线性代数第17讲

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线性空间(1)
关键词：线性空间
§5.1 线性空间的概念
我们已经把平面和空间的几何向量推广到由有序数组定义的n
维向量，并把n 维向量的全体所构成的集合n R 叫做n 维向量空间. 这里要说明一点：由n 维行向量组成的空间与由n 维列向量组成的空
间在结构上是完全相同的，所以都记为n R .
但人们在讨论各种问题时，常常遇到各种不同的集合与运算（该集合元素未必是有序数组）. 例如，讨论全体n m ⨯ 矩阵所构成的集合，我们可以定义它们的加法和数乘，并且我们知道这些运算满足交换律、结合律、分配律等8条规律. 当抽去这些集合中对象（也称元素）的具体属性及定义运算的具体规则（例如函数的加法规则与向量的加法规则是完全不同的），我们考虑这些集合的结构：其对象的“线性运算”和它的“运算规律”，从而就可以建立一个数学模型：线性空间.
设V 是一个非空集合，其元素用字母 ,,,γβα表示；F 是一个数域，用字母 ,,μλ表示数域 F 中的数.
（线性空间的定义）称非空集合V 是数域 F 上的线性空间, 如果集合V 具备下列两个条件：
1. F 中定义了加法运算, 即给出一个规则，使得对于任意V V ∈∈βα,, 由这个规则可唯一确定一个元素 ,V ∈+=βαγ γ
叫做元素α与 β的和. 这个加法运算须满足如下4条基本运算规律：
)i ( .αββα+=+ （加法交换律）
)i i
( ).()(γβαγβα++=++ （加法结合律） )i i i
( V 中有零元素,0 使αα0=+对任何元素V ∈α成立. )v i ( 对每个元素V ∈α,都有负元素)(α-存在，使+α0α=-)(.
2. F 中的数与V 中的元素之间定义了数乘运算, 即给出一个规则，使得对于任意指定的数F ∈λ及元素 ,V ∈α由这个规则可唯一确定一个元素 ,V ∈αλαλ叫做数λ与元素α的乘积. 这个数乘运算须满足如下4条基本运算规律：
)v ( .1αα=
)i v ( .)(βαβαλλλ+=+
)i i
v ( .)(αααμλμλ+=+ )i i i v ( .)()(ααμλμλ=
（简言之, 定义了线性运算, 且此运算满足8条法则的集合叫线性空间） 借用几何语言， 把线性空间V 的元素也称为向量. 线性空间又可称为向量空间. 把V 称为线性空间是因为它所具有“加法”与“数乘”运算，而这两种运算合称为线性运算.
实数域R 上的线性空间简称为实空间, 复数域C 上的线性空间简称为复空间. 我们主要讨论实空间. 在不做特殊说明时, 线性空间均指实线性空间.
我们把分量为数域F 中的数的全体n 维向量（有序数组）所构成的线性空间记作 n F . 当 F 为实数域时, 此n 维向量空间记作n R . 当 3,2,1=n 时，它就是直观的几何空间；当 3>n 时，n R 不再有直观的几何意义.
数域 F 上的全体n m ⨯矩阵（即矩阵的元素均为F 中的数）关于矩阵加法及数乘矩阵的运算构成一个F 上的线性空间，记作 ).(F M n m ⨯ （因：易知线性运算封闭，且满足8条规则）
当数域 F 为实数域R 时，此实线性空间记作).(R n m M ⨯
n 个未知量的实系数齐次线性方程组的全体解向量（它是n R 的一个子集合），按照n 维向量的加法及它与实数的乘法定义两种运算, 因为由齐次线性方程组的解的性质知其解集对线性运算是封闭的, 所以n 个未知量的实系数齐次线性方程组的全体解向量构成一个实线性空间，称为齐次线性方程组的解空间. 特别，当齐次线性方程组只有零解时，它的解空间只有一个元素 —— 零向量.
只有零元素的空间称为零空间.
非齐次线性方程组的解集 {}b x A x ==V 不构成一个线性空间. 这是因为：当 V 为空集时，无法定义加法，故V 不是线性空间；当V 非空时，若,V ∈η 则,≠2)2(b b ηA = 故知.
2V ∉η 即对数乘运算不封闭. (显然对加法运算也是不封闭的 ) 证明正弦函数的集合
}{R ∈sin B A,B x A x S )(
][+=
.
首先易知用数λ乘三角函数的运算是封闭的. 我们利用三角函数的性质证明集合中的元素对加法也是封闭的.
)()(2211sin sin B x A B x A +++
.][)
)x S B x A x
b b x a a x b x a x b x a ∈+=+++=+++=)(sin sin )(cos )(sin cos (sin cos (21212211
因为集合 ][x S 中的加法和数乘运算都是普通的线性运算, 所以它满足定义1中8条运算规律的要求. 从而 ][x S 是一个线性空间.
例4 次数不超过n
的多项式的全体，记作,][x P n 即 {}R ∈++++=--n n n n n n a a a a x a x a x a x P ,,,][100111 , 对于通常的多项式加法、数乘多项式两种运算构成线性空间.
设],[b a 是实数轴上的一个闭区间, ],[b a 上连续函数的全体记作 .],[b a C 因为],[b a 上两个连续函数的和以及一个实数与其上连续函数的乘积仍是],[b a 上的连续函数， 所以 ],[b a C 对线性运算是封闭的. 显然它们满足8条运算规律. 故],[b a C 是实数域R 上的一个线性空间.
设V 是所有收敛于0的实数无穷序列所构成的集合, 即
{},0⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=∈==∞→n n n a a a V n lim ,R α 其中R 是实数域. 读者容易验证V 是R 上的一个线性空间.
线性空间V 具有以下重要性质.
线性空间的零元素是唯一的.
设21,00是线性空间V 中的两个零元素, 即对任何,V ∈α有=+10α,α.2α0α=+ 于是特别有
,,121212000000=+=+ .212210000=+=+这就证明了零元素的唯一性.
任一元素的负元素是唯一的. α的负元素记作.α- 设α有两个负元素,,γβ即.,0γα0βα=+=+ 于是 .)()(γγ0γβαγαβ0ββ=+=++=++=+= 这就证明了负元素的唯一性.
.;)1(;000αα0α=-=-=λ
.)01(010αααααα=+=+=+所以 0α=0.
.0)11()1(1)1(0αααααα==-=-+=-+ 所以 αα-=-)1(.
.0])([)(])1([0αααααα0==-+=-+=-+=λλλλλ
如果 ,0α=λ 则 0=λ或.0α=
若,0≠λ 在 0α=λ两边乘
,1λ 得 ,1
)(1
00α==λλλ
而 ,1)1
()(1
αααα===λλλλ 所以.0α=
若V 是F 上的线性空间，我们把V 的元素称为向量, 这是因为这些元素有类似几何向量的运算性质, 而不去考虑每个对象的个别特性. 例如，多项式、连续函数、矩阵等作为所在线性空间的元素都可以叫做向量. 从以后的学习中可以看出，线性空间是让抽象的代数得到几何的具体联想. 两种思想方法通过线性空间能够得以沟通. 另外，线性空间的概念可以凸显出数学的两大特点：理论的抽象性和应用的广泛性.。