4光谱线及谱线展宽-1

表明频率为v的受激辐射爱因斯坦跃迁几率B21(v) 与线型函数g(v)或N无关, 由原子本身性质决定 对于频率为v的受激辐射跃迁几率w21是 否也与g(v)无关呢?
频率为v的受激辐射跃迁几率 g(v ) 1
W21 (v ) B21 g(v ) (v )
v N 2 (v v0 )2 ( v N / 2)2
g(v )
A21
1
g(v)
4 2 (v v0 )2 ( / 4 )2 g(v0) A21 v N v2 v1 2 g(v )/2
v N A21 / 2 / 2
1 / 2 N v N A21 2 4 v 2 v0 4
0
1、入射场为准单色光。如氪光源，钠光源等
入射辐射场频率为v，其线宽’(很小) 被照射物质原子 辐射的中心频率 为v0，谱线宽度 v 。 即：
g(v’,v0)
1 入射辐射场为准 单色光
g(v’)
v
能量密 度v
v’
v v'
在 ’范围内g(v)视为常数
v0
v
v’
受激跃迁引起高能级粒子 g(v’,v0) 数的变化率
总上，在单色辐射场v的作用下受激吸收和受激辐 射跃迁几率 g(v’,v0)
S
(2) 在30cm远处，垂直于光传播方向的平面上的 辐射照度Ee
A=2R2
Ee= e/A =e/2R2= Ie/ R2
=4.8/0.32=53.3(W.m-2)
S
§1-6 主要内容:
一、谱线的展宽： 1、原因： 线型函数
2、种类： 非均匀加宽
均匀加宽

自然加宽 碰撞加宽 多普勒加宽
A21
下面我们讨论谱线加宽,今天主要介绍 均匀加宽中的自然加宽。
二、自然加宽：
1、定义自然加宽：
二、自然加宽
处于激发态上的原子具有一定的寿命，而 =1/v, 使辐射谱线加宽, 为自然加宽。 2、自然加宽的线型函数： 自发辐射 根据前面我们推得的自发辐射功率
I ( t ) hv0 A21n20e
v
v1 v0 v2
v
v1 v0 4
gm 4 / A21 2 / v N
说明：越小，N越小，谱线的单色性越好
g(v )
A21
2 2
1
2
4 (v v0 ) ( / 4 )
v N A21 / 2 / 2
（4）g(v)的谱线宽度表示式
又因为
A21t
若无外界激励，其强 度以指数规律衰减。
I (t ) E 2 (t )
式中A21 = 衰减因子
而
E ( t ) E0e j 2v0t e t / 2
I (t )
2 t E0 e
复振幅
2 t I ( t ) E0 e
E ( t ) E0e j 2v0t e t / 2
黑体(朗佰体)的亮度 Le= Me/ 辐射亮度 Le= Me/=3.77106/ =1.2106（W.m-2.sr-1） S
Me=3.77106(W.m-2)
因为 Me=de/dA e=Me.A=3.77106810-6=30.16(W)
=2
而 Ie= de/dΩ=e/2=30.16/2=4.8 (W.sr-1)
n2
书P34 6题、T=2856k的溴鎢灯，面积A=24mm2, （视为黑体）。求: (1) 该辐射源的 Me(T), Le, e, Ie ?
(2) 在30cm远处，垂直于光传播方向的平面上 的辐射照度是多少？
作业
解：(1) 由斯忒藩—玻尔兹曼定律知，黑体辐射 的辐出度 MeB(T)=T4 =5.6710-82.85641012 =2 =3.77106(W.m-2)
g(v’)
dn21 受激辐射 W21n2 dt n2W21 (v )dv

v
v’
n2 B21


g(v ) (v )dv
v0
v
v’
n2 B21 g(v )v
W21 B21 g(v )v
W21 (v ) B21 g(v ) (v )
同理可推得, 在单色辐射场v的作用下受激吸收引起 低能级粒子数的变化率 g(v’,v0)
2
d (v v0 ) A
2

( / 4 )
1
A / 4 A21 / 4
g(v )
代回原式
g(v ) A /[( v v0 )2 ( / 4 )2 ] A21 1 推导过
4 (v v0 ) ( / 4 )
2 2 2
程不作 要求
自然加宽线型函数
定义A21(v):
I (v ) n2hvA21 g(v )
g(v)
g(v0)
从E2到E1跃迁的粒子中辐射 频率为v的粒子的跃迁几率。 g(v0)/2
v
A21 (v ) A21 g(v ) I (v ) n2hvA21 (v )
这就是频率为v的自发辐射强度的公式
E1,n1 v1 v0 v2 E2,n2 v
复习
复习
1、入射波和物质间相互作用包含原子的三种过程： dn21 1 1 自发辐射 A21 ( ) sp dt n2 s dn12 1 受激吸收 w12 ( ) st B12v dt n1 dn21 1 w21 ( ) st B21v 受激辐射
dt
2、爱因斯坦系数的基本关系式。 B12g1=B21g2 若g2=g1,则： B12=B21 A21 8h 3v 3 或 W12＝W21 B21 c3 3、受激辐射与自发辐射的异同: 相干性

A
2 ) 0 ( / 4 )
d ( v v ) 1 0 2
(v


A
0
v ) ( / 4 )
2
2
d (v v0 ) 1

利用积分式

A

1 x arctg a a x2 a2 a dx
2
(v v
求得
0)
2
( / 4 )
4 (v v ) ( )2 0 4 比较两式，令
2 2
I (v )
2 E0
1
g(v ) I (v ) / I 0
2
g(v ) A /[( v v0 ) ( / 4 ) ]
式中A为待定常数。 利用g(v)的归一化条件

2
g(v )dv 1
(v v

n2 A21 (v )dv
A21 (v ) g(v ) A21


n2 A21 g(v )dv
n2 A21
说明：谱线加宽对自发辐射无影响：
2、谱线加宽对受激辐射场的影响： 由爱因斯 坦关系式 得
3 3
受激辐射场的影响
A21 8hv A21 (v ) g(v ) A21 3 B21 c 3 3 c A21 (v ) c B21 A 3 3 21 8hv 3 3 g ( v ) 8hv 3 c B21 g(v ) B21 (v ) A ( v ) 21 8hv 3 3
Et h E 0 t 0
也会造成谱线展宽。
线型函数
光谱线的形状和宽度对激光器的工作特性有很 大的影响。我们首先定义一个函数，用它来描述 光谱线的形状和宽度
g(v)
2、线型函数。
I (v ) 定义: g(v ) I0
I0 辐射总功率， I(v) 频率为v的辐射功率 也叫跃迁几率分布函数
而由傅立叶变换式，若E(t)为所有简谐波之和 E(v)是频率为v的简 j 2 vt E (t ) E (v )e dv 谐波的振幅 则E(v)的逆变换由傅立叶积分公式

E (v ) E ( t )e E0e
0 0

j 2 vt
dt dt
0
[ j 2 ( v0 v ) / 2]t
g(v ) (v )dv
W21 B21

g(v ) (v )dv
1 v N g(v ) 2 (v v0 )2 ( v N / 2)2
W21 B21


g(v ) (v )dv
物质的受激辐射跃迁几率W21由g(v)和(v)决定
结论
（1）谱线加宽对自发辐射无影响。 （2）谱线加宽对B21(v)无影响 （3）谱线加宽对W21有影响 下面分两种情况讨论谱线加宽对原子辐射场的影响
1 v N g(v ) 2 (v v0 )2 ( v N / 2)2
罗伦兹型函数 说明：谱线的跃迁几率g(v)与谱线的自然加宽 有关即与工作物质有关。
三、谱线加宽对原子与辐射场相互作用的影响：
1、谱线加宽对自发辐射场的影响：
自发辐射

三、谱线加宽对原子辐 射场的影响
dn21 dt
由
E0
I (v )dv E 2 (v )dv E (v ) E (v )dv
2 E0
I (v )
1
4
2
j (v0 v ) j (v0 v ) 4 4
1

1

4 2 (v v )2 ( )2 0 4
2 E0
由定义
g(v ) I (v ) / I 0
也就是说频率为v的受激辐射跃迁几率W21(v)与 跃迁函数g(v)或N有关。 下面我们推导受激辐射跃迁与g(v)的关系式:
由W21的 定义
dn21 W21 dt
st
st
dn21 dt
1 B21 (v ) n2
n2W21

n2 B21



n2W21 (v )dv

g(v0)
g(v0)/2
v
v1 v0 v2
v
图1线型函数
图1 是描述辐射光强随频率变化的曲线
即 I (v ) g(v ) I 0
g(v)的特性: 10、归一化特性
20、谱线宽度 v（半宽度）
g(v )dv 1g(v )
0

g(v)
I (v ) g(v ) I0
1 g g(v0 ) 2
A21 1 自然加宽 g(v ) 线型函数 4 2 (v v0 )2 ( / 4 )2 g(v) 主要结论：
（1）g(v)相对于v0是对称的 （2）v= v0 时 g(v)为极大
gຫໍສະໝຸດ Baiduv0)
g(v0 ) gm 4 / A21
g(v0)/2
v
（3）谱线宽度（半宽度） 由 g(v1 ) g(v2 ) gm / 2 2 / A21
dn12 受激吸收 n1W12 dt n1W12 (v )dv
g(v’)
v
v’
n1 B12


n1 B12 g(v )v
得

g(v ) (v )dv
v0 v
W12 (v ) B12 g(v ) (v )
v’
W12 B12 g(v )v W21 B21 g(v )v
E0 [ / 2 j 2 ( v0 v )]t e j 2 (v0 v ) / 2

2 E0 j 2 (v0 v )
得 E (v )
表明E(v)随 v v0 的增大而减小。 v0为中心频率
E0 1 E (v ) 2 j 2 (v0 v ) j (v0 v ) 2 4
时对应的谱线宽度 ,如图: v = v2-v1
g(v0)/2
v
v1 v0 v2 E2,n2 A21
v
30、频率为v的自发辐射功率I(v)为
I (v ) I 0 g(v ) n2hvA21 g(v )
E1,n1
n2为E2能级的粒子数，n2hvA21为单位时间 从E2跃迁到E1的总光子能量密度。
v1 v0 v2
v
A21 A21 2 2 ( v / 2)2 ( A / 4 )2 (v2 v0 ) ( / 4 ) N 21 4 2 2 2 2 A21 A21 A21 v A21 自然展宽 1/ 2 v N 2( 2 ) N 2 2 的半宽度 2 8 16
二、谱线加宽对原子与辐射场相互作用的影响：
一、谱线的展宽： 任何一个光源发出的光都 不可能是单色光，它的谱线 总有一定的宽度。 1、谱线展宽的原因。 10、原子间的相互作用造成谱线展宽。
E2 E2
一、谱线的展 宽
E2
E1
E1
E1
20、原子、分子的振动是有阻尼的运动，其辐射 有一定的持续时间t=1/ v,造成谱线展宽。 30、由量子力学的测不准关系：