【新教材】新人教A版必修一 对数与对数函数 作业
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷含答案解析(18)
人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 下面关于函数 f (x )=log 12x ，g (x )=(12)x和 ℎ(x )=x −12 在区间 (0,+∞) 上的说法正确的是( ) A ． f (x ) 的递减速度越来越慢，g (x ) 的递减速度越来越快，ℎ(x ) 的递减速度越来越慢 B ． f (x ) 的递减速度越来越快，g (x ) 的递减速度越来越慢，ℎ(x ) 的递减速度越来越快 C ． f (x ) 的递减速度越来越慢，g (x ) 的递减速度越来越慢，ℎ(x ) 的递减速度越来越慢 D ． f (x ) 的递减速度越来越快，g (x ) 的递减速度越来越快，ℎ(x ) 的递减速度越来越快2. 甲用 1000 元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票卖给乙，获利 10%，而后乙又将这手股票卖给甲，但乙损失了 10%，最后甲又按乙卖给甲的价格的九成将这手股票卖给了乙．在上述股票交易中 ( ) A ．甲刚好盈亏平衡 B ．甲盈利 9 元 C ．甲盈利 1 元D ．甲亏本 1.1 元3. 若 a =0.32，b =log 20.3，c =20.3，则 a ，b ，c 三者的大小关系是 ( ) A ． b <c <a B ． b <a <c C ． a <c <b D ． a <b <c4. 已知当 x ∈[0,1] 时，函数 y =(mx −1)2 的图象与 y =√x +m 的图象有且只有一个交点，则正实数 m 的取值范围是 ( ) A ． (0,1]∪[2√3,+∞) B ． (0,1]∪[3,+∞) C ． (0,√2]∪[2√3,+∞) D ． (0,√2]∪[3,+∞)5. 已知函数 f (x )={15x +1,x ≤1lnx,x >1，则方程 f (x )=kx 恰有两个不同的实根时，实数 k 的取值范围是 ( ) A ． (0,1e )B ． (0,15)C ． [15,1e )D ． [15,1e ]6. 若函数 f (x )=2x +a 2x −2a 的零点在区间 (0,1) 上，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (−∞,12)B ． (−∞,1)C ． (12,+∞)D ． (1,+∞)7. 已知定义在 R 上的函数 f (x )={x 2+2,x ∈[0,1)2−x 2,x ∈[−1,0)，且 f (x +2)=f (x )．若方程 f (x )−kx −2=0 有三个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是 ( )A ． (13,1)B ． (−13,−14)C ． (−1,−13)∪(13,1)D ． (−13,−14)∪(14,13)8. 定义域为 R 的偶函数 f (x )，满足对任意的 x ∈R 有 f (x +2)=f (x )，且当 x ∈[2,3] 时，f (x )=−2x 2+12x −18，若函数 y =f (x )−log a (∣x∣+1) 在 R 上至少有六个零点，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (0,√33) B ． (0,√77) C ． (√55,√33)D ． (0,13)9. 方程 log 3x +x =3 的解所在的区间是 ( ) A ． (0,1) B ． (1,2) C ． (2,3) D ． (3,+∞)10. 函数 f (x )=√1−x 2lg∣x∣的图象大致为 ( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（共6题）11. 已知函数 f (x )={√4−x 2,x ∈(−2,2]1−∣x −3∣,x ∈(2,4]，满足 f (x −3)=f (x +3)，若在区间 [−4,4] 内关于x 的方程 3f (x )=k (x −5) 恰有 4 个不同的实数解，则实数 k 的取值范围是 ．12. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2+(2m −1)x +m 2=0 有两个实数根 x 1 和 x 2，当 x 12−x 22=0时，m 的值为 ．13. 已知 A ={x∣ 3x <1}，B ={x∣ y =lg (x +1)}，则 A ∪B = ．14. 已知函数 f (x )={x 2+4x −1,x ≤02x −3−k,x >0，若方程 f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解，则实数 k 的取值范围是 ．15. 设函数 f (x )={−4x 2,x <0x 2−x,x ≥0，若 f (a )=−14，则 a = ，若方程 f (x )−b =0 有三个不同的实根，则实数 b 的取值范围是 ．16. 设函数 f (x )={e x ,x ≤0−x 2+x +14,x >0，则 f [f (0)]= ，若方程 f (x )=b 有且仅有 3 个不同的实数根，则实数 b 的取值范围是 ．三、解答题（共6题）17. 如图，直角边长为 2 cm 的等腰直角三角形 ABC ，以 2 cm/s 的速度沿直线向右运动．(1) 求该三角形与矩形 CDEF 重合部分面积 y （cm 2）与时间 t 的函数关系（设 0≤t ≤3）． (2) 求出 y 的最大值．（写出解题过程）18. 已知函数 f (x )=a x +k 的图象过点 (1,3)，它的反函数的图象过点 (2,0)．(1) 求函数 f (x ) 的解析式； (2) 求 f (x ) 的反函数．19. 已知函数 g (x )=log a x ，其中 a >1．（注：∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1=∣m (x 1)−m (x 0)∣+∣m (x 2)−m (x 1)∣+⋯+∣m (x n )−m (x n−1)∣） (1) 当 x ∈[0,1] 时，g (a x +2)>1 恒成立，求 a 的取值范围；(2) 设 m (x ) 是定义在 [s,t ] 上的函数，在 (s,t ) 内任取 n −1 个数 x 1，x 2，⋯，x n−2，x n−1，且 x 1<x 2<⋯<x n−2<x n−1，令 x 0=s ，x n =t ，如果存在一个常数 M >0，使得 ∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1≤M 恒成立，则称函数 m (x ) 在区间 [s,t ] 上具有性质 P ． 试判断函数 f (x )=∣g (x )∣ 在区间 [1a ,a 2] 上是否具有性质 P ？若具有性质 P ，请求出 M的最小值；若不具有性质 P ，请说明理由．20. 已知函数 g (x )=ax 2−2ax +1+b (a ≠0,b <1)，在区间 [2,3] 上有最大值 4，最小值 1，设f (x )=g (x )x．(1) 求常数 a ，b 的值；(2) 方程 f (∣2x −1∣)+k (2∣2x −1∣−3)=0 有三个不同的解，求实数 k 的取值范围．21. 已知函数 f (x )=x 2−3mx +n 的两个零点分别为 1 和 2．(1) 求实数 m ，n 的值；(2) 若不等式 f (x )−k >0 在 x ∈[0,5] 上恒成立，求实数 k 的取值范围．22. 已知函数 f (x )=(12)ax，a 为常数，且函数的图象过点 (−1,2)．(1) 求 a 的值；(2) 若 g (x )=4−x −2，且 g (x )=f (x )，求满足条件的 x 的值．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】观察函数f(x)=log12x，g(x)=(12)x和ℎ(x)=x−12在区间(0,+∞)上的图象（图略），由图可知：函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1,+∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢．同样，函数g(x)的图象在区间(0,+∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢．函数ℎ(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1,+∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质2. 【答案】C【解析】由题意知甲两次付出为1000元和(1000×1110×910)元，两次收入为(1000×1110)元和(1000×1110×910×910)元，因为1000×1110+1000×1110×910×910−1000−1000×1110×910=1，所以甲盈利1元．【知识点】函数模型的综合应用3. 【答案】B【解析】因为0<a=0.32<0.30=1，b=log20.3<log21=0，c=20.3>20=1，所以b<a<c．【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质4. 【答案】B【解析】应用排除法．当m=√2时，画出y=(√2x−1)2与y=√x+√2的图象，由图可知，两函数的图象在[0,1]上无交点，排除C，D；当m=3时，画出y=(3x−1)2与y=√x+3的图象，由图可知，两函数的图象在[0,1]上恰有一个交点．【知识点】函数的零点分布5. 【答案】C【解析】因为方程f(x)=kx恰有两个不同实数根，所以y=f(x)与y=kx有2个交点，又因为k表示直线y=kx的斜率，x>1时，y=f(x)=lnx，所以yʹ=1x；设切点为(x0,y0)，则k=1x0，所以切线方程为y−y0=1x0(x−x0)，又切线过原点，所以y0=1，x0=e，k=1e，如图所示：结合图象，可得实数k的取值范围是[15,1e )．【知识点】函数零点的概念与意义6. 【答案】C【解析】因为f(x)单调递增，所以f(0)f(1)=(1−2a)(2+a2−2a)<0，解得a>12．【知识点】零点的存在性定理7. 【答案】C【知识点】函数的零点分布8. 【答案】A【解析】当x∈[2,3]时，f(x)=−2x2+12x−18=−2(x−3)2，图象为开口向下，顶点为(3,0)的抛物线．因为函数y=f(x)−log a(∣x∣+1)在(0,+∞)上至少有三个零点，令g(x)=log a(∣x∣+1)，因为f(x)≤0，所以g(x)≤0，可得0<a<1．要使函数y=f(x)−log a(∣x∣+1)在(0,+∞)上至少有三个零点，如图要求g(2)>f(2)．log a(2+1)>f(2)=−2⇒log a3>−2，可得3<1a2⇒−√33<a<√33，a>0，所以 0<a <√33．【知识点】函数的零点分布9. 【答案】C【解析】把方程的解转化为函数 f (x )=log 3x +x −3 对应的零点．令 f (x )=log 3x +x −3，因为 f (2)=log 32−1<0，f (3)=1>0，所以 f (2)f (3)<0，且函数 f (x ) 在定义域内是增函数，所以函数 f (x ) 只有一个零点，且零点 x 0∈(2,3)，即方程 log 3x +x =3 的解所在的区间为 (2,3)． 故选C ．【知识点】零点的存在性定理10. 【答案】B【解析】（1）由 {1−x 2≥0,∣x ∣≠0且∣x ∣≠1, 得 −1<x <0 或 0<x <1，所以 f (x ) 的定义域为 (−1,0)∪(0,1)，关于原点对称．又 f (x )=f (−x )，所以函数 f (x ) 是偶函数，图象关于 y 轴对称，排除A ； 当 0<x <1 时，lg ∣x ∣<0，f (x )<0，排除C ；当 x >0 且 x →0 时，f (x )→0，排除D ，只有B 项符合． 【知识点】对数函数及其性质、函数图象、函数的奇偶性二、填空题（共6题） 11. 【答案】 (−2√217,−38)∪{0}【知识点】函数的零点分布12. 【答案】 14【解析】由题意得 Δ=(2m −1)2−4m 2=0，解得 m ≤14． 由根与系数的关系，得 x 1+x 2=−(2m −1)，x 1x 2=m 2．由 x 12−x 22=0，得 (x 1+x 2)(x 1−x 2)=0． 若 x 1+x 2=0，即 −(2m −1)=0，解得 m =12． 因为 12>14，可知 m =12 不合题意，舍去；若 x 1−x 2=0，即 x 1=x 2，由 Δ=0，得 m =14．故当 x 12−x 22=0 时，m =14．【知识点】函数零点的概念与意义13. 【答案】 R【解析】由 3x <1，解得 x <0，即 A =(−∞,0)． 由 x +1>0，解得 x >−1，即 B =(−1,+∞)． 所以 A ∪B =R ．【知识点】对数函数及其性质、交、并、补集运算14. 【答案】 (−2,−32]∪(−1,2)【解析】当 x ≤0 时，f (x )−k ∣x −1∣=x 2+4x −1−k (1−x )=x 2+(4+k )x −k −1， 当 0<x <1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (1−x )=(k +2)x −3−2k ，当 x ≥1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (x −1)=(2−k )x −3，设 g (x )=f (x )−k ∣x −1∣，则 g (x )={x 2+(4+k )x −k −1,x ≤0(k +2)x −3−2k,0<x <1(2−k )x −3,x ≥1，f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解等价于g (x ) 有且仅有 2 个零点， 若 g (x ) 一个零点位于 (0,1)，即 0<2k+3k+2<1⇒k ∈(−32,−1)，若 g (x ) 一个零点位于 [1,+∞)，即 {2−k >0,22−k≥1⇒k ∈[−1,2)，可知 g (x ) 在 (0,1)，[1,+∞) 内不可能同时存在零点，即当 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上有一个零点；当 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， ① 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点时，（1）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)=0 时，k =−2 或 k =−10， 此时 g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， 所以不满足 g (x ) 有两个零点；（2）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)>0，即 k <−10 或 k >−2 时， 只需 g (0)=−k −1<0，即 k >−1，所以当 k >−1 时，g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点， 因为 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上有一个零点， 所以 k ∈(−1,2) 时，g (x ) 有且仅有 2 个零点；② 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有两个零点时，只需 {Δ=(4+k )2+4(k +1)>0,−4+k 2<0,g (0)=−k −1≥0⇒k ∈(−2,−1]，因为 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， 所以 k ∈(−2,−32] 时，g (x ) 有且仅有 2 个零点， 综上所述：k ∈(−2,−32]∪(−1,2)．【知识点】函数的零点分布15. 【答案】 −14或 12； (−14,0)【解析】若 −4a 2=−14，解得 a =−14； 若 a 2−a =−14，解得 a =12，故 a =−14或12；当 x <0 时，f (x )<0；当 x >0 时，f (x )=(x −12)2−14，f (x ) 的最小值是 −14，若方程 f (x )−b =0 有三个不同的实根，则 b =f (x ) 有 3 个交点，故 b ∈(−14,0)．【知识点】函数的零点分布、分段函数16. 【答案】 14； (14,12)【解析】函数 f (x )={e x ,x ≤0−x 2+x +14,x >0，则 f [f (0)]=f (e 0)=f (1)=14．x ≤0 时，f (x )≤1；x >0，f (x )=−x 2+x +14，对称轴为 x =12，开口向下；函数的最大值为 f (12)=12，x →0 时，f (0)→14．方程 f (x )=b 有且仅有 3 个不同的实数根，则实数 b 的取值范围是 (14,12)．【知识点】函数的零点分布、分段函数三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 依题意：当 0≤t ≤1 时，重合部分为边长为 2t cm 的直角等腰三角形， 此时：y =12×2t ×2t =2t 2(cm 2)，当 1<t <2 时，重合部分为边长为 2 cm 的等腰直角三角形， 此时：y =12×2×2=2(cm 2)，当 2≤t ≤3 时，重合部分为边长为 2 的等腰直角三角形， 去掉一个边长为 (2t −4)cm 的等腰直角三角形， 此时：y =12×2×2−12×(2t −4)2=−2t 2+8t −6，综上：y ={2t 2,0≤t ≤12,1<t <2−2t 2+8t −6,2≤t ≤3．(2) 依题意：当 0≤t ≤1 时，重合部分为边长为 2t cm 的直角等腰三角形， 此时：y =12×2t ×2t =2t 2(cm 2)，当 1<t <2 时，重合部分为边长为 2 cm 的等腰直角三角形， 此时：y =12×2×2=2(cm 2)，当 2≤t ≤3 时，重合部分为边长为 2 的等腰直角三角形， 去掉一个边长为 (2t −4)cm 的等腰直角三角形， 此时：y =12×2×2−12×(2t −4)2=−2t 2+8t −6， 综上：y ={2t 2,0≤t ≤12,1<t <2−2t 2+8t −6,2≤t ≤3．当 0≤t ≤1 时，y max =2×12=2，当 1<t <2 时，y max =2，当 2≤t ≤3 时，对称轴 t 0=2，则 t =2 时，y max =2，综上：y max =2．【知识点】函数模型的综合应用、建立函数表达式模型18. 【答案】(1) f (x )=2x +1．(2) f −1(x )=log 2(x −1)(x >1)．【知识点】反函数、指数函数及其性质19. 【答案】(1) 当 x ∈[0,1] 时，g (a x +2)>1 恒成立，即 x ∈[0,1] 时，log a (a x +2)>1 恒成立，因为 a >1，所以 a x +2>a 恒成立，即 a −2<a x 在区间 [0,1] 上恒成立，所以 a −2<1，即 a <3，所以 1<a <3，即 a 的取值范围是 (1,3)．(2) 函数 f (x ) 在区间 [1a ,a 2] 上具有性质 P ．因为 f (x )=∣g (x )∣ 在 [1,a 2] 上单调递增，在 [1a ,1] 上单调递减，对于 (1a ,a 2) 内的任意一个取数方法 1a =x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n =a 2，当存在某一个整数 k ∈{1,2,3,⋯,n −1}，使得 x k =1 时，∑∣f (x i )−f (x i−1)∣n i=1=[f (x 0)−f (x 1)]+[f (x 1)−f (x 2)]+⋯+[f (x k−1)−f (x k )]+[f (x k+1)−f (x k )]+[f (x k+2)−f (x k+1)]+⋯+[f (x n )−f (x n−1)]=[f (1a )−f (1)]+[f (a 2)−f (1)]=1+2= 3. 当对于任意的 k ∈{1,2,3,…,n −1}，x k ≠1 时，则存在一个实数 k 使得 x k <1<x k+1 时，∑∣f (x i )−f (x i−1)∣n i=1=[f (x 0)−f (x 1)]+[f (x 1)−f (x 2)]+⋯+[f (x k−1)−f (x k )]+[f (x k+1)−f (x k )]+[f (x k+2)−f (x k+1)]+⋯+[f (x n )−f (x n−1)]=[f (x 0)−f (x k )]+∣f (x k )−f (x k+1)∣+f (x n )−f (x k+1). ⋯⋯(∗)当 f (x k )>f (x k+1) 时，(∗)式=f (x n )+f (x 0)−2f (x k+1)=3−2f (x k+1)<3，当 f (x k )<f (x k+1) 时，(∗)式=f (x n )+f (x 0)−2f (x k )=3−2f (x k )<3，当 f (x k )=f (x k+1) 时，(∗)式=f (x n )+f (x 0)−f (x k )−f (x k+1)=3−f (x k )−f (x k+1)<3，综上，对于 (1a ,a 2) 内的任意一个取数方法 1a =x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n =a 2，均有 ∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1≤3，所以存在常数 M ≥3，使 ∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1≤M 恒成立，所以函数 f (x ) 在区间 [1a ,a 2] 上具有性质 P ，此时 M 的最小值为 3．【知识点】函数的单调性、指数函数及其性质、函数的最大（小）值、对数函数及其性质20. 【答案】(1) 因为 a ≠0，所以 g (x ) 的对称轴为 x =1，所以 g (x ) 在 [2,3] 上是单调函数，所以 {g (2)=1,g (3)=4 或 {g (2)=4,g (3)=1,解得 a =1，b =0 或 a =−1，b =3（舍）． 所以 a =1，b =0．(2) f (x )=x 2−2x+1x =x +1x −2．令 ∣2x −1∣=t ，显然 t >0， 所以 t +1t −2+k (2t −3)=0 在 (0,1) 上有一解，在 [1,+∞) 上有一解．即 t 2−(2+3k )t +1+2k =0 的两根分别在 (0,1) 和 [1,+∞) 上．令 ℎ(t )=t 2−(2+3k )t +1+2k ，若 ℎ(1)=0，即 1−2−3k +1+2k =0，解得 k =0，则 ℎ(t )=t 2−2t +1=(t −1)2，与 ℎ(t ) 有两解矛盾．所以 {ℎ(0)>0,ℎ(1)<0,即 {1+2k >0,−k <0, 解得 k >0． 所以实数 k 的取值范围是 (0,+∞)．【知识点】函数的最大（小）值、函数的零点分布21. 【答案】(1) 由函数 f (x )=x 2−3mx +n 的两个零点分别为 1 和 2，可得 {1−3m +n =0,4−6m +n =0, 解得 {m =1,n =2.(2) 由（1）可得 f (x )=x 2−3x +2，由不等式 f (x )−k >0 在 x ∈[0,5] 上恒成立，可得不等式 f (x )>k 在 x ∈[0,5] 上恒成立，可将 f (x )=x 2−3x +2 化为 f (x )=(x −32)2−14，所以 f (x )=x 2−3x +2 在 x ∈[0,5] 上的最小值为 f (32)=−14，所以 k <−14．【知识点】函数的最大（小）值、函数的零点分布22. 【答案】(1) 由已知得 (12)−a=2，解得 a =1．(2) 由（1）知 f (x )=(12)x，又 g (x )=f (x )，所以 4−x −2=(12)x，即 (14)x −(12)x−2=0，即 [(12)x ]2−(12)x−2=0，令 (12)x=t (t >0)，则 t 2−t −2=0，所以 t =−1 或 t =2，又 t >0，所以 t =2，即 (12)x=2，解得 x =−1．【知识点】指数函数及其性质。
4.4.2 对数函数及其性质(第二课时)【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册限时作业含答
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！§4．4 对数函数及其性质（第二课时）限时作业一．选择题1．函数y =的定义域是（ ）A ．2,13æùçúèûB ．2,13éùêúëûC ．2,23éö÷êëøD ．2,3éö+¥÷êëø 2．若函数()y f x =是函数3x y =的反函数，则÷øöçèæ21f 的值为( )A ．2log 3-B ．3log 2-C ．19D 3．如图，若12,C C 分别为函数log a y x =和log b y x =的图象，则( )A ．01a b <<<B ．01b a <<<C ．1a b >> D ．1b a >>c 6．对于函数()21log 1x f x x +=-，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 是偶函数C ．()f x 是非奇非偶函数D ．()f x 既是奇函数又是偶函数7．已知函数()f x =133,1log ,1x x x x ì£ïí>ïî则函数()1y f x =-的大致图象是（ ）A ． B ．C ．D ．8．函数()20.5log 45y x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则m 的取值范围（ ）A ．4,33éùêúëûB ．4,23éùêúëûC ．4,23éö÷êëøD ．4,3éö+¥÷êëø二．填空题10．已知()log 31a y a =-恒为正，则a德取值范围．三．解答题11．若()log 3a y ax =+(0a >且1a ¹)在区间()1,-+¥上是增函数，则a 的取值范围．12．已知函数()lg f x x =．(1)画出函数()y f x =的草图,并根据草图求出满足()1f x >的x 的集合；(2)若()12,0,x x Î+¥,且()()12f x f x =,求证：121x x =．§4．4 对数函数及其性质（第二课时）限时作业【参考答案】一．选择题1．函数y =的定义域是（ ）A ．2,13æùçúèûB ．2,13éùêúëûC ．2,23éö÷êëøD ．2,3éö+¥÷êëø【答案】A 2．若函数()y f x =是函数3x y =的反函数，则÷øöçèæ21f 的值为( )A ．2log 3-B ．3log 2-C ．19D 【答案】B3．如图，若12,C C 分别为函数log a y x =和log b y x =的图象，则( )A ．01a b <<<B ．01b a <<<C ．1a b >> D ．1b a >>【答案】B 4．设0.5log 0.9a =， 1.1log 0.9b =，0.91.1c =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c<<C ．b c a << D ．a c b<<【答案】B【答案】B 6．对于函数()21log 1x f x x +=-，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 是偶函数C ．()f x 是非奇非偶函数D ．()f x 既是奇函数又是偶函数【答案】A 7．已知函数()f x =133,1log ,1x x x x ì£ïí>ïî则函数()1y f x =-的大致图象是（ ）A ． B ．C ．D ．【答案】D8．函数()20.5log 45y x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则m 的取值范围（ ）A ．4,33éùêúëûB ．4,23éùêúëûC ．4,23éö÷êëøD ．4,3éö+¥÷êëø【答案】C 二．填空题【答案】110．已知()log 31a y a =-恒为正，则a 德取值范围 ．【答案】()12,1,33æö+¥ç÷èøU 三．解答题11．若()log 3a y ax =+(0a >且1a ¹)在区间()1,-+¥上是增函数，则a 的取值范围．【答案】(1,3] 因为y ＝log a (ax ＋3)(a >0且a ≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数，所以{－a ＋3≥0，a >1，a >0且a ≠1，解得1<a ≤3．故a 的取值范围是(1,3]．12．已知函数()lg f x x =．(1)画出函数()y f x =的草图,并根据草图求出满足()1f x >的x 的集合；(2)若()12,0,x x Î+¥,且()()12f x f x =,求证：121x x =．【答案】(1)(0，)∪(10，＋∞)．(2)证明见解110(1)画出函数的草图,如图所示：令,则,可得或．故满足的x 的集合为．(2)证明：略()y f x =()1f x =lg 1,lg 1x x ==±10x =110x =()1f x >1(0,(10,)10È+¥。
高中数学《对数与对数运算》同步练习9 新人教A版必修1
2.2 对数函数2．2.1 对数与对数运算1．以下说法不正确的是( )A ．0和负数没有对数B ．对数值可以是任意实数C ．以a(a>0，a≠1)为底1的对数等于0D ．以3为底9的对数等于±22．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A ．e 0＝1与ln1＝0B ．8－13＝12与log 812＝－13C ．log 39＝2与912＝3 D ．log 77＝1与71＝73．有以下四个结论：①lg(lg10)＝0；②ln(lne)＝0；③若10＝lgx ，则x ＝100；④若e ＝lnx ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A ．①③ B．②④ C．①② D．③④4．计算：(1)lg1＋lg10＋lg100；(2)lg0.1＋lg0.01＋lg0.001.课堂巩固1．对数式x ＝ln2化为指数式是( )A ．xe ＝2B ．e x ＝2C ．x 2＝eD ．2x ＝e2．下列指数式与对数式互化不正确．．．的一组是( ) A ．100＝1与lg1＝0B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 24＝2与24＝2D ．log 55＝1与51＝53．若log a 7b ＝c ，则a ，b ，c 之间满足( )A ．b 7＝a cB ．b ＝a 7cC ．b ＝7a cD ．b ＝c 7a4．(2009河南六市第一次联考，文3)设f(x)＝1＋log 2x 1－x ，则f(15)＋f(45)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．给出以下三个命题：①对数的真数是非负数；②若a>0且a≠1，则log a 1＝0；③若a>0且a≠1，则log a a ＝1.其中正确命题的序号是__________．6．log 155＝a ，log 3b ＝2，则b －a ＝__________. 7．计算：log 2748＋log 212－12log 242.1．计算2log 525＋3log 264－8log 71的值为…( )A ．14B ．8C ．22D ．272．若log 2[log 12(log 2x)]＝log 3[log 13(log 3y)]＝log 5[log 15(log 5z)]＝0，则x 、y 、z 的大小关系是…( )A ．z<x<yB ．x<y<zC ．y<z<xD ．z<y<x3.2log a (M －2N)＝log a M ＋log a N ，则M N的值为… ( ) A.14B ．4C ．1D ．4或14．若函数f(x)(x>0)满足f(x y)＝f(x)－f(y)，f(9)＝8，则f(3)等于( ) A ．2 B ．－2C ．1D ．45．已知ab>0，下面四个等式中：①lg(ab)＝lga ＋lgb ；②lg a b ＝lga －lgb ；③12lg(a b )2＝lg a b ；④lg(ab)＝1log ab 10. 其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．36．已知x 2＋y 2－4x －2y ＋5＝0，则log x (y x )的值是( )A ．1B ．0C ．xD ．y7．已知lga ＝2.431 0，lgb ＝1.431 0，则b a等于… ( )A.110B.1100C ．10D ．1008．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m －n ＝__________.9．设a ，b 同号，且a 2＋2ab －3b 2＝0，则log 3(a 2＋ab ＋b 2)－log 3(a 2－ab ＋b 2)＝__________.10．(2008广东北江期末考试，5)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，log 4x ，x<1，x>1，求满足f(x)＝14的x 的值．11．求下列各式中的x 值：(1)log 8x ＝－23；(2)log x 27＝34；(3)x ＝log 128.12．(1)已知3a ＝2，用a 表示log 34－log 36；(2)已知log 32＝a,3b ＝5，用a 、b 表示log 330.答案与解析2.2 对数函数2．2.1 对数与对数运算第一课时课前预习1．D 2.C 3.C4．解：(1)原式＝0＋1＋2＝3.(2)原式＝－1－2－3＝－6.课堂巩固1．B 2.C3．B ∵log a 7b ＝c ，∴7b ＝a c ，b ＝a 7c .4．B f(15)＋f(45)＝1＋log 214＋1＋log 24＝2. 5．②③ ①对数的真数为正数，故①错；②∵a 0＝1，∴log a 1＝0，②对；③∵a 1＝a ，∴log a a ＝1，③对．6．10 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(15)a ＝5⇒a ＝－1b ＝32＝9⇒b －a ＝10. 7．解：原式＝12(log 27－log 248)＋log 23＋2log 22－12(log 27＋log 22＋log 23)＝12log 27－12log 23－12log 216＋log 23＋2－12log 27－12－12log 23＝－12. 课后检测1．C 原式＝2×2＋3×6－8×0＝22.2．A 由log 5[log 15(log 5z)]＝0， 可知log 15(log 5z)＝1，log 5z ＝15，可得z ＝515.同理可得x ＝212，y ＝313. ∵(212)10＝25＝32，(515)10＝52＝25， ∴(212)10>(515)10.∴x>z. 同理可得y>x.综上可知y>x>z.3．B 由题意，得M>0，N>0，M －2N>0.故M N>2，显然只有B 符合条件． 4．D ∵f(3)＝f(93)＝f(9)－f(3)， ∴f(3)＝12f(9)＝4. 5．B 若a<0，b<0，则①②不成立；若ab ＝1，则④不成立．6．B ∵(x－2)2＋(y －1)2＝0，∴x＝2，y ＝1，y x ＝1，log x (y x )＝log 21＝0.7．A 依据a x ＝N ⇔log a N ＝x(a>0且a≠1)，有a ＝102.431 0，b ＝101.431 0，∴b a ＝101.431 0102.431 0＝101.431 0－2.431 0＝10－1＝110. 8.43∵log a 2＝m ，log a 3＝n ， ∴a m ＝2，a n ＝3.∴a 2m －n ＝a 2m a n ＝(a m )2a n ＝223＝43. 9．1 ∵a ，b 同号，∴b≠0.将方程a 2＋2ab －3b 2＝0两边同除以b 2，得(a b )2＋2(a b)－3＝0， ∴(a b ＋3)(a b－1)＝0. 解得a b ＝1或a b＝－3(舍去)． ∴a＝b.∴log 3(a 2＋ab ＋b 2)－log 3(a 2－ab ＋b 2)＝log 3(3a 2)－log 3a 2＝log 33＝1.10．解：当x∈(－∞，1)时，由2－x ＝14，得x ＝2，但2∉(－∞，1)，舍去；当x∈(1，＋∞)时，由log 4x ＝14，得x ＝2，2∈(1，＋∞)．综上所述，x ＝ 2. 11．解：(1)由log 8x ＝－23，得 x ＝8－23＝(23)－23＝2－2＝14. (2)由log x 27＝34，得x 34＝27＝33， ∴x 14＝3.∴x＝34＝81. (3)由x ＝log 128，得(12)x ＝8＝23＝(12)－3， ∴x＝－3.点评：在解决一些对数问题时，若能将其转化为指数式的形式，运算更方便．解未知数处于指数位置的方程时，可运用指数函数的性质去解；解未知数处于底数位置的方程时，可运用开方(根式运算)的方法求未知数的值．12．解：(1)∵3a ＝2，∴a＝log 32.∴log 34－log 36＝log 323＝log 32－1＝a －1. (2)∵3b ＝5，∴b＝log 35.又∵log 32＝a ，∴log 330＝12log 3(2×3×5)＝12(log 32＋log 33＋log 35)＝12(a ＋b ＋1)． 点评：指数式与对数式是同一个式子的两种不同表现形式，它们之间的联系体现了数学中的转化思想．转化的依据是a b ＝N ⇔b ＝log a N(a>0，且a≠1)．第二课时1．已知a ＝lgx ，则a ＋3等于( )A ．lg(3x)B ．lg(x ＋3)C ．lgx 3D ．lg(1 000x)2．式子log 89log 23的值为( ) A.23 B.32C ．2D ．3 3．6413－(－23)0＋log 28＝________. 4．设集合A ＝{5，log 2(a ＋3)}，B ＝{a ，b}，若A∩B＝{2}，求A∪B.课堂巩固1．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于…( ) A ．9 B.19C ．25 D.1252．已知3a ＝5b ＝A ，若1a ＋1b＝2，则A 等于( ) A ．15 B.15C ．±15D ．2253．已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg3等于( )A.a b －1B.32(b －1)C.3a 2(b ＋1)D.3(a －1)2b4．下列各式正确的是( )①log 2(8－2)＝log 28－log 22＝2②log 2(8－2)＝log 28log 22＝3 ③log 284＝log 28－log 24＝1 ④log 28log 22＝log 28－log 22＝2 ⑤log 2[(－2)(－8)]＝log 2(－2)＋log 2(－8)＝－4A ．①④⑤B ．③④C ．③D ．全正确5．1.10＋3512－0.5－2＋lg25＋2lg2＝________.6．设log b x －log b y ＝a ，则log b 5x 3－log b 5y 3＝__________.7．(2009福建泉州毕业班质检，理11)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x>0，2x ，x≤0，若f(a)＝12，则a ＝__________.8．解方程：lg(x ＋1)＋lg(x －2)＝lg4.9．求证：log a x log ab x＝1＋log a b.10．设M ＝{0,1}，N ＝{11－a ，lga,2a ，a}，问是否存在a 的值，使得M∩N＝{1}．1．已知log 72＝p ，log 75＝q ，则lg5用p 、q 表示为…( )A ．pq B.q p ＋qC.1＋pq p ＋qD.pq 1＋pq2．(2008深圳高一期末考试，8)已知定义在实数集上的偶函数y ＝f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，那么y 1＝f(π3)，y 2＝f(3x 2＋1)和y 3＝f(log 214)之间的大小关系为( ) A ．y 1<y 3<y 2B ．y 1<y 2<y 3C ．y 3<y 1<y 2D ．y 3<y 2<y 13.若lga ，lgb 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg a b)2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.144．若log a b ＝log b a(a≠b)，则ab 等于( )A ．1B ．2 C.14D ．4 5．下列给出了x 与10x 的七组近似对应值：假设在上表的各组对应值中，有且仅有一组是错误的，它是第__________组．( )A ．二B ．四C ．五D ．七6.lg3＋2lg2－1lg1.2＝__________. 7．已知lg6＝0.778 2，则102.778 2＝__________.8．计算：614－(π－1)0－(827)－13＋log 318－log 32＝__________. 9．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M ＝23lgE －3.2，其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于__________颗广岛原子弹．10．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13(结果保留1位有效数字)？(lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1)11．若a 、b 是方程2(lgx)2－lgx 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(log a b ＋log b a)的值．12．甲、乙两人解关于x 的方程：log 2x ＋b ＋c·log x 2＝0，甲写错了常数b ，得到解为14和18；乙写错了常数c ，得到解为12和64，求b ，c 都正确的情况下该方程的解．答案与解析第二课时课前预习1．D a ＋3＝lgx ＋lg1 000＝lg(1 000x)．2．A 原式＝log 29log 28÷log 23 ＝2log 233÷log 23＝23. 3．6 原式＝4－1＋3＝6.4．解：∵A∩B＝{2}，∴2∈A 且2∈B.∴log 2(a ＋3)＝2.∴22＝a ＋3.∴a＝1，则b ＝2.故A ＝{5,2}，B ＝{1,2}．∴A∪B＝{1,2,5}．课堂巩固1．D 由换底公式，得－lg3lg5·lg6lg3·lgx lg6＝2，lgx ＝－2lg5，x ＝5－2＝125. 2．B ∵3a ＝5b ＝A>0，∴a＝log 3A ，b ＝log 5A.由1a ＋1b＝log A 3＋log A 5＝log A 15＝2，得A 2＝15，A ＝15. 3．C ∵log 89＝a ，∴lg9lg8＝a.∴log 23＝32a. lg3＝log 23log 210＝log 231＋log 25＝3a 2÷(1＋b)＝3a 2(b ＋1). 4．C5．7 原式＝1＋23－4＋lg100＝7.6．3a ∵log b x －log b y ＝a ，∴log b (x y)＝a. ∴log b 5x 3－log b 5y 3＝log b (5x 35y 3) ＝log b (x y )3＝3log b (x y)＝3a. 7．－1或 2 由log 2x ＝12，得x ＝2；由2x ＝12，得x ＝－1.均符合题意． 8．解：原方程可化为lg(x ＋1)(x －2)＝lg4，∴(x＋1)(x －2)＝4.解得x ＝－2或3.经检验，原方程的根为3.9．证法一：设log a x ＝p ，log ab x ＝q ，log a b ＝r ，则x ＝a p ，x ＝(ab)q ＝a q b q ，b ＝a r .∴a p ＝(ab)q ＝a q(1＋r)，从而p ＝q(1＋r)．∵q≠0，∴p q ＝1＋r ，即log a x log ab x＝1＋log a b. ∴原式成立．证法二：由换底公式，左边＝log a x log ab x ＝log x ab log x a＝log a ab ＝1＋log a b ＝右边． ∴原式成立．10．解：不存在a 的值使得M∩N＝{1}成立．若lga ＝1，则a ＝10，此时，11－a ＝1＝lga ，这与集合N 中元素的互异性矛盾；若2a ＝1，则a ＝0，此时lga 无意义；若a ＝1，则lga ＝0，此时M∩N＝{0,1}，与题设不符；若11－a ＝1，则a ＝10，lga ＝1＝11－a ，这与集合N 中元素的互异性矛盾． 综上所述，不存在a 的值使得M∩N＝{1}成立．课后检测1．B lg5＝log 75log 72＋log 75＝q p ＋q. 2．A f(3x 2＋1)≥f(3)，f(log 214)＝f(－2)＝f(2)．∵π3<2<3，且函数y ＝f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，∴y 1<y 3<y 2. 3．A 由根与系数的关系可知lga ＋lgb ＝2，lgalgb ＝12. 于是(lg a b)2＝(lga －lgb)2 ＝(lga ＋lgb)2－4lgalgb ＝22－4×12＝2. 4．A 由lgb lga ＝lga lgb，得lga ＝lgb 或lga ＝－lgb. 解得a ＝b(舍去)，a ＝1b，即ab ＝1. 5．A 根据指数式与对数式的互化公式，将已知表格转化为下表：∵lg2＋lg5＝0.301 03＋0.698 97＝1，∴第一组、第三组对应值正确．又显然第六组正确，∵lg8＝3lg2＝3×0.301 03＝0.903 09，∴第五组对应值正确．∵lg12＝lg2＋lg6＝0.301 03＋0.778 15＝1.079 18， ∴第四组、第七组对应值正确．∴只有第二组错误．6．1 原式＝lg3＋lg4－lg10lg1.2＝lg1.2lg1.2＝1. 7．600 ∵lg6＝0.778 2，∴100.778 2＝6.∴102.778 2＝102·100.778 2＝100×6＝600.8．2 原式＝52－1－(278)13＋log 3182＝52－1－32＋log 39＝log 39＝log 332＝2. 9．1 000 设里氏8.0级，6.0级地震释放的能量分别为E 2、E 1，则8－6＝23(lgE 2－lgE 1)，即lg E 2E 1＝3. ∴E 2E 1＝103＝1 000，即汶川大地震所释放的能量相当于1 000颗广岛原子弹． 10．解：设这种放射性物质最初的质量是1，经过x 年后，剩余量是y ，则有y ＝0.75x .依题意，得13＝0.75x ，即x ＝lg 13lg0.75＝－lg3lg3－lg4＝lg32lg2－lg3＝0.477 12×0.301 0－0.477 1≈3.8. ∴估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的13. 11．解：原方程可化为2(lgx)2－4lgx ＋1＝0.设t ＝lgx ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0，∴t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝12. 又∵a、b 是方程2(lgx)2－lgx 4＋1＝0的两个实根，∴t 1＝lga ，t 2＝lgb ，即lga ＋lgb ＝2，lga·lgb＝12. ∴lg(ab)·(log a b ＋log b a)＝(lga ＋lgb)·(lgb lga ＋lga lgb) ＝(lga ＋lgb)·(lgb)2＋(lga)2lga·lgb＝(lga ＋lgb)·(lga ＋lgb)2－2lga·lgb lga·lgb＝2×22－2×1212＝12， 即lg(ab)·(log a b ＋log b a)＝12.12．解：由甲可知⎩⎪⎨⎪⎧ log 214＋b ＋c·log 142＝0，log 218＋b ＋c·log 182＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋b －12c ＝0， ①－3＋b －13c ＝0. ② 由①－②，得1－16c ＝0，∴c＝6. 由乙可知⎩⎪⎨⎪⎧log 212＋b ＋c·log 122＝0，log 264＋b ＋c·log 642＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋b －c ＝0， ③6＋b ＋16c ＝0. ④由③＋④×6，得7b ＋35＝0，∴b＝－5.综上，方程为log 2x ＋6log x 2－5＝0，即(log 2x)2－5log 2x ＋6＝0，∴log 2x ＝2或log 2x ＝3.∴x＝4或x ＝8，即原方程的解为4或8.点评：解对(指)数方程时，通常先将给定的方程转化为同底数的对(指)数方程的形式．因为真数必须大于零，利用对数的运算法则进行化简的过程易产生增根，所以解对数方程要注意检验．。
2020-2021学年新教材人教A版必修第一册 44对数函数 作业
新20版练B1数学人教A 版4.4对数函数第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数第1课时 对数函数的概念及图像与性质考点1 对数函数的概念1.(2019·河北唐山一中高一期中)与函数y =10lg (x -1)相等的函数是( )。
A.y =(√x -1)2B.y =|x -1|C.y =x -1D.y =x 2-1x+1 答案:A解析: y =10lg (x -1)=x -1(x >1),而y =(√x -1)2=x -1(x >1),故选A 。
2.(2019·湖北公安一中单元检测)设集合A ={x |y =lg x },B ={y |y =lg x },则下列关系中正确的是( )。
A.A ∪B =AB.A ∩B =⌀C.A =BD.A ⊆B 答案:D解析: 由题意知集合A ={x |x >0},B ={y |y ∈R},所以A ⊆B 。
3.(2019·福建南安一中高一第二阶段考试)设函数f (x )={x 2+1,x ≤1,lgx ,x >1,则f (f (10))的值为( )。
A.lg 101B.1C.2D.0 答案:C解析: f (f (10))=f (lg 10)=f (1)=12+1=2。
4.(2019·东风汽车一中月考)下列函数是对数函数的是( )。
A.y =log a (2x ) B.y =lg 10x C.y =log a (x 2+x ) D.y =ln x 答案:D解析: 由对数函数的定义,知D 正确。
5.(2019·厦门调考)已知f (x )为对数函数,f (12)=-2,则f (√43)= 。
答案:43解析: 设f (x )=log a x (a >0,且a ≠1),则log a 12=-2,∴1a 2=12,即a =√2,∴f (x )=lo g √2x ,∴f (√43)=lo g √2√43=log 2(√43)2=log 2243=43。
【新教材】新人教A版必修一 对数与对数函数 课时作业
2019—2020学年新人教A版必修一对数与对数函数课时作业1。
已知4a＝7，6b＝8，则log1221可以用a，b表示为（)A.错误!B。
错误!C.错误!D。
错误!解析：选A.由题意可得a＝log47＝错误!，则错误!＝2a，b＝log68＝错误!，则错误!＝3，据此有:blog1221＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.2.函数f(x）＝错误!＋lg（2x－1)的定义域为( ）A．（－∞，1）B．(0，1］C．（0,1) D．（0,＋∞）解析：选C.由错误!得错误!故选C。
3。
若log a2＜log b2＜0，则下列结论正确的是（)A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1C．a＞b＞1 D．b＞a＞1解析：选B.因为log a2＜0，log b2＜0，所以0＜a＜1，0＜b＜1，又log a2＜log b2，所以a＞b,故0＜b＜a＜1.4.已知函数f(x)＝错误!若f(a）＞f（－a），则实数a的取值范围是( ）A．（－1,0）∪（0，1) B．（－∞，－1）∪(1,＋∞）C．（－1，0）∪（1，＋∞)D．(－∞，－1)∪（0,1）解析：选C.当a＞0时，f（a)＝log2a，f（－a)＝log错误!a,f(a)＞f(－a），即log2a＞log错误!a＝log2错误!,所以a＞错误!,解得a＞1.（－a)，f(－a）＝log2（－a），f(a)＞f（－a), 当a＜0时，f（a)＝log12即log错误!（－a）＞log2(－a)＝log错误!错误!,所以－a＜错误!,解得－1＜a＜0，综上得－1＜a＜0或a＞1.5。
函数y＝f（x）＝lg错误!的图象的对称性为（）A．关于直线y＝x对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于原点对称解析：选D.因为y ＝f (x ）＝lg（⎭⎪⎫2x ＋1－1＝lg 错误!，所以f (－x )＝lg 错误!＝－lg 1－x1＋x＝－f （x )，又因为函数的定义域为（－1，1），关于原点对称，则函数为奇函数,所以函数图象关于原点对称．6。
高中数学第二章2.2对数函数2.2.1对数与对数运算第1课时对数练习(含解析)新人教版必修1
2.2.1 对数与对数运算第一课时对数1.有下列说法:①零和负数没有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以10为底的对数叫做常用对数;④=-5成立.其中正确命题的个数为( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:②错误,如(-1)2=1,不能写成对数式;④错误,log3(-5)没有意义.2.有以下四个结论:①lg(lg 10)=0;②ln(ln e)=0;③若10=lg x,则x=100;④若e=ln x,则x=e2.其中正确的是( C )(A)①③ (B)②④ (C)①② (D)③④解析:lg(lg 10)=lg 1=0,①正确;ln(ln e)=ln 1=0,②正确;10=lg x得x=1010,③错误;e=ln x,x=e e,④错误.故选C.3.已知log x9=2,则x的值为( B )(A)-3 (B)3 (C)±3 (D)解析:由log x9=2得x2=9,又因为x>0且x≠1,所以x=3.故选B.4.若log a=c,则下列各式正确的是( A )(A)b=a5c (B)b=c5a (C)b=5a c(D)b5=a c解析:由log a=c得a c=,所以b=a5c.故选A.5.已知log a=m,log a3=n,则a m+2n等于( D )(A)3 (B)(C)9 (D)解析:由已知得a m=,a n=3.所以a m+2n=a m×a2n=a m×(a n)2=×32=.故选D.6.已知log7[log3(log2x)]=0,那么等于( D )(A)(B)(C)(D)解析:由题知log3(log2x)=1,则log2x=3,解得x=8,所以===.故选D.7.已知f(2x+1)=,则f(4)等于( B )(A)log25 (B)log23(C)(D)解析:令2x+1=4,得x=log23,所以f(4)=log23,选B.8.已知x2+y2-4x-2y+5=0,则log x(y x)的值是( B )(A)1 (B)0 (C)x (D)y解析:x2+y2-4x-2y+5=0,则(x-2)2+(y-1)2=0,所以x=2,y=1.log x(y x)=log212=0.故选B.9.已知对数式log(a-2)(10-2a)(a∈N)有意义,则a= .解析:由对数定义知得2<a<5且a≠3,又因为a∈N,所以a=4.答案:410.方程log2(1-2x)=1的解x= .解析:因为log2(1-2x)=1=log22,所以1-2x=2,所以x=-.经检验满足1-2x>0. 答案:-11.已知=,则x= .解析:由已知得log2x=log9=log9=-,所以x==.答案:12.若f(10x)=x,则f(3)= .解析:令10x=3,则x=lg 3,所以f(3)=lg 3.答案:lg 313.计算下列各式:(1)10lg 3-(+e ln 6;(2)+.解:(1)原式=3-()0+6=3-1+6=8.(2)原式=22÷+3-2·=4÷3+×6=+=2.14.(1)已知10a=2,10b=3,求1002a-b的值; (2)已知log4(log5a)=log3(log5b)=1,求的值.解:(1)1002a-b=104a-2b===.(2)由题得log5a=4,log5b=3,则a=54,b=53,所以==5.15.(1)求值:0.1-2 0150+1+; (2)解关于x的方程(log2x)2-2log2x-3=0.解:(1)原式=0.-1++=()-1-1+23+=-1+8+=10.(2)设t=log2x,则原方程可化为t2-2t-3=0,(t-3)(t+1)=0,解得t=3或t=-1,所以log2x=3或log2x=-1,所以x=8或x=.16.()的值为( C )(A)6 (B)(C)8 (D)解析:()=()-1·()=2×4=8.故选C.17.若a>0,=,则lo a等于( B )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:因为=,a>0,所以a=()=()3,则lo a=lo()3=3.故选B.18.计算:lo(+)= .解析:因为(-)·(+)=n+1-n=1,所以+=(-)-1,所以原式=-1.答案:-119.已知log x27=,则x的值为.解析:log x27==3·=3×2=6,所以x6=27,所以x6=33,又x>0,所以x=. 答案:20.设x=,y=(a>0且a≠1),求证:z=.证明:由已知得log a x=,①log a y=, ②将②式代入①式,得log a z=, 所以z=.。
人教A版高中数学第一册(必修1)课时作业2：4.4.1 对数函数的概念
4．4 对数函数 4．4.1 对数函数的概念1．给出下列函数：①y ＝223log x ；②y ＝log 3(x －1)；③y ＝log (x ＋1)x ；④y ＝log πx .其中是对数函数的有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 考点 对数函数的概念 题点 对数函数的概念 『答 案』 A『解 析』 ①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x ；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数． 2．已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于( ) A ．{x |x >－1} B ．{x |x <1} C ．{x |－1<x <1}D ．∅考点 对数函数的定义域 题点 对数函数的定义域 『答 案』 C『解 析』 ∵M ＝{x |1－x >0}＝{x |x <1}， N ＝{x |1＋x >0}＝{x |x >－1}， ∴M ∩N ＝{x |－1<x <1}．3．下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A ．y ＝(x )2 B ．y ＝x 2C ．y ＝2log 2xD ．y ＝log 22x『答 案』 D『解 析』 因为y ＝log 22x 的定义域为R ，且根据对数恒等式知y ＝x . 4．对数函数的图象过点M (16,4)，则此对数函数的『解 析』式为( ) A ．y ＝log 4x B ．y ＝14log xC ．y ＝12log xD ．y ＝log 2x『答 案』 D『解 析』 由于对数函数的图象过点M (16,4)， 所以4＝log a 16，得a ＝2.所以对数函数的『解 析』式为y ＝log 2x ，故选D.5．已知函数f (x )＝log a (x ＋2)，若图象过点(6,3)，则f (2)的值为( ) A ．－2B ．2C.12D ．－12考点 对数函数的性质 题点 对数函数图象过定点问题 『答 案』 B『解 析』 代入(6,3)，得3＝log a (6＋2)＝log a 8， 即a 3＝8，∴a ＝2.∴f (x )＝log 2(x ＋2)，∴f (2)＝log 2(2＋2)＝2.6．若f (x )＝log a x ＋a 2－4a －5是对数函数，则a ＝________. 『答 案』 5『解 析』 由对数函数的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a －5＝0，a >0，a ≠1，解得a ＝5.7．函数y ＝()12log 3x a -的定义域是⎝⎛⎭⎫23，＋∞，则a ＝________. 『答 案』 2『解 析』 由y ＝()12log 3x a -知，3x －a >0，即x >a3.∴a 3＝23，即a ＝2.8．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x 万元时，奖励y 万元．若公司拟定的奖励方案为y ＝2log 4x －2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为________万元． 『答 案』 128『解 析』 由题意得5＝2log 4x －2， 即7＝log 2x ，得x ＝128. 9．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝log (x －1)(3－x )； (2)f (x )＝2x ＋3x －1＋log 2(3x －1)． 解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，x －1>0，x －1≠1，解得1<x <3，且x ≠2，故f (x )的定义域是(1,2)∪(2,3)． (2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，x －1≠0，3x －1>0，解得x >13，且x ≠1.故f (x )的定义域是⎝⎛⎭⎫13，1∪(1，＋∞)．10．20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M ＝lg A －lg A 0.其中A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅．(1)假设在一次地震中，一个距离震中1000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级；(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？解 (1)M ＝lg A －lg A 0＝lg A A 0＝lg 200.002＝lg104＝4.即这次地震的震级为4级．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5＝lg A 5－lg A 0，8＝lg A 8－lg A 0，所以lg A 8－lg A 5＝3， 即lg A 8A 5＝3.所以A 8A 5＝103＝1000.即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍．11．函数y ＝log 2(x －1)2－x的定义域是( )A ．(1,2』B ．(1,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2) 『答 案』 B『解 析』 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，2－x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x <2，∴1<x <2.∴函数的定义域为(1,2)．12．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y (只)与引入时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则7年后它们发展到( ) A ．300只B ．400只C ．600只D ．700只 『答 案』 A『解 析』 将x ＝1，y ＝100代入y ＝a log 2(x ＋1)得， 100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100， 所以x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300.13．若函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝________. 『答 案』 1『解 析』 由a 2－a ＋1＝1， 解得a ＝0或a ＝1. 又底数a ＋1>0，且a ＋1≠1，所以a ＝1.14．函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2kx 2－kx ＋38的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________． 『答 案』 『0,3)『解 析』 依题意，2kx 2－kx ＋38>0的解集为R ，即不等式2kx 2－kx ＋38>0恒成立，当k ＝0时，38>0恒成立，∴k ＝0满足条件．当k ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝k 2－4×2k ×38<0，解得0<k <3. 综上，k 的取值范围是『0,3)．15．函数f (x )＝a －lg x 的定义域为(0,10』，则实数a 的值为( ) A ．0B ．10C ．1D.110『答 案』 C『解 析』 由已知，得a －lg x ≥0的解集为(0,10』， 由a －lg x ≥0，得lg x ≤a ， 又当0<x ≤10时，lg x ≤1， 所以a ＝1，故选C.16．国际视力表值(又叫小数视力值，用V 表示，范围是『0.1，1.5』)和我国现行视力表值(又叫对数视力值，由缪天容创立，用L 表示，范围是『4.0,5.2』)的换算关系式为L ＝5.0＋lg V . (1)请根据此关系式将下面视力对照表补充完整；V 1.5 ② 0.4 ④ L①5.0③4.0(2)甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为4.5，乙的小数视力值是甲的2倍，求乙的对数视力值．(所求值均精确到小数点后面一位数，参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771) 解 (1)因为5.0＋lg1.5＝5.0＋lg 1510＝5.0＋lg3＝5.0＋lg3－lg22≈5.0＋0.4771－0.3010≈5.2，所以①应填5.2；因为5.0＝5.0＋lg V，所以V＝1，②处应填1.0；＝5.0＋lg4－1因为5.0＋lg0.4＝5.0＋lg410＝5.0＋2lg2－1≈5.0＋2×0.3010－1≈4.6，所以③处应填4.6；因为4.0＝5.0＋lg V，所以lg V＝－1.所以V＝0.1.所以④处应填0.1.对照表补充完整如下：(2)先将甲的对数视力值换算成小数视力值，则有4.5＝5.0＋lg V甲，所以V甲＝10－0.5，则V乙＝2×10－0.5.所以乙的对数视力值L乙＝5.0＋lg(2×10－0.5) ＝5.0＋lg2－0.5≈5.0＋0.3010－0.5≈4.8.。
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(21)
人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 设 f (x ) 是定义在 R 上的周期函数，周期 T =4，对于任意 x ∈R 都有 f (−x )=f (x )，且当 x ∈[−2,0] 时，f (x )=(12)x−1，若在区间 (−2,6] 内关于 x 的方程 f (x )−log a (x +2)=0(a >1) 恰有 3 个不同的实根，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (1,2)B ． (2,+∞)C ． (1,√43)D ． (√43,2)2. 已知 log x 3=3，log y 7=6，z =717，则实数 x ，y ，z 的大小关系是 ( ) A ． x <z <y B ． z <x <y C ． x <y <z D ． z <y <x3. 已知定义在 R 上的函数 f (x ) 满足：①f (x )+f (2−x )=0；②f (x −2)=f (−x )；③ 当 x ∈[−1,1] 时，f (x )={√1−x 2,x ∈[−1,0]cos (π2x),x ∈(0,1]；则函数 y =f (x )−(12)∣x∣在区间 [−3,3] 上的零点个数为 ( ) A ． 5B ． 6C ． 7D ． 84. 在同一坐标系中函数 y =2−x 与 y =log 2x 的图象是 ( )A ．B ．C ．D ．5. 设 a 是函数 f (x )=2x −log 12x 的零点，若 x 0>a ，则 f (x 0) 满足 ( )A ． f (x 0)=0B ． f (x 0)>0C ． f (x 0)<0D ．以上都有可能6. 在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线 y =f (x )，另一种是平均价格曲线 y =g (x )，如 f (2)=3 表示股票开始买卖后 2 小时的即时价格为 3 元；g (2)=3 表示 2 小时内的平均价格为 3 元，下面给出了四个图象，实线表示 y =f (x )，虚线表示 y =g (x )，其中可能正确的是 ( )A ．B ．C ．D ．7. 已知偶函数 f (x ) 的定义域为 R ，对 ∀x ∈R ，f (x +2)=f (x )+f (1)，且当 x ∈[2,3] 时，f (x )=−2(x −3)2，若函数 F (x )=log a (∣x∣+1)−f (x )(a >0,a ≠1) 在 R 上恰有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ． (0,√55)B ． (√55,√33)C ． (√55,1)D ． (√33,1)8. 方程 x 3−2x 2+3x −6=0 在区间 [−2,4] 上的根必定在 ( ) A ． [−2,1] 内 B ． [52,4] 内C ． [1,74] 内D ． [74,52] 内9. log 212 的值为 ( ) A ． √2B ． −√2C ． 1D ． −110. 若 log a b +3log b a =132，则用 a 表示 b 的式子为 ( )A ． b =a 6B ． b =√aC ． b =a 6 或 b =√aD ． b =a 6 且 b =√a二、填空题（共6题）11. 已知函数 f (x )={log 2x,x >04x ,x ≤0，若函数 g (x )=f (x )−k 存在两个零点，则实数 k 的取值范围是 ．12. 函数 f (x )=log a (x −2)+1(a >0,a ≠1) 的图象恒过定点 P ，则点 P 的坐标是 ．13. 若正数 a ，b 满足 log 2a =log 5b =lg (a +b )，则 1a +1b 的值为 ．14. 对于实数 a 和 b ，定义运算“∗”：a ∗b ={a (a −b )3,a ≤bb (b −a )3,a >b，设 f (x )=(2x–1)∗(x–1)，若函数 g (x )=f (x )−mx 2(m ∈R ) 恰有三个零点 x 1，x 2，x 3，则 m 的取值范围是 ；x 1x 2x 3 的取值范围是 ．15. 函数 f (x )=log a (x +2)+3（a >0，且 a ≠1）的图象恒过定点 ．16. 如果函数 y =lg (x 2−ax +1) 的值域为 R ，那么实数 a 的取值范围是 ．三、解答题（共6题）17. 某地区今年 1 月，2 月，3 月患某种传染病的人数分别为 52，54，58，为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型 f (x )=ax 2+bx +c ，乙选择了模型 y =p ⋅q x +r ，其中 y 为患病人数，x 为月份数，a ，b ，c ，p ，q ，r 都是常数，结果 4 月，5 月，6 月份的患病人数分别为 66，82，115．(1) 你认为谁选择的模型较好？（需说明理由）(2) 至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过 2000 人？试用你认为比较好的模型解决上述问题．18. 若存在常数 k (k >0)，使得对定义域 D 内的任意 x 1，x 2(x 1≠x 2)，都有 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤k∣∣x 1−x 2∣ 成立，则称函数 f (x ) 在其定义域 D 上是“k − 利普希兹条件函数”． (1) 若函数 f (x )=√x (1≤x ≤4) 是“k − 利普希兹条件函数”，求常数 k 的取值范围； (2) 判断函数 f (x )=log 2x 是否是“2− 利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；(3) 若 y =f (x )(x ∈R ) 是周期为 2 的“1− 利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数 x 1，x 2，都有 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤1．19. 求下列函数的零点：(1) f (x )=−x 2−4x −4 (2) f (x )=(x−1)(x 2−4x+3)x−3(3) f (x )=2x +x −1 (4) f (x )=log 3(x +1)20. 零点存在定理一般地，如果函数 y =f (x ) 在区间 [a,b ] 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f (a )⋅f (b )<0，那么在区间 (a,b ) 内至少存在一个实数 c ，使得 f (c )=0，即 y =f (x ) 在 (a,b ) 上至少有一个零点．如何理解零点存在性？21. 计算：(1) (−78)0+813+(√32)2×(214)−12−(0.25)0.5．(2) lg25+lg2×lg50+(lg2)2．22. 已知 f (x )=log a (a x −1)（a >0 且 a ≠1）．(1) 求证：函数 y =f (x ) 的图象在 y 轴的一侧； (2) 求证：函数 y =f (x ) 在定义域上是增函数．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】因为对于任意 x ∈R 都有 f (−x )=f (x )，所以函数 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，因为在区间 (−2,6] 内关于 x 的方程 f (x )−log a (x +2)=0(a >1) 恰有 3 个不同的实数解， 所以函数 y =f (x ) 与 y =log a (x +2) 在区间 (−2,6] 上有三个不同的交点， 因为当 x ∈[−2,0] 时，f (x )=(12)x−1， 故函数图象如图所示， 又 f (−2)=f (2)=f (6)=3， 则有 log a 4<3，且 log a 8>3，解得 √43<a <2．故 a 的取值范围是 (√43,2)．【知识点】函数的奇偶性、函数的周期性、函数的零点分布2. 【答案】D【解析】因为 log x 3=3，所以 x =313，同理可得：y =716=(√7)13， 因为函数 y =7x为单调增函数，且 16>17，故 716>717，即 z >y ，因为函数 y =x 13为单调增函数，且 3>√7， 所以 313>(√7)13，即 x >y ， 所以综上，x >y >z ．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质3. 【答案】A【解析】由 ①f (x )+f (2−x )=0， 可得 f (x ) 的图象关于点 (1,0) 对称，由 ②f (x −2)=f (−x )，可得 f (x ) 的图象关于直线 x =−1 对称， 作出 f (x ) 在 [−1,1] 的图象，再由对称性，作出 f (x ) 在 [−3,3] 的图象， 作出函数 y =(12)∣x∣在 [−3,3] 的图象，由图象观察可得它们故有 5 个交点，即有函数 y =f (x )−(12)∣x∣在区间 [−3,3] 上的零点个数为 5．【知识点】函数的零点分布4. 【答案】A【解析】因为 y =2−x 为减函数，y =log 2x 在 (0,+∞) 上为增函数． 【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质5. 【答案】B【解析】画出 y =2x 与 y =log 12x 的图象（图略），可知当 x 0>a 时，2x 0>log 12x 0，故f (x 0)>0．【知识点】零点的存在性定理6. 【答案】C【知识点】函数模型的综合应用7. 【答案】B【解析】令 x =−1，则 f (1)=f (−1)+f (1)=2f (1)，所以 f (1)=0， 所以 f (x +2)=f (x )，即函数的周期为 2．若 F (x )=f (x )−log a (∣x∣+1) 恰有 6 个零点，则 0<a <1， 则 y =f (x ) 的图象与 y =log a (∣x∣+1) 有 6 个不同的交点，因为 y =f (x ) 和 y =log a (∣x∣+1) 均为偶函数且 f (0)=f (2)=−2≠0=log a (∣x∣+1)， 故 y =f (x ) 的图象与 y =log a (∣x∣+1) 在 (0,+∞) 上有三个不同的交点． 画出函数 y =f (x ) 和 y =log a (∣x∣+1) 的图象如下图所示，由图可知： f (2)=−2=log a 3，得 a =√33，f (4)=−2=log a 5，得 a =√55， a ∈(√55,√33)．（或 {f (2)<log a 3,f (4)>log a 5即 {−2<log a 3,−2>log a 5, 故 a ∈(√55,√33)）【知识点】函数的零点分布8. 【答案】D【解析】令 f (x )=x 3−2x 2+3x −6， 因为 f (−2)=−28<0，f (4)=38>0，且 f (−2+42)=f (1)=−4<0，所以 f (x ) 的零点在区间 [1,4] 内． 又 f (1+42)=f (52)=378>0，所以 f (x ) 的零点在区间 [1,52] 内． 又 f (1+522)=f (74)=−9764<0，所以 f (x ) 的零点在区间 [74,52] 内，即方程 x 3−2x 2+3x −6=0 在 [−2,4] 上的根在 [74,52] 内． 【知识点】零点的存在性定理9. 【答案】D【解析】 log 212=log 22−1=−1．【知识点】对数的概念与运算10. 【答案】C【解析】由 log a b +3log b a =132 得 log a b +3logab=132，即 2(log a b )2−13log a b +6=0，解得 log a b =6 或 log a b =12，所以 b =a 6 或 b =√a ． 【知识点】对数的概念与运算二、填空题（共6题）11. 【答案】0<k≤1【解析】由g(x)=f(x)−k=0，得f(x)=k，令y=k与y=f(x)，作出函数y=k与y=f(x)图象如图：当x≤0时，0<f(x)≤1；当x>0时，f(x)∈R．所以要使函数g(x)=f(x)−k存在两个零点，则k∈(0,1]．【知识点】函数的零点分布12. 【答案】(3,1)【知识点】对数函数及其性质13. 【答案】1【解析】设log2a=log5b=lg(a+b)=k，所以a=2k，b=5k，a+b=10k，所以ab=10k，所以a+b=ab，则1a +1b=1．【知识点】对数函数及其性质14. 【答案】{14}；{0}【知识点】二次函数的性质与图像、函数的零点分布、分段函数15. 【答案】(−1,3)【解析】本题考查对数函数的图象．当x+2=1时，x=−1，f(−1)=log a(−1+2)+3=3，所以函数f(x)=log a(x+2)+3的图象恒过定点(−1,3)．【知识点】对数函数及其性质16. 【答案】(−∞,−2]∪[2,+∞)【解析】由题意知x2−ax+1应能取到大于0的一切实数，因此g(x)=x2−ax+1应与x轴有交点，所以Δ=a2−4≥0．【知识点】对数函数及其性质三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 由题意，把 x =1,2,3 代入 f (x ) 得：{a +b +c =52,4a +2b +c =54,9a +3b +c =58,解得 a =1，b =−1，c =52，所以 f (x )=x 2−x +52，所以 f (4)=42−4+52=64，f (5)=52−5+52=72，f (6)=62−6+52=82， 则 ∣f (4)−66∣=2，∣f (5)−82∣=10，∣f (6)−115∣=33； 把 x =1,2,3 代入 y =g (x )=p ⋅q x +r ，得：{pq +r =52,pq 2+r =54,pq 3+r =58,解得 p =1，q =2，r =50，所以 g (x )=2x +50，所以 g (4)=24+50=66，g (5)=25+50=82，g (6)=26+50=114， 则 ∣g (4)−66∣=0，∣g (5)−82∣=0，∣g (6)−115∣=1．因为 g (4)，g (5)，g (6) 更接近真实值，所以应将 y =2x +50 作为模拟函数．(2) 令 2x +50>2000，解得 x >log 21950≈10.9， 所以至少经过 11 个月患该传染病的人数将会超过 2000 人．【知识点】函数模型的综合应用18. 【答案】(1) 由题意得：对任意 x 1,x 2∈[1,4]，x 1≠x 2，都有 ∣∣√x 1−√x 2∣≤k∣∣x 1−x 2∣ 成立， 所以 k ≥√x +√x ．因为 x 1,x 2∈[1,4]，x 1≠x 2， 所以√x +√x <12，所以常数 k 的取值范围是 [12,+∞)．(2) 取 x 1=18，x 2=1，则 ∣f (x 1)−f (x 2)∣=3，而 2∣∣x 1−x 2∣=74， 所以 x 1=18，x 2=1 不满足 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤2∣∣x 1−x 2∣， 所以函数 f (x )=log 2x 不是“2− 利普希兹条件函数”．(3) 若 x 1,x 2∈[0,2]，①当 ∣x 1−x 2∣≤1 时，∣f (x 1)−f (x 2)∣≤∣x 1−x 2∣≤1， ②当 ∣x 1−x 2∣>1 时，设 0≤x 1<1<x 2≤2，则 ∣f (x 1)−f (x 2)∣=∣f (x 1)−f (0)+f (2)−f (x 2)∣≤∣f (x 1)−f (0)∣+∣f (2)−f (x 2)∣≤∣x 1∣+∣2−x 2∣=x 1+2−x 2<1.因此对任意x1,x2∈[0,2]，都有∣f(x1)−f(x2)∣≤1，因为y=f(x)(x∈R)周期为2，所以对任意x1,x2∈R，都存在p1,p2∈[0,2]，使f(x1)=f(p1)，f(x2)=f(p2)，所以∣f(x1)−f(x2)∣=∣f(p1)−f(p2)∣≤1．【知识点】对数函数及其性质、函数的周期性、幂函数及其性质19. 【答案】(1) 令−x2−4x−4=0，解得x=−2，所以函数f(x)的零点为−2．(2) 令(x−1)(x2−4x+3)x−3=0，解得x=1，所以函数f(x)的零点为1．(3) 在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x，y=−x+1的图象，由图可知函数f(x)的零点为0．(4) 令log3(x+1)=0，解得x=0，所以函数f(x)的零点为0．【知识点】函数零点的概念与意义20. 【答案】（1）当函数y=f(x)同时满足：①函数的图象在[a,b]上是连续曲线；② f(a)⋅f(b)<0．则可判定函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，但是不能明确肯定有几个零点，也不是说可能有1个、2个、3个、4个、⋯⋯零点．（2）不满足零点存在性定理并不能说明不存在零点，即当函数y=f(x)的图象在[a,b]上是连续的曲线，但是不满足f(a)⋅f(b)<0时，函数y=f(x)在区间(a,b)内可能存在零点，也可能不存在零点．【知识点】零点的存在性定理21. 【答案】(1)(−78)+813+(√32)2×(214)−12−(0.25)0.5=1+2+34×√49−(14)12=1+2+34×23−12=1+2+12−12.(2)lg25+lg2×lg50+(lg2)2 =2lg5+lg2×(lg50+lg2) =2lg5+lg2×lg(2×50) =2lg5+lg2×lg100=2lg5+2lg2=2×(lg5+lg2)= 2.【知识点】对数的概念与运算、幂的概念与运算22. 【答案】(1) 当0<a<1时，定义域为(−∞,0)，当a>1时，定义域为(0,+∞)，所以y=f(x)的图象总在y轴的一侧．(2) 当0<a<1时，y=a x−1在区间(−∞,0)上是严格减函数，又0<a<1，y=f(x)在区间(−∞,0)上是严格增函数．当a>1时，y=a x−1在区间(0,+∞)上是严格增函数，又a>1，y=f(x)在区间(0,+∞)上是严格增函数．【知识点】对数函数及其性质、函数的单调性11。
数学必修ⅰ人教新课标a版同步知识点学练考-对数函数
例 4：已知函数 f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)，若 f(x)的值域为 R， 求实数 a 的范围．
错因剖析：误认为 ax2+2x+1>0 恒成立．
正解：由题意可得(0，+∞)⊆{y|y＝ax2+2x+1}，
∴a＝0
或
a
0 4
4a
， 0
解得 0≤a≤1.
25
1.已知 y＝loga(4－ax)在[0,2]上是 x 的减函数，求 a 的取 值范围。
10
(2)对数换底公式的选用： ①在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数 值时，可化为以 10 为底的常用对数进行运算； ②在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算 法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法 则进行化简与求值．并且这个底数不是唯一的，可由题目的实 际情况选择恰当的底数．
0.8
log1.3
0.8
22
(3)∵log78>log77＝1，log86<log88＝1，log67>log66＝1， ∴log86 最小．
又 log78＝1＋log787，log67＝1＋log676，
作 y＝log7x 与 y＝log6x 图象，如图 3.
图3
∵87<76，且
x>1
时，y＝log6x
18
例 1：将下列指数式与对数式互化：
(1)log28＝3； (3)52＝25;
(2)log1 9 2；
3
(4)3-1＝13.
思维突破：利用指数、对数式的关系 ab＝N⇔logaN＝b.
解：(1)∵log28＝3，∴23＝8.
(2)∵ log 1
人教新课标版数学高一-A版必修一课后训练 .1对数函数的图象及性质
课后提升训练二十对数函数的图象及性质(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.下列函数是对数函数的是( )A.y=log(-2)xB.y=log2x2C.y=log2xD.y=log2(x+2)【解析】选C.由对数函数定义知y=log2x=log4x是对数函数.2.函数f(x)=log0.25(2x-1)的定义域为( )A. B.C. D.【解析】选A.由题意知2x-1>0,即x>.3.(2017·德州高一检测)已知函数f(x)=a x(a>0,a≠1),且其图象过点(3,27),f(x)的反函数记为y=g(x),则g(x)的解析式是( ) A.g(x)=log3x B.g(x)=log2xC.g(x)=lo xD.g(x)=lo x【解析】选A.因为f(3)=27,所以a3=27,即a=3,又因为指数函数y=a x与y=log a x互为反函数,所以g(x)=log3x.4.(2017·长沙高一检测)已知f(x)=a-x,g(x)=log a x,且f(2)·g(2)>0,则函数f(x)与g(x)的图象是( )【解析】选D.因为f(2)·g(2)>0,所以a>1,所以f(x)=a-x与g(x)=log a x在其定义域上分别是减函数与增函数.5.(2017·开封高一检测)函数y=log a(x+2)+1的图象过定点( )A.(1,2)B.(2,1)C.(-2,1)D.(-1,1)【解题指南】借助对数函数图象过定点(1,0)这一性质,利用整体代换思想,令x+2=1,求出图象所过定点.【解析】选 D.令x+2=1,即x=-1,得y=log a1+1=1,故函数y=log a(x+2)+1的图象过定点(-1,1).6.若点(a,b)在y=lgx的图象上,a>0且a≠1,则下列点也在此图象上的是( )A. B.(10a,1-b)C. D.(a2,2b)【解析】选 D.若点(a,b)在y=lgx的图象上,则b=lga,所以2b=2lga=lga2,即(a2,2b)也在函数y=lgx的图象上.【延伸探究】本题条件不变,若, (100a,y2)也在函数y=lgx的图象上,试用b表示y1,y2.【解析】因为lg=2-lga=2-b,所以y1=2-b,因为lg(100a)=2+lga=2+b,所以y2=2+b.7.(2017·衡水高一检测)已知函数f(x)=a x+log a x(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a2+6,则a的值为( ) A. B. C.2 D.4【解题指南】对a分a>1和0<a<1两种情况分别求函数f(x)的最大值与最小值,然后根据题意列出关于a的方程即可.【解析】选C.①当a>1时,a2+log a2+a+log a1=log a2+6,解得a=-3(舍)或a=2.②当0<a<1时,a+log a1+a2+log a2=log a2+6,解得a=2(舍)或a=-3(舍).8.已知函数f(x)=若f(a)=,则实数a= ( )A.-1B.C.1或-D.-1或【解析】选D.f(a)=⇔或⇔a=或a=-1.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2017·临沂高一检测)图中的曲线是y=log a x的图象,已知a的值分别为,,,,相应曲线C1,C2,C3,C4中的a依次为a1,a2,a3,a4,则它们的值分别为__________.【解析】在x轴上方,由对数函数的“底大图右”的性质得到a2>a1>1>a4>a3,所以a1,a2,a3,a4的值分别为,,,.答案:,,,10.(2017·武汉高一检测)若f(x)是对数函数且f(9)=2,当x∈[1,3]时,f(x)的值域是________.【解析】设f(x)=log a x,因为log a9=2,所以a=3,即f(x)=lo x,又因为x∈[1,3],所以0≤f(x)≤1.答案:[0,1]三、解答题(每小题10分,共20分)11.求下列函数的定义域与值域.(1)y=log2(x-1).(2)y=log4(x2+4).【解析】(1)由x-1>0,得x>1,所以函数y=log2(x-1)的定义域是(1,+∞),值域是R.(2)因为对任意实数x,log4(x2+4)都有意义,所以函数y=log4(x2+4)的定义域是R.又因为x2+4≥4,所以log4(x2+4)≥log44=1,即函数y=log4(x2+4)的值域是[1,+∞).12.(2017·沈阳高一检测)已知函数f(x)=log a(ax-)(a>0,a≠1为常数).(1)求函数f(x)的定义域.(2)若a=2,x∈[1,9],求函数f(x)的值域.【解析】(1)ax->0⇒(a-1)>0,因为>0,所以a-1>0,因为a>0,所以>.所以x>,所以函数f(x)的定义域为.(2)a=2时,f(x)=log 2(2x-),令2x-=t,则t=2x-=2-,因为x∈[1,9],所以t∈[1,15],所以log 21≤log2(2x-)≤log215,即0≤f(x)≤log215,所以函数f(x)的值域为[0,log215].【能力挑战题】已知函数f(x)=x2-x+k,且log2f(a)=2,f(log2a)=k,a>0,且a≠1.(1)求a,k的值.(2)当x为何值时,f(log a x)有最小值?求出该最小值.【解析】(1)因为所以即又a>0且a≠1,所以(2)f(log a x)=f(log2x)=(log2x)2-log2x+2=+,所以当log 2x=,即x=时,f(log a x)有最小值.关闭Word文档返回原板块。
高中数学《对数与对数运算》同步练习9新人教A版必修1
__________.
2－ x， 10．(2008 广东北江期末考试， 5) 设函数 f(x) ＝
log 4x，
1 ＝ 4的 x 的值．
x<1 ， x>1，
求满足 f(x)
11．求下列各式中的 x 值：
2
3
1
(1)log 8x＝－ ； (2)log x27＝ ； (3)x ＝log 8.
3
4
2
12． (1) 已知 3a＝ 2，用 a 表示 log 34－ log 36； (2) 已知 log 32＝ a,3 b＝ 5，用 a、 b 表示 log 3 30.
7． (2009 福建泉州毕业班质检，理
log 2x， x>0， 11) 已知函数 f(x) ＝ 2x ，x≤0，
则 a＝ __________. 8．解方程： lg(x ＋ 1) ＋ lg(x － 2) ＝ lg4.
1 若 f(a) ＝2，
log ax 9．求证： log abx ＝ 1＋ log ab.
()
A． 1
B
．0
C． x
D
．y
b 7．已知 lga ＝ 2.431 0 ，lgb ＝ 1.431 0 ，则 a等于…
()
1
1
A.
B.
10
100
C． 10
D
． 100
8．已知 log a2＝ m，log a3＝ n，则 a2m－n＝ __________.
9．设 a， b 同号，且 a2 ＋ 2ab － 3b2＝ 0，则 log 3(a 2 ＋ ab＋ b2) － log 3(a 2－ ab＋ b2) ＝
1 ∴f(3) ＝ 2f(9) ＝4.
【新教材】新人教A版必修一 对数 课时作业
2019-2020学年新人教A 版必修一 对数 课时作业1.已知log 2x ＝3，则x 错误!等于（ )A 。
13B 。
错误!C 。
错误!D 。
错误! 解析：选D 。
因为log 2x ＝3，所以x ＝23＝6。
所以x 错误!＝8错误!＝错误!＝错误!.故选D.2.已知log a 错误!＝m ,log a 3＝n ，则am ＋2n 等于( ) A ．3B.错误! C ．9D.错误! 解析：选D.由已知得a m ＝错误!,a n ＝1。
所以am ＋2n ＝a m ×a 2n ＝a m ×(a n )2＝错误!×32＝错误!。
故选D 。
3.3log34－27错误!－lg 0。
01＋ln e 3等于( ）A ．14B ．0C ．1D ．6解析：选B.原式＝4－（33)错误!－(－2）＋3＝4－9－（－2）＋3＝0。
4。
ln 1＋log （错误!－1)(错误!－1)＝________．解析:ln 1＋log (2－1)（错误!－1)＝0＋1＝1.答案：15.若log 2错误!＝1，则x ＝________．解析：因为log 2错误!＝1，所以错误!＝2。
即2x －5＝4.解得x ＝错误!.答案：错误!6。
已知f (x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x x ≤1，，log 81x ，x ＞1，则满足f (x ）＝错误!的x 的值为________． 解析：由题意得①错误!或②错误!解①得x ＝2,与x ≤1矛盾，故舍去，解②得x ＝3，符合x ＞1.所以x ＝1。
答案:37。
求下列各式中x 的值：（1)log x 27＝错误!；（2)4x ＝5×3x ；(3）52－log 53＝x ；（4）错误!错误!＝x （a ＞0，b ＞0，c ＞0，a ≠1，b ≠1）．解:（1)因为log x 27＝32， 所以x 错误!＝27＝33＝9错误!,故x ＝7。
(2）因为4x ＝5×3x 。
2019-2020学年新人教A版必修一 对数函数 课时作业
1．已知0＜a ＜1，x ＝log a 2＋log a 3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则( )A ．x ＞y ＞zB ．z ＞y ＞xC ．y ＞x ＞zD ．z ＞x ＞y解析：选C 依题意，得x ＝log a 6，y ＝log a 5，z ＝log a 7.又0＜a ＜1，5＜6＜7，因此有log a 5＞log a 6＞log a 7，即y ＞x ＞z .2．(2018·天津模拟)已知a ＝log 25，b ＝log 5(log 25)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．b <a <c解析：选 B a ＝log 25>2，b ＝log 5(log 25)∈(0,1)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.52∈(1,2)，可得b <c <a .故选B.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A ．5B ．3C ．－1 D.72解析：选A 由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝2＋3＝5.4．函数y ＝log a x 与y ＝－x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是( )解析：选A 当a ＞1时，函数y ＝log a x 的图象为选项B 、D 中过点(1,0)的曲线，此时函数y ＝－x ＋a 的图象与y 轴的交点的纵坐标a 应满足a ＞1，选项B 、D 中的图象都不符合要求；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 的图象为选项A 、C 中过点(1,0)的曲线，此时函数y ＝－x ＋a 的图象与y 轴的交点的纵坐标a 应满足0＜a ＜1，选项A 中的图象符合要求，选项C 中的图象不符合要求．5.设平行于y 轴的直线分别与函数y 1＝log 2x 及函数y 2＝log 2x ＋2的图象交于B ，C 两点，点A (m ，n )位于函数y 2＝log 2x ＋2的图象上，如图，若△ABC 为正三角形，则m ·2n＝________.解析：由题意知，n ＝log 2m ＋2，所以m ＝2n －2.又BC ＝y 2－y 1＝2，且△ABC 为正三角形，所以可知B (m ＋3，n －1)在y 1＝log 2x 的图象上，所以n －1＝log 2(m ＋3)，即m ＝2n －1－3，所以2n＝43，所以m ＝3，所以m ·2n＝3×43＝12.答案：12一、选择题1．已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝adD ．d ＝a ＋c解析：选B 由已知得5a＝b,10c＝b ，∴5a＝10c，∵5d＝10，∴5dc＝10c，则5dc＝5a，∴dc ＝a ，故选B.2．设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞q解析：选B 因为b ＞a ＞0，故a ＋b2＞ab .又f (x )＝ln x (x ＞0)为增函数，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ，即p ＝r ＜q .3．(2018·浙江高考)已知a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则( ) A ．(a －1)(b －1)＜0 B ．(a －1)(a －b )＞0 C ．(b －1)(b －a )＜0D ．(b －1)(b －a )＞0解析：选D ∵a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，∴当a ＞1，即a －1＞0时，不等式log a b ＞1可化为a log a b ＞a 1，即b ＞a ＞1，∴(a －1)(a －b )＜0，(b －1)(a －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0.当0＜a ＜1，即a －1＜0时，不等式log a b ＞1可化为a log a b ＜a 1，即0＜b ＜a ＜1，∴(a －1)(a －b )＜0，(b －1)(a －1)＞0，(b －1)·(b －a )＞0.综上可知，选D.4．已知lg a ＋lg b ＝0(a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1)，则函数f (x )＝a x与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )解析：选B 因为lg a ＋lg b ＝0，所以lg ab ＝0，所以ab ＝1，即b ＝1a，故g (x )＝－log b x ＝－log 1ax ＝log a x ，则f (x )与g (x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，结合图象知B 正确．故选B.5.(2018·西安模拟)已知函数f (x )＝loga 2x＋b －1(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －1<b <1 B ．0<b <a －1<1 C ．0<b －1<a <1 D ．0<a －1<b －1<1解析：选A 由函数图象可知，f (x )在R 上单调递增，故a >1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，解得1a <b <1.综上有0<1a<b <1.6．设函数f (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)>f (2)B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定解析：选A 由已知得0<a <1，所以1<a ＋1<2，又易知函数f (x )为偶函数，故可以判断f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (2)．二、填空题7．lg 2＋lg 5＋20＋5132×35＝________.解析：原式＝lg 10＋1＋523×513＝32＋5＝132.答案：1328．若正数a ，b 满足2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )，则1a ＋1b的值为________．解析：设2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )＝k ，可得a ＝2k －2，b ＝3k －3，a ＋b ＝6k，所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝6k2k －23k －3＝108. 答案：1089．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为______．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.答案：－1410．若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________．解析：令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1.所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞) 三、解答题11．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12－x，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4， 解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5)．12．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集． 解：(1)要使函数f (x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)f (x )为奇函数．证明：由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的解集是(0,1)．。
2019-2020学年新人教A版必修一 对数与对数函数 作业
2019-2020学年新人教A 版必修一 对数与对数函数 作业1．函数f (x )＝12x 2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪ C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6] 解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧ 4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －4≤x ≤4，x >2且x ≠3，故函数定义域为(2,3)∪(3,4]，故选C.6．计算：lg 0.001＋ln e ＋221log 3－＋＝________. 解析：原式＝lg 10－3＋ln e 12＋2log 232＝－3＋12＋32＝－1. 答案：－17．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是______．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.答案：(1，＋∞)8．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为______．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14， 当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立， 因此函数f (x )的最小值为－14.答案：－149．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12 (－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12－x ，x <0. (2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5)．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值． 解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是 f (1)＝log 24＝2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1 解析：选A 当0<a <1时， 函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是减函数， 所以log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－a >0， 即0<43－a <1， 解得13<a <43，故13<a <1； 当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是增函数， 所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 2．已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)当x ∈时，求函数h (x )＝·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2，因为x ∈，所以log 2x ∈，故函数h (x )的值域为．(2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )，得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈，所以t ＝log 2x ∈，所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈恒成立，①当t ＝0时，k ∈R ；②当t∈(0,2]时，k<－4t－tt恒成立，即k<4t＋9t－15，因为4t＋9t≥12，当且仅当4t＝9t，即t＝32时取等号，所以4t＋9t－15的最小值为－3.综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)．。
2019-2020学年新人教A版必修一 对数函数 课时作业
2019-2020学年新人教A 版必修一 对数函数 课时作业1．函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是( )A ．[1，2]B ．[1，2)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 解析：选 D.要使该函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，log 23（2x －1）≥0，解得12<x ≤1，故定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.2．已知lg a ＋lg b ＝0(a ＞0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则函数f (x )＝a x与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )解析：选B.因为lg a ＋lg b ＝0， 所以lg ab ＝0，所以ab ＝1，即b ＝1a，故g (x )＝－log b x ＝－log 1ax ＝log a x ，则f (x )与g (x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，结合图象知B 正确．故选B. 3．(2019·高考天津卷)已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：选 A.因为a ＝log 27＞log 24＝2，b ＝log 38＜log 39＝2，b ＝log 38＞1，c ＝0.30.2＜1，所以c ＜b ＜a .故选A.4．(2019·河南平顶山模拟)函数f (x )＝log a |x ＋1|(a >0，a ≠1)，当x ∈(－1，0)时，恒有f (x )>0，则( )A ．f (x )在(－∞，0)上是减函数B ．f (x )在(－∞，－1)上是减函数C ．f (x )在(0，＋∞)上是增函数D ．f (x )在(－∞，－1)上是增函数解析：选D.由题意，函数f (x )＝log a |x ＋1|(a >0且a ≠1)，则说明函数f (x )关于直线x＝－1对称，当x ∈(－1，0)时，恒有f (x )>0，即|x ＋1|∈(0，1)，f (x )>0，则0<a <1.又u ＝|x ＋1|在(－∞，－1)上是减函数，在(－1，＋∞)上是增函数，结合复合函数的单调性可知，f (x )在(－∞，－1)上是增函数，选D.5．已知函数y ＝log a (x －1)(a >0，a ≠1)的图象过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝2x＋b 的图象上，则f (log 23)＝________．解析：由题意得A (2，0)，因此f (2)＝4＋b ＝0，b ＝－4，从而f (log 23)＝3－4＝－1. 答案：－16．若函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为____________．解析：因为0<a <1，所以函数f (x )是定义域上的减函数，所以f (x )max ＝log a a ＝1，f (x )min＝log a 2a ，所以1＝3log a 2a ⇒a ＝(2a )3⇒8a 2＝1⇒a ＝24. 答案：247．已知函数f (x －3)＝log a x6－x(a >0，a ≠1)． (1)求f (x )的解析式；(2)判断f (x )的奇偶性，并说明理由．解：(1)令x －3＝u ，则x ＝u ＋3，于是f (u )＝log a 3＋u3－u (a >0，a ≠1，－3<u <3)，所以f (x )＝log a 3＋x3－x(a >0，a ≠1，－3<x <3)．(2)因为f (－x )＋f (x )＝log a 3－x 3＋x ＋log a 3＋x3－x ＝log a 1＝0，所以f (－x )＝－f (x )，又定义域(－3，3)关于原点对称． 所以f (x )是奇函数．8．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )的最小值为0，求出a 的值．解：(1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3，即函数的定义域为(－1，3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.则g (x )在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(1，3)．(2)因f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －1a＝1，解得a ＝12.故实数a 的值为12.[综合题组练]1．(2019·广东汕头金山中期中)已知当0<x ≤12时，不等式log a x <－2恒成立，则实数a的取值范围是( )A ．(2，2)B ．(1，2) C.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 D ．(0，2)解析：选B.当0<x ≤12时，不等式log a x <－2恒成立，所以log a x <0.又0<x ≤12，所以a >1，因此y ＝log a x 是增函数，故x <a －2恒成立，所以12<a －2，得1<a <2，故选B.2．已知函数f (x )＝log a (ax －3)在[1，3]上单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B ．(0，1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 D ．(3，＋∞)解析：选D.由于a >0，且a ≠1， 所以u ＝ax －3为增函数，所以若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数， 所以a >1.又u ＝ax －3在[1，3]上恒为正， 所以a －3>0，即a >3.3．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间是____________．解析：函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒有f (x )>0，由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，得2x 2＋x ∈(0，1)，故有a ∈(0，1)．又f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)， 根据复合函数的单调性的判断规则知， 函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－124．函数f (x )＝log 2 x ·log 2(2x )的最小值为________．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14.答案：－145．已知f (x )＝log a (a x－1)(a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的单调性．解：(1)由a x－1>0，得a x >1，当a >1时，x >0； 当0<a <1时，x <0.所以当a >1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)； 当0<a <1时，f (x )的定义域为(－∞，0)． (2)当a >1时，设0<x 1<x 2，则1<ax 1<ax 2， 故0<a x 1－1<a x 2－1，所以log a (a x 1－1)<log a (a x 2－1)．所以f (x 1)<f (x 2)． 故当a >1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 类似地，当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数． 综上知，函数f (x )在定义域上单调递增．6．(应用型)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数， 所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．。
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1．函数f (x ）＝错误!的定义域为( ）
A.错误!
B ．(2，＋∞)
C.错误!∪（2，＋∞）
D.错误!∪
C ．（2,3)∪（3,4］
D ．(－1，3)∪(3,6] 解析:选C 由错误!得错误!故函数定义域为(2,3）∪（3,4］，故选C.
6．计算:lg 0.001＋ln 错误!＋2
21log 3－＋＝________。
解析：原式＝lg 10－3＋ln e 12＋2log 232＝－3＋错误!＋错误!＝－1。
答案:－1
7．已知函数f (x )＝错误!关于x 的方程f （x ）＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是______．
解析：
问题等价于函数y ＝f （x ）与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.
答案：（1，＋∞）
8．函数f (x ）＝log 2错误!·log 错误!(2x )的最小值为______．
解析：依题意得f (x ）＝错误!log 2x ·(2＋2log 2x ）＝(log 2x )2＋log 2x ＝错误!2
－错误!≥－错误!,
当且仅当log 2x ＝－错误!，即x ＝错误!时等号成立,
因此函数f （x ）的最小值为－错误!。
答案：－错误!
9．已知函数f (x ）是定义在R 上的偶函数，f （0)＝0,当x >0时，f （x ）＝log 12x 。
（1)求函数f （x )的解析式;
(2)解不等式f （x 2
－1)>－2。
解:(1）当x 〈0时，－x 〉0,则f (－x ）＝log 12 （－x )．
因为函数f (x ）是偶函数，所以f （－x )＝f （x )．
所以函数f （x ）的解析式为
f (x )＝错误!
(2)因为f (4)＝log 错误!4＝－2，f (x ）是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2可化为f（|x2－1|）>f（4）．
又因为函数f(x)在(0，＋∞）上是减函数，
所以｜x2－1｜<4，解得－错误!<x〈错误!，
即不等式的解集为(－5,错误!）．
10．设f（x)＝log a(1＋x）＋log a（3－x）（a>0，a≠1），且f(1)＝2。
(1）求a的值及f(x）的定义域；
(2)求f（x）在区间错误!上的最大值．
解：(1)∵f(1)＝2，
∴log a4＝2（a〉0，a≠1)，∴a＝2.
由错误!得x∈(－1，3),
∴函数f（x）的定义域为(－1,3）．
（2)f(x）＝log2（1＋x）＋log2(3－x）
＝log2（1＋x）(3－x)
＝log2，
∴当x∈（－1，1]时，f（x）是增函数;
当x∈(1，3)时，f(x）是减函数，
故函数f(x）在错误!上的最大值是
f（1)＝log24＝2。
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1．已知函数f（x）＝log a(2x－a)在区间错误!上恒有f（x)>0，则实数a的取值范围是( )
A.错误!
B.错误!
C.错误!D。
错误!
解析：选A 当0〈a〈1时，
函数f（x）在区间错误!上是减函数，
所以log a错误!〉0,
即0〈错误!－a<1，
解得错误!〈a〈错误!，故错误!<a<1；
当a〉1时，函数f（x）在区间错误!上是增函数,
所以log a（1－a）〉0，
即1－a>1，解得a〈0，此时无解．
综上所述,实数a的取值范围是错误!。
2．已知函数f（x）＝3－2log2x，g（x）＝log2x。
（1)当x∈时，求函数h（x)＝·g（x）的值域；
(2)如果对任意的x∈，不等式f(x2)·f(错误!）>k·g(x）恒成立，求实数k的取值范围．
解:（1）h（x）＝（4－2log2x）·log2x＝－2(log2x－1）2＋2,
因为x∈，所以log2x∈，
故函数h(x)的值域为．
(2)由f(x2）·f(错误!）>k·g（x)，
得（3－4log2x)(3－log2x)〉k·log2x，
令t＝log2x，因为x∈，所以t＝log2x∈,
所以（3－4t)(3－t）>k·t对一切t∈恒成立，
①当t＝0时，k∈R;
②当t∈（0，2]时,k<错误!恒成立，
即k<4t＋9
t
－15,
因为4t＋9
t
≥12,当且仅当4t＝错误!，即t＝错误!时取等号，
所以4t＋错误!－15的最小值为－3.
综上,实数k的取值范围为（－∞，－3）．。