导数公式大全(最具说服力的)
24个基本求导公式
24个基本求导公式在微积分中，求导是一个非常基础且重要的概念。
它的作用是用来寻找函数的导数，即函数在给定的点上的斜率。
而求导的基本公式通常用来简化这个过程，使我们能够快速地求得函数的导数。
下面是24个常用的求导公式：1.常数规则：f(x)=c,其中c是常数，则f'(x)=0。
简单来说，常数的导数等于0。
2.幂规则：f(x) = x^n, 其中n是常数，则f'(x) = nx^(n-1)。
换句话说，幂函数的导数是常数乘以幂次减13.指数规则：f(x)=e^x，则f'(x)=e^x。
e是自然对数的底数，它的指数函数的导数就是自身。
4.对数规则：f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x。
这个公式适用于自然对数函数。
5.三角函数规则：f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
即正弦函数的导数是余弦函数。
6.余弦函数规则：f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
即余弦函数的导数是负的正弦函数。
7.正切函数规则：f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
即正切函数的导数是正割平方函数。
8.反三角函数规则：f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1/√(1-x^2)。
即反正弦函数的导数是1除以1减去x的平方根。
9.反余弦函数规则：f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1/√(1-x^2)。
即反余弦函数的导数是负1除以1减去x的平方根。
10.反正切函数规则：f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1/(1+x^2)。
即反正切函数的导数是1除以1加x的平方。
11.双曲正弦函数规则：f(x) = sinh(x)，则f'(x) = cosh(x)。
即双曲正弦函数的导数是双曲余弦函数。
12.双曲余弦函数规则：f(x) = cosh(x)，则f'(x) = sinh(x)。
24个基本求导公式
24个基本求导公式求导公式：1、f(x)=a的导数，f'(x)=0，a为常数。
即常数的导数等于0；这个导数其实是一个特殊的幂函数的导数。
就是当幂函数的指数等于1的时候的导数。
可以根据幂函数的求导公式求得。
2、f(x)=x^n的导数，f'(x)=nx^(n-1)，n为正整数。
求导公式1、f'(x)=lim(h->0)[(f(x+h)-f(x))/h]。
即函数差与自变量差的商在自变量差趋于0时的极限，就是导数的定义。
其它所有基本求导公式都是由这个公式引出来的。
包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
2、f(x)=a的导数，f'(x)=0，a为常数。
即常数的导数等于0；这个导数其实是一个特殊的幂函数的导数。
就是当幂函数的指数等于1的时候的导数。
可以根据幂函数的求导公式求得。
3、f(x)=x^n的导数，f'(x)=nx^(n-1)，n为正整数。
即系数为1的单项式的导数，以指数为系数，指数减1为指数。
这是幂函数的指数为正整数的求导公式。
4、f(x)=x^a的导数，f'(x)=ax^(a-1)，a为实数。
即幂函数的导数，以指数为系数，指数减1为指数。
5、f(x)=a^x的导数，f'(x)=a^xlna，a>0且a不等于1。
即指数函数的导数等于原函数与底数的自然对数的积。
6、f(x)=e^x的导数，f'(x)=e^x。
即以e为底数的指数函数的导数等于原函数。
7、f(x)=log_ax的导数，f'(x)=1/(xlna)，a>0且a不等于1。
即对数函数的导数等于1/x与底数的自然对数的倒数的积。
8、f(x)=lnx的导数，f'(x)=1/x，即自然对数函数的导数等于1/x。
9、(sinx)'=cosx，即正弦的导数是余弦。
10、(cosx)'=-sinx，即余弦的导数是正弦的相反数。
11、(tanx)'=(secx)^2，即正切的导数是正割的平方。
高二数学常用导数公式大全
高二数学常用导数公式大全在学习数学的时候公式是一定要牢牢记住的，下面为大家带来了高二数学常用导数公式大全，一起来回顾一下吧! 导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f(x)的自变量X在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df/dx(x0)。
1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]?g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。
用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。
导数公式大全
导数公式大全1、原函数：y=c(c为常数)导数：y'=02、原函数：y=x^n导数：y'=nx^(n-1)3、原函数：y=tanx导数：y'=1/cos^2x4、原函数：y=cotx导数：y'=-1/sin^2x5、原函数：y=sinx导数：y'=cosx6、原函数：y=cosx导数：y'=-sinx7、原函数：y=a^x导数：y'=a^xlna8、原函数：y=e^x导数：y'=e^x9、原函数：y=logax导数：y'=logae/x10、原函数：y=lnx导数：y'=1/xy=f(x)=c (c为常数),则f'(x)=0f(x)=x^n (n不等于0) f'(x)=nx^(n-1) (x^n表示x的n次方)f(x)=sinx f'(x)=cosxf(x)=cosx f'(x)=-sinxf(x)=tanx f'(x)=sec^2xf(x)=a^x f'(x)=a^xlna(a>0且a不等于1,x>0)f(x)=e^x f'(x)=e^xf(x)=logaX f'(x)=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0)f(x)=lnx f'(x)=1/x (x>0)f(x)=tanx f'(x)=1/cos^2 xf(x)=cotx f'(x)=- 1/sin^2 xf(x)=acrsin(x) f'(x)=1/√(1-x^2)f(x)=acrcos(x) f'(x)=-1/√(1-x^2)f(x)=acrtan(x) f'(x)=-1/(1+x^2)导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f(x)的自变量X在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df/dx(x0)。
求导基本公式16个
求导基本公式16个求导是微积分中的重要概念，用来求函数的变化率和斜率。
在求导过程中，有一些基本公式是非常重要的，它们可以帮助我们简化计算。
下面是16个常用的求导基本公式：1. 常数规则：对于常数c，导数为0。
即：d/dx(c) = 0。
2. 变量规则：对于自变量x，导数为1。
即：d/dx(x) = 1。
3. 幂规则：对于幂函数y = x^n（n为常数），导数为ny^(n-1)。
即：d/dx(x^n) = nx^(n-1)。
4. 指数函数规则：对于以e为底的指数函数y = e^x，导数为e^x。
即：d/dx(e^x) = e^x。
5. 对数函数规则：对于以a为底的对数函数y = log_a(x)，导数为1/(x·ln(a))。
即：d/dx(log_a(x)) = 1/(x·ln(a))。
6. 乘法法则：对于函数y = u(x)v(x)，导数为u'(x)v(x) +u(x)v'(x)。
即：d/dx(uv) = u'v + uv'。
7. 除法法则：对于函数y = u(x)/v(x)，导数为(u'(x)v(x) -u(x)v'(x))/(v(x))^2。
即：d/dx(u/v) = (u'v - uv')/(v^2)。
8. 链式法则：对于复合函数y = f(g(x))，导数为f'(g(x))·g'(x)。
即：d/dx(f(g(x))) = f'(g(x))·g'(x)。
9. 正弦函数法则：对于正弦函数y = sin(x)，导数为cos(x)。
即：d/dx(sin(x)) = cos(x)。
10. 余弦函数法则：对于余弦函数y = cos(x)，导数为-sin(x)。
即：d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
11. 正切函数法则：对于正切函数y = tan(x)，导数为sec^2(x)。
高中导数公式表
高中导数公式表导数是一种非常重要的数学概念，在大学物理，化学，生物等学科中都有着广泛的应用。
它是研究表面积变化，角速度变化，声能传播等，以及其他曲线变化的重要工具。
它可以说是定量描述变化的利器。
下面我们来看看高中导数公式表。
1、基本导数公式：（1）恒定函数的导数是零：f(x)=0（2）任何一种多项式的导数等于它本身：f(x)=ax^n,其中a为常数，n为自然数，则 f(x)=anx^{n-1} （3）e为自然对数的底数，e^x导数等于本身：f(x)=e^x, f(x)=e^x（4）sin x cos x导数分别为：f(x)=sin x, f(x)=cos xf(x)=cos x, f(x)=-sin x（5）ln x导数等于 1/x：f(x)=ln x, f(x)=1/x2、基本微分链式法则：（1）链式法则初等形式：若 dz/dx=dy/dx，则 dz/dy=dz/dx×dx/dy（2）链式法则延伸形式：若 dz/dy=dz/du×du/dv×dv/dx，则dz/dx=dz/du×du/dv×dv/dx3、定义域：（1）函数在取得有效值时，它的定义域被称为有效域；（2）函数在取得无效值时，它的定义域被称为无效域；（3）定义域内的值称为定义域内值；（4）定义域外的值称为定义域外值。
4、极限：（1）极限定义：极限是指当x的取值越来越接近某一个特定的值的时候，函数的值也越来越接近某一个特定的值，这个特定的值就叫做函数的极限。
（2）极限的计算：极限的计算有两个主要的方法，一种是用数字的方法，即通过给出很多的实数值点，来估算函数的极限；另一种是用公式的方法，即通过函数曲线特性来解决极限问题。
5、微分：（1）确定微分式：微分式是求出y变化率的公式，即可以确定函数变化的速率，其根据函数本质（即模型的特性）来决定。
（2）微分的计算：可以利用解析法进行计算，也可以利用数值法近似计算，甚至可以利用机器学习算法来计算，如神经网络等。
16个基本导数公式详解
16个基本导数公式详解在微积分中，导数是指函数在其中一点的切线斜率或变化率。
它在计算斜率、切线和极值时起着重要作用。
以下是16个基本导数公式的详解。
1. 常数函数导数：对于常数函数y=c，导数为dy/dx = 0。
这是因为常数函数在任何点的斜率都是零。
2. 幂函数导数：对于幂函数y=x^n（这里n是常数），其导数为dy/dx = nx^(n-1)。
这个公式可以通过使用极限定义导数来证明。
例如，对于y=x^2，导数为dy/dx = 2x。
3. 指数函数导数：对于指数函数y=a^x（这里a是常数且a>0），其导数为dy/dx = a^x * ln(a)。
这个公式可以通过使用极限定义导数和对数函数的导数来证明。
4. 对数函数导数：对于自然对数函数y=ln(x)，其导数为dy/dx =1/x。
对数函数的导数是指数函数导数的倒数。
这个公式也可以通过使用极限定义导数来证明。
5. 正弦函数导数：对于正弦函数y=sin(x)，其导数为dy/dx =cos(x)。
这个公式可以通过使用极限定义导数和三角函数的定义来证明。
6. 余弦函数导数：对于余弦函数y=cos(x)，其导数为dy/dx = -sin(x)。
这个公式可以通过使用极限定义导数和三角函数的定义来证明。
7. 正切函数导数：对于正切函数y=tan(x)，其导数为dy/dx =sec^2(x)。
这个公式可以通过使用sin(x)和cos(x)的导数公式来证明。
8. 反正弦函数导数：对于反正弦函数y=arcsin(x)，其导数为dy/dx = 1/√(1 - x^2)。
这个公式可以通过使用反三角函数的定义和导数的链式法则来证明。
9. 反余弦函数导数：对于反余弦函数y=arccos(x)，其导数为dy/dx = -1/√(1 - x^2)。
这个公式可以通过使用反三角函数的定义和导数的链式法则来证明。
10. 反正切函数导数：对于反正切函数y=arctan(x)，其导数为dy/dx = 1/(1 + x^2)。
求导基本公式表
导数是微积分学中的重要概念，它表示一个函数在某一点处的变化率。
导数公式是微积分学中的基本公式之一，用于计算函数的导数。
以下是导数的基本公式表：
1.函数y=kx的导数为y′=k，其中k为常数。
2.函数y=axn的导数为y′=naxn−1，其中a为常数，n为正整数。
3.函数y=loga(x)的导数为y′=x ln a1，其中a为常数且a>0且a=1。
4.函数y=ex的导数为y′=ex。
5.函数y=sin(x)的导数为y′=cos(x)。
6.函数y=cos(x)的导数为y′=−sin(x)。
7.函数y=tan(x)的导数为y′=(sec(x))2。
8.函数y=cot(x)的导数为y′=−(csc(x))2。
9.函数y=sec(x)的导数为y′=tan(x)sec(x)。
10.函数y=csc(x)的导数为y′=−cot(x)csc(x)。
这些公式可以在求解函数的导数时提供帮助。
但是需要注意，对于复杂的函数，可能需要使用更高级的导数公式才能求解其导数。
此外，导数的计算还涉及到一些基本的微积分知识和技巧，例如链式法则、乘法法则、指数函数求导法则等等，需要在学习微积分的过程中逐步掌握。
导数公式大全(最具说服力的)
导数公式大全(最具说服力的)导数公式大全（最具说服力的）一、导数的定义和性质导数是微积分中的重要概念，用来描述函数在某一点处的变化率。
对于函数f(x)，它在点x处的导数记作f'(x)，定义为：f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，h表示自变量x的增量。
导数具有以下几个基本性质：1. 常数规则：若c为常数，则（c）' = 0。
2. 幂函数规则：对于幂函数f(x) = x^n，其中n为正整数，则(f(x))' = nx^(n-1)。
3. 指数函数规则：对于指数函数f(x) = a^x，其中a为常数且a>0且a≠1，则(f(x))' = ln(a) * a^x。
4. 对数函数规则：对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为常数且a>0且a≠1，则(f(x))' = 1 / (x * ln(a))。
5. 三角函数规则：对于三角函数f(x) = sin(x)，(f(x))' = cos(x)；对于f(x) = cos(x)，(f(x))' = -sin(x)；对于f(x) = tan(x)，(f(x))' = 1 / cos^2(x)。
6. 反函数规则：如果y = f(x)是可导函数，且f'(x) ≠ 0，则其反函数x = f^(-1)(y)在相应点处可导，且有(f^(-1)(y))' = 1 / (f'(x))。
二、高级导数公式除了基本性质外，还存在一些高级的导数公式，可以用来求解更为复杂的函数的导数。
1. 乘积法则：若函数u(x)和v(x)都在x处可导，则(u(x)v(x))' =u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。
2. 商积法则：若函数u(x)和v(x)都在x处可导且v(x) ≠ 0，则(u(x)/v(x))' = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / v^2(x)。
导数公式大全
导数公式大全在微积分中，导数是描述函数变化率的重要概念。
通过导数，我们可以求得函数在某一点的斜率，进而推断函数在该点附近的变化情况。
因此，熟练掌握各种函数的导数公式对于解决实际问题和理解数学原理都具有重要意义。
接下来，我们将介绍一些常见函数的导数公式，希望能够帮助大家更好地理解导数的概念。
1. 常数函数的导数公式。
对于常数函数f(x) = c，其中c为常数，则其导数f'(x) = 0。
这是因为常数函数的图像是一条水平直线，斜率始终为0。
2. 幂函数的导数公式。
对于幂函数f(x) = x^n，其中n为常数，则其导数f'(x) = nx^(n-1)。
这个公式可以通过极限的方法进行推导，是微积分中最基本的导数之一。
3. 指数函数的导数公式。
指数函数f(x) = a^x（a>0且a≠1）的导数为f'(x) = a^x ln(a)。
指数函数的导数公式可以通过对指数函数的定义进行推导得到。
4. 对数函数的导数公式。
对数函数f(x) = log_a(x)（a>0且a≠1）的导数为f'(x) = 1/(x ln(a))。
对数函数的导数公式可以通过对数函数的定义和导数的定义进行推导得到。
5. 三角函数的导数公式。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们的导数公式分别为：正弦函数f(x) = sin(x)的导数为f'(x) = cos(x)。
余弦函数f(x) = cos(x)的导数为f'(x) = -sin(x)。
正切函数f(x) = tan(x)的导数为f'(x) = sec^2(x)。
6. 反三角函数的导数公式。
反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
它们的导数公式分别为：反正弦函数f(x) = arcsin(x)的导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)。
反余弦函数f(x) = arccos(x)的导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)。
商求导数的公式范文
商求导数的公式范文求导数的公式在微积分中被广泛使用。
它们是用来计算函数在其中一点的斜率（切线的斜率）以及函数的变化率。
下面是一些常见函数的导数公式：1.常数函数f(x)=C，其中C是常数，导数为0f'(x)=02.幂函数f(x)=x^n，其中n是实数，导数为n*x^(n-1)f'(x)=n*x^(n-1)3. 指数函数 f(x) = a^x，其中 a 是常数，导数为 a^x * ln(a)f'(x) = a^x * ln(a)4. 对数函数 f(x) = log_a(x)，其中 a 是常数，导数为 1 / (x * ln(a))f'(x) = 1 / (x * ln(a))5.三角函数：正弦函数 f(x) = sin(x) 的导数为 cos(x)f'(x) = cos(x)余弦函数 f(x) = cos(x) 的导数为 -sin(x)f'(x) = -sin(x)正切函数 f(x) = tan(x) 的导数为 sec^2(x)f'(x) = sec^2(x)6.反三角函数：反正弦函数 f(x) = arcsin(x) 的导数为 1 / sqrt(1-x^2)f'(x) = 1 / sqrt(1-x^2)反余弦函数 f(x) = arccos(x) 的导数为 -1 / sqrt(1-x^2)f'(x) = -1 / sqrt(1-x^2)反正切函数 f(x) = arctan(x) 的导数为 1 / (1+x^2)f'(x)=1/(1+x^2)反双曲正弦函数 f(x) = arcsinh(x) 的导数为 1 / sqrt(1+x^2) f'(x) = 1 / sqrt(1+x^2)反双曲余弦函数 f(x) = arccosh(x) 的导数为 1 / sqrt(x^2-1) f'(x) = 1 / sqrt(x^2-1)反双曲正切函数 f(x) = arctanh(x) 的导数为 1 / (1-x^2)f'(x)=1/(1-x^2)7.f(x)=u(x)*v(x)，其中u(x)和v(x)是函数，导数为u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)（乘积法则）f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)8.f(x)=u(x)/v(x)，其中u(x)和v(x)是函数，导数为(u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x))/(v(x))^2（商法则）f'(x)=(u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x))/(v(x))^2这些公式是求解导数的基本工具。
《导数》公式汇总
《导数》公式汇总专题一、求导一、导数的概念(1)f (x )在x ＝x 0处的导数就是f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，记'y |0x x ＝或)(0x f '，即)(0x f '＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(2)当把上式中的0x 看作变量x 时，)(x f '即为)(x f 的导函数，简称导数，即'y ＝)(x f '＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx二、基本初等函数的导数公式表及求导法则（默写） 导数公式：(1) 0='C （C 为常数）. (2) '1()()n n x nxn Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='.(4) x x sin )(cos -='.(5) x x 1)(ln ='； (6)e a xxa log 1)(log ='.（7）xxe e =')(; （8）a a a xxln )(='.（9）2'11x x -=⎪⎭⎫⎝⎛（10）()xx 21'=（11）求导法则：（1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+.（3）'''2()(0)u u v uv v v v-=≠. （4）(c )(x f )′=c '()0f x > 求导方法：先化简，后求导。
（将f(x) 化为加加减减的形式） 复合函数的求导：专题二、导数的应用 一、单调性题型1：图像题方法：观察图像，若'()0f x >，则f(x)单调递增；若'()0f x <，则f(x)单调递减 题型2：求f(x)的单调区间 （1）求定义域 （2）求导'()0f x > （3）令'()0f x >，求出x 的范围，即为单调递增区间 令'()0f x <，求出x 的范围，即为单调递减区间二、极值题型1：求函数的极值 （1）求定义域 （2）求导（3）令导数=0，解得x 1，x 2 （4）列表：x（－∞，x 1） x 1 （x 1，x 2） x 2 （x 2，＋∞） '()0f x > － 0 ＋ 0 － f(x)↘极小值↗极大值↘∴f(x)在x=x 1处取得极小值为：f(x 1)= f(x)在x=x 2处取得极大值为：f(x 2)=题型2：已知函数在x=x 0处取得极值m ，求字母 （1）求定义域 （2）求导'()0f x > （3）代点：)(0x f '=0 （4）代点：f （x ）=m三、最值题型：求函数f （x ）在[a,b]上的最大值、最小值 （1）求定义域 （2）求导'()0f x > （3）令'()0f x >=0，解出x 1，x 2 （4）代点：比较大小 f （x 1）＝ f （x 2）＝ f （a ）＝ f （b ）＝专题三、切线方程一、导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ＝)(0x f '，切线方程为：))((000x x x f y y -'=-二、求函数的切线方程★★★★★题型1：求f （x ）在函数上一点（x 0，y 0）处的切线方程 （1）求定义域 （2）求导（3）求切线斜率：k=)(0x f ' （4）切线方程：y=k （x －x 0）＋y 0题型2：已知函数在点（x 0，y 0）处的切线方程，求字母 （1）求定义域 （2）求导)(0x f '（3）求切线斜率：k=)(0x f '=（切线方程：Ax ＋By ＋C=0 ）（4）代点：切点（x 0，y 0）代入f （x ）和直线方程。
常用函数导数公式大全
常用函数导数公式大全
导数是微积分中的重要基础概念，用于描述函数在某一点处的变化率。
常用函数的导数公式如下:
1. 常数函数的导数为零。
2. x 的幂函数的导数:y" = yx(x-1)。
3. 指数函数的导数:y" = eax。
4. 对数函数的导数:y" = loga(ex)。
5. 三角函数的导数：
- 正弦函数的导数:y" = cosx。
- 余弦函数的导数:y" = -sinx。
- 正切函数的导数:y" = tanx。
- 余切函数的导数:y" = cotx。
6. 反三角函数的导数：
- 反正弦函数的导数:y" = -cosx。
- 反余弦函数的导数:y" = sinx。
- 反正切函数的导数:y" = -tanx。
- 反余切函数的导数:y" = cotx。
7. 双曲函数的导数:y" = -(abx^2 + 2acy + cy^2)。
8. 反双曲函数的导数:y" = ab(bx^2 - 2acy + cy^2) + 2abcdy。
9. 幂函数的导数:y" = yx^(x-1)。
10. 递归函数的导数:y" = f(x, y) - f(x-1, y)。
这些导数公式只是部分常用函数的导数，还有许多其他函数的导
数公式。
在实际应用中，需要根据具体情况选择适合的函数，并计算出其导数。
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数记为
y(4)，y(5)，·· (n) ·，y
f (x) 称为 f (x) 的一阶导数.
d4 y dn y 或 ·， n , , ·· 4 dx dx
( x 2 1) - 2 x( x - 1) 2 x - x 2 1 . 2 2 2 2 ( x 1) ( x 1)
教材P32 例2 求下列函数的导数：
(1) y x - cos x (2) y x e x 3 2 (4) y 2x 3x sin x e (3) y 2 1- x
2 2 2 2
(2)把 x - 2当作中间变量， y ' cos( x - 2) ( x - 2) ' 1 cos( x - 2) 2 x cos( x - 2) 2 x
(3)把 cos x当作中间变量， 1 sin x y' (cos x) ' - tan x cos x cos x
例4.求下列函数的导数： 1 y (3x 1) ; ）
2 3
2) y sin( x - 2); 4) y e
tan x
3) y ln cos x; 5) y 2
-x
;
解： 函数可以分解为y u ( x), u ( x) 3x 1, (1)
3 2
y ' [u 3 ( x)]' 3u 2 ( x) u ( x) ' 3(3x 2 1) 2 (3x 2 1) ' 3(3x 1) 6 x 18 x(3x 1)
（2）从所得等式中解出y '.
dy 例7 设函数y y ( x)由方程y - cos( x y ) x所确定，求 . dx
2 2
解：方程两边分别对x求导，得 x ' y ' sin( x 2 y 2 ) ( x 2 y 2 ) '
2 2
1 y ' sin( x y ) (2 x 2 yy ') 1 y ' 2 x sin( x y ) 2 y sin( x y ) y '
y
解：上式两边对x求导，则有y '＝(1) ' ( xe ) ', 即
y
y ' e x (e ) e x e y '
y y y y
(1 - xe ) y ' e
y
y
e y' y 1 - xe
y
隐函数的求导步骤： 得到一个含有y '的等式;
（）方程两边对x求导，求导过程中把y视为中间变量， 1
2 2 2 2
[1 2 y sin( x y )] y ' 1 - 2 x sin( x y )
2 2 2 2
1 - 2 x sin( x y ) y' 1 2 y sin( x 2 y 2 )
2 2
dy 练习：设函数y y ( x)由方程xy y 2 x所确定，求 . dx
(cos x) = - sin x. (cot x) = - csc2x . (csc x) = - csc x cot x .
另外还有反三角函数的导数公式：
(arcsinx ) (arccosx )
1 1 - x2 -1
2
, ,
1- x 1 (arctan x ) , 2 1 x -1 (arc cot x ) . 2 1 x
f x( x, y) ( x 3 - 2x 2 y 3 y 4 )x 3x 2 - 4xy 解： f y ( x, y) ( x 3 - 2x 2 y 3y 4 )y -2x 2 12y 3 f x(1,1) 3 12 - 4 11 -1
(1,-1) -2 12 12 (-1) 3 -14 fy
dy 或记作： f '(u ) u '( x) dx
推论 设 y = f (u) ， u = (v)， v = (x) 均
可导，则复合函数 y = f [ ( (x))] 也可导，
x y y uv v . x u
以上法则说明：复合函数对自变量的导数等于复合 函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.
而把
例3 求下列函数的二阶导数
(1) y x cos x
解：
(2) y arctan x
(1) y ' cos x x(- sin x) cos x - x sin x
y" - sin x - (sin x x cos x) -2 sin x - x cos x
1 2x (2) y ' 2 2 2 1 x (1 x )
导数的四则运算
设函数 u(x)、v(x) 在 x 处可导， v( x ) ( u( x ) 0) 则它们的和、差、积与商 u( x ) 在 x 处也可导， 且
(u(x) v(x)) = u(x) v (x); (u(x)v(x)) = u(x)v(x) + u(x)v(x);
解：
(4) y ' (2 x3 )' (3x sin x)' (e2 )' 2( x 3 )'-3( x sin x)'0 2 6 x - 3(sin x x cos x)
高阶导数
如果可以对函数 f(x) 的导函数 f (x) 再求导，
所得到的一个新函数， 称为函数 y = f(x) 的二阶导数，
导数的基本公式与运算法则 基本初等函数的导数公式
c 0 (c为任意常数)
'Байду номын сангаас
(x ) = x -1 . (ax) = ax lna .
(ex) = ex.
1 1 (log a x ) . (ln x ) . x x ln a
(sin x) = cos x. (tan x) = sec2x . (sec x) = sec x tan x .
例3
解
x -1 设 y x 2 1 , 求 y .
根据除法公式，有
2 2 x - 1 ( x 1)( x - 1) - ( x 1)( x - 1) y 2 x 1 ( x 2 1) 2
( x 2 1)[(x ) - (1)] - [( x 2 ) (1)]( x - 1) ( x 2 1)2
x 2 -3 x-2
（3）y ln ln ln x （4）y ln(x
x 1)
2
隐函数的导数
y与x的关系由方程（x，y）＝0确定，未解出因变量的 F 方程（x，y）=0所确定的函数y y( x)称为隐函数 F
dy 例6 设函数y y ( x)由方程y 1 xe 所确定，求 . dx
(1 x )' y" 2 2 (1 x )
2
二阶以上的导数可利用后面的数学软件来计算
复合函数的求导法则
定理2.2 若函数u u ( x)在点x可导，函数y＝f (u ) 在点u处可导，则复合函数y f (u ( x)) 在点x可导，且 dy dy du dx du dx
v( x ) u( x )v ( x ) - u( x )v ( x ) . 2 u( x ) [u( x )]
定理2. 1
推论 1 推论 2
(cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
1 u( x ) u( x ) - u 2 ( x ) .
[cos(3 2 x 2 )]' - sin(3 2 x 2 ) (4) y ' (3 2 x 2 ) ' -4 x tan(3 2 x 2 ) cos(3 2 x 2 ) cos(3 2 x 2 )
例5：求下列函数的导数
y （1）
cosx
2
（2）y e
3
2 x
(1) y ' ( x3 - cos x)' ( x3 )'- (cos x)' 3x2 sin x
(2) y ' ( x2ex )' ( x2 )' ex x2 (ex )' 2xex x2e x ( x 2) xe x
x x '(1 - x 2 ) - x(1 - x 2 ) ' 1 - x 2 - x(-2 x) (3) y ' ( )' 2 2 2 1- x 2 (1 - x ) (1 - x 2 )2 1 x (1 - x 2 ) 2
练习：求下列函数的导数(课堂练习) (2) y cos 3x； (3) y x 2 - 3x 2； （4） cos(3 2 x 2 ) lg
（）y (-1 x 2 )3 ; 1
解: (1) y ' 6 x(-1 x 2 ) 2 (2) y ' -3x ln 3 sin 3x (3) y ' 2x - 3 2 x 2 - 3x 2
= 12x3 - ex - 5sin x .
f (0) = (12x3 - ex - 5sin x)|x=0 = - 1
例2
设 y = xlnx ， 求 y .
解 根据乘法公式，有
y = (xlnx) = x (lnx) (x)lnx
1 x 1 ln x x
1 ln x .