动圆

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质

MN和公路PQ在点O处交汇，角QON=30°，在点A处有一栋居民楼，AO=200m，如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时，居民楼是否会受到噪音的影响？如果火车行驶的速度为72km/h，居民楼受噪音影响的时间约为多少秒？（精确到0.1s)?

以A为圆心，OA=200m为半径作圆，该圆与直线MN的交点为B。那么，当火车在弦OB上位于圆内时，就会影响到居民楼

连接AB

因为AO=AB=R=200m

所以，∠AOB=∠ABO=30°

则，∠OAB=120°

所以由余弦定理得到：OB^2=OA^2+AB^2-2OA*AB*cos120°

即，OB=200√3m

火车速度V=72km/h=72000m/(3600s)=20m/s

火车沿MN运动，从进入圆A区域（即O点）开始，到离开圆A区域（即B点），总共运动的时间是：

t=OB/V=200√3m/(20m/s)=10√3s≈17.3s

2.如图1,已知ABCD是边长为4的正方形,E是CD边上的一个动点,连结AE,AE的延长线交BC 的延长线于点P,连结PD.作△ADE的外接圆☉O.设DE=x,PC=y.(9分)

(1)求y与x之间的函数关系式;

(2)若PD是☉O的切线,求x的值;

∴=,

∴=,

∴y=-4.①

由①得,x=-4,

∴x=2-2(负值舍去).

如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C

两点（点B在C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式。（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物

线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，

且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P 点的坐标和△PAC的最大面积．

◆满分解答：（1）设抛物线为y=a（x﹣4）2﹣1，

∵抛物线经过点A（0，3），∴3=a（0﹣4）2﹣1，；

∴抛物线为；（3分）

（2）相交．

证明：连接CE，则CE⊥BD，

当时，x1=2，x2=6．

A（0，3），B（2，0），C（6，0），对称轴x=4，

∴OB=2，AB==，BC=4，

∵AB⊥BD，∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，

∴△AOB∽△BEC，

∴=，即=，解得CE=，∵＞2，∴抛物线的对称轴l与⊙C相交．（7分）

（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；可求出AC的解析式为；（8分）

设P点的坐标为（m，），则Q点的坐标为（m，）；

∴PQ=﹣m+3﹣（m2﹣2m+3）=﹣m2+m．

∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=×（﹣m2+m）×6=﹣（m﹣3）2+；

∴当m=3时，△PAC 的面积最大为

；此时，P 点的坐标为（3，34

-）．（10分）

如图8，AB 是⊙O 的直径，弦BC =2cm ，F 是弦BC 的

中点，∠ABC =60°．若动点E 以2cm/s 的速度从A 点

出发沿着A →B →A 方向运动，设运动时间为t (s )(0≤t ＜3)，

连结EF ，当t 值为________s 时，△BEF 是直角三角形．

【答案】1或1.75或2.25

如图，在ABC ∆中，90B ∠= ，12mm AB =，24mm BC =，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm /s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm /s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么 经过_____________秒，四边形APQC 的面积最小．

【答案】3

如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，动点P 以2米/秒得速度从A 点出发，沿AC 向C 移动，同时，动点Q 以1米/秒得速度从C 点出发，沿CB 向B 移动。当其中有一点F

E O A C

B

到达终点时，他们都停止移动，设移动的时间为t秒。

（1）①当t=2.5秒时，求△CPQ的面积；

②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数关系式；

（2）在P、Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，写出t的值；

（3）以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时，求出t的值。

在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米，∴AC=10米

由题意得：AP=2t，CQ=10-2t

（1）①过点P作PD⊥BC于D。

∵t=2.5，AP=2×2.5=5，QC=2.5

∴PD=AB=3，∴S=×QC×PD=3.75

②过点Q作QE⊥PC于点E

易知Rt△QEC∽Rt△ABC，∴，QE=

∴S=

（2）当秒（此时PC=QC），秒（此时PQ=QC），或秒（此时PQ=PC）△CPQ为等腰三角形；

（3）过点P作PF⊥BC于点F，则有△PCF∽△ACB

∴，即

∴PF=，FC=

则在Rt△PFQ中，

当⊙P与⊙Q外切时，有PQ=PA+QC=3t，此时

整理得：，解得

故⊙P与⊙Q外切时，；

当⊙P与⊙Q内切时，有PQ=PA-QC=t，此时

整理得：，解得

故⊙P与⊙Q内切时