反比例函数与一次函数结合

合集下载

反比例函数和一次函数结合的题型

反比例函数和一次函数结合的题型
题目：
一条直线贯穿着反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 和一次函数
$y=mx+n$ 的图象，交点坐标为 $(2,3)$，求这两个函数的解析式。

解答：
设直线的解析式为 $y=ax+b$，则由于交点坐标为 $(2,3)$，所以有：
$$\begin{cases}3=2a+b \\ \dfrac{k}{2}=3a+b\end{cases}$$
解以上方程组可以得到 $a=-\dfrac{3}{4},b=\dfrac{15}{4}$。

因此，直线的解析式为 $y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{15}{4}$。

将其与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 和一次函数 $y=mx+n$ 分别相交可以得到：
$$\begin{cases}\dfrac{k}{2}=-\dfrac{3}{4}\cdot
2+\dfrac{15}{4}\\\dfrac{k}{4}=-\dfrac{3}{4}\cdot
4+\dfrac{15}{4}\end{cases}$$
解以上方程组得到 $k=12$，因此反比例函数的解析式为
$y=\dfrac{12}{x}$。

将直线与一次函数相交可以得到：
$$\begin{cases}n=3-\dfrac{3}{4}\cdot
2\\\dfrac{15}{4}=2m+n\end{cases}$$
解以上方程组得到 $m=\dfrac{13}{8},n=\dfrac{9}{4}$，因此一次函数的解析式为 $y=\dfrac{13}{8}x+\dfrac{9}{4}$。

一次函数与反比例函数综合应用教案

一次函数与反比例函数综合应用教案一、教学目标1. 让学生掌握一次函数和反比例函数的基本概念和性质。

2. 培养学生运用一次函数和反比例函数解决实际问题的能力。

3. 引导学生通过合作交流，提高解决问题的策略和思维能力。

二、教学内容1. 一次函数的基本概念和性质。

2. 反比例函数的基本概念和性质。

3. 一次函数和反比例函数的综合应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：一次函数和反比例函数的基本概念、性质和综合应用。

2. 教学难点：一次函数和反比例函数的综合应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究一次函数和反比例函数的性质。

2. 利用案例分析法，让学生通过实际问题体会一次函数和反比例函数的应用价值。

3. 采用合作交流法，培养学生团队协作和沟通能力。

五、教学过程1. 导入新课：通过生活实例引入一次函数和反比例函数的概念。

2. 自主学习：让学生自主探究一次函数和反比例函数的性质。

3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用一次函数和反比例函数解决问题。

4. 合作交流：分组讨论，让学生分享解题策略和心得。

5. 总结提升：总结一次函数和反比例函数的性质及应用，提高学生解决问题的能力。

6. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。

六、教学活动设计1. 活动一：引入概念通过展示实际生活中的线性关系图片，如直线轨道上列车的运动，引导学生思考线性关系的表现形式。

引导学生提出一次函数的表达式，并解释其含义。

2. 活动二：探索性质学生通过绘制一次函数图像，观察并总结其在坐标系中的性质。

通过实际例子，让学生理解一次函数的斜率和截距对图像的影响。

3. 活动三：反比例函数的引入引导学生从比例关系出发，思考反比例函数的概念。

通过实际问题，如在固定面积内，距离与面积的关系，引入反比例函数。

七、教学评价设计1. 评价目标：学生能理解并应用一次函数和反比例函数解决实际问题。

通过设计具有挑战性的问题，如购物预算问题，让学生应用所学的函数知识。

一次函数与反比例函数相结合

例1：如图，一次函数 y1 k1x 2 与反比例函数 y2 k2 x B(8, 2) 的图象交于点 A(4, m) 和，与y轴交于点C. （1） k1 = ，k = ；（2）根据函数图象可 2 y2 时，x的取值范围是知，当 y1 ＞；（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线OP与线段AD交于点E,当：S四边形ODAC : S△ODE =3：1时，求点P 的坐标.
3、直线y=﹣x﹣2与反比例函数y= 的图象交于A、B两点，且与x、y轴交于C、D两点，A点的坐标为（﹣3，k+4）．（1）求反比例函数的解析式（2）把直线AB绕着点M（﹣1，﹣1）顺时针旋转到MN，使直线MN⊥x轴，且与反比例函数的图象交于点N，求旋转角大小及线段MN的长．
4、已知一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2= 的图象相交于A、B两点，坐标分别为（﹣2，4）（4﹣2）．（1）求两个函数的解析式；（2）结合图象写出y1＜y2时，x的取值范围；（3）求△AOB的面积；（4）是否存在一点P，使以点 A﹑B﹑O﹑P为顶点的四边形为菱形？若存在，求出顶点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
A M
B
O
C
N
8．（2012年衡阳市）在一次远足活动中，某班学生分成两组，第一组由甲地匀速步行到乙地后原路返回，第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组同时出发，设步行的时间为t（h），两组离乙地的距离分别为S1（km）和S2(km)，图中的折线分别表示S1、S2 与t之间的函数关系.（1）甲、乙两地之间的距离为___，乙、丙两地之间的距离为____；（2）求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少？（3）求图中线段AB所表示的S2与t间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． S/km

一次函数和反比例函数的结合问题

一次函数和反比例函数的结合问题初中阶段，我们接触的函数总共有三类：一次函数、反比例函数和二次函数。

对于二次函数，它往往会和圆、四边形等知识点结合起来去考察学生的掌握情况，相对来说比较复杂。

但是一次函数和反比例函数，通常都是在这两种函数图象结合的基础之上进行知识点的考察和运用。

具体考察的方式如下：1、已知一次函数的解析式，求反比例函数的解析式例：如图，点A 是直线2y x =与曲线1m y x -=（m 为常数）一支的交点．过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，且OB =2．求点A 的坐标及m 的值．解：由题意，可知点A 的横坐标是2，由点A 在正比例函数2y x =的图象上，∴点A 的坐标为()24，.又点A 在反比例函数1m y x -=的图象上，142m -∴=，即9m =．由题目的已知条件，我们能够知道交点A 的和坐标，由于点A 既在一次函数的图象之上，又在反比例函数的图象之上，而一次函数的解析式是已知的，从而能够求出点A 的纵坐标，由于反比例函数中只有一个待定的系数，所以，我们只需要一个点的坐标就可以求出来，点A 的坐标已知，就已经具备求出反比例函数解析式的条件，用待定系数法就可以解决此类问题。

2、已知一次函数和反比例函数的两个交点坐标，求两个函数的解析式和三角形的面积例：已知：如图，直线b kx y +=与反比例函数)0(<=x xk y 的图象相交于点A 和点B ，与x 轴交于点C ，其中A 点的坐标为（－2，4），点B 的横坐标为－4.（1）试确定反比例函数的解析式；（2）求AOC ∆的面积。

解：（1）∵ 反比例函数x k y '=（x ＜0）的图象相交于点A （－2，4），∴ 8-=k ． ∴ 所求的反比例函数的解析式为 x y 8-=．（2）∵ 反比例函数xy 8-=（x ＜0）的图象相交于点B ，且点B 的横坐标为－4， ∴ 点B 的纵坐标为2，即点B 的坐标为)2,4(-．∵ 直线b kx y +=过点A )4,2(-、点B )2,4(-，∴ ⎩⎨⎧=+-=+-24,42b k b k 解得⎩⎨⎧==6,1b k ． ∴ b kx y +=的解析式为6+=x y ．此时，点C 的坐标为)0,6(-． ∴ △AOC 的面积为S =124621=⨯⨯ 在本题中，由于焦点坐标是已知的，所以，反比例函数和一次函数的解析式可以通过待定系数法求解出来，至于△AOC 的面积，一定要围绕面积公式底×高÷2找相关对应量。

反比例函数和一次函数结合常考题型(教学知识)

1、（本题满分10分）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至20℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．如图为在水温为20℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系。

（1）求饮水机接通电源到下一次开机的间隔时间。

（2）在（1）中的时间段内，要想喝到超过50℃的水，有多长时间？1.2、为了预防非典，某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分）成正比例，药物燃烧后y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为_______自变量x的取值范围_____________。

（2）燃烧后，y关于x的函数关系式为__________。

（3）当空气中每立方米的含药量低于1、6毫克时，学生方可入教室，那么从消毒开始，至少需____分钟后，学生才能回到教室。

（4）当空气中每立方米含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？3、近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO.在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4 mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46 mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降.如图11，根据题中相关信息回答下列问题：（1）求爆炸前后．．空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；（2）当空气中的CO浓度达到34 mg/L时，井下3 km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4 mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井?1. 如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数m的图象交于A(-2，1)、B(1，n)两点。

一次函数与反比例函数图象相交的一个结论及应用

一次函数与反比例函数图象相交的一个结论及应用当一次函数与反比例函数的图象相交时(如图1)，学生通过各种方法的探究与演练，可熟练地计算AOB S ∆.接下来，我们继续观察图象，不难发现，只要一次函数与反比例函数的图象有交点，无论这条直线怎么变化，AOC ∆和BOD ∆的面积大小看似相当，分不出大小.那么，AOC S ∆和BOD S ∆是否相等呢?一、探求结论我们要证明AOC BOD S S ∆∆=，只需证明AC BD =即可.如图2，过点A 作AE y ⊥轴于点E ，AH x ⊥轴于点H .过点B 作BG y ⊥轴于点G ，交AH 于点I ，BF x ⊥轴于点F ，连结,,AG BH GH .由反比例系数的几何意义，可知AHOEBGOF S S =矩形矩形， ∴AIGE BIHF S S =矩形矩形，∴AIG BIH S S ∆∆=，∴AHG BGH S S ∆∆=.又AHG ∆和BGH ∆同底GH ，∴//GH AB .∵//,//BH DH AH CG∴四边形ACGH 和四边形BGHD 均为平行四边形，∴AC GH BD ==.通过以上探究，我们得到以下结论:设直线l 与抛物线c 相交于,A B 两点，与x 轴和y 轴分别交于点D 和C (如图2)，则AC BD =.二、应用举例例1 (2019年长沙中考题)如图3，函数k y x=( k 为常数，0k >)的图象与过原点O 的直线相交于,A B 两点，点M 是第一象限内双曲线上的动点(点M 在点A 的左侧)，直线AM分别交x 轴，y 轴于,C D 两点，连结BM 分别交x 轴，y 轴于点,E F .现有以下四个结论:①ODM ∆与OCA ∆的面积相等;②若BM AM ⊥于点M ，则30MBA ∠=︒;③若M 点的横坐标为1，OAM ∆为等边三角形，则2k =+④若25MF MB =，则2MD MA =. 其中正确的结论的序号是 .(只填序号)本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积以及平行线分线段成比例定理等知识.其中，序号①在本题中相对较难判断，但利用本文所得结论，问题就迎刃而解了.例 2 如图4，反比例函数k y x=( 0k >)与矩形OABC 相交于D ,D G 两点，则AD CG BD BG=. 证明连结DG 交x 轴，y 轴于,E F 两点.∵//,//AB OE OA BC ，∴FADGBD GCE ∆∆∆， ∴AD FD BD GD =，CG GE BG GD=，又∵FD GE=，∴AD CG BD BG=.可见，利用本文得到的结论，我们可有效地解决反比例函数与一元函数或矩形相交的有关问题.。

反比例函数与一次函数结合

尚境导学专题：反比例函数与一次函数结合教学目标：1.学会将反比例函数与一次函数联立，来求交点坐标；2.用函数的观点来看方程、不等式；3.能规范书写解答过程。

教学重难点：用数形结合来理解函数观点看方程、不等式。

教学流程 [活动一］基础知识回顾： 1、反比例函数y =2k+1x的图象经过点（－2，3），则k 的值为2、直线y =2x −1和双曲线y =k x(k ≠0)交点的横坐标为x =−1，则k 的值为 3、已知直线y =kx(k <0)与双曲线y =−2x 交与A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则3x 1y 2−8x 2y 1=4、已知一次函数y 1=ax +b 与反比例函数y 2=kx (k ≠0)的图象交于A （－4，－2）、B （2，4）．若y 1>y 2，则x 的取值范围是[活动二］例题分析讲解：例：如图一次函数y 1=−x +2的图象与反比例函数y 2=kx (k ≠0)的图象相交于A 、B 两点，与x 轴相交于点C ，点B 的坐标为（m ，-21m ）（1）求反比例函数的表达式；（2）求△AOB 的面积；（3）直接写出①x ＜时，y 2的取值范围 ②y 1>y 2时，x 的取值范围 ③y 2>−2时，x 的取值范围变式思考：（4）点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)( x 2>x 1>0)是双曲线y 2=kx上的任意两点，s =y 1+y 22,t =−16x 1+x 2，则s t(填“>”“<”或“=”)［活动三］当堂检测：如图已知反比例函数y 1＝k1x 与一次函数y 2＝k 2x ＋b 的图象交于A （1，8），B （－4，m ）（1）求k 1、k 2、m 的值；（2）求△AOB 的面积；（3）直接写出当y 1<y 2时，x 的取值范围变式思考：（4）双曲线上是否存在一点P ，使得∠PAB ＝，若存在请求出P 点坐标；（5）在（4）的条件下，反比例函数y ＝k1x在第三象限的图象上有点D 到直线AP 的距离最小时，则D 点坐标为（6）双曲线上是否存在一点Q ，使得∠ABQ ＝，若存在请求出Q 点坐标.［活动四］自我测评：如图反比例函数y=kx的图象经过点A（－1，4），直线y＝－x＋（≠0）与双曲线交于P、Q两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点．（1）求k的值；（2）当b＝－2时，求△POQ的面积；（3）连接OQ，是否存在实数b，使得S△ODQ＝S△ODC，若存在求出b的值。

反比例函数与一次函数结合19题

反比例函数与一次函数综合题【典例剖析】题型一：面积问题1.（2017成都中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数x y 21=的图象与反比例函数xky =的图象交于()2,a A -，B 两点. （1）求反比例函数的表达式和点B 的坐标；（2）P 是第一象限内反比例函数图像上一点，过点P 作y 轴的平行线，交直线AB 于点C ，连接PO ，若POC ∆的面积为3，求点P 的坐标.2.（2016成都中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数y kx =的图象与反比例函数直线my x=的图象都经过点()2,2-A ．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA 向上平移3个单位长度后与y 轴相交于点B ，与反比例函数的图象在第四象限内的交点为C ，连接AB ，AC ，求点C 的坐标及ABC ∆的面积。

3.（2018武侯二诊）如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数xmy =的图象相交于()3,n A ，()2,3-B 两点，过A 作x AC ⊥轴于点C ，连接OA ．（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；（2）若直线AB 上有一点M ，连接MC ，且满足AOC AMC S S ∆∆=2，求点M 的坐标．题型二：不等式问题1. （2013成都）如图，一次函数11+=x y 的图象与反比例函数xky =2（k 为常数，且0≠k ）的图象都经过点()2,m A 。

（1）求点A 的坐标及反比例函数的表达式；（2）结合图象直接比较：当0＞x 时，1y 和2y 的大小。

2.(2017• 成华区模拟)如图,一次函数m x y +=的图象与反比例函数xky =的图象交于B A ,两点,且与x 轴交于点C ,点A 的坐标为()1,2.(1)求一次函数和反比例函数的解析式; (2)求点C 的坐标;(3)结合图象直接写出不等式xkm x ≤+＜0的解集.3.（2018高新一诊）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数xy 6=的图象相交于点()3,m A 、()n B ,6-，与x 轴交于点C ．（1）求一次函数b kx y +=的关系式；（2）结合图象，直接写出满足xb kx 6>+的x 的取值范围；（3）若点P 在x 轴上，且BOC ACP S S ∆∆=23，求点P 的坐标．题型三：一次函数与反比例函数交点个数问题1.2014成都）如图，一次函数5+=kx y （k 为常数，且0≠k ）的图象与反比例函数xy 8-=的函数交于()B b A ,,2-两点。

反比例函数和一次函数结合的题型

反比例函数和一次函数结合的题型反比例函数和一次函数是初中数学中很重要的两个函数类型，他们的结合也是我们在考试中常遇到的题型。

在这篇文章中，我们将会讨论反比例函数和一次函数结合的具体形式，以及如何在解题中应用。

一、反比例函数和一次函数的基本形式反比例函数 f(x) = k/x （其中 k 为常数，x ≠ 0）是一种特殊的函数类型，其特点是当自变量 x 增大时，函数值 f(x) 会跟着减小。

而一次函数 g(x) = ax+b（其中 a、b 为常数）则是一种常见的线性函数类型，其特点是当自变量 x 增大时，函数值f(x) 也会跟着增大。

当这两种函数结合在一起时，我们可以得到一个形如 h(x) =kx+b/x 的函数，这就是反比例函数和一次函数结合的基本形式。

二、如何解在解题时，我们需要根据所给函数求出它的解析式，然后根据具体的要求进行计算即可。

1. 求解反比例函数和一次函数结合的最值对于 h(x) = kx+b/x 这样的函数，当 x>0 时，函数递增，而 x<0 时，函数递减。

因此，我们可以利用一次函数的相关知识求出反比例函数和一次函数结合的最值。

例如：【例题】已知函数 f(x) = 3x+1/4x，求函数 f(x) 的最小值。

解题思路：由于 f(x) = 3x+1/4x = 12/4x+1/4x = 13/4x，所以对于 x>0，f(x) 递增；对于 x<0，f(x) 递减。

当 x > 0 时，x+1/x ≥ 2，所以f(x) = 13/4x ≥ 13/8。

当 x < 0 时，x+1/x ≤ -2，所以f(x) = 13/4x ≤ -13/8。

综上可得，函数 f(x) 的最小值为 -13/8，取到最小值时 x 取负数。

2. 求解反比例函数和一次函数结合的零点对于 h(x) = kx+b/x 这样的函数，我们可以使用反比例函数的相关知识来求出它的零点。

由于反比例函数的等式 kx = 1/ f(x) 中f(x) ≠0，因此 h(x) 也有零点，即当kx+b/x = 0 时，h(x) = 0。

一次函数与反比例函数综合应用教案

一次函数与反比例函数综合应用教案一、教学目标1. 让学生理解一次函数和反比例函数的定义及其性质。

2. 培养学生运用一次函数和反比例函数解决实际问题的能力。

3. 引导学生运用数形结合的方法，探究一次函数与反比例函数的综合应用。

二、教学内容1. 一次函数的定义及其性质。

2. 反比例函数的定义及其性质。

3. 一次函数与反比例函数的综合应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：一次函数和反比例函数的定义及其性质，一次函数与反比例函数的综合应用。

2. 教学难点：一次函数与反比例函数的综合应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究一次函数与反比例函数的综合应用。

2. 利用数形结合的方法，直观展示一次函数与反比例函数的关系。

3. 通过小组合作、讨论交流，培养学生的团队协作能力。

五、教学过程1. 导入：回顾一次函数和反比例函数的定义及其性质，引导学生思考一次函数与反比例函数之间的关系。

2. 新课：讲解一次函数与反比例函数的综合应用，举例说明实际问题中的运用。

3. 案例分析：分析具体案例，让学生运用一次函数与反比例函数解决实际问题。

4. 课堂练习：布置相关练习题，巩固所学知识。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调一次函数与反比例函数的综合应用。

6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学评价1. 评价目标：检查学生对一次函数与反比例函数综合应用的理解和掌握程度。

2. 评价方法：课堂问答：通过提问，了解学生对一次函数与反比例函数定义、性质的理解。

练习题：分析学生完成练习题的情况，评估其对知识的运用能力。

小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，评估其合作和交流能力。

七、教学资源1. 教学课件：制作包含一次函数与反比例函数图示、案例分析的课件，辅助教学。

2. 练习题库：准备一系列针对一次函数与反比例函数综合应用的练习题。

3. 案例素材：收集或设计一些实际问题，作为学生练习的素材。

八、教学拓展1. 延伸学习：介绍一次函数与反比例函数在高级数学中的应用，如微积分中的极限概念。

一次函数与反比例函数交点问题

一次函数与反比例函数交点问题
“一次函数与反比例函数交点问题”是微积分中常见的问题，也是解决各种应用问题的基础。

因此，对它的理解和掌握具有重要的意义。

一次函数通常表示为 y=ax+b，其中a为斜率，b为截距，x,y为变量；而反比例函数一般表示为 y=k/x，其中k 为一个常数，x和y为变量。

当一次函数与反比例函数在同一坐标系上同时存在时，它们之间必定存在一个交点。

这个交点可以通过对比两个函数的图像来求解，也可以通过利用微积分理论技巧来解决。

首先，设一次函数与反比例函数的方程分别为：
一次函数：y=ax+b
反比例函数：y=k/x
将两式相减，得：
ax+b-k/x=0
可以看出，由此得到的是一个二次方程式，其解的形式为：
x=(2bk±√D)/2a
其中D=4abk-b^2
若D<0，则没有实数根，即表明该一次函数与反比例函数没有交点；若D=0，则有一个实数根，即表明该一次函数与反比例函数只有一个交点；若D>0，则有两个实数根，即表明该一次函数与反比例函数有两个交点。

以上就是“一次函数与反比例函数交点问题”的详细说明。

如果要解决实际问题，应该先确定一次函数与反比例函数的方程，然后利用上述方法求解。

反比例函数与一次函数交点关系

反比例函数与一次函数交点关系
反比例函数与一次函数的交点关系取决于它们的具体形式和参数。

如
果反比例函数和一次函数都是直线，它们可能有一个，无限个或者没有交点。

如果反比例函数可以写为 $y = \frac{a}{x}$，一次函数可以写为
$y = mx + b$，则它们的交点满足以下方程：
$$\frac{a}{x} = mx + b$$。

通过移项，可以得到一个二次方程：
$$ax^2 + bx - am = 0$$。

如果这个二次方程有实数根，则反比例函数和一次函数相交于两个点，当且仅当它们在$x$轴两侧；如果这个二次方程没有实数根，则反比例函
数和一次函数不相交；如果这个二次方程有唯一实数根，则反比例函数和
一次函数相交于一个点，这个点就是它们的交点。

例如，反比例函数 $y=\frac{2}{x}$ 和一次函数 $y=3x-1$，它们的
交点满足方程：
$$\frac{2}{x} = 3x - 1$$。

通过移项，可以得到：
$$3x^2-x-2=0$$。

这是一个二次方程，求解得到两个根 $x=1$ 和 $x=-\frac{2}{3}$。

因为 $y=\frac{2}{x}$ 在 $x=1$ 和 $x=-\frac{2}{3}$ 这两个点处的函
数值相同，都是 $y=2$，而 $y=3x-1$ 在这两个点处的函数值不同，所以
反比例函数 $y=\frac{2}{x}$ 和一次函数 $y=3x-1$ 在 $x=1$ 和 $x=-\frac{2}{3}$ 处相交，它们有两个交点。

反比例函数与一次函数交点线段相等

05
交点线段相等的拓展研究
更一般的函数交点线段相等问题
01 对于任意两个函数，探讨其交点所构成的线段是否相等的问题。
02 研究交点线段相等条件下，函数的性质与特征。 03 探究不同类型的函数（如二次函数、三角函数等
）之间的交点线段相等问题。
与其他数学概念的关联
与方程组的解的关
系
交点即为两个函数对应的方程组的解，探讨交点线段相等与方程组解的性质之间数与一次函数的图象交于两点，这两点连线的中点恰好是两函数图象的另一个交点。这意味着两函数图象在这一点的切线斜率相等，具有特殊的对称性和美学价值。
02
反比例函数与一次函数的基本知识
反比例函数的定义和性质
反比例函数定义
形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常数，$k neq 0$）的函数称为反比例函数。
求解三角形面积
在三角形中，若已知两边长及其夹角，可利用交点线段相等性质，通过求解反比例函数与一次函数的交点，得到三角形的高，进而求得面积。
证明线段相等
在几何图形中，若需证明两条线段相等，可通过构造反比例函数和一次函数，利用交点线段相等的性质进行证明。
在实际问题中的应用
分配问题
在实际分配问题中，如资源分配、时间分配等，可利用反比例函数与一次函数交点线段相等的性质，找到最合理的分配方案。
反比例函数与一次函数交点线段相等
汇报人：XXX 2024-01-22
目录
• 引言 • 反比例函数与一次函数的基本知识 • 交点线段相等的证明方法 • 交点线段相等的应用举例 • 交点线段相等的拓展研究 • 结论与展望
01
引言
目的和背景
研究反比例函数与一次函数交点线段相等的性质

2020年中考数学二轮专项——反比例函数与一次函数结合(含答案)

2020年中考数学二轮专项——反比例函数与一次函数结合1. 如图，一次函数y ＝kx ＋3的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、D ，与反比例函数y ＝mx 的图象在第四象限相交于点P ，并且P A ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，已知B (0，－6)且S △DBP ＝27.(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)若反比例函数y ＝nx的图象与△ABP 总有公共点，直接写出n 的取值范围．第1题图2. (2019金牛区一诊)如图，正比例函数y ＝kx 与反例函数y ＝mx (x ＞0)的图象有一个交点A ，AB ⊥x 轴于点B ，平移正比例函数y ＝kx 的图象，使其经过点B (2，0)，得到直线l ，直线l 与y 轴交于点C (0，－3)．(1)求k 和m 的值；(2)点M 是直线OA 上一点，过点M 作MN ∥AB ，交反比例函数y ＝mx (x ＞0)的图象于点N ，若线段MN＝3，求点M 的坐标．第2题图3. (2019成都黑白卷)一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象分别交于点A (1，4)和点B (4，n )，与坐标轴分别交于点C 和点D.(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)若点P 是x 轴上一动点，当△ABP 为直角三角形时，求点P 的坐标．第3题图4. (2019武侯区一诊)如图，已知一次函数y ＝mx －4(m ≠0)的图象分别交x 轴，y 轴于A (－4，0)，B 两点，与反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象在第二象限的交点为C (－5，n )．(1)分别求一次函数和反比例函数的表达式；(2)点P 在该反比例函数的图象上，点Q 在x 轴上，且P ，Q 两点在直线AB 的同侧．若以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求满足条件的点P 和点Q 的坐标．第4题图5. (2019襄阳)如图，已知一次函数y 1＝kx ＋b 与反比例函数y 2＝mx 的图象在第一、第三象限分别交于A (3，4)，B (a ，－2)两点，直线AB 与y 轴，x 轴分别交于C , D 两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)比较大小：AD ____BC (填“>”或“<”或“＝”)； (3)直接写出y 1<y 2时x 的取值范围．第5题图6. (2019广元)如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与y 轴交于点B (0，7)，与反比例函数y ＝－8x 在第二象限内的图象相交于点A (－1，a )．(1)求直线AB 的解析式；(2)将直线AB 向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C 和点E ，与y 轴交于点D ，求△ACD 的面积；(3)设直线CD 的解析式为y ＝mx ＋n ，根据图象直接写出不等式mx ＋n ≤－8x的解集．第6题图7. (2019内江)如图，一次函数y ＝mx ＋n (m ≠0)的图象与反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象交于第二、四象限内的点A (a ，4)和点B (8，b )．过点A 作x 轴的垂线，垂足为点C ，△AOC 的面积为4.(1)分别求出a 和b 的值；(2)结合图象直接写出mx ＋n <kx的解集；(3)在x 轴上取点P ，使P A －PB 取得最大值时，求出点P 的坐标．第7题图8. (2019青羊区一诊)如图，在平面直角坐标系xOy 中，B (3，－1)是反比例函数y ＝kx 图象上的一点，过B 点的一次函数y ＝－x ＋b 与反比例函数交于另一点A.(1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求△AOB 面积；(3)在A 点左边的反比例函数图象上求点P ，使得S △POA ∶S △AOB ＝3∶2.第8题图参考答案1. 解：(1)∵一次函数y ＝kx ＋3的图象交y 轴于点D ， ∴OD ＝3， ∵B (0，－6)， ∴BD ＝3＋6＝9， ∵S △DBP ＝27， ∴BP ＝6，∴P 点的坐标是(6，－6)，把P (6，－6)代入y ＝kx ＋3得k ＝－32，∴一次函数的表达式是y ＝－32x ＋3，把P (6，－6)代入y ＝mx 得m ＝－36，∴反比例函数的表达式是y ＝－36x；(2)∵A (6，0)，B (0，－6)，P (6，－6)，反比例函数y ＝nx 的图象与△ABP 总有公共点，当反比例函数图象过P 点时，n ＝－36，∴n 的取值范围是－36≤n ＜0.第1题解图2. 解：(1)∵平移正比例函数y ＝kx 的图象，得到直线l ，直线l 与y 轴交于点C (0，－3)， ∴直线l 的解析式为y ＝kx －3， ∵点B (2，0)在直线l 上， ∴2k －3＝0，解得k ＝32，由题意知AB ＝OC ＝3，则点A (2，3)， ∴m ＝2×3＝6；(2)由(1)知直线OA 的解析式为y ＝32x ，反比例函数的解析式为y ＝6x，设点M (a ，32a )，则N (a ，6a )，∴MN ＝|32a －6a|＝3，解得a ＝1＋5或a ＝5－1(负值舍去)，则点M 的坐标为(1＋5，3＋352或(5－1，35－32)． 3. 解：(1)∵点A (1，4)在y ＝kx 的图象上，∴k ＝1×4＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x ，∵点B (4，n )在y ＝4x 的图象上，∴n ＝1，即A (1，4)，B (4，1)，把A 、B 两点坐标代入y ＝ax ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝44a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝5，∴一次函数的表达式为y ＝－x ＋5； (2)设P (x ，0)，①当∠ABP ＝90°时，AB 2＋BP 2＝AP 2，即(4－1)2＋(1－4)2＋(4－x )2＋12＝(x －1)2＋(－4)2，解得x ＝3， ∴P (3，0)；②当∠P AB ＝90°时，P A 2＋AB 2＝PB 2，即(x －1)2＋(－4)2 ＋(4－1)2＋(1－4)2＝(4－x )2＋12，解得x ＝－3， ∴P (－3，0)；③当∠APB ＝90°时，P A 2＋PB 2＝AB 2，即(x －1)2＋(－4)2＋(4－x )2＋12＝(4－1)2＋(1－4)2，化简得x 2－5x ＋8＝0， ∵b 2－4ac ＝－7<0，∴方程无解，故此时P 点不存在．综上所述，点P 的坐标为(3，0)或(－3，0)． 4. 解：(1)∵点A 在一次函数y ＝mx －4的图象上，∴－4m －4＝0， ∴m ＝－1.∴一次函数的解析式为y ＝－x －4. ∵点C (－5，n )在直线y ＝－x －4上， ∴n ＝－(－5)－4＝1， ∴C (－5，1)．∵点C (－5，1)在反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象上，∴k ＝－5×1＝－5.∴反比例函数的表达式为y ＝－5x；(2)由(1)知，C (－5，1)，直线AB 的解析式为y ＝－x －4， ∴B (0，－4)．设点Q (q ，0)，P (p ，－5p)，∵以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，且P ，Q 两点在直线AB 的同侧， ①当BP 与CQ 是对角线时， ∵BP 与CQ 互相平分， ∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＋02＝q －52－5p －42＝1＋02，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－1q ＝4，∴P (－1，5)，Q (4，0); ②当BQ 与CP 是对角线时， ∵BQ 与CP 互相平分， ∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＋02＝p －520－42＝－5p ＋12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1q ＝－4，∴P (1，－5)，Q (－4，0)，此时，点C ，Q ，B ，P 在同一条线上，不符合题意，舍去，即若以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，则点P (－1，5)，点Q (4，0)．5. 解：(1)∵点A (3，4)在反比例函数的图象上， ∴m ＝3×4＝12.∴反比例函数的解析式为y 2＝12x. ∴点B 的坐标为(－6，－2)．将点A (3，4)、B (－6，－2)代入一次函数中得，⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝4－6k ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝23b ＝2， ∴一次函数的解析式为y 1＝23x ＋2；(2)＝；【解法提示】当x ＝0时，y 1＝2.当y 1＝0时，x ＝－3.∴点C 的坐标为(0，2)，点D 的坐标为(－3，0)．∴AD ＝42＋（3＋3）2＝213，BC ＝62＋（2＋2）2＝213.∴AD ＝BC .(3)x ＜－6或0＜x ＜3.【解法提示】观察函数图象可知，当x ＜－6或0＜x ＜3时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，即y 1＜y 2.6. 解：(1)∵点A (－1，a )在反比例函数y ＝－8x 的图象上，∴a ＝－8－1＝8，∴A (－1，8)， ∵点B (0，7)，∴设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋7， ∵直线AB 过点A (－1，8)， ∴8＝－k ＋7，解得k ＝－1， ∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋7；(2)∵将直线AB 向下平移9个单位后得到直线CD 的解析式为y ＝－x －2， ∴D (0，－2)， ∴BD ＝7＋2＝9，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －2y ＝－8x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－4， ∴C (－4，2)，E (2，－4)，如解图，连接BC ，则△CBD 的面积＝12×9×4＝18，由平行线间的距离处处相等可得△ACD 与△CDB 面积相等， ∴△ACD 的面积为18； (3)∵C (－4，2)，E (2，－4)，∴不等式mx ＋n ≤－8x的解集是－4≤x ＜0或x ≥2.第6题解图7. 解：(1)由第二象限的点A (a ，4)及△AOC 的面积为4，易得a ＝－2. 又∵A (－2，4)在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴k ＝－8，∴反比例函数的解析式为y ＝－8x，又∵B (8，b )在反比例函数y ＝－8x 的图象上，∴b ＝－1；(2)－2＜x ＜0或x ＞8；(3)∵A (－2，4)关于x 轴对称的点A ′(－2，－4)，则直线A ′B 与x 轴交点即为所求P 点． ∵ B (8，－1)，设直线A ′B 的解析式为y ＝cx ＋d (c ≠0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＋d ＝－48c ＋d ＝－1，解得⎩⎨⎧c ＝310d ＝－175，∴直线A ′B 的解析式为y ＝310x －175，∴直线A ′B 与x 轴的交点为(343，0)，即点P 的坐标为(343，0)．8. 解：(1)∵一次函数y ＝－x ＋b 过B (3，－1)， ∴－3＋b ＝－1，b ＝2，∴一次函数的表达式为y ＝－x ＋2；∵B (3，－1)是反比函数y ＝kx 图象上的一点，∴k ＝3×(－1)＝－3，∴反比例函数的表达式为y ＝－3x ；(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3xy ＝－x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝3，∴A (－1，3)．如解图，设直线y ＝－x ＋2与y 轴交于点C ，则C (0，2)， ∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △COB ＝12×2×1＋12×2×3＝4；(3)如解图，连接P A ，过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点P 作PN ⊥x 轴于点N ，则S △AOM ＝S △PON ＝32.∵S △POA ＋S △PON ＝S 四边形AMNP ＋S △AOM ， ∴S △POA ＝S 四边形AMNP ， ∵S △POA ∶S △AOB ＝3∶2， ∴S △POA ＝32S △AOB ＝32×4＝6.设P (x ，－3x )，∵A (－1，3)，∴S 四边形AMNP ＝12(NP ＋AM )·MN ＝6，∴12(－3x ＋3)·(－1－x )＝6，解得x ＝－2± 5， ∵点P 在A 点左边， ∴x ＜－1， ∴x ＝－2－ 5，∴P (－2－ 5，3 5－6)．第8题解图。

反比例函数与一次函数结合

反比例函数和一次函数结合的题型

一次函数与反比例函数综合应用教案

一次函数与反比例函数相结合

一次函数和反比例函数的结合问题

反比例函数和一次函数结合常考题型(教学知识)

一次函数与反比例函数图象相交的一个结论及应用

反比例函数与一次函数结合

反比例函数与一次函数结合19题

反比例函数和一次函数结合的题型

一次函数与反比例函数综合应用教案

一次函数与反比例函数交点问题

反比例函数与一次函数 交点关系

反比例函数与一次函数交点线段相等

2020年中考数学二轮专项——反比例函数与一次函数结合(含答案)

反比例函数与一次函数交点关系