrt(1 x^2)，在x = 0处3. 讨论函数f(x) = (x^2 1)/(x 1)的连续性。

二、导数与微分1. 求下列函数的导数：(1) y = x^3 3x + 2(2) y = ln(x^2 + 1)(3) y = e^x sinx2. 求下列函数的微分：(1) y = sqrt(1 + x^2)(2) y = arctan(x)(3) y = x^2 e^x3. 求曲线y = x^3 3x在点(2, 2)处的切线方程。

三、积分与不定积分1. 计算下列不定积分：(2) ∫(e^x sinx)dx(3) ∫(1/x)dx2. 计算下列定积分：(1) ∫(从0到π) sinx dx(2) ∫(从1到e) (1/x) dx(3) ∫(从0到1) x e^x dx3. 求曲线y = x^2在x轴上方的面积。

四、级数1. 判断下列级数的收敛性：(1) Σ(从n=1到∞) 1/n(2) Σ(从n=1到∞) (1)^n / n(3) Σ(从n=1到∞) n / (n^2 + 1)2. 求幂级数Σ(从n=0到∞) x^n的收敛区间。

五、多元函数微分法1. 求函数z = x^2 + y^2在点(1, 2)处的偏导数。

2. 求函数z = e^(x^2 + y^2)在点(0, 0)处的全微分。

3. 求函数z = ln(x + y)在点(1, 1)处的梯度。

六、向量与空间解析几何1. 计算向量a = (2, 1, 1)与向量b = (1, 1, 2)的模和夹角。

2023年大学_高等应用数学试题及答案

2023年高等应用数学试题及答案高等应用数学试题第一章函数1.1函数的概念习题1.11.2初等函数习题1.21.3分段函数习题1.31.4常用的经济函数习题1.4复习题一第二章极限与连续2.1数列极限习题2.12.2函数极限习题2.22.3无穷小与无穷大习题2.32.4极限的四则运算习题2.42.5两个重要极限习题2.52.6函数的连续性习题2.6复习题二第三章导数与微分3.1导数的概念习题3.13.2导数的基本公式和基本运算法则习题3.23.3复合函数的导数习题3.33.4反函数的.层数和隐函数的层数习题3.43.5高阶层数习题3.53.6微分习题3.6复习题三第四章导数的应用4.1中值定理习题4.14.2罗必塔法则习题4.24.3函数单调性习题4.34.4函数的极值与最值习题4.44.5函数图形的描绘习题4.54.6导数在经济工作中的应用习题4.6复习题四第五章不定积分第六章定积分第七章多元函数微积分第八章矩阵附录一习题参考答案附录二简易积分表高等应用数学内容简介《高等应用数学》是教育部高职高专规划教材，是以教育部高职高专应用数学课程的基本要求为依据，吸收国外先进职业教育思想编写的，分上、下两册。

本书为下册本书，本书共分为八章。

主要内容包括：函数;极限与连续;导数与微分;导数的应用;不定积分;定积分;多元函数微积分;矩阵。

每节后附有相关习题，每章后附有复习题。

本书最大的特点是应用性较强，适用面较广，财经类、工程技术类、管理类人员都可用。

高等应用数学目录。