动圆
动圆过定点问题公式
动圆过定点问题公式在数学的奇妙世界里，动圆过定点问题可是个挺有趣的家伙。
咱先来说说啥是动圆过定点问题。
想象一下啊，有一个圆，它不像咱平时画的那些老老实实呆在一个地方的圆，而是会动来动去的，就像个调皮的小孩子。
但神奇的是，不管它怎么动，总会经过一个固定的点，这个固定的点就像是它的“家”，无论在外怎么撒欢，最后都得回到这儿。
为了解决动圆过定点问题，咱们有一些实用的公式和方法。
比如说，假设动圆的方程是$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，其中$(a, b)$是圆心的坐标，$r$是半径。
如果这个动圆经过一个定点$(x_0, y_0)$，那就把这个点的坐标代进去，就能得到一个关于$a$、$b$或者$r$的关系式。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小同学眼睛瞪得大大的，一脸迷茫地问我：“老师，这圆为啥要动来动去啊，它不累吗？”我笑着跟他说：“这圆啊，就像你在操场上跑步，虽然跑的路线不一样，但总有个终点等着你。
”这小家伙似懂非懂地点点头，继续埋头琢磨去了。
咱们再深入一点，动圆过定点问题还常常和其他的数学知识结合在一起。
比如说和直线方程啦，圆锥曲线啦等等。
这就像是一场数学知识的大派对，大家都凑到一块儿，热闹非凡。
比如说，如果动圆与一条直线相切，并且经过一个定点，那咱们就得先求出直线的方程，再结合圆的方程，找出其中的关联。
这就好像是解开一道复杂的谜题，每一个条件都是一块拼图，咱们得把它们拼到一起，才能看到完整的画面。
还有的时候，动圆过定点问题会出现在实际生活中呢。
就像建筑工人在建造圆形的花坛时，要确保某个位置总是能被花坛覆盖，这其实就是在解决一个动圆过定点的问题。
总之啊，动圆过定点问题虽然有点小复杂，但只要咱们掌握了方法，多做几道题练练手，就一定能把它拿下。
就像那个一开始迷茫的小同学，后来经过自己的努力，也能熟练地解决这类问题啦。
所以同学们，别害怕，大胆地去探索这个奇妙的数学世界吧！。
巧用相切关系求动圆圆心的轨迹方程
求动圆圆心的轨迹方程包头市第一中学---赵胜凡直线与圆相切，圆与圆相切是圆这一节的重要内容，它主要体现在圆的半径及其圆心距的数量关系上，从而利用这一特点求动圆圆心的轨迹或轨迹方程的问题在高考及资料中经常见到，显然此类问题简洁的解法就是利用圆的几何性质，这类问题一般不难，但比较灵活，学生在解决这类问题时不容易把握，经常出错，本人整理了一些常见类型，试图揭示其本质，使学生把握其规律，掌握这类问题。
类型1 动圆与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程例1.已知动圆经过点F(0,3)且和直线y+3=0相切，求圆心的轨迹方程.解析：设所求圆心为（x,y)，有已知可得3)3()0(22+=-+-y y x ，化简并整理的 y x 122=，是一条抛物线，其中顶点为（0，0），焦点为（0，3）例2. 求与圆C ：0422=-+x y x 相切且与y 轴相切的动圆圆心P 的轨迹方程. 解析：圆C 即4222=+-y x ）（，设动圆的圆心为）（y x P ,（1）若动圆P 与圆C 相外切，则2222+=+-x y x ）（，所以x x y 442+=，即 时，x y 82= (x>0)或02=y （x<0）.（2）若动圆P 与圆C 内切，则0=y （x>0,且2≠x ） 综上 ，所求轨迹方程为x y 82= （x>0)或y=0 ( 2,0≠≠x x 且)点评：本题两圆的位置关系注意不要忘记动圆P 与定圆C 内切的情况 .类型2 动圆与已知定圆相切，求动圆圆心的轨迹方程例3 . 过已知圆C 内一个定点A 作圆'C 与已知圆C 内切，则圆心的轨迹是（ ）A.线段B.圆C.椭圆D.圆或椭圆解析：若点A 为圆C 的圆心，则点'C 的轨迹为圆，若点A 不是圆C 的圆心，由两圆内切可知A C R CC ''-= 即R A C CC =+''（其中R 为圆C 的半径），因此点'C 的轨迹为椭圆.故选D评析：此题学生容易忽略点A 为圆心时的一种情况，从而错选C. 例4.已知一个动圆M 与定圆C ：100422=++y x ）（，且过点A （4，0），求这个动圆圆心M 的轨迹方程. 解：根据已知条件得MA MC -=10,即10=+MA MC ，又8=CA ,由椭圆的定义知，点M 的轨迹为以A,C 为焦点的椭圆，其中a=5, c=4,所以92=b 因此所求轨迹为192522=+y x . 例5.已知定点A （3，0）和定圆C ：16322=++y x ）（，动圆P 和圆C 相切，并过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程. 解析：设动圆的半径为r,且圆心坐标为）（y x ,, 根据已知条件⎩⎨⎧=+=r PA r PC 4，或⎩⎨⎧=-=rPA r PC 4，即 4±=-PA PC ,有双曲线的定义知动圆圆心P 的轨迹为以），（），，（0303A C -为焦点且实轴长2a=4的双曲线，其方程为15422=-y x . 评析：观察例4及例5不难发现其条件基本相同但结论差异很大，一个是椭圆，另一个是双曲线.其原因在于定点与定圆的的位置关系不同，例4中的点A 在定圆内，而例5中的点A 在定圆外.这类题目还可以这样变化，变式：已知点)0,2(A ，定圆C ：16)2(22=++y x ，动圆P 与圆C 相切且过点A ，求点P 的轨迹方程.其结论应该为y=0 ）且（2,2≠->x x ，此时点A 在定圆上，可见在其他条件不变的情况下影响轨迹类型的主要是点A 与定圆的关系.类型3.动圆与已知两圆相切，求动圆圆心的轨迹方程.例6. 求与圆13:221=++y x C ）（及93:222=+-y x C ）（都外切的动圆圆心C 的轨迹方程. 解析：设动圆C 的半径为r ，根据已知条件知r 11+=CC 及r 32+=CC ，所以212=-CC CC <6,则动点C 的轨迹为双曲线的左支，又a=1,c=3,所以82=b ，因此点C 的轨迹方程为）（01822≤=-x y x . 评析：本例学生以忽略限制条件0≤x 导致出错.若将此题条件圆2C 的方程改为1322=+-y x ）（，其余条件不变，此时动圆圆心的轨迹将变为线段21C C 的垂直平分线.例7.已知一个动圆M 与定圆1004:221=++y x C ）（相内切，与定圆44:222=+-y x C ）（相外切，求这个动圆圆心M 的轨迹方程. 解：设动圆圆心M 的坐标为）（y x ,半径为r,由题意得r 101-=MC ，r 22+=MC 所以1221=+MC MC ,所以点M 的轨迹为以21,C C 为焦点的椭圆，且长轴2a=12,焦距2c=8，即a=6,c=4,所以202=b ，故所求轨迹方程为1203622=+y x . 点评：通过以上两例发现相切关系不一样所得方程类型也不一样.通过以上例题，我们不难发现，这些题目的共同特点都是相切，不管是动圆与直线还是与定圆，条件都相差不多，解题过程也大体相同（结合圆锥曲线的第一定义），但轨迹的类型各不相同，解题时稍不注意就会出错，以上就是本人对这类问题的一点粗浅认识，希望能对大家有所帮助.。
(完整版)九年级数学动圆问题
动 圆 问 题圆心动，半径不变1．如图，△ABC 为等边三角形，AB =6，动点O 在△ABC 的边上从点A 出发沿A →C →B →A 的路线匀速运动一周，速度为1个单位长度每秒，以O 为圆心、3为半径的圆在运动过程中与△ABC 的边第二次相切时是出发后第_______秒．2（北海）如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，则⊙O 自转了 （ ）周， 圆心O 所经路线的路程是_______ 。
3 如图所示，菱形ABCD 的顶点A 、B 在x 轴上， 点A 在点B 的左侧，点D 在y 轴的正半轴上， ∠BAD =60°，点A 的坐标为(－2，0)．⑴求线段AD 所在直线的函数表达式．⑵动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速 度，按照A →D →C →B →A 的顺序在菱形的边上匀 速运动一周，设运动时间为t 秒．求t 为何值时， 以点P 为圆心、以1为半径的圆与对角线AC 相切？4、. 如图，⊙O 1的半径为1，正方形ABCD 的边长为6，点O 2为正方形ABCD 的中心，O 1O 2垂直AB 于P 点，O 1O 2＝8．若将⊙O 1绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 1与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现 ( ) A. 3次 B. 5次C. 6次D. 7次圆心动，半径变1、如图，菱形ABCD 的边长为2cm ，∠DAB=60°．点P 从A 点出发，以cm/s 的速度，沿AC 向C 作匀速运动；与此同时，点Q 也从A 点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB 作匀速运动．当P 运动到C 点时，P 、Q 都停止运动．设点P 运动的时间为ts ．（1）当P 异于A ．C 时，请说明PQ∥BC；（2）以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙P 与边BC 分别有1个公共点和2个公共点？分析如图：ABCO第22题图xy A BPC DA BCOD2. 如图9，已知直线l 的解析式为6y x =-+，它与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，平行于直线l 的直线n 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒，运动过程中始终保持n l ∥，直线n 与x 轴，y 轴分别相交于C 、D 两点，线段CD 的中点为P ，以P 为圆心，以CD 为直径在CD 上方作半圆，半圆面积为S ，当直线n 与直线l 重合时，运动结束．（1） 求A 、B 两点的坐标；（2） 求S 与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围； （3） 直线n 在运动过程中，①当t 为何值时，半圆与直线l 相切？②是否存在这样的t 值，使得半圆面积12ABCD S S =梯形？若存在，求出t 值，若不存在，说明理由．动圆与定圆相切【解题技巧】当两圆相切时，把握d=R ＋r 与d=R －r 是解决问题的关键。
探索与两定圆都相切的动圆圆心轨迹
探索与两定圆都相切的动圆圆心轨迹两圆的位关系有五种:相离、外切、相交、内切和内含. 笔者就两定圆的五种不同位置关系进行研究.为计算方便，取两定圆的半径r1、r2（r1≠r2），两定圆圆心连线的中点为坐标原点，建立直角坐标系.1.两定圆相离设两定圆圆心为C1（-c，0）、C2（c，0），半径分别为r1、r2，r1≠r2，动圆圆心为C（x，y），则⊙C1：（x＋c）2＋y2＝r12，⊙C2：（x-c）2+y2＝r22.（1）当圆C 与圆C1、C2 都外切时，设切点分别为A、B，则|CA|＝|CB|当r1＞r2 时，|C C1|＞|C C2|，即x＞0，点C的轨迹为双曲线的右支；当r1＜r2 时，|C C1|＜|C C2|，即x＜0，点C的轨迹为双曲线的左支；所以点C 的轨迹为双曲线的一支.（当r1=r2时，|C C1|=|C C2|，点C的轨迹为线段C1 C2的垂直平分线，即y轴）.（2）当圆C 与圆C1、C2 都内切时，设切点分别为A、B，则|CA|＝|CB|当r1＞r2 时，|C C1|＜|C C2|，即x＜0，点C的轨迹为双曲线的左支；当r1＜r2 时，|C C1|＞|C C2|，即x＞0，点C的轨迹为双曲线的右支；所以点C 的轨迹为双曲线的一支,且其轨迹方程为（3）当动圆C 与两个定圆一个内切一个外切时，若圆C 与圆C1外切、与C2内切时，设切点分别为A、B，则|CA|＝|CB|，且|C C1|＞|C C2|，即x＞0.点C 的轨迹是双曲线的右支.若当圆C 与圆C1内切、与C2外切时，设切点分别为A、B，则|CA|＝|CB|，点C 的轨迹为双曲线的左支.所以动圆圆心C 的轨迹是以定圆圆心C1、C2为焦点的双曲线，其轨迹方程为综合（1）、（2）、（3）可知：若两定圆⊙C1 与⊙C2 相离，当动圆C与定圆C1、C2都外切或都内切时，动圆圆心C 的轨迹是双曲线一支；当动圆C 与定圆C1、C2 其中一个内切，而与另一个外切时，动圆圆心C 的轨迹是双曲线的两支.2.两定圆外切当两定圆⊙C1与⊙C2外切时，在（1）中，∵|CA|=|CC1|＋r1，|CB|=|CC2|＋r2，|CA|＝|CB|，∴|C C1|＋r1=|C C2|＋r2∴|C C1|－|C C2|=r2－r1在（2）中，CA|=|CC1|－r1，|CB|=|CC2|－r2，|CA|＝|CB|，∴|C C1|－r1=|C C2|－r2∴|C C1|－|C C2|=r1－r2由（1）和（2）可知，都有||C C1|－|C C2||=|r1－r2|，且|r1－r2| 为定值，所以动圆圆心C 的轨迹是以定点C1、C2为焦点的双曲线.3.两定圆相交两定圆相交时，动圆与两相交定圆同时相切的位置关系有如下三种情况：（1）与两相交定圆同时外切；（2）同时内切于两相交定圆；（3）与两相交定圆同时内切.动圆圆心C 的轨迹方程可以分三种情况分别求得，三个轨迹合成一条双曲线（动圆圆心C 的轨迹也可以就其中一个图形对两定圆的半径进行讨论而求得）.所以，动圆与两相交定圆同时相切时，动圆圆心C 的轨迹是以定点C1、C2为焦点的双曲线（或其中一个部分）.4.两定圆内切或两定圆内含如本文开始所述，当两定圆内切（两定圆内切时，特殊情况为直线的一部分）或两定圆内含时，动圆C 的圆心的轨迹是以定圆圆心C1、C2为焦点的椭圆.由以上各种情况的分析，若已知两定圆⊙C1、⊙C2的半径分别为r1、r2（r1≠r2），可得到以下结论：①当两定圆相离、相交或外切时，与这两定圆都相切的动圆圆心的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线.②当两定圆内切或内含时，与这两定圆都相切的动圆圆心的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆（特殊情况除外）.③当两定圆为同心圆时，与这两定圆都相切的动圆圆心的轨迹是一个圆.④当两定圆内切时，与这两定圆都相切与切点的动圆圆心的轨迹是一条直线（不包含切点）.特殊情况:当r1=r2时，与这两定圆都相切的动圆圆心的轨迹一般为直线.总之，与两定圆相切的动圆圆心的轨迹一般是二次曲线（特殊情况轨迹是圆或直线或直线的一部分）理学角度分析，孩子分心的程度与年龄成反比。
中考专题------动圆问题专题
知识点一：圆的基本性质【知识梳理】【例题精讲】例1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是．例2．如图，直线y＝33x＋3与x轴，y轴分别交于A，B两点，圆心P的坐标为(1，0)，⊙P与y轴相切于点O.若将圆P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是()A. 2B. 3C. 4D. 5练习：1.如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了()A. 2周B. 3周C. 4周D. 5周5.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，P为BC的中点．动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2 cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t(s)．(1)当t＝1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由．(2)已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．知识点二（圆与几何综合）例1.如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、Q C．（1）当t为何值时，点Q与点D重合？（2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长．（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．例2.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N 落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm 为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜）．（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为；（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由．【课堂练习】1.如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O 作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ=3x．（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．（3）在点P的整个运动过程中，①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．2.已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P(1，1)为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连结PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t(s)(t＞0)(1)若点E在y轴的负半轴上(如图所示)，求证：PE＝PF.(2)在点F运动的过程中，设OE＝a，OF＝b，试用含a的代数式表示b.(3)作点F关于点M的对称点F′，经过M，E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连结QE.在点F运动的过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q，O，E为顶点的三角形与以点P，M，F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．知识点三圆与函数综合例1.如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为﹣1，直线l：y=﹣x﹣与坐标轴分别交于A、C两点，点B坐标为（4，1），⊙B与x轴相切于点M．（1）求点A的坐标及∠CAO的度数；（2）⊙B以每秒1个单位长度的速度沿想x轴负方向平移，同时，直线l绕点A以每秒钟旋转30°的速度顺时针匀速旋转，当⊙B第一次与⊙O相切时，请判断直线l与⊙B的位置关系，并说明理由：（3）如图2，过A、O、C三点作⊙O1，点E是⊙O1上任意一点，连接EC、EA、EO．①若点E在劣弧OC上，试说明：EA﹣EC=EO；②若点E在优弧OAC上，①的结论中EC、EA、EO的关系式是否仍然成立？若成立，请你说明理由？若不成立，请你直接写出正确的结论．例2.如图①，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，﹣1），另一顶点B坐标为（﹣2，0），已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过B、C两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A′D′∥y轴且经过点B，直尺沿x轴正方向平移，当A′D′与y轴重合时运动停止．（1）求点C的坐标及二次函数的关系式；（2）若运动过程中直尺的边A′D′交边BC于点M，交抛物线于点N，求线段MN长度的最大值；（3）如图②，设点P为直尺的边A′D′上的任一点，连接P A、PB、PC，Q为BC的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当PQ=时，线段P A、PB、PC之间的数量关系．请直接写出结论，并指出相应的点P 与抛物线的位置关系．（说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A在抛物线内，点C在抛物线上，点D′在抛物线外．）练习：1.在平面直角坐标系xOy中，点M（，），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M．使⊙M与直线OM 的另一交点为点B，与x轴，y轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接AM．点P是上的动点．（1）写出∠AMB的度数；（2）点Q在射线OP上，且OP•OQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交x轴于点E．①当动点P与点B重合时，求点E的坐标；②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积为S．求S与t的函数关系式及S的取值范围．课后作业1、如图，已知Rt△ABC的直角边AC与Rt△DEF的直角边DF在同一条直线上，且AC=60cm，BC=45cm，DF=6cm，EF=8cm．现将点C与点F重合，再以4cm/s的速度沿C方向移动△DEF；同时，点P从点A出发，以5cm/s的速度沿AB方向移动．设移动时间为t （s），以点P为圆心，3t（cm）长为半径的⊙P与AB相交于点M，N，当点F与点A重合时，△DEF与点P同时停止移动，在移动过程中，（1）连接ME，当ME∥AC时，t=________s；（2）连接NF，当NF平分DE时，求t的值；（3）是否存在⊙P与Rt△DEF的两条直角边所在的直线同时相切的时刻？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．2、如图在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q同时从点A出发，运动时间为t秒．其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位长度，点Q 沿射线AO运动，速度为每秒5个单位长度．以点Q为圆心，PQ长为半径作⊙Q．（1）求证：直线AB是⊙Q的切线；（2）过点A左侧x轴上的任意一点C（m，0），作直线AB的垂线CM，垂足为M．若CM 与⊙Q相切于点D，求m与t的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，是否存在点C，直线AB、CM、y轴与⊙Q同时相切？若存在，请直接写出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．。
动圆的圆心轨迹方程
动圆的圆心轨迹方程动圆的圆心轨迹方程，是描述动圆圆心运动的数学公式。
动圆的圆心轨迹方程是一个非常重要的概念，在物理学、数学等多个领域都有广泛的应用。
在力学中，动圆的圆心轨迹方程用于描述刚体的运动轨迹；在几何学中，它则是研究圆的性质时的基础。
首先，我们来认识一下什么是动圆。
一个圆沿着某一路径做运动，即圆的半径和圆心都在不断变化，这时我们称该圆为动圆。
动圆的运动可以是任意的，可以是匀速的、非匀速的等等。
当我们观察一个动圆运动时，会发现它的圆心的轨迹是非常特殊的一条曲线，我们把这条曲线叫做动圆的圆心轨迹。
动圆的圆心轨迹是一个非常重要的概念，它是描述动圆运动的基本量。
对于任何一个动圆，它的圆心轨迹都是一条特殊的曲线。
接下来，我们来探索一下动圆的圆心轨迹方程。
当你初学动圆的圆心轨迹时，通常会采用参数方程的形式表示。
设圆的半径为r，圆心运动的轨迹为(x(t),y(t))，圆心的初始位置为(x0,y0)，圆的初始方向与x轴正方向之间的夹角为θ，则动圆的圆心轨迹参数方程可以表示为：x(t) = x0 + r cos(ωt+θ)y(t) = y0 + r sin(ωt+θ)其中，ω是圆的角速度，t是时间。
这样我们就得到了一个关于动圆圆心轨迹的基本方程，通过不断改变其中的参数，我们就可以得到各种不同运动状态下的圆心轨迹了。
不过需要注意的是，这个方程是一个参数方程，它并不能直接描绘出圆心轨迹的具体形状，因此我们需要进行进一步转化。
我们可以通过两次对参数方程求导，将其转化为笛卡尔坐标系下的表示形式。
具体来说，我们先对x(t)和y(t)分别求一次导数，得到：dx/dt = -rω sin(ωt+θ)dy/dt = rω cos(ωt+θ)然后再对它们分别求一次导数，得到：d²x/dt² = -rω² cos(ωt+θ)d²y/dt² = -rω² sin(ωt+θ)最终，我们就得到了动圆圆心轨迹的笛卡尔坐标系下的方程：(x-x0)² + (y-y0)² = r²这个方程描述了动圆圆心轨迹的几何特征，它对应的实际运动状态是一个圆形的轨迹，这个圆的圆心坐标为(x0,y0)，半径为r。
初三数学动圆问题
(2）以Ｐ为圆心，PＱ长为半径作圆,请问:在整个运动过程中，ｔ为怎样的值时,⊙P与边BC分别有1个公共点和２个公共点？
8、如图,矩形ＡBＣＤ的边ＡB＝3cm，AD=4cｍ,点E从点A出发,沿射线AＤ移动，以CE为直径作⊙Ｏ，点F为⊙Ｏ与射线BD的公共点，连接EF、CF,过点E作EG⊥ＥF,ＥG与⊙O相交于点G，连接CG.
（１)求当ｔ为何值时，点点D重合?
（2）设ΔQCD的面积为Ｓ，试求S与ｔ之间的函数关系式,并求Ｓ的最大值;
(３)若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．
７、如图，菱形ABCＤ的边长为2cm，∠DAB=6０°,点Ｐ从A点出发，以cm／ｓ的速度，沿ＡC向C做匀速运动;与此同时，点Q也从Ａ点出发,以1cm/s的速度,沿射线AＢ做匀速运动;当P运动到Ｃ点时,P、Ｑ都停止运动。设点P运动的时间为t s.
2、如图，已知正方形AＢCD的顶点A、B在⊙O上,顶点Ｃ、D在⊙Ｏ内，将正方形ＡBCD绕点逆时针旋转，使点D落在⊙Ｏ上.若正方形ABCD的边长和⊙O的半径均为6 cm，则点D运动的路径长为cm.
3、．小明把半径为1的光盘、直尺和三角尺形状的纸片按如图所示放置于桌面上,此时，光盘与AB,CD分别相切于点N，M.现从如图所示的位置开始,将光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与ＡB相切时,光盘的圆心经过的距离是．
初三数学--动圆问题
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动圆专题（１）
1、在⊙O中,直径ＡB=６，BC是弦,∠AＢC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥ＰQ.ﻫ ﻫ（１)如图1，当PＱ∥ＡB时，则PQ的长度为____＿__＿_＿＿___＿＿＿__；ﻫ(2)如图2,当点P在BC上移动时,则PＱ长的最大值为＿＿＿_____＿__＿_＿_＿.
动圆的概念
动圆的概念动圆，又称“动点圆”，是数学中的一种几何图形。
它由一个固定的圆与一个在平面上移动的点构成。
在动圆中，点的位置和圆的位置都是变化的，因此它是一个动态的几何图形。
动圆的基本特征是，固定圆的圆心为O，半径为r；点P是在平面上以恒定速度移动的，它始终与固定圆相切。
点P在动圆上的位置由它在平面上的位置向固定圆上相切的点来确定。
在动圆的运动过程中，点P始终与固定圆的边界相切。
因此，动圆的运动轨迹为一条光滑的曲线，称为动圆的轨迹或动圆的运动路径。
动圆的轨迹是由移动点P在平面上的运动路径与固定圆的边界所组成。
动圆的轨迹有多种形状，取决于点P的运动路径与固定圆的半径和位置。
下面分别介绍几种常见的动圆形状：1. 圆内旋动圆：当点P在圆内运动时，动圆的轨迹是一个小圆。
这是因为点P 始终在固定圆内部，它的运动路径是一个小圆，该小圆的半径小于或等于固定圆的半径。
2. 圆外旋动圆：当点P在圆外运动时，动圆的轨迹是一个大圆。
这是因为点P 始终在固定圆外部，它的运动路径是一个大圆，该大圆的半径大于固定圆的半径。
3. 圆内外旋动圆：当点P在固定圆外部的某一条半径上运动时，动圆的轨迹是一个内外相切的圆。
这个内外相切的圆既包围了固定圆的内部，又与固定圆外部相切。
在动圆的运动过程中，圆心O和点P的位置都是变化的。
圆心O描述了固定圆的位置，而点P描述了动圆的位置。
因此，动圆可以看作是一个动态的几何图形，其运动路径将固定圆和移动点P的位置结合起来，形成一个整体。
动圆在数学的研究和应用中有广泛的应用。
例如，在天文学中，动圆可用于描述行星绕太阳的轨道。
在机械工程中，动圆可用于描述机械零件的运动路径。
在物理学中，动圆可用于描述物体的运动轨迹。
动圆的概念和性质在几何学、动力学和数值计算等学科中都有重要的应用。
总之，动圆是数学中的一个基本的几何图形，它由一个固定圆和一个在平面上移动的点构成。
动圆的轨迹是由移动点P在平面上的路径与固定圆的边界相切所形成的。
与两圆相切的动圆的圆心的轨迹问题讲义
与两定圆相切的动圆圆心的轨迹问题问题：已知动圆M 与两定圆,E F 都相切，求动圆圆心M 的轨迹. 方法策略：1、考察两定圆的位置关系；2、考察两定圆的半径12,r r 的大小关系；3、区分内切、外切；4、用12r r R ，，表示||,||ME MF ，再通过相加（相减）消去R 得到||,||ME MF 的关系.5、结合圆锥曲线定义判断轨迹类型. 一、两定圆相离1、动圆M 与两定圆,E F 都外切（或都内切）（设12r r >） ①都外切1122||||||||ME r R ME MF r r MF r R =+⎫⇒−=−⎬=+⎭②都内切1212||||||||ME R r ME MF r r MF R r =−⎫⇒−=−⎬=−⎭于是12||||0ME MF r r −=−>，所以动点M 的轨迹为双曲线.说明：当12r r =时，轨迹由双曲线退化为直线，即线段EF 的垂直平分线2、动圆M 与两定圆,E F 一外切一内切 ①与圆E 外切与圆F 内切1122||||||||ME r R ME MF r r MF R r =+⎫⇒−=+⎬=−⎭②与圆F 外切与圆E 内切1122||||||||ME R r MF ME r r MF R r =−⎫⇒−=+⎬=+⎭于是12||||0ME MF r r −=+>，所以动点M 的轨迹为双曲线. 二、两定圆相外切1、都外切（内切）（不妨设12r r >） ①都外切1122||||||||ME r R ME MF r r MF r R =+⎫⇒−=−⎬=+⎭②都内切1212||||||||ME r R ME MF r r MF r R =+⎫⇒−=−⎬=+⎭于是12||||0ME MF r r −=−>，所以动点M 的轨迹为双曲线.说明：当12r r =时，轨迹由双曲线退化为直线，即线段EF 的垂直平分线2、动圆M 与两定圆,E F 一外切一内切 动点M 的轨迹为直线EF .三、两定圆相交1、动圆M 与两定圆,E F 都外切（或都内切）（设12r r >） ①都外切（或都内切）1122||||||||ME r R ME MF r r MF r R =+⎫⇒−=−⎬=+⎭②都内切（动圆含在两定圆内）1122||||||||ME r R ME MF r r MF r R =−⎫⇒−=−⎬=−⎭③都内切（动圆包含两定圆）1212||||||||ME r R ME MF r r MF r R =+⎫⇒−=−⎬=+⎭于是12||||0ME MF r r −=−>，所以动点M 的轨迹为双曲线.说明：当12r r =时，轨迹由双曲线退化为直线，即线段EF 的垂直平分线2、动圆M 与两定圆,E F 一外切一内切 ①与圆E 外切与圆F 内切1122||||||||ME r R ME MF r r MF r R =+⎫⇒+=+⎬=−⎭②与圆F 内切与圆E 外切1122||||||||ME r R ME MF r r MF r R =−⎫⇒+=+⎬=+⎭于是12||||ME MF r r +=+，所以动点M 的轨迹为椭圆.四、两定圆相内切1、动圆M 与两定圆,E F 一外切一内切1122||||||||ME r R ME MF r r MF R r =−⎫⇒+=+⎬=+⎭于是动点M 的轨迹为椭圆.2、动圆M 与两定圆,E F 都外切（或都内切） 动点M 的轨迹为直线EF .五、两定圆内含（圆E 包含圆F ）1、动圆M 与两定圆,E F 都内切（设12r r >）1122||||||||ME r R ME MF r r MF R r =−⎫⇒+=−⎬=−⎭于是动点M 的轨迹为椭圆.说明：当两定圆为同心圆时，轨迹由椭圆退化为圆.2、动圆M 与两定圆,E F 一外切一内切1122||||||||ME r R ME MF r r MF R r =−⎫⇒+=+⎬=+⎭于是动点M 的轨迹为椭圆.说明：当两定圆为同心圆时，轨迹由椭圆退化为圆.。
高二数学动圆圆心轨迹(共10张PPT)
她只知这是宝音回屋的必经之路，而且没什么人，估算宝音一定会回屋整装，就于此处守株待兔。
探求2 ：与直线 相切，⊙ B (x-5)2+y2=r2相切 的动圆圆心S的轨迹
〔1〕当两定圆外离时 宝音也没有那样尝试，只是放在布套上让她看见，给她一个警告。
例１：与⊙A(x+5)2+y2=49，⊙ B (x-5)2+y2=1
第二页，共10页。
探求与定圆相切的动圆圆心轨迹要抓牢动 圆圆心到两定点的间隔的和与差不放。
C S AB
A SB
S
A
B
第三页，共10页。
二、构建平台：
例１：与⊙A(x+5)2+y2=49，⊙ B (x-5)2+y2=1
相切 的动圆圆心S的轨迹。
y
〔1〕与两圆均外切 y
〔2〕与两圆均内切
A Bx
A Bx
〔4〕与圆A外切、与圆B内切
再回想开去，木屐里的那块石子，要是搁到明秀碗里，说不定戳破明秀的嘴、硌掉明秀的牙！
亲生姐妹尚且可以争得他死我活呢！
dapingtai888/ 时时方案群 hxh69kyd 〔4〕与圆A外切、与圆B内切
〔3〕当两定圆相交时
问题１：与⊙A(x+5)2+y2=169相切，且过B(5,0)点的动圆圆心S的轨迹。
〔4〕当两定圆内切时
〔5〕当两定圆内含时
第五页，共10页。
当两定圆 〔1〕外离
y
A Bx
〔2〕外切
y
A Bx
〔3〕相交
y
A Bx
〔5〕内含
y A Bx
〔4〕内切
y
A Bx
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第七页，共10页。
动圆与两圆分别内切外切求圆的轨迹方程
圆是数学中常见的几何图形，它有着丰富的性质和应用。
在几何学中，人们经常会研究圆的轨迹方程，来揭示圆与其他几何图形之间的关系。
一、动圆与两圆的内切首先我们来考虑一个简单的问题，即一个圆在另一个圆的内部滚动，两个圆始终相切。
设两个圆的半径分别为R和r（R>r），则动圆的轨迹是一个以较小圆的圆心为起点，以R-r为半径的圆。
这个性质可以通过简单的几何推导来得到。
我们设大圆的圆心坐标为（a，b），小圆的圆心坐标为（p，q）。
假设小圆的半径r始终与大圆外接，设小圆的圆心在大圆上沿着一定路径作运动，由于两圆始终相切，所以小圆的圆心在大圆上的轨迹是一个以大圆圆心为圆心，以R-r为半径的圆。
二、动圆与两圆的外切接下来我们来研究一个稍微复杂一点的问题，即一个圆在另外两个圆的外部滚动，且始终与两个圆相切。
假设两个外切的固定圆的半径分别为R和r（R>r），而动圆的半径为R。
根据这个问题的特点，我们可以得到动圆的轨迹方程。
设两个固定圆的圆心分别为（a，b）和（c，d），则根据动圆与两个固定圆始终相切的性质，我们可以得到动圆的圆心坐标为（(a-c)/(R+2r), (b-d)/(R+2r)）3、动圆与一个固定圆的内切，一个固定圆的外切以上两个问题分别解决了动圆与两个固定圆的内切和外切的情况，接下来我们来研究一个更一般的问题，即一个圆在另外一个固定圆的内部滚动，同时在另一个固定圆的外部滚动。
最终目标是找到动圆的轨迹方程。
对于这个问题，我们可以分两步来考虑：1.我们可以用已知的方法得到动圆在一个固定圆的内部滚动时的轨迹方程，即一个以该固定圆圆心为起点，以R-r为半径的圆。
2.我们可以用类似的方法得到动圆在另一个固定圆的外部滚动时的轨迹方程，即一个以该固定圆圆心为圆心，以R+r为半径的圆。
综合以上两步的结果，我们可以得到动圆在同时滚动的情况下的轨迹方程。
假设两个固定圆的圆心分别为（a，b）和（c，d），则根据动圆与两个固定圆始终相切的性质，我们可以得到动圆的圆心坐标为（(a(R+r)+c(R-r))/(2R), (b(R+r)+d(R-r))/(2R)）通过以上的推导，我们可以得到动圆在一个固定圆的内部滚动，一个固定圆的外部滚动的情况下的轨迹方程。
期末复习专题提优《动圆问题探究》(苏科版)
初三数学期末复习专题提优《动圆问题探究》动圆问题是各地中考中关于圆知识考查的热点问题，而且经常会以综合题的形式出现，有关动圆的题目通常以直线相切等位置关系的讨论和形成特殊图形的形式出现， 主要以下面两种思想来解决这类问题:1.化动态为静态:一般的运动问题总是要化动态为静态，把动的问题作静态分析，完成问题的求解.2.分类讨论:把一些运动问题分成“段”来考虑，化整体为小局部，化繁为简.类型一 函数背景下的动圆探究问题1.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点(3,0)A -，点B ，点P 的坐标为(1,0), ⊙P 与y 轴相切于点O ，若将⊙P 沿x 轴向左平移，平移后得到⊙P '(点P 的对应点为点P ')，当⊙P '与直线l 相交时，横坐标为整数的点P '共有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.如图，在平面直角坐标系中，直线:28l y x =--分别与x 轴，y 轴相交于,A B 两点，点(0,)P k 是y 轴负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作⊙P .(1)若⊙P 与x 轴有公共点，求k 的取值范围;(2)连接PA ，若PA PB =，试判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由;(3)当⊙P 与直线l 相切时，求k 的值.3.如图，已知直线l 的表达式为6y x =-+，它与x 轴、y 轴分别相交于,A B 两点，平行于直线l 的直线n 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒，运动过程中始终保持//n l ，直线n 与x 轴、y 轴分别相交于,D C 两点，线段CD 的中点为P ，以P 为圆心，以CD 为直径在CD 上方作半圆，半圆面积为S ，当直线n 与直线l 重合时，运动结束.(1)求,A B 两点的坐标;(2)求S 与t 的函数表达式及自变量t 的取值范围;(3)直线n 在运动过程中，①当t 为何值时，半圆与直线l 相切?②是否存在这样的t 值，使得半圆面积12ABCDS S =梯形?若存在，求出t 的值;若不存在说明理由.类型二 三角形、四边形背景下的动圆探究问题4.射线QN 与等边ABC ∆的两边,AB BC 分别交于点,M N ，且//,AC QN AM MB = =2 cm ，QM =4 cm.动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1 cm 的速度向右移动，经过t 秒，以点P 为半径的圆与ABC ∆的边相切(切点在边上)，请求出t 可取的一切值(单位:秒).5.如图所示，菱形ABCD 的顶点,A B 在x 轴上，点A 在点B 的左侧，点D 在y 轴的正半轴上，60BAD ∠=︒，点A 的坐标为(－2,0).(1)求线段AD 所在直线的函数表达式;(2)动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A →D →C →B →A 的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t 秒，求t 为何值时，以点P 为圆心、以1为半径的圆与对角线AC 相切.6.如图，在ABCD 中， 60,DAB AB ∠=︒ = 15 cm.已知⊙O 的半径等于3 cm,,AB AD 分别与⊙O 相切于点,E F .⊙O 在ABCD 内沿AB 方向滚动，与BC 边相切时运动停止.试求⊙O 滚过的路程.7.等腰直角ABC ∆和⊙O 如图放置，已知1,90AB BC ABC ==∠=︒,⊙O 的半径为1，圆心O 与直线AB 的距离为5.现ABC ∆以每秒2个单位的速度向右移动，同时ABC ∆的边长AB 、BC 又以每秒0. 5个单位沿BA 、BC 方向增大.(1)当ABC ∆的边(BC 边除外)与圆第一次相切时，点B 移动了多少距离?(2)若在ABC ∆移动的同时，⊙O 也以每秒1个单位的速度向右移动，则ABC ∆从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间?(3)在(2)的条件下，是否存在某一时刻，ABC ∆与⊙O 的公共部分等于⊙O 的面积?若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间?若不存在，请说明理由.参考答案1.C2.(1)30k -≤<(2)相切，理由如下：8PB k =+，由PA PB =8k =+，解得3,k =-∴⊙P 与x 轴相切.(3)8k =--8k =3.(1)(6,0)A ,(0,6)B (2)21(06)4S t t π=<≤(3)①3t =时，半圆与直线l 相切. ②存在，1t π=+ 4.分三种情况：(1)如图① (2)如图② (3)如图③2t = 37t ≤≤ 8t =5.(1)y =+(2)当运动时间为2秒或6秒或10秒或14秒时，以1为半径的圆与AC 相切.6.⊙O 滚过的路程为(15-7.(1)点B 运动的距离为45- (2)从开始运动到最后一次相切的时间为6秒.(3)ABC ∆与⊙O 从开始运动到第二次相切时，路程差为4，速度差为1.∴从开始运动到第二次相切的时间为4秒，此时ABC ∆移至A B C ''''''∆处(如图)， 3A B ''''=.连接B O ''并延长交A C ''''于点P ，易证B P A C ''''''⊥，且1OP <.∴此时⊙O 与A C ''''相交，所以不存在.。
与两圆都外切的动圆圆心的轨迹
一、引言两圆都外切的动圆圆心的轨迹，是一个经典的几何问题。
从古至今，数学家们对这一问题进行了深入的研究，提出了许多有趣的结论和定理。
本文将对这一问题进行探讨，并提出一些新的见解。
二、问题描述我们来描述一下问题的具体情景。
设有两个半径分别为R1和R2的定圆，它们的圆心分别为O1和O2，且两个圆外切于点A。
现在，我们考虑一个半径为r的动圆，它的圆心为M，并且与定圆O1和O2都外切，即与O1、O2分别有一点B、C相切。
问题的关键是：当动圆的圆心M在什么范围内运动时，它的轨迹是怎样的？三、初步分析为了更好地理解问题，我们可以通过几何分析和代数求解来研究动圆圆心的轨迹。
我们可以利用相似三角形的性质，求得点B、C到定圆O1、O2的距离，进而得到动圆圆心M到定圆O1、O2的距离。
通过一系列代数运算，我们可以得到动圆圆心M的坐标表达式。
四、求解过程接下来，我们将详细阐述求解动圆圆心轨迹的过程。
我们可以构建动圆圆心M在平面直角坐标系下的坐标系，假设动圆圆心M的坐标为（x，y），则有：- 点B到定圆O1的距离d1 = R1 + r- 点C到定圆O2的距离d2 = R2 + r- 动圆圆心M到定圆O1、O2的距离分别为：√((x - x1)^2 + (y - y1)^2) = R1 + r和√((x - x2)^2 + (y - y2)^2) = R2 + r经过一系列的变换和整理，我们可以得到动圆圆心M的坐标表达式，从而求得它的轨迹方程。
通过对轨迹方程的分析，我们可以得出一些定理和结论。
五、轨迹特性在研究过程中，我们发现动圆圆心的轨迹具有一些特殊的性质，这些性质对于几何学和数学理论具有重要的指导意义。
具体来说，动圆圆心的轨迹是一个什么样的曲线？它有怎样的对称性？它与定圆的半径和位置有什么关联？经过深入研究和推导，我们得出了一些有趣的结论。
动圆圆心的轨迹是一个特殊的椭圆曲线，它与定圆的半径和位置密切相关，满足一定的几何关系。
苏科版九年级数学上册第二章：动点与动圆综合 复习(含答案)
初三数学动圆中的几何动点与动圆问题解题技巧：1．找到动态过程中不变的量，利用或探索（比如相似）已知条件列等式求值； 2．画出临界情况或符合题目情形的草图（非常重要），根据图像找等量关系。
动圆与几何图形结合问题例1．如图，在AOB 中，90,8,6O AO cm BO cm ===∠，点C 从A 点出发，在边AO 上以2/cm s 的速度向O 点运动，与此同时，点D 从点B 出发，在边BO 上以1.5/cm s 的速度向O 点运动，过OC 的中点E 作CD 的垂线EF ，则当点C 运动了 s 时，以C 点为圆心，1.5cm 为半径的圆与直线EF 相切．例2．如图，在Rt ACB 中，90,2,4ACB AC cm AB cm ===∠，动点P 从点C 出发，在BC 边上以3cm 每秒的速度向点B 匀速运动，同时动点Q 也从点C 出发，沿C A B →→以每秒4cm 的速度匀速运动，运动时间为t 秒3(0)2t <<，连接PQ ，以PQ为直径作O ．（1）当12t =时，求PCQ 的面积； （2）设O 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；（3）当点Q 在AB 上运动时，O 与Rt ACB 的一边相切，求t 的值．学员姓名 年 级 初三 上课时间辅导科目 数学学科教师课 题 与圆有关的动点问题巩固练习：1.如图，已知12l l ⊥，⊙O 与12,l l 都相切，⊙O 的半径为2cm ，矩形ABCD 的边,AD AB 分别与12,l l 重合，43,4AB cm AD cm ==，若⊙O 与矩形ABCD 沿1l 同时向右移动，⊙O 的移动速度为3/cm s ，矩形ABCD 的移动速度为4/cm s ，设移动时间为()t s （1）如图①，连接,OA AC ，则∠OAC 的度数为 ；（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O 到达⊙O 1的位置，矩形ABCD 到达1111A B C D 的位置，此时点111,,O A C 恰好在同一直线上，求圆心O 移动的距离（即1OO 的长）； （3）在移动过程中，圆心O 到矩形对角线AC 所在直线的距离在不断变化，设该距离为()d cm ，当2d <时，求t 的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．动态一次函数与圆例3．如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数34y x b=-+（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．（1）若直线AB与CD有两个交点F、G．①求∠CFE的度数；②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．巩固练习：如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于点(4,0),(0,3)A B ，动点P 从点O 出发，沿x 轴负方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点Q 从点B 出发，沿射线BO 方向以每秒2个单位的速度运动，过点P 作PC ⊥AB 于点C ，连接PQ ，CQ ，以PQ ，CQ 为邻边构造平行四边形PQCD ，设点P 运动的时间为t 秒．（1）当点Q 在线段OB 上时，用含t 的代数式表示PC ，AC 的长； （2）在运动过程中．①当点D 落在x 轴上时，求出满足条件的t 的值；②若点D 落在△ABO 内部（不包括边界）时，直接写出t 的取值范围；（3）作点Q 关于x 轴的对称点Q′，连接CQ′，在运动过程中，是否存在某时刻使过A ，P ，C 三点的圆与△CQQ′三边中的一条边相切？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．课后作业1．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=12cm，BD=16cm，动点N从点D出发，沿线段DB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点M从点B出发，沿线段BA以1cm/s 的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止．设运动时间为t（s）（t＞0），以点M为圆心，MB长为半径的⊙M与射线BA，线段BD分别交于点E，F，连接EN．（1）求BF的长（用含有t的代数式表示），并求出t的取值范围；（2）当t为何值时，线段EN与⊙M相切？（3）若⊙M与线段EN只有一个公共点，求t的取值范围．2．如图，已知Rt△ABC的直角边AC与Rt△DEF的直角边DF在同一条直线上，且AC=60c，BC=45cm，DF=6cm，EF=8cm．现将点C与点F重合，再以4cm/s的速度沿CA方向移动△DEF；同时，点P从点A出发，以5cm/s的速度沿AB方向移动．设移动时间为t（s），以点P为圆心，3t（cm）长为半径的⊙P与AB相交于点M，N，当点F与点A重合时，△DEF与点P 同时停止移动，在移动过程中，（1）连接ME，当ME∥AC时，t= s；（2）连接NF，当NF平分DE时，求t的值；（3）是否存在⊙P与Rt△DEF的两条直角边所在的直线同时相切的时刻？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．3．如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE 为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG 与圆O相交于点G，连接CG．（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；②求点G移动路线的长．参考答案例1.3 2例2.（1）32；（2）2194tSπ=；（3）3561105或或巩固练习：解：（1）∵l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，∴∠OAD=45°，∵AB=4cm，AD=4cm，∴CD=4cm，AD=4cm，∴tan∠DAC===，∴∠DAC=60°，∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，故答案为：105；（2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O1与l1的切点为E，连接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1，在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=4，∴tan∠C1A1D1=，∴∠C1A1D1=60°，在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，∴A1E==，∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，∴t﹣2=，∴t=+2，∴OO1=3t=2+6；（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，如图，此时⊙O移动到⊙O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，设⊙O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，∴O2F⊥l1，O2G⊥A2G2，由（2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°，∴∠O2A2F=60°，在Rt△A2O2F中，O2F=2，∴A2F=，∵OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+，∴4t1+﹣3t1=2，∴t1=2﹣，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，∴+2﹣（2﹣）=t2﹣（+2），解得：t2=2+2，综上所述，当d＜2时，t的取值范围是：2﹣＜t＜2+2．例3．解：（1）连接CD，EA，∵DE是直径，∴∠DCE=90°，∵CO⊥DE，且DO=EO，∴∠ODC=OEC=45°，∴∠CFE=∠ODC=45°，（2）①如图，作OM⊥AB点M，连接OF，∵OM⊥AB，直线的函数式为：y=﹣34x+b，∴OM所在的直线函数式为：y=43x，∴交点M（b，b）∴OM2=（b）2+（b）2，∵OF=4，∴FM2=OF2﹣OM2=42﹣（b）2﹣（b）2，∵FM=12 FG，∴FG2=4FM2=4×[42﹣（b）2﹣（b）2]=64﹣b2=64×（1﹣b2），∵直线AB与有两个交点F、G．∴4≤b＜5，（3）如图，当b=5时，直线与圆相切，∵DE是直径，∴∠DCE=90°，∵CO⊥DE，且DO=EO，∴∠ODC=OEC=45°，∴∠CFE=∠ODC=45°，∴存在点P，使∠CPE=45°，连接OP，∵P是切点，∴OP⊥AB，∴OP所在的直线为：y=43x，又∵AB所在的直线为：y=﹣34x+5，∴P（，）．巩固练习：（1）34(4),(4)55PC t AC t=-=-；（2）2738t=27123811t<<；（3）927816或课后作业：1.（1）8(08)5BF t t=<≤；（2）329；（3）32400899t t<≤<<或2.（1）203；（2）307；（3）601211或3．解：（1）证明：∵CE为⊙O的直径，∴∠CFE=∠CGE=90°．∵EG⊥EF，∴∠FEG=90°．∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°．∴四边形EFCG是矩形．（2）①存在．连接OD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=90°．∵点O是CE的中点，∴OD=OC．∴点D在⊙O上．∵∠FCE=∠FDE，∠A=∠CFE=90°，∴△CFE∽△DAB．∴=（）2．∵AD=4，AB=3，∴BD=5，S△CFE=（）2•S△DAB=×12×3×4=．∴S矩形ABCD=2S△CFE=．∵四边形EFCG是矩形，∴FC∥EG．∴∠FCE=∠CEG．∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE，∴∠GDC=∠FDE．∵∠FDE+∠CDB=90°，∴∠GDC+∠CDB=90°．∴∠GDB=90°Ⅰ．当点E在点A（E′）处时，点F在点B（F′）处，点G在点D（G′处，如图2①所示．此时，CF=CB=4．Ⅱ．当点F在点D（F″）处时，直径F″G″⊥BD，此时⊙O与射线BD相切，CF=CD=3．Ⅲ．当CF⊥BD时，CF最小，此时点F到达F″′，S△BCD=12BC•CD=12BD•CF″′．∴4×3=5×CF″′．∴CF″′=．∴≤CF≤4．∵S矩形ABCD=，∴34×（）2≤S矩形ABCD≤34×42．∴≤S矩形ABCD≤12．∴矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为．②∵∠GDC=∠FDE=定值，点G的起点为D，终点为G″，∴点G的移动路线是线段DG″．∵∠GDC=∠FDE，∠DCG″=∠A=90°，∴△DCG″∽△DAB．∴=．∴34=．∴DG″=．∴点G移动路线的长为．。
动圆与两定圆相切,求圆心轨迹方程
动圆与两定圆相切,求圆心轨迹方程稿子一：嗨，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊一个超有趣的数学问题——动圆与两定圆相切，求圆心轨迹方程。
你想想看，这就好像是一场圆心的奇妙旅行。
动圆就像个调皮的小孩子，在两个定圆之间蹦蹦跳跳，寻找着自己的路线。
比如说，当动圆和两个定圆都外切的时候，那动圆的圆心就像是被两个大哥哥带着跑，它的轨迹可能是一条漂亮的曲线，就像彩虹一样弯弯的。
要是动圆和一个定圆内切，和另一个定圆外切，那情况又不一样啦。
这时候动圆的圆心可能会一会儿靠近这个圆，一会儿又跑向那个圆，轨迹变得更加复杂有趣。
有时候，为了找到这个轨迹方程，我们得用上好多数学知识，像是距离公式、勾股定理啥的。
不过别担心，只要我们一步步来，就像解谜一样，总能找到答案。
研究动圆与两定圆相切的圆心轨迹方程，就像是在数学的大花园里探险，每一步都充满了惊喜和挑战，是不是很有意思呀？稿子二：嘿，朋友们！今天咱们来唠唠动圆与两定圆相切，求圆心轨迹方程这事儿。
想象一下哈，这两个定圆就像两个安稳的家，而动圆呢，就是个爱闯荡的小家伙。
它一会儿跑到这个家跟前蹭蹭，一会儿又跑去那个家抱抱。
当动圆与两个定圆都外切时，那感觉就像动圆的圆心被两个温暖的怀抱吸引着，它的轨迹可能会像一条优美的弧线，仿佛在跳着欢快的舞蹈。
要是动圆跟其中一个内切，跟另一个外切，那可就有点纠结啦。
这圆心就像在做选择，一会儿靠近这边，一会儿又舍不得那边，那轨迹就变得有点曲折，就像人生的道路一样，充满了选择和变化。
在求解这个轨迹方程的过程中，咱们可得头脑清醒，不能被那些复杂的式子给绕晕了。
要像个聪明的探险家，一点点去分析，去推理。
而且哦，当我们最终找到那个轨迹方程的时候，那种成就感，简直爆棚！就好像我们解开了一个神秘的密码，打开了一个充满奇妙的宝箱。
怎么样，是不是觉得动圆与两定圆相切的问题很有趣呀？。
与圆外切且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程
与圆外切且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程一、引言1.1 问题背景在数学中，我们经常遇到研究圆的问题。
圆是具有特殊几何性质的二维图形，它在数学和物理学中都有广泛的应用。
在本文中，我们将研究一个有趣的问题：与圆外切且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程。
1.2 问题描述我们考虑一个固定的圆，以及一个在平面上运动的动圆。
动圆的半径保持不变，但它的圆心位置会不断变化。
我们的问题是，当动圆与固定圆外切且与y轴相切时，动圆圆心的轨迹方程是什么？二、问题分析2.1 圆的性质回顾在解决这个问题之前，我们首先回顾一下圆的一些基本性质。
圆是由平面上所有与一个给定点的距离相等的点组成的图形。
圆上的任意一点到圆心的距离称为半径，而圆心到圆上任意一点的距离也是半径。
2.2 动圆的位置关系我们考虑动圆的圆心位置与固定圆的关系。
当动圆与固定圆外切时，动圆的圆心位于固定圆的外部，并且动圆的半径与固定圆的半径之和等于两圆心之间的距离。
2.3 动圆与y轴的相切关系除了与固定圆外切，动圆还与y轴相切。
这意味着动圆的圆心位于y轴上，并且动圆的半径与y轴之间的距离等于动圆的半径。
三、问题求解3.1 圆心的坐标表示为了求解动圆圆心的轨迹方程，我们需要找到动圆圆心的坐标表示。
设动圆的半径为r，固定圆的半径为R，动圆圆心的坐标为(x, y)。
3.2 动圆圆心与固定圆的关系根据动圆与固定圆的位置关系，我们可以得到以下等式：(x - R - r)^2 + y^2 = (R + r)^2这是因为动圆的圆心位于固定圆的外部，所以两圆心之间的距离等于两圆的半径之和。
3.3 动圆圆心与y轴的关系根据动圆与y轴的相切关系，我们可以得到以下等式：x^2 + y^2 = r^2这是因为动圆的圆心位于y轴上，所以动圆圆心到y轴的距离等于动圆的半径。
3.4 联立方程求解我们将以上两个方程联立，可以得到以下方程组：(x - R - r)^2 + y^2 = (R + r)^2x^2 + y^2 = r^2通过对方程组进行化简和变形，可以得到动圆圆心的轨迹方程：x = -2R这个结果告诉我们，动圆圆心的x坐标是一个常数，而y坐标可以取任意实数。
专题17 动圆相切问题
一、圆心为动点
解题思路：确定圆心到直线的距离 d=r 即可．
【引例】如图，直线 l 的解析式为 y 3 x ，点 P 坐标为 4,0 ，以点 P 为圆心，1 为半
3 径作圆，当点 P 以每秒 2 个单位的速度向右移动时，时间 t 为何值时圆 P 与直线 l 相切？
间为 t（单位：s）（ 0 t 8 ）． 5
（1） 如图 1，连接 DQ 平分∠BDC 时，t 的值为
；
（2） 如图 2，连接 CM，若△CMQ 是以 CQ 为底的等腰三角形，求 t 的值；
（3） 请你继续进行探究，并解答下列问题：
①证明：在运动过程中，点 O 始终在 QM 所在直线的左侧；
②如图 3，在运动过程中，当 QM 与圆 O 相切时，求 t 的值；并判断此时 PM 与圆 O 是否
10
10
10
y
A
BO
x
【动圆相切-与多边形相切】 （2018·宁波）如图，正方形 ABCD 的边长为 8， M 是 AB 的中点， P 是 BC 边上的动点，
连结 PM ，以点 P 为圆心，PM 长为半径作 P ．当 P 与正方形 ABCD 的边相切时，BP 的长为 ．
A
D
M
BP
C
【分析】圆不可能与 AB、BC 边相切． 当圆 P 与 CD 相切时，即 PM=PC
A
P
C D
B
【分析】当圆 P 与 BC 边相切时，过点 P 作 PH⊥BC 交 BC，则 PH=6，
易证△DHP∽△DCA， DP PH 6 ，解得： DP 1 DA 13 ，∴ AP 13 ．
DA AC 12
2
2
2
A
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所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质
MN和公路PQ在点O处交汇，角QON=30°，在点A处有一栋居民楼，AO=200m，如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时，居民楼是否会受到噪音的影响？如果火车行驶的速度为72km/h，居民楼受噪音影响的时间约为多少秒？（精确到0.1s)?
以A为圆心，OA=200m为半径作圆，该圆与直线MN的交点为B。
那么，当火车在弦OB上位于圆内时，就会影响到居民楼
连接AB
因为AO=AB=R=200m
所以，∠AOB=∠ABO=30°
则，∠OAB=120°
所以由余弦定理得到：OB^2=OA^2+AB^2-2OA*AB*cos120°
即，OB=200√3m
火车速度V=72km/h=72000m/(3600s)=20m/s
火车沿MN运动，从进入圆A区域（即O点）开始，到离开圆A区域（即B点），总共运动的时间是：
t=OB/V=200√3m/(20m/s)=10√3s≈17.3s
2.如图1,已知ABCD是边长为4的正方形,E是CD边上的一个动点,连结AE,AE的延长线交BC 的延长线于点P,连结PD.作△ADE的外接圆☉O.设DE=x,PC=y.(9分)
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)若PD是☉O的切线,求x的值;
∴=,
∴=,
∴y=-4.①
由①得,x=-4,
∴x=2-2(负值舍去).
如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C
两点（点B在C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式。
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物
线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，
且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P 点的坐标和△PAC的最大面积．
◆满分解答：（1）设抛物线为y=a（x﹣4）2﹣1，
∵抛物线经过点A（0，3），∴3=a（0﹣4）2﹣1，；
∴抛物线为；（3分）
（2）相交．
证明：连接CE，则CE⊥BD，
当时，x1=2，x2=6．
A（0，3），B（2，0），C（6，0），对称轴x=4，
∴OB=2，AB==，BC=4，
∵AB⊥BD，∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，
∴△AOB∽△BEC，
∴=，即=，解得CE=，∵＞2，∴抛物线的对称轴l与⊙C相交．（7分）
（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；可求出AC的解析式为；（8分）
设P点的坐标为（m，），则Q点的坐标为（m，）；
∴PQ=﹣m+3﹣（m2﹣2m+3）=﹣m2+m．
∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=×（﹣m2+m）×6=﹣（m﹣3）2+；
∴当m=3时，△PAC 的面积最大为
；此时，P 点的坐标为（3，34
-）．（10分）
如图8，AB 是⊙O 的直径，弦BC =2cm ，F 是弦BC 的
中点，∠ABC =60°．若动点E 以2cm/s 的速度从A 点
出发沿着A →B →A 方向运动，设运动时间为t (s )(0≤t ＜3)，
连结EF ，当t 值为________s 时，△BEF 是直角三角形．
【答案】1或1.75或2.25
如图，在ABC ∆中，90B ∠= ，12mm AB =，24mm BC =，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm /s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm /s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么 经过_____________秒，四边形APQC 的面积最小．
【答案】3
如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，动点P 以2米/秒得速度从A 点出发，沿AC 向C 移动，同时，动点Q 以1米/秒得速度从C 点出发，沿CB 向B 移动。
当其中有一点F
E O A C
B
到达终点时，他们都停止移动，设移动的时间为t秒。
（1）①当t=2.5秒时，求△CPQ的面积；
②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数关系式；
（2）在P、Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，写出t的值；
（3）以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时，求出t的值。
在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米，∴AC=10米
由题意得：AP=2t，CQ=10-2t
（1）①过点P作PD⊥BC于D。
∵t=2.5，AP=2×2.5=5，QC=2.5
∴PD=AB=3，∴S=×QC×PD=3.75
②过点Q作QE⊥PC于点E
易知Rt△QEC∽Rt△ABC，∴，QE=
∴S=
（2）当秒（此时PC=QC），秒（此时PQ=QC），或秒（此时PQ=PC）△CPQ为等腰三角形；
（3）过点P作PF⊥BC于点F，则有△PCF∽△ACB
∴，即
∴PF=，FC=
则在Rt△PFQ中，
当⊙P与⊙Q外切时，有PQ=PA+QC=3t，此时
整理得：，解得
故⊙P与⊙Q外切时，；
当⊙P与⊙Q内切时，有PQ=PA-QC=t，此时
整理得：，解得
故⊙P与⊙Q内切时。