电磁场与电磁波(第四版)谢处方 第七章习题解答

f=100kHz 时
10 103 4 107
4
0.099(1 j )
100 103 4 107 4 1.26 Np/m 2 2 5m 1.26 c (1 j )
f=1MHz 时
100 103 4 107
E Eme j ( en r t ) 满足波动方程
2 E E 2 0 t
2
故 E 表示沿 en 方向传播的平面波。 7.2 试证明：任何椭圆极化波均可分解为两个旋向相反的圆极化波。 解 表征沿+z 方向传播的椭圆极化波的电场可表示为
E (ex Ex e y jEy )e j z E1 E2

c
r
2
c r v p
3 108 4.94 8 1.35 10
7.7 海水的电导率 4S/m ， 相对介电常数 r 。 求频率为 10kHz、 100kHz、 1MHz、 10MHz、100MHz、1GHz 的电磁波在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。 解 先判定海水在各频率下的属性
42 36.5e j 20.8 1 j 0.89
7.8 求证：电磁波在导电媒质内传播时场量的衰减约为 55dB/λ。 证明 在一定频率范围内将该导电媒质视为良导体，此时
f
故场量的衰减因子为
e z e z e

2


e2 0.002
81
4 8.8 108 2 f r 0 2 f 81 0 f 1 7 可见，当 f 10 Hz 时，满足 ，海水可视为良导体。此时 f 0
c (1 j )
f=10kHz 时
f 0
10 103 4 107 4 0.126 0.396 Np/m 2 2 15.87 m 0.126 c (1 j )
故
en r (ex cos e y cos ez cos ) (ex x e y y ez z ) x cos y cos z cos
则
E Em e j( en r t ) Em e j[ ( x cos y cos z cos ) t ] 2 E ex 2 E x e y 2 E y ez 2 E z Em ( j ) 2 e j[ ( x cos y cos z cos )t ] ( j ) 2 E


H ( z, t )
1
0
ez E ( z, t )
e z e y 103 cos t z 0 2
1
e x
103 cos t z e x 2 65sin(t z ) A/m 120 2
e x1.508 103 cos(107 t 0.105 y )V/m 4
在自由空间中，某一电磁波的波长为 0.2m。当该电磁波进入某理想介质后，波长 变为 0.09m。设 r 1 ，试求理想介质的相对介电常数 r 以及在该介质中的波速。 解 在自由空间，波的相速 7.6
无损耗媒质中的波阻抗为
2 108
（1）

r 0 50 |Ε| 500 |H| r 0 0.1
（2）
联解式（1）和式（2） ，得
r 1.99, r 1.13
r 2.5 ， 损 耗 正 切
7.11
tan
102 的非磁性媒质中沿 (ex ) 方向传播。求： （1）波的振幅衰减一半时，传播
y 29999

2
0.75

2
29999

2
22.5
因此，t=3ms 时，Hz=0 的位置为
y 22.5 n

2
m
（2）电场的瞬时表示式为
E ( H e y )0
e z 4 106 cos(107 t y ) e y 120 4
1 A/m 3 7.4 均匀平面波的磁场强度 H 的振幅为 ，以相位常数 30rad/m 在空气中沿 e z e 方向传播。当 t=0 和 z=0 时，若 H 的取向为 y ，试写出 E 和 H 的表示式，并求出波的频 率和波长。 解 以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式
H e y
与之相伴的电场为

3 108 Hz 1.43 109 Hz 0.21 2 f 2 1.43 109 rad/s 9 109 rad/s f vp c
则磁场和电场分别为
1 cos(9 109 t 30 z ) A/m 3 E e x 40 cos(9 109 t 30 z )V /m H e y
即场量的振幅经过 z =λ的距离后衰减到起始值的 0.002。用分贝表示。
E ( z) 20lg m 20lg e 20lg e2 (2 ) 20lg e 55dB Em (0)
7.9 在自由空间中，一列平面波的相位常数 0 0.524rad / m ，当该平面波进入到理想 电介质后，其相位常数变为 1.81rad / m 。设 的传播速度。 解 自由空间的相位常数
r 1 ，求理想电介质的 r 和波在电介质中
0 0 0

，故
0 0.524 3 108 1.572 108 rad / s 0 0
在理想电介质中，相位常数
0 r 0 1.81rad / s
，故
r
1.81
2
2 0 0
1
4 3.14(1 j )
1 当 f=100MHz 以上时， 不再满足，海水属一般有损耗媒质。此时，
2 f 2 f 0
f=100MHz 时
0 r 0
2
) 2 1 1 ( 2 f r 0 ) 2 1 1 ( 2 f r 0
9
一 个 频 率 为 f=3GHz ， ey 方 Βιβλιοθήκη 极 化 的 均 匀 平 面 波 在
的 距 离 ；（ 2 ） 媒 质 的 本 征 阻 抗 ， 波 的 波 长 和 相 速 ； （ 3 ） 设 在 x=0 处 的
E ey 5 0 s i n ( 6
t 1 0 3

)V / m
，写出 H(x,t)的表示式。
式中取
1 E1 [e x ( Ex E y ) e y j ( Ex E y )]e j z 2 1 E2 [e x ( Ex E y ) e y j ( Ex E y )]e j z 2
显然，E1 和 E2 分别表示沿+z 方向传播的左旋圆极化波和右旋圆极化波。 7.3 在 自 由 空 间 中 ， 已 知 电 场 H ( z, t ) 。 解
3 E ( z , t ) e y 10 sin( t z ) V/m
，试求磁场强度
以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式
E ( z, t ) e y 103 cos(t z ) V/m 2
这是一个沿+z 方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为 90 。与之相伴的磁场为
11.93
电介质中的波速则为
3 108 vp m / s 0.87 108 m / s 0 r 0 r 11.93 1 c
时，波长变为 8cm，且已知此时的 | E | 50 V / m ， | H | 0.1A / m 。求该均匀平面波的频 率以及无损耗媒质的 r 、 解 7.10 在自由空间中，某均匀平面波的波长为 12cm；当该平面波进入到某无损耗媒质
7.5 一个在空气中沿
ey
方向传播的均匀平面波，其磁场强度的瞬时值表示式为
（1）求 和在
π H ez 4 106 cos(10 πt y ) A / m 4 H 0 t 3ms z
时，
的位置； （2）写出 E 的瞬时表示式。
解（1） 在 t=3ms 时，欲使 Hz=0，则要求
0 0 107 π
107 3 103
1 π rad / m rad / m 0.105rad / m 8 3 10 30

30
y

4


2
n , n 0,1, 2,
若取 n=0，解得 y=899992.m。

考虑到波长
2

60m
，故
18 102 1 2 f r 0 2 3 109 2.5 109 3 2.5 36 解 （1）
0 r 0
2
0 ( r 0 ) 1 j ( 2 f r 0 )
37.57Np/m 42.1rad/m 2 0.149m
42 14.05e j 41.8 1 j8.9
c
f=1GHz 时
69.12Np/m 203.58rad/m 2 0.03m 0

v p 0 c 3 108 m/s
8
，故波的频率为
f
vp0
在理想介质中，波长 0.09m ，故波的相速为
0

3 10 Hz = 1.5 109 Hz 0.2
v p f 1.5 109 0.09 1.35 108 m/s
而
vp
故
1


2
1
0 r 0
1 cos(t z ) A/m 3
E 0 [ H (e z )] 120 [e y ex 40 cos(t z ) V/m 由 rad/m 得波长 和频率 f 分别为 2 0.21m