1-3概率的基本运算法则

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统计学第3章-概率、概率分布与抽样分布

3－15
互斥事件及其概率
(例题分析)

解：由于每一枚硬币出现正面或出现反面的概率都是1/2，当抛掷的次数逐渐增大时，上面的4个简单事件中每一事件发生的相对频数 (概率)将近似等于 1/4 。因为仅当 H1T2 或 T1H2 发生时，才会恰好有一枚硬币朝上的事件发生，而事件 H1T2 或 T1H2 又为互斥事件，两个事件中一个事件发生或者另一个事件发生的概率便是 1/2(1/4+1/4) 。因此，抛掷两枚硬币，恰好有一枚出现正面的概率等于 H1T2 或 T1H2 发生的概率，也就是两种事件中每个事件发生的概率之和
解：设 A = 某住户订阅了日报 B = 某个订阅了日报的住户订阅了晚报
依题意有：P(A)=0.75；P(B|A)=0.50
P(AB)=P(A)·P(B|A)=0.75×0.5=0.375
3－31
独立事件与乘法公式
(例题分析)
【例】从一个装有3个红球2个白球的盒子里摸球 (摸出后球不放回)，求连续两次摸中红球的概率
3－17
互斥事件的加法规则
(例题分析)
【例】抛掷一颗骰子，并考察其结果。求出其点数为1点或2点或3点或4点或5点或6点的概率
解：掷一颗骰子出现的点数(1，2，3，4，5，6)共有
6个互斥事件，而且每个事件出现的概率都为1/6 根据互斥事件的加法规则，得
P(1或2或3或4或5或6) P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6) 1 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6

合计
从这200个配件中任取一个进行检查，求 (1) 取出的一个为正品的概率 (2) 取出的一个为供应商甲的配件的概率 (3) 取出一个为供应商甲的正品的概率 (4) 已知取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率

高中数学统计与概率知识点归纳

高中数学统计与概率知识点归纳高中数学中的统计与概率是两个非常重要的知识点，它们在日常生活和工作中也具有广泛的应用价值。

本文将对这些知识点进行归纳和总结，以便读者更好地理解和掌握。

首先，让我们来看看统计。

统计是研究如何从数据中获取有用信息的学科。

在高中数学中，统计的主要内容包括以下三个方面：1、概率分布：这是统计的基础知识，它描述了各种可能结果出现的概率。

例如，投掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.5，反面朝上的概率为0.5。

2、参数估计：参数估计是通过样本数据来估计总体参数的方法。

例如，通过样本的平均值来估计总体的平均值。

3、假设检验：假设检验是用来检验一个假设是否成立的统计学方法。

例如，我们想要检验某种新药的疗效是否优于安慰剂，可以通过比较实验组和对照组的数据来进行假设检验。

接下来，让我们来看看概率。

概率是描述事件发生可能性大小的数学工具。

在高中数学中，概率的主要内容包括以下三个方面：1、事件的关系和运算：事件的关系包括互斥、独立、不独立等，事件之间的运算包括并、交、差等。

2、概率的性质和计算：概率的性质包括加法定理、乘法定理、全概率公式等，概率的计算方法包括直接计算、利用公式计算等。

3、概率分布：概率分布描述了随机变量的取值概率，例如伯努利分布、二项分布、正态分布等。

在应用方面，统计与概率的知识点可以应用于很多领域，例如金融、医学、工业、农业等。

例如，在金融领域，可以通过统计方法来分析股票数据的规律和趋势；在医学领域，可以通过概率方法来预测疾病的发病率和死亡率。

总之，统计与概率是高中数学中非常重要的知识点，它们在日常生活和工作中也具有广泛的应用价值。

通过对这些知识点的归纳和总结，我们可以更好地理解和掌握它们，从而更好地应用于实际问题的解决中。

高中数学概率与统计知识点总结高中数学：概率与统计知识点总结一、前言在现实生活中，我们经常需要处理各种与概率和统计相关的问题。

例如，在掷骰子时计算点数、在班级中选取学生、或者在评估天气预报的准确性。

概率运算公式

概率运算公式
概率运算是描述事件发生可能性的一种方法，它是基于数学理论的。

在概率运算中，有许多基本的公式被广泛使用。

接下来，我们将介绍一些常用的概率运算公式。

1. 加法法则：对于两个不相交的事件A和B，它们的并集概率
等于它们各自的概率之和。

P(A∪B) = P(A) + P(B)
2. 乘法法则：对于两个独立事件A和B，它们的交集概率等于
它们各自的概率之积。

P(A∩B) = P(A) × P(B)
3. 全概率公式：对于一个事件A，如果它可以分解成一系列互
不相交的事件{B1, B2, ..., Bn}的并集，那么有：
P(A) = Σ P(Bi) × P(A|Bi)
其中，P(A|Bi)表示在Bi发生的条件下，事件A发生的概率。

4. 贝叶斯公式：对于一个事件A和一系列互不相交的事件{B1, B2, ..., Bn}，如果已知它们的先验概率P(Bi)和在各个条件下的条件概率P(A|Bi)，那么有：
P(Bi|A) = P(Bi) × P(A|Bi) / Σ P(Bj) × P(A|Bj) 其中，P(Bi|A)表示在事件A发生的条件下，事件Bi发生的概率。

以上是概率运算中常用的一些公式，它们在实际应用中非常重要，可以帮助我们更好地理解事件发生的可能性。

- 1 -。

概率论知识点

第一章随机事件及其概率§1.1 随机事件及其运算随机现象：概率论的基本概念之一。

是人们通常说的偶然现象。

其特点是,在相同的条件下重复观察时,可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,预先不能断言将出现哪种结果.例如,投掷一枚五分硬币,可能“国徽”向上,也可能“伍分”向上;从含有5件次品的一批产品中任意取出3件,取到次品的件数可能是0,1,2或3.随机试验：概率论的基本概念之一.指在科学研究或工程技术中,对随机现象在相同条件下的观察。

对随机现象的一次观察(包括试验、实验、测量和观测等),事先不能精确地断定其结果,而且在相同条件下可以重复进行,这种试验就称为随机试验。

样本空间: 概率论术语。

我们将随机试验E 的一切可能结果组成的集合称为E 的样本空间,记为Ω。

样本空间的元素,即E 的每一个结果,称为样本点。

随机事件：实际中,在进行随机试验时,人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件,简称事件.在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.特别,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.样本空间Ω包含所有的样本点,它是Ω自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件.空集Ø不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为不可能事件.互斥事件（互不相容事件）: 若事件A 与事件B 不可能同时发生，亦即ΦB A = ，则称事件A 与事件B 是互斥(或互不相容)事件。

互逆事件: 事件A 与事件B 满足条件ΦB A = ，Ω=B A ,则称A 与B 是互逆事件，也称A 与B 是对立事件,记作A B =（或B A =）。

互不相容完备事件组：若事件组n A A A ,,21满足条件ΦA A j i = ，（n 1,2j i, =），Ω== n 1i i A,则称事件组n A A A ,,21为互不相容完备事件组(或称n A A A ,,21为样本空间Ω的一个划分)。

考研数学概率论重要考点总结

考研数学概率论重要考点总结概率论是考研数学中的重要考点之一。

下面是概率论中的一些重要考点总结。

一、概率基本概念1. 随机试验与样本空间2. 事件与事件的关系3. 概率的定义、性质和运算法则4. 条件概率及其性质二、随机变量与概率分布1. 随机变量的概念及其分类2. 离散型随机变量与连续型随机变量3. 随机变量的分布函数和密度函数4. 两个随机变量的独立性5. 随机变量的函数及其分布三、数学期望与方差1. 数学期望的概念及其性质2. 数学期望的计算3. 方差的概念及其性质4. 方差的计算5. 协方差和相关系数四、大数定律与中心极限定理1. 大数定律的概念及其性质2. 切比雪夫不等式3. 中心极限定理的概念及其性质4. 泊松定理5. 极限定理的应用五、随机变量的常见分布1. 二项分布、泊松分布2. 均匀分布、指数分布3. 正态分布4. 伽马分布、贝塔分布5. t分布、F分布、卡方分布六、矩母函数与特征函数1. 矩母函数的概念及性质2. 矩母函数的计算3. 特征函数的概念及性质4. 特征函数的计算5. 中心极限定理的特征函数证明七、样本与抽样分布1. 随机样本的概念及其性质2. 样本统计量的概念及其性质3. 样本均值和样本方差4. 正态总体抽样分布5. t分布，x^2分布，F分布的定义及其应用八、参数估计与假设检验1. 点估计的概念及性质2. 极大似然估计3. 置信区间的概念及计算4. 参数假设检验的概念及流程5. 正态总体均值的假设检验九、回归与方差分析1. 回归分析的概念及方法2. 多元回归模型、回归模型的检验3. 方差分析的概念及方法4. 单因素方差分析、双因素方差分析以上是概率论中的一些重要考点总结。

在备考过程中，需要对这些知识点有一定的掌握，并进行大量的练习和习题训练，只有充分理解和掌握这些知识，并能运用到实际问题中，才能在考试中取得好成绩。

概率的基本性质课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

年最高水位 (单位：m)
[8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18)
概率
0.1
0.28
0.38
0.16
0.08
计算在同一时期内，这条河流这一处的年最高水位(单位：m)在下列范围内的概率：(1)[10,16)；
高中数学必修第二册 RJ·A
解记该河流这一处的年最高水位(单位：m)在[8,10)，[10,12)，[12,14)，[14,16)， [16,18)分别为事件A，B，C，D，E，且彼此互斥. P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.
高中数学必修第二册 RJ·A
反思感悟
运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤 (1)确定各事件彼此互斥. (2)求各事件分别发生的概率，再求其和. 注意：(1)是公式使用的前提条件，不符合这点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的.
高中数学必修第二册 RJ·A
跟踪训练
在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：
高中数学必修第二册 RJ·A
典例剖析
一、互斥事件概率公式的应用
例1 (1)抛掷一枚骰子，观察出现的点，设事件A为“出现1点”，
B为“出现2点”.已知P(A)＝P(B)＝1 ，求出现1点或2点的概率. 6
解设事件C为“出现1点或2点”，因为事件A，B是互斥事件，由 C＝A∪B 可得 P(C)＝P(A)＋P(B)＝16＋16＝13，所以出现 1 点或出现 2 点的概率是13.
高中数学必修第二册 RJ·A
(2)[8,12)；解 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.

概率论与数理统计考点

《概率论与数理统计》第一章随机事件与概率事件之间的关系：事件之间的运算：运算法则：交换律A ∪B=B ∪A A ∩B=B ∩A结合律(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C) (A ∩B)∩C=A ∩(B ∩C) 分配律(A ∪B)∩C=(AC)∪(BC) (A ∩B)∪C=(A ∪C)∩(B ∪C) 对偶律 A ∪B ‾‾ =A ‾∩B ‾ A ∩B ‾‾ =A ‾∪B ‾ 古典概型：概率公式：求逆公式 P(A ‾)=1- P(A)加法公式 P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A ∪B ∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 求差公式：P(A-B)=P(A)-P(AB); 当A ⊃B 时，有P(A-B)=P(A)-P(B)注意： A-B = A B ‾ = A-AB = (A ∪B)-B条件概率公式：P(A|B)=P(AB)P(B); (P(B)>0)P(A|B)表示事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率。

贝叶斯公式：P(A k |B)= P(B|A k )P(A k )P(B) = P(B|A k )P(A k )∑i=1nP(B|A i )P(A i )（由果溯因）概论的性质：事件的独立性：如果事件A 与事件B 满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A 与事件B 相互独立。

结论：1. 如果P(A)>0，则事件A 与B 独立⇔2. 事件A 与事件B 独立⇔事件A 与事件B ‾独立⇔事件A ‾与事件B 独立⇔事件A ‾与事件B ‾独立贝努里概型：指在相同条件下进行n 次试验；每次试验的结果有且仅有两种A 与A ‾；各次试验是相互独立；每次试验的结果发生的概率相同P(A)=p, P(A‾)=1-p 。

正数与负数的求解概率运算法则

正数与负数的求解概率运算法则在数学中，正数和负数是基本的数学概念。

正数代表大于零的数，而负数则代表小于零的数。

正数和负数的运算是数学中重要的一部分，而求解概率则是概率论中的基本操作。

本文将探讨正数与负数的求解概率运算法则，帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、正数的求解概率运算法则正数的求解概率运算包括其概率分布的计算和统计性质的分析。

以下是几个常见的正数求解概率运算法则：1. 正数的加法运算法则：对于两个正数a和b，它们的和可以通过将它们的数值相加来计算。

即 a + b = c，其中c为两个正数之和。

2. 正数的乘法运算法则：对于两个正数a和b，它们的乘积可以通过将它们的数值相乘来计算。

即 a * b = c，其中c为两个正数之积。

3. 正数的除法运算法则：对于两个正数a和b，它们的除法可以通过将a除以b来计算。

即 a / b = c，其中c为a除以b的商。

4. 正数的比较运算法则：对于两个正数a和b，可以通过比较它们的数值来判断它们的大小关系。

如果a大于b，则记作a > b；如果a小于b，则记作a < b。

二、负数的求解概率运算法则负数的求解概率运算同样包括其概率分布的计算和统计性质的分析。

以下是几个常见的负数求解概率运算法则：1. 负数的加法运算法则：对于两个负数a和b，它们的和可以通过将它们的数值相加来计算。

即 a + b = c，其中c为两个负数之和。

2. 负数的乘法运算法则：对于两个负数a和b，它们的乘积可以通过将它们的数值相乘来计算。

即 a * b = c，其中c为两个负数之积。

3. 负数的除法运算法则：对于两个负数a和b，它们的除法可以通过将a除以b来计算。

即 a / b = c，其中c为a除以b的商（若除数非零）。

4. 负数的比较运算法则：对于两个负数a和b，可以通过比较它们的数值来判断它们的大小关系。

如果a小于b，则记作a < b；如果a大于b，则记作a > b。

1.3概率的运算法则解读

定理3 (概率的乘法公式)
若P ( A) 0, 则P ( AB ) P ( A) P ( B A). 同样, 若P ( B ) 0, P ( AB ) P ( B ) P ( A B ).
从而有P( AB) P ( A) P( B A) P ( B) P( A B).
推论
若 P ( A1 A2 An1 ) 0, 则
P ( A B C ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( AB) PAC ) P ( BC ) P ( ABC )
推论若A、B、C为任意三事件，则
对任意的n个事件有 P ( A1 A2 An ) P ( Ai )
1 i j k n
e

e (1 1

k
) 1e

则
P ( A) 1 P ( A ) 1 P ( A0 ) 1 e

所得结果与上同。
这里所讲的两种解法较为典型。前者从事件的互斥分解开始，通常称为直接解法。其优点是较为直观，易于理解，缺点是计算较繁琐。后者是从对立事件出发，通常称为间接解法。其优点是应用了对立事件的概率计算公式，使计算过程大为简化，在具体解决实际问题中，应注意此方法的运用。
(2) 若已知选的一套住房是经济适用房，求它被困难户购买的概率。
解设A={任选一套住房被困难户购买}
3000 6 在已知B 发生的条件下，A的概率为 P( A B) 3500 7
(1) 由表可知，样本空间所含基本事件数为5000，有利于A的基本事件数为3200。 3200 16 所以 P ( A) 5000 25 (2) B={ 选出的一套住房为经济适用房}

概率论与数理统计总复习-

一. 二维离散型r.v.
概率统计-总复习-13
1. 联合分布律（2个性质）
P(Xxi,Yyj)pij,
2.联合分布函数（5个性质）
F ( x , y ) P X x , Y y
3.联合分布律与联合分布函数关系
F(x,y)pij, xixyjy
4. 边缘分布律与边缘分布函数
n
Xi

n
E( Xi )

i1 i1
D
n
Xi

n
D( Xi )
i1 i1
X1,,Xn 相互独立
常见离散r.v.的期望与方差
概率统计-总复习-27
分布概率分布
期望方差
参数p的 0-1分布
P (X 1 )p ,P (X 0) q
2. 联合分布函数（5个性质）
xy
F(x,y) p(u,v)dvdu
3.联合密度与联合分布函数关系 2F( x,y) p( x,y)
xy
4.边缘密度与边缘分布函数

p (x) p( x,y)dy p ( y) p( x,y)dx
X

Y

FX( x) F(x, ) FY ( y ) F(, y)

5.全概率公式：分解 P(B) P(Ai)P(B|Ai),B
i1
6.贝叶斯公式
P(Aj |B)
P(Aj )P(B| Aj )

,j
P(Ai )P(B|Ai )
i1
四. 概率模型
概率统计-总复习-6
1.古典概型：摸球、放球、随机取数、配对
2. n重伯努利概型：

数学规律知识点总结

数学规律知识点总结数学是一门抽象而严谨的学科，其规律性和逻辑性成为了人们认识事物和解决问题的有效工具。

数学规律涉及了数学的各个领域，包括代数、几何、数论、概率论等。

在数学规律的研究中，人们常常通过归纳、演绎、构造和证明等方法，总结出了大量的数学规律，这些规律对于解决数学问题、发现新的数学定理以及应用数学于科学工程技术等方面具有重要的意义。

在本文中，我们将对一些重要的数学规律进行总结和梳理，希望对读者能够有所帮助。

一、代数规律代数是数学的一个重要分支，其研究对象是数和数之间的关系。

代数规律是代数学中的一些重要定理和定律，包括了有理数、整数、小数、分数，乘法、除法和多项式等方面的规律。

下面我们就来总结一些代数规律，希望对读者有所启发。

1. 有理数的运算规律有理数是整数和分数的集合，其运算规律包括加法、减法、乘法、除法等。

其中加法和乘法满足交换律和结合律，而除法满足分配律。

有理数的运算规律对于解决实际生活中的问题和化简数学表达式有着重要的作用。

2. 整数的除法规律在整数的除法中，有两个重要的规律，首先是同除同乘法，即如果整数a能被b整除，那么a的整数倍也能被b整除；另一个是余数的限制法则，即在整数除法中，余数的范围总是在0到除数的绝对值之间。

3. 分数的加减乘除规律分数是有理数的一种特殊形式，其加减乘除的运算规律比较复杂。

在分数的加减运算中，首先要找到分母的最小公倍数，然后进行分子和分母的计算；在分数的乘法和除法运算中，需要进行分子和分母的乘法和除法操作。

4. 多项式的乘法规律多项式是一种数学表达式，其中包括了变量、常数和幂。

在多项式的乘法中，需要根据变量的规定进行幂次的运算，并利用分配律和合并同类项的规律进行合并。

二、几何规律几何是研究空间的形状、大小和位置的学科，其规律体现了空间结构和形式的一些特性。

几何规律包括了点、线、面、立体图形的性质及其运算关系等，下面我们来总结一些重要的几何规律。

1. 立体图形的表面积和体积计算规律在几何的研究中，立体图形的表面积和体积是一个重要的研究对象。

第3节概率的公理化定义及其性质

(3) 可列可加性：设A1 , A2 , 是两两互不相容事件，即对于 i j, Ai A j , i , j 1, 2, ,则有
P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) .
则称 P( A)为事件 A的概率. 目录前一页后一页退出
说：
概率的公理化定义
优点：刻画了概率的本质，适合任何随机现象
(2) P ( A B ) P ( A AB )
AB
P(A) P(AB) 1 P(A) P(AB)
1 0.5 0.2 0.3
目录前一页后一页退出
(3) P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB )
1 0.5 0.4 0.2 0.7
(4) P ( AB ) P ( A B ) 1 P ( A B )
P(BC ) P(AC ) P(ABC )
特例，当A, B,C两两互斥时，则有
P( A B C ) P( A) P(B) P(C )
目录前一页后一页退出
(2) 一般地，对任意 n个事件A1 , A2 , , An，有
P
n i1
Ai
n i1
P( Ai )
n i j
n
P ( Ai Aj ) P ( Ai Aj Ak )
缺点：
不易计算
目录前一页后一页退出
二、概率的性质及运算法则
我们用 P( A) 表示事件 A发生的概率，
事件发生的可能性最小是零，此时概率为0.
(1) P ( A) 0
(非负性)
事件发生的可能性最大是百分之百，此时
概率为1.
0 P(A) 1
(2) P() 1
(规范性)

概率运算的五个基本公式和例题

概率运算的五个基本公式和例题
x
一、基本公式
1. 概率的定义：设A是一个样本空间，B是A的一个事件，记作P(B)，则定义为P(B)为A发生B的可能性，范围在0≤P(B)≤1之间。

2. 乘法法则：若事件A、B满足条件“A和B互不相容”，则P （A∩B）＝P（A）×P（B）。

3. 求和法则：若事件A、B满足条件“A和B互不相容”，则P （A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）。

4. 链式法则：若事件A、B、C满足条件“A、B、C互不相容”，则P（A∩B∩C）＝P（A）×P（B|A）×P（C|A∩B）。

5. 贝叶斯法则：若事件A、B满足条件“A和B互不相容”，则P （A|B）＝P（A∩B）/P（B）。

二、例题
1. 已知抽取一个球，其中一个是黑色的，一个是白色的，求抽到黑色球的概率。

解：P（黑色）＝1/2，抽到黑色球的概率P（黑色）＝1/2。

2. 已知从一个六面骰子中投掷一次，求投掷出偶数的概率。

解：P（偶数）＝3/6，投掷出偶数的概率P（偶数）＝3/6。

3. 将1~5个数字的牌放在一个行列，给出每列里出现3的概率。

解：P（每列有3）＝5/120，每列出现3的概率P（每列有3）
＝5/120。

概率的基本运算法则

A
A,B是任意两个事件，则是任意两个事件，是任意两个事件
B
B− A
P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB ).
证明如图所示，事件 A U B 是互如图所示，不相容事件A与的并：不相容事件与B-A的并：的并
A
A U B = A + ( B − A),
P ( A U B ) = P ( A) + P ( B − A) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB )
推广至三个事件 (多除少补 )
பைடு நூலகம்
P ( A U B U C ) = P ( A) + P ( B ) + P ( C )
− P ( AB ) − P ( BC ) − P ( AC ) + P ( ABC )
C
B
A
总结
(1) P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB ).
当A,B互不相容，即P ( AB ) = 0, 互不相容，互不相容
P ( A U B ) = P ( A) + P ( B )
当B是A的对立事件，即 B = A, 的对立事件，是的对立事件
P ( A) + P ( A) = 1
我们利用软件包进行数值计算计算可得下述结果我们利用软件包进行数值计算计算可得下述结果: 计算可得下述结果
推论2 推论2
A ⊂ B, P ( A) ≤ P ( B ),
P ( B − A) = P ( B ) − P ( A).
B− A
B
证明: 如图所示，事件B是互不证明如图所示，事件是互不相容事件A与的并：相容事件与B-A的并：的并

《概率论与数理统计》1-123(频率与概率)

某一事件发生
它包含的一个样本点出现
三、事件间的关系及其运算
试验E S(样本空间) 事件A 必然事件 S 基本事件
不可能事件
A(子集) 样本点
1.事件的关系
① 包含、相等关系 A发生必然导致B发生
AB
称事件A包含于B或B包含A.
文氏图(Venn图)
A与B相等，记为A=B
例1: 产品有长度、直径、外观三个质量指标，
②(有﹏放﹏回﹏选﹏取﹏)从n个不同元素中有放回地抽取r个，依次排成一列，称为可重复排列，排列数记
例将三封信投入4个信箱，问在下列情形下各有几种投法？ ⑴ 每个信箱至多允许投入一封信。 ⑵ 每个信箱允许投入的信的数量不受限制。解：⑴ 无重复排列:
⑵ 可重复排列:
Ⅳ. 组合从n个元素中每次取出r个元素，构成一组，称为从n个元素里每次取出r个元素的组合。组合数为或几个常用性质：
两两互不相容。
证明由三公理中的可列可加性，令
则由性质1可得所以下式成立
如果
则
①
≤
②
，0≤
≤1
(加法公式) 推广：
P11
例1 (天气问题) 某人外出旅游两天，据天气预报知：第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1 试求下列事件的概率： (1) 第一天下雨，第二天不下雨; (2) 第一天不下雨，第二天下雨; (3) 至少有一天下雨; (4) 两天都不下雨; (5) 至少有一天不下雨
解：设A、B分别表示第一、二天下雨则 (1) (2) (3) (4) (5)
例2 (订报问题) 在某城市中，共发行三种报纸A，B，
C，订购A，B，C的用户占用分别为45%，35%，30%，

经济数学（第三版）-教案9.2概率的性质与运算法则（1）

P( A3 )
18 35
4 35
22 35
性质 4 不可能事件的概率为零，即 P() 0
性质 5 如果事件 A1, A2 , An 两两互不相容，即 Ai Aj (i j)，则
P(A1 A2 An ) P(A1) P(A2 ) P(An ) 性质 6 对任何事件 A，有 P(A) 1 P(A)
从而P( AB) P( A) P(B A) 0.0480
相应的课堂练习巩固所学知识
（2）由于 B B (A A)B AB AB，且 AB与AB 互不
相容，则根据加法公式有 P(B) P(AB) P(AB) ，再根据乘法公式有 P( AB) P( A) P(B A) 5 4 0.0020 100 99
P(A)称为无条件概率或原概率. 例 3 甲、乙两个工厂生产同类产品，结果如表所示
基础上掌握随机事件条件概率。
合格品数废品数合计
甲厂产品数 67
3
70
乙厂产品数 28
2
30
通过引例、思考、
合计
95
5
100
问：如果已知取到的产品是合格品，那么这件产品是甲厂产品的概率是多少呢？
图示等方法导出条件概率的定义及两种计算方法。
设计意图
解设事件 Ai 为抽取 3 个球中有 i 个白球（ i =1，2，3），帮助学生理解性
显然， A2 A3 ，
质，感知概率在我
因为 P(A2 P(
A3
)
C43 C73
4 35
，且 A2、A3
们身边。
互不相容，所求概率为
P( A2
A3 )
P( A2 )
P(A) 0.22， P(B) 0.2， P( AB) 0.1；由公式（6.4）

概率论主要内容概括1-3

21
概率密度函数的两个性质

连续型的概率非负性和概率完备性表现为（1）非负性：f(x) 0，(- <x< +)；
＝（2）归一性： f ( x)dx 1.

f(x)

f ( x )dx 1
0
x
22
分布函数F(x)性质F(x)=P(Xx), -<x<
(1) 0 F ( x) 1, 对一切x R成立 (2) F ( x)是x的不减函数, 即任给x1 , x2 R, x2 x1有 F ( x2 ) F ( x1 ) (3) F () lim F ( x) 0
通常求出随机变量的分布并不是一件容易的事, 而人们更关心的是用一些数字来表示随机变量的特点, 这些与随机变量有关的数字, 就是随机变量的数字特征. 最常用的数字特征为数学期望, 方差等。
26
期望
EX xk pk
k 1 n

EX

xf ( x)dx
(1)E(c)=c; (2)E(aX)=aE(X); (3)E(X+b)=EX+b;
有利于A的基本事件数 m P( A) 试验的基本事件总数 n
7
概率公理化定义

注意到概率古典定义和频率定义都具有非负性、正则性、可加性。 1933年,前苏联数学家柯尔莫哥洛夫通过规定概率应具备的基本性质给出一般性的公理化定义。定义:设试验E的样本空间为Ω,对于试验E 的每一个事件A ,即对于样本空间Ω的每一个子集A, 都赋予一个实数P(A),若P(A)满足下面3条公理：公理1:对任何事件A,有P(A)≥0。 (非负性) 公理2:对于必然事件Ω, P(Ω)= 1。(正则性) 公理3:对于任意可列个互斥事件A1,A2,…,An, …, 满足P(ΣAi)= ΣP(Ai)。(可列可加性) 则称实数P(A)为事件A的概率。

高中概率知识点总结

高中概率知识点总结高中概率知识点总结概率，又称或然率、机会率、机率（几率）或可能性，它是概率论的基本概念。

概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小。

以下是小编整理的高中概率知识点总结，希望能够帮助到大家！高中概率知识点总结篇1一．算法，概率和统计1．算法初步（约12课时）（1）算法的含义、程序框图①通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如，二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。

②通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。

在具体问题的解决过程中（如，三元一次方程组求解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。

（2）基本算法语句经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。

（3）通过阅读中国古代中的算法案例，体会中国古代对世界发展的贡献。

3．概率（约8课时）（1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。

（2）通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。

（3）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

（4）了解随机数的意义，能运用模拟（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义（参见例3）。

（5）通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。

2．统计（约16课时）（1）随机抽样①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。

②结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。

③在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。

④能通过试验、查阅、设计调查问卷等方法收集数据。

（2）用样本估计总体①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图（参见例1），体会他们各自的特点。

1-3概率的运算法则

221 . = 980
另解考虑到
A1 U A2 U A3 = A0
故 P ( A1 U A2 U A3 ) = P ( A0 ) = 1 − P ( A0 )
3 C 46 221 = 1− 3 = C 50 980
注该题的两种解法较为典型：该题的两种解法较为典型：前者是直接对待求事件进行互斥分解，前者是直接对待求事件进行互斥分解，但计算较繁琐；后者是从待求事件的对立事件出发，繁琐；后者是从待求事件的对立事件出发，利用了对立事件概率之和为1的性质简化了计算. 的性质，了对立事件概率之和为的性质，简化了计算.
推广设 A1 , A2 ,L, An 为 n 个事件 , n ≥ 2,
且 P ( A1 A2 L An−1 ) > 0, 则有
P( A A LA ) = P( A )P( A A )P( A A A )LP( A A A LA −1 ) 1 2 n 1 2 1 3 1 2 n 1 2 n
袋中有5个球其中3个红球个白球，个球，个红球2个白球例5 袋中有个球，其中个红球个白球，现从袋中不放回地连取两个，已知第一次取得红球，不放回地连取两个，已知第一次取得红球，求第二次取得白球的概率. 取得白球的概率. 表示第一取得红球，表示第二次取得白球表示第二次取得白球, 解设A表示第一取得红球，B表示第二次取得白球, 表示第一取得红球则求P(B | A) 则求方法一按定义因为第一次取走了一个红球,袋中只剩下个球,其中袋中只剩下4个球因为第一次取走了一个红球袋中只剩下个球其中有两个白球,再从中任取一个取得白球的概率为2/4, 有两个白球再从中任取一个,取得白球的概率为再从中任取一个取得白球的概率为

根据概率理论知识点归纳总结(精华版)

根据概率理论知识点归纳总结(精华版)1. 概率的定义和基本概念概率是指某个事件发生的可能性，通常用一个介于0和1之间的数值来表示。

概率的基本概念包括样本空间、事件、事件的概率和事件的互斥与独立关系。

2. 概率的常用计算方法常用的概率计算方法包括古典概型、几何概型和统计概率。

古典概型是指在样本空间中，每个元素出现的可能性相等；几何概型是指在几何空间中，通过几何图形计算概率；统计概率是指通过统计数据计算概率。

3. 概率的性质和运算法则概率具有加法法则、乘法法则和补法则等基本性质。

加法法则指若事件A和事件B互斥，则事件A或事件B发生的概率等于事件A的概率加上事件B的概率；乘法法则指若事件A和事件B相互独立，则事件A和事件B同时发生的概率等于事件A的概率乘以事件B的概率；补法则指事件A发生的概率加上事件A不发生的概率等于1。

4. 随机变量与概率分布随机变量是指在随机试验中可能取不同值的变量。

概率分布是随机变量取各个值的概率分布情况，包括离散型随机变量和连续型随机变量。

5. 常用的离散型随机变量分布常用的离散型随机变量分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等。

伯努利分布是指试验只有两个可能结果的情况下的分布；二项分布是指重复进行伯努利试验的情况下的分布；泊松分布是指在一段时间或一定空间内某个事件发生的次数的分布情况。

6. 常用的连续型随机变量分布常用的连续型随机变量分布包括均匀分布、正态分布和指数分布等。

均匀分布是指在某个区间内各个数值出现的可能性相等的分布；正态分布是统计学中常见的分布，具有钟形曲线特点；指数分布是指事件发生的间隔时间服从指数分布的情况。

以上为对概率理论相关知识点的归纳总结，可以作为概率理论学习的精华版。