1-3概率的基本运算法则

数理统计
01-03-01
第三节 概率的 基本运算法则
数理统计
一、概率的加法公式 二、条件概率与概率乘法公式 三、事件的独立性
01-03-02
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数理统计
01-03-03
定理（狭义加法定理） 如果事件 A 与事件 B 互不相容，
即 AB=，则
P(A+B)=P(A)+P(B)
数理统计
01-03-04
推论1 若有限个事件 A1,A2,…,An 之间，
数理统计
01-03-18
定理 设 A1,A2,…,An 为 n 个随机事件，
则有
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) …P(An|A1A2…An-1)
数理统计
01-03-19
例 10个考签中有4个难签，3人参 加抽签（不放回），甲(A)先、乙(B) 次、丙(C)最后。求下列事件的概率： （1）甲抽到难签； （2）甲、乙都抽到难签； （3）甲没抽到难签，而乙抽到难签； （4）甲、乙、丙都抽到难签。
数理统计
01-03-09
例 袋中有4只黑球和1只白球，每 次从袋中任意取出一球，并换入一 只黑球。连续进行，问第三次取出 的是黑球的概率是多少？
数理统计
01-03-10
例 袋中装有 2 个红球，3 个白球， 4 个黑球，从中每次任取 1 球，并放
回，连续两次，求取得的两球中无 红或无黑的概率。
数理统计
数理统计
01-03-20
例 某小组共有 n 人，分得一张观 看奥运会的入场券。该小组用摸彩 的方式决定谁得入场券，他们依次 摸彩，求： （1）已知前 k1(kn) 个人都没有摸 到，第 k 个人摸到的概率； （2）第 k 个人摸到的概率。
数理统计
01-03-21
例（不放回摸球）设一口袋中有 2个
P(B|A)=P(AB)/P(A) (P(A)>0)
数理统计
01-03-15
课 堂 讨 论 题 （ 1973 年 美 国 中 学 生 数 学竞赛试题）
有两张卡片，一张两面都是红
色，另一张一面是红色，另一面是 蓝色。现任选一张的任一面放在桌 上，若该卡片上面是红色，现问下 面也是红色概率是多少？
(A)1/4 (B)1/3 (C)1/2 (D)2/3 (E)3/4
两个事件独立总是相互的。
数理统计
01-03-24
定理 两个事件 A,B 独立的充要条件
是它们的积事件的概率等于其各自 概率的积。即
P(AB)=P(A)P(B)
数理统计
01-03-25
例（抽样检验）抽样检验中，一般 都用不放回的抽样方式，当产品的 量非常大时，第一次的抽样结果对 第二次抽样影响很微小，此时，就 可把这两次抽样看作是相互独立的。
数理统计
01-03-16
概率乘法公式 两个事件积事件的概率等于一
个事件的概率乘以这个事件发生的 条件下另一事件的条件概率，这就 是概率乘法公式。即
P(AB)=P(A)×P(B|A) (当P(A)>0时) P(AB)=P(B)×P(A|B) (当P(B)>0时)
数理统计
01-03-17
EXAMPLE In a large genetics study utilizing guinea pigs, 30% of the offspring produced had white fur and 40% had pink eyes. Tow-thirds of the guinea pigs with white fur had pink eyes. What is the probability of a randomly selected offspring having both white fur and pink eyes?
3
5
合计
6
10 16
如果已知取到的是蓝色球，现
问：该球是玻璃球的概率是多少？ 即要求 P(B|A)=？
数理统计
01-03-13
条件概率(conditional probability) 在事件 A 发生的条件下事件 B
发生的概率称为条件概率，记作
P(B|A)。
数理统计
01-03-14
定理
在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率等于事件 A 与事 件 B 同时发生的概率与事件 A 发生 的概率之比，即
红球，3 个白球。从中每次任取 1个
（不放回），连取二次，求第一次
取得红球，第二次取得白球的概率。
数理统计
01-03-22
例（有放回摸球）设一口袋中有 2个
红球，3 个白球。第一次取出一球，
取后放回；第二次再取一球，求第
一次取得红球，第二次取得白球的
概率。
数理统计
01-03-23
事件的独立性
若事件 A 发生与否不影响事件 B 的发生，即 P(B|A)=P(B)，则称事 件 B 独立(independent)于事件 A。
两两互不相容，则
P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
数理统计
01-03-05
推论2 若有限个事件 A1,A2,…,An 之间，
两两互不相容，且 A1+A2+…+An=Ω， 则
P(A1)+P(A2)+…+P(An) =1
推论3 对立事件的概率满足
P(A) =1P( A )
数理统计
01-03-06
定理 设事件 A,B 满足条件 AB，则
P(AB)=P(A)P(B)
数理统计
01-03-07
定理（广义加法定理） 设 A,B 为任意两个事件，则
P(AB)=P(A)P(B)P(AB)
数理统计
01-03-08
例 设50支针剂中有3支不合格品， 今从中任意取4支，求其中不合格品 数不少于2支的概率。
01-03-11
例 袋中装有16个球，其中6个是玻 璃球，另外10个是木质球。而玻璃
球中，有2个是红色球，4个是蓝色 球；木质球中有3个是红色球，7个 是蓝色球。现从中任取一个，设
A={取到蓝色球}，B={取到玻璃球}。
数理统计
01-03-12
玻璃球 B 木质球 合计
蓝色球 A 4
7 11
红色球
2
数理统计
01-03-26
例 根据下表考察色盲与耳聋两种 病之间是否有联系。
色盲(B)
聋(A) 非聋( A) 合计 0.0004 0.0796 0.0800
非色盲(B) 0.0046 0.9154 0.9200
合计
0.0050 0.9950 1.0000
数理统计
01-03-27
定理
若事件 A 与事件 B 相互独立， 则事件 A 与 B 、A与 B 以及 A与 B 也相互独立。