数列的函数特性
1.1.2数列的函数特性课件ppt(2013-2014年北师大版必修五)
an＋1＝an
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想一想：如何利用数列的单调性求数列的最大项和最小项？
提示 数列中的最大项或最小项的探求可通过数列的增减性
an≥an＋1， an 应满足 an≥an－1
加以解决，若求最大项 an，则
an≤an＋1， an 应满足 an≤an－1.
若求最小
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2．数列的单调性 名 称 定 义 表达式
大于 从第二项起，每一项都_____它前 递增数列 面的一项
an＋1>an an＋1<an
小于 从第二项起，每一项都_____它前 递减数列 面的一项 常数列
摆动数列 相等 各项都_____ 从第2项起，有些项大于它的前1 项，有些项小于它的前1项的数列
【题后反思】 已知数列的通项公式求数列的最大(小)项， 其实质是求函数的最大(小)值，但要注意函数的定义域， 本题我们可以利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此 求解最大项．
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2 2n－2 2 n－1 数列{an} 【训练3】若数列{an}的通项公式 an＝5×5 －4×5 ，
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规律方法 数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来 表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐 标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图像．因为它的 定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1,2，3，…，n})， 所以其图像是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限 的，也可以是无限的．
误区警示
混淆函数与数列的单调性而致错
【示例】 已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N＋，则实 数λ的最小值是________． [错解] ∵an≤an＋1，∴{an}单增，又an为n的二次式，
数列的函数特征(主要内容)
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二是作商比较法，若数列的通项公式为根式形式,用作商法
比作差法更简便一些.
an＞0
an1 ＞1 an
递增数列
0＜an1 ＜1 an
递减数列
a n1 1 an
常数列
an＜0 递减数列 递增数列常数列青苗辅导1
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在利用作商比较法时，要确保数列的每一项都不是 零，再确认相邻两项的正负，然后进行比较.
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【例2】设函数f(x)＝log2x－logx2(0<x<1)，数列{an}满足 f( 2an )=2n(n∈N+). (1)求数列{an}的通项公式； (2)判断数列的单调性. 【审题指导】解决本题的关键是把函数的解析式通过关系 式转化求解得到数列的通项公式，然后再根据通项公式进 行作差，判断与零的大小或者作商判断与1的大小，从而判 断数列的单调性.
可知：对称轴是x=8，所以当0<n<8时数列是递减数列；
当n≥8时，数列是递增数列.
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数列的函数性质的应用 数列的函数性质的应用 数列是特殊的函数，由数列的项与项数之间构成特殊的函 数关系可知：数列的通项an与n的关系公式就是函数f(x)的 解析式,所以根据函数解析式得出数列的通项公式是重要途 径.
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【规范解答】(1)令30＋n－n2＝－60，
即n2－n－90＝0，
∴n＝10或n＝－9(舍)，…………………………………2分
∴－60是这个数列的第10项，即a10＝－60. …………4分 (2)令30＋n－n2＝0，即n2－n－30＝0.
∴n＝6或n＝－5(舍)，即当n＝6时，an＝0. …………6分
2.1数列的概念与简单表示法(二)
§2.1数列的概念与简单表示法(二)学习目标 1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列；2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项(重、难点).预习教材P30－31完成下列问题：知识点一数列的函数性质1.数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.2.在数列{a n}中，若a n＋1>a n，则{a n}是递增数列；若a n＋1<a n，则{a n}为递减数列；＝a n，则{a n}为常数列.若a n＋1【预习评价】1.从定义上看，数列是特殊的函数，因此，表示数列除可以用通项公式外，还可以有哪些方法？提示还可以用列表法，图象法.2.数列单调性与函数单调性的区别和联系是什么？提示联系：若函数f(x)在[1，＋∞)上单调，则数列f(n)也单调.反之不正确，例如f(x)＝(x－52，数列f(n)单调递增，但函数f(x)在(1，＋∞)上不是单调递增.4)区别：二者定义不同，函数单调性的定义：函数f(x)的定义域为D，设D⊇I，对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，若f(x1)>f(x2)，则f(x)在I上单调递减，若f(x1)<f(x2)，则f(x)在I上单调递增，定义中的x1，x2不能用有限个数值来代替.数列单调性的定义：只需比较相邻的a n与a n＋1的大小来确定单调性.知识点二数列的表示方法1.数列的递推公式：如果数列{a n}的第1项或前几项已知，并且数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.2.数列的表示方法：数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法.【预习评价】1.已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1，则数列的第5项a 5＝________，由此归纳出{a n }的一个通项公式为________，可以求得a 8＝________.解析 ∵a 1＝3，∴a 2＝2a 1＋1＝7，a 3＝2a 2＋1＝15，a 4＝2a 3＋1＝31，a 5＝2a 4＋1＝63，∴a 5＝63.可以看出a n ＝2n ＋1－1， ∴a 8＝29－1＝511.答案 63 a n ＝2n ＋1－1 5112.数列的通项公式与递推公式有什么区别？ 提示 不同点相同点通项公式 要根据某项的序号，直接用代入法求出该项都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项递推公式可根据第1项或前几项的值，通过一次或多次赋值逐项求出数列的项，直至求出所需的项都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项题型一 数列的函数特性【例1】 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由.解 法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n＝（9－n ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n11，当n ＜9时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n ＞9时，a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n . 则a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 9＝a 10＞a 11＞a 12＞…，故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.法二 根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a na n ≥a n ＋1，即⎩⎨⎧n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1≤（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n （n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10.又n ∈N *，则n ＝9或n ＝10.故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.规律方法 1.由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1，2，…，n }这一条件.2.可以利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，找到数列的最大项；利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1，找到数列的最小项.【训练】 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn 2＋9(n ∈N *)，写出其前5项，并判断数列{a n }的单调性.解 当n ＝1，2，3，4，5时，a n 依次为110，213，16，425，534，a n ＋1－a n ＝n ＋1（n ＋1）2＋9－nn 2＋9＝－n 2－n ＋9[（n ＋1）2＋9][n 2＋9]. ∵函数f (x )＝－x 2－x ＋9＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋374在[1，＋∞)上单调递减，又f (1)＝7>0，f (2)＝3>0，f (3)<0，∴当n ＝1，2时，a n ＋1>a n ，当n ≥3，n ∈N *时，a n ＋1<a n ， 即a 1<a 2<a 3>a 4>a 5>….∴数列{a n }的前3项是递增的，从第3项往后是递减的.方向1 由递推公式写出数列的项【例2－1】 已知数列{a n }的第一项a 1＝1，以后的各项由递推公式a n ＋1＝2a na n ＋2给出，试写出这个数列的前5项. 解 ∵a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，∴a 2＝2a 1a 1＋2＝23， a 3＝2a 2a 2＋2＝2×2323＋2＝12，a 4＝2a 3a 3＋2＝2×1212＋2＝25，a 5＝2a 4a 4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项为1，23，12，25，13. 方向2 由数列的递推公式求通项公式【例2－2】 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n ≥2)，写出该数列前5项，并归纳出它的一个通项公式. 解 ∵a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n ≥2)，∴a 2＝a 1＋12×1＝1＋12＝32，a 3＝a 2＋13×2＝32＋16＝53，a 4＝a 3＋14×3＝53＋112＝74，a 5＝a 4＋15×4＝74＋120＝95.故数列的前5项分别为1，32，53，74，95.由于1＝2×1－11，32＝2×2－12，53＝2×3－13，74＝2×4－14，95＝2×5－15，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2n －1n ＝2－1n . 方向3 构造数列法求通项公式【例2－3】 设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________.解析 法一 (累乘法)：把(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0分解因式，得[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0. ∵a n ＞0，∴a n ＋1＋a n ＞0， ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， ∴a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n ，∴a n a 1＝1n .又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n . 法二 (迭代法)：同法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴a n ＋1＝nn ＋1a n ，∴a n ＝n －1n ·a n －1＝n －1n ·n －2n －1·a n －2＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·a n －3…＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12a 1＝1n a 1.又∵a 1＝1，∴a n ＝1n .法三 (构造特殊数列法)：同法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴(n ＋1)a n ＋1＝na n ， ∴数列{na n }是常数列， ∴na n ＝1·a 1＝1， ∴a n ＝1n . 答案 1n规律方法 1.由递推公式写出通项公式的步骤 (1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).(2)根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式. (3)写出一个通项公式并证明.2.递推公式的常见类型及通项公式的求法(1)求形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的通项公式.将原来的递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再用累加法(逐差相加法)求解，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1). (2)求形如a n ＋1＝f (n )a n 的通项公式.将原递推公式转化为a n ＋1a n ＝f (n )，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由a 2a 1＝f (1)，a 3a 2＝f (2)，…，a na n －1＝ f (n －1)，累乘可得a na 1＝f (1)f (2)…f (n －1).课堂达标1.下列四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项； ②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝n n ＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3D.4解析 只有③正确.①中，如已知a n ＋2＝a n ＋1＋a n ， a 1＝1，无法写出除首项外的其他项.②中a n ＝n ＋1n ＋2，④中－1和1排列的顺序不同，即二者不是同一数列. 答案 A2.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( ) A.a n ＝a n －1＋2(n ≥2)B.a n ＝2a n －1(n ≥2)C.a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)D.a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2)解析 A ，B 中没有说明某一项，无法递推，D 中a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，不合题意. 答案 C3.数列{x n }中，若x 1＝1，x n ＋1＝1x n ＋1－1，则x 2 017等于( )A.－1B.－12 C.12 D.1解析 ∵x 1＝1，∴x 2＝－12，∴x 3＝1， ∴数列{x n }的周期为2，∴x 2 017＝x 1＝1. 答案 D4.已知数列{a n }，对于任意的p ，q ∈N *，都有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝________.解析 由已知得a 1＋a 1＝a 1＋1＝a 2，∴a 2＝29， 同理a 4＝49，a 8＝89，∴a 9＝a 8＋1＝a 8＋a 1＝89＋19＝1， ∴a 36＝2a 18＝4a 9＝4. 答案 45.求数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项. 解 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2942＋10818.由于n ∈N *，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n 取得最大值108， ∴数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项为a 7＝108.课堂小结1.{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式.而a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系.2.数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法； ④递推公式法.3.通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映a n 和n 之间的关系，即a n 是n 的函数，知道任意一个具体的n 值，就可以求出该项的值a n ；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n 直接得出a n .基础过关1.已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N *)，则此数列的通项a n 等于( ) A.n 2＋1 B.n ＋1 C.1－nD.3－n解析 a n ＋1－a n ＝－1，利用累加法可以求得a n ＝3－n .选D. 答案 D2.已知数列{a n }中的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，此数列的第3项是( ) A.1 B.12 C.34D.58解析 a 1＝1，a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋12×2＝34.答案 C3.数列{a n }中，a n ＝n － 2 011n － 2 012，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( ) A.a 1，a 50 B.a 1，a 44 C.a 45，a 44D.a 45，a 50解析 a n ＝n － 2 011n － 2 012＝1＋2 012－ 2 011n － 2 012.∴当n ∈[1，44]且n ∈N *时，{a n }单调递减， 当n ∈[45，＋∞)且n ∈N *时，{a n }单调递减， 结合函数f (x )＝2 012－ 2 011x － 2 012的图象，可知(a n )max ＝a 45，(a n )min ＝a 44. 答案 C4.数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝a n ＋1－3，则14是{a n }的第________项.解析 a 1＝2，a 2＝a 1＋3＝5，a 3＝a 2＋3＝8，a 4＝a 3＋3＝11，a 5＝a 4＋3＝14. 答案 55.数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ∈N *，2≤n ≤10)，则数列{a n }的最大项为________.解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1， ∴a n ≠0，∴a na n －1＝2>1，∴a n >a n －1，即{a n }单调递增，∴{a n }的最大项为a 10＝2a 9＝4a 8＝…＝29·a 1＝29·2＝210＝1 024. 答案 1 0246.已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，1a n －2＋1a n ＝2a n －1(n ∈N *，n ≥3)，求a 3，a 4.解 由a 1＝1，a 2＝23且1a n －2＋1a n ＝2a n －1，知当n ＝3时，1a 1＋1a 3＝2a 2，∴1a 3＝2a 2－1a 1＝3－1＝2，∴a 3＝12.当n ＝4时，1a 2＋1a 4＝2a 3，∴1a 4＝2a 3－1a 2＝4－32＝52，∴a 4＝25.7.根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式.(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a n n ＋1(n ∈N *)； (3)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）(n ∈N *). 解 (1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9.猜想a n ＝(n －1)2(n ∈N *).(2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝42＝2，a 4＝52.猜想a n ＝n ＋12(n ∈N *).(3)a 1＝－1，a 2＝－12，a 3＝－13，a 4＝－14.猜想a n ＝－1n (n ∈N *).能力提升8.已知数列{x n }满足x 1＝a ，x 2＝b ，x n ＋1＝x n －x n －1(n ≥2)，设S n ＝x 1＋x 2＋…＋x n ，则下列结论正确的是( )A.x 100＝－a ，S 100＝2b －aB.x 100＝－b ，S 100＝2b －aC.x 100＝－b ，S 100＝b －aD.x 100＝－a ，S 100＝b －a解析 x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝x 2－x 1＝b －a ，x 4＝x 3－x 2＝－a ，x 5＝x 4－x 3＝－b ，x 6＝x 5－x 4＝a －b ，x 7＝x 6－x 5＝a ＝x 1，x 8＝x 7－x 6＝b ＝x 2，∴{x n }是周期数列，周期为6，∴x 100＝x 4＝－a ，∵x 1＋x 2＋…＋x 6＝0，∴S 100＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2b －a .答案 A9.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，n 为正奇数，a n ＋1，n 为正偶数，则其前6项之和是( ) A.16B.20C.33D.120解析 a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，∴前6项之和为33.答案 C10.已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 010＝________，a 2 015＝________.解析 依题意，得a 2 010＝a 2×1 005＝a 1 005＝a 4×252－3＝1，a 2 015＝a 4×504－1＝0.答案 1 011.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n (n ∈N *)，试归纳出这个数列的通项公式a n ＝________.解析 由a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n得a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14，…，所以可归纳出a n ＝1n . 答案 1n12.已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式.解 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1. ∴故n ≥2时，1a n ＝1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1＝2＋＝n ＋1.∴1a n ＝n ＋1，∴当n ≥2时，a n ＝1n ＋1.a 1＝12也适合上式，∴a n ＝1n ＋1(n ∈N *). 13.(选做题)设f (x )是定义在实数集R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝f (x ＋1)－f (x )，对数列f (n )(n ∈N *)，若f (1)＝lg 32，f (2)＝lg 15，求f (2 016).解 f (3)＝f (2)－f (1)＝lg 15－lg 32＝lg 10＝1，f (4)＝f (3)－f (2)＝1－lg 15＝lg 23，f (5)＝f (4)－f (3)＝lg 23－1＝lg 115，f (6)＝f (5)－f (4)＝lg 115－lg 23＝lg 110＝－1，f (7)＝f (6)－f (5)＝－1－lg 115＝－1＋lg 15＝lg 32＝f (1)，f (8)＝f (7)－f (6)＝lg 32＋1＝lg 15＝f (2).∴f (n )是周期为6的周期数列.∴f (2 016)＝f (336×6)＝f (6)＝－1.。
高中数学第一章 1.2 数列的函数特性
例3
在数列{an}中，an＝(n＋1)(
10 11
)n(n∈N＋).
(1)求证：数列{an}先递增，后递减； 证明
(2)求数列{an}的最大项. 解答 由(1)知 a9＝a10＝1101190最大.
反思与感悟
数列中最大项与最小项的两种求法 (1)若求最大项an，则an应满足aann≥≥aann－＋11，，若求最小项an，则an应满足 an≤an＋1， an≤an－1.
跟踪训练2 若数列{n2＋λn}是递增数列，则实数λ的取值范围是 (_－__3_，__＋__∞__)_. 答案 解析
设an＝n2＋λn， 则an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn ＝2n＋1＋λ>0对任意n∈N＋恒成立. ∴(2n＋1＋λ)min＝3＋λ>0， ∴λ>－3.
命题角度2 求数列中的最大项与最小项
123
3.用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的 关系式可以是_a_n_＝__2_n_＋__1. 答案 解析 a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7， a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1.
123
规律与方法
1.{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数 列的一种简记形式.而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与 “整体”的从属关系. 2.数列的表示方法：(1)图像法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公 式法.
跟踪训练1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数 学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们将石子摆 成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第 10个三角形数是_5_5_. 答案 解析
数列的概念与函数特性
∴am＋ n＝am＋ [(m＋ n)－m]· d＝ n＋ n· (－1)＝0.
规律方法
由等差数列的通项公式可证明： an－ am＝(n－
an－am m)d(n、m∈N＋，n≠m)或 d＝ ，当 m＝1 时，即为 an n－m ＝a1＋(n－1)d.
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专题归纳
解读高考
高考真题
专
高考真题
解
(1)法一 设首项为 a1，公差为 d，则
a1＝ 1， 解得 d＝ 2.
a3＝ a1＋ 2d＝ 5， a7＝ a1＋ 6d＝ 13，
∴ an＝a1＋ (n－ 1)d＝1＋ (n－ 1)×2＝ 2n－1. ∴通项公式是 an＝2n－ 1. 法二 a7－ a3 13－5 ∵ d＝ ＝ ＝ 2， 7－ 3 7－ 3
an－1≥ an， 用不等式组 找到数列的最小项． an≤ an＋ 1，
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专题二 等差数列通项公式
1．等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，其中包含四 个元素：an，a1，n和d，很显然我们可以做到“知三求 一”． 2．在解题时，我们往往通过解方程(组)来确定a1和d，从 而就可以确定等差数列了，但是，有时这种解法运算 过程稍微复杂了一点，如果能够灵活使用另一个公式 an＝am＋(n－m)d可以简化运算．
2
9 2 105 ＋ 9n＋ 3＝－ 2n－ ＋ . 4 8
由于函数
9 2 105 9 f(x) ＝－ 2 x－ ＋ 在 0， 上是增函数，在 4 8 4
9 ，＋∞ 上是减函数，故当 4
n＝ 2 时，f(n)＝－ 2n2＋ 9n＋ 3 取
4m－2 2 2m－1 即 n＝ ＝ . 3 3 令 2m－1＝3t，∵(2m－1)∈N＋为奇数， 3t＋1 ∴t∈N＋ 且为奇数，∴m＝ ，n＝2t. 2 而 1≤m≤40,1≤n≤40，
数列的函数特性
递增数列
例如：1996~2002年某市普通高中生人数（单 位：万人） 82，93，105，119，129，130，132.
递减数列
目前通用的人民币面额从大到小的顺序构成数 列（单位:元） 100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2， 0.1，0.05，0.02，0.01.
常数数列
无穷多个3构成数列 3，3，3，3，3, … .
(1)2,1,0, 1, 3 n, 1 2 3 n (2) , , , , , 2 3 4 n 1
解： （1）设
n1
a
n
3 n 那么
a 3 (n 1) 2 n a a (2 n) (3 n) 1 所以 a a ，因此数列 {a n}是递减数列。
解： n an =2n-1 1 1 2 3 3 5 4 7 5 9
an
10 9 8
y=2x-1 an=2n-1
7
6 5 4 3 2 1
O
特 点:数列的图象是一群孤立的点。
n 数列的图象有何特点？
1 2 3 4 5 6 7
列 表 法
数列的表示方法
图 像 法
通项公式法
应用示例
例3 判断下列无穷数列的增减性
数列是一种特殊的函数
反过来，对于函数 y=f(x)，如果f(i) (i=1,2,3, …) 有意义 ，那么我们可以得到一个数列
f (1), f (2), f (3),
a1 = f(1) =16
f (n )
例如：函数y=7x+9,当x依次取1，2，3, …时， 其函数值构成的数列有什么特点？
a2 = f(2) =23
a3 = f(3) =30
a4 = f(4) =37
1.2 数列的函数特性 学案(含答案)
1.2 数列的函数特性学案（含答案）12数列的函数特性学习目标1.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数.2.了解数列的几种表示方法.3.能从函数的观点研究数列知识点一数列的表示方法1图像法数列可以看作是一个定义域为正整数集N或它的有限子集1,2,3，，n的特殊函数，数列的图像是由以n，an为坐标的一系列孤立的点构成的即散点图图像法的优点能够直观地表示出随着项数的变化，相应项的变化趋势2列表法列表法就是用表格的形式表示项数n和项an的变化关系列表法的优点不需要做任何计算就可以直接看出与项数相对应的项知识点二数列的增减性1递增数列一个数列an，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即an1annN，那么这个数列叫作递增数列2递减数列一个数列an，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即an1annN，那么这个数列叫作递减数列3常数列如果数列an的各项都相等，那么这个数列叫作常数列1数列的图像是一群孤立的点2一个数列不是递增函数，则一定是递减数列3若anfn表示递增数列，则yfx在1，上是增函数4每个数列都可从通项公式.图像.列表等方法中任选一个表示题型一数列的表示法例1在数列an中，ann28n.1画出an的图像；2根据图像写出数列an的增减性解1列表n123456789an71215161512709描点在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列an的图像1，7，2，12，3，15，4，16，5，15，6，12，7，7，8,0，9,9，，图像如图所示2当1n4nN时，数列an 为递减数列；当n4nN时，数列an为递增数列反思感悟数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为n，an描点画图，就可以得到数列的图像，因为它的定义域是正整数集N或它的有限子集1,2,3，，n，所以其图像是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的跟踪训练1某种练习本单价5元，小王买了n本nN，n5该练习本，记an为买n本的总价，试用三种方法来表示数列an解通项公式法an5nnN，n5列表法n12345an510152025图像法题型二数列增减性的判断例2已知数列an的通项公式annN，试判断该数列的增减性，并说明理由解an 为递减数列，理由如下an1an.fx2在1，上是减少的，当n1时，fnf110.又n1210，n210，an1an0，an是递减数列反思感悟判断数列的增减性，一般是将其转化为比较相邻两项的大小，常用的方法有作差法.作商法，作差法判断数列增减性的步骤为作差；变形；定号；结论作商法适用于各项都是同号的数列，且应比较比值与1的大小关系跟踪训练2已知数列an的通项公式为annN，写出其前5项，并判断数列an的增减性解当n1,2,3,4,5时，an依次为，，，，，an1an.函数fxx2x92在1，上是减少的，又f170，f230，f330，当n1,2时，an1an，当n3，nN时，an1an，即a1a2a3，a3a4a5.数列an的前3项是递增的，从第3项往后是递减的题型三已知数列的增减性求参数范围例3已知数列an的通项公式为ann2knnN，若数列an是递增数列，求实数k的取值范围解由an是递增数列，得an1ann12kn1n2kn2n1k0对于任意nN恒成立fx2x1k在1，上是增加的，2n1k0对任意nN恒成立等价于211k0，k3，实数k的取值范围是3，反思感悟实际上，当3k2时，函数yx2kx在1，上不是单调函数，但数列ann2kn是单调的，由此可知函数yfx在1，上单调，则数列anfn一定单调，反之则不一定究其原因，是数列与函数定义域不同造成的差别跟踪训练3已知递增数列an的通项公式为an2kn1.则实数k的取值范围是________答案0，解析an是递增数列，an1an2kn112kn12k0，k0.求数列的最大.最小项典例已知数列an的通项ann1nnN，试问数列an有没有最大项若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由解设an为最大项，则即解得9n10.又nN，n9或n10.该数列中有最大项，为第9.10项，且a9a10109.引申探究将本例中的“ann1n”换为“an2n29n3”，如何求an中的最大项解由an2n29n322.n为正整数，当n2时，an取得最大值，a222292313.即数列2n29n3的最大项为a213.素养评析1求数列的最值常用的方法根据数列的增减性求最值；设第n项an最大或最小，则，从而确定出哪一项为数列的最值2本例中，理解运算对象，掌握运算法则，选择运算方法，求解运算结果，体现了数学运算的数学核心素养.1已知an3n2，则数列an的图像是A一条直线B一条抛物线C一个圆D一群孤立的点答案D解析an3n2，nN，数列an的图像是一群孤立的点2在数列an中，ann，则an是A递增数列B递减数列C常数列D以上都不是答案A解析an1ann1n10，数列an是递增数列3已知数列an的通项公式为ann29n100，则其最小项是A第4项B第5项C 第6项D第4项或第5项答案D解析fxx29x100的对称轴为x，且开口向上ann29n100的最小项是第4项或第5项4若数列an为递减数列，则an的通项公式可能为______填序号an2n3；ann23n1；an；an1n.答案5数列xn中，若x11，xn11，则x2020____.答案解析x11，x2，x31，数列xn的周期为2，x2020x2.1an与an是两种不同的表示，an表示数列a1，a2，，an，，是数列的一种简记形式而an只表示数列an的第n项，an 与an是“个体”与“整体”的从属关系2数列的表示方法1图像法；2列表法；3通项公式法；4递推公式法3数列的单调性是通过比较an中任意相邻两项an和an1的大小来判定的某些数列的最大项或最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决4数列是特殊函数，一定要注意其定义域是N或它的有限子集。
(教参)：第一章1.2数列的函数特性Word版含解析
1.2 数列的函数特性学习目标1.了解递增数列、递减数列、常数列的概念(数学抽象)2.数列的图像表示(直观想象)3.会判断数列的增减性并能简单应用(逻辑推理)必备知识·自主学习导思1. 如何判断数列的单调性?2.若函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,那么数列a n=f(n)也单调递增吗?反之成立吗?1.数列的三种表示法(1)列表法.(2)图像法.(3)通项公式法.2.数列的增减性(1)递增数列:一个数列{a n},如果从第2项起,每一项都大于它前面的一项,即a n+1>a n(n∈N+),那么这个数列叫作递增数列.(2)递减数列:一个数列{a n},如果从第2项起,每一项都小于它前面的项,即a n+1<a n(n∈N+),那么这个数列叫作递减数列.(3)常数列:如果数列{a n}的各项都相等,那么这个数列叫作常数列.(4)一个数列{a n},如果从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,这样的数列叫摆动数列.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)数列的图像可以分布在坐标系内的任意象限. ( )(2)递增数列没有最大项. ( )(3)递减数列的最大项一定是当n=1时取得. ( )提示:(1)×.数列的定义域决定了数列的图像只可能在y轴右侧,不可能在第二、三象限.(2)×.递增数列是有穷数列时必有最大项.(3)√.由递减数列的概念可知.2.数列{a n}满足a n+1=a n+1,则数列{a n}是( )A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列【解析】选A.因为a n+1-a n=1>0,所以{a n}为递增数列.3.数列{a n}中,a n=-n2+11n,则此数列最大项的值是( )A. B.30 C.31 D.32【解析】选B.a n=-n2+11n=-+,因为n∈N+,所以当n=5或6时,a n取最大值30.关键能力·合作学习类型一数列的表示方法(直观想象)【典例】在数列{a n}中,a n=n2-8n,(1)画出{a n}的图像.(2)根据图像判定数列{a n}的增减性.【思路导引】列表、描点画图像,再判断增减性.【解析】(1)列表n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …a n-7 -12 -15 -16 -15 -12 -7 0 9 …描点:在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{a n}的图像:(1,-7),(2,-12),(3,-15),(4,-16),(5,-15),(6,-12),(7,-7),(8,0),(9,9),…图像如图所示.(2)数列{a n}的图像既不是上升的,也不是下降的,则{a n}既不是递增的,也不是递减的.画数列的图像的方法数列是一个特殊的函数,因此也可以用图像来表示,以位置序号n 为横坐标,相应的项为纵坐标,即坐标为(n,a n)描点画图,就可以得到数列的图像.因为它的定义域是正整数集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n}),所以其图像是一群孤立的点,这些点的个数可以是有限的,也可以是无限的.根据数列的通项公式,写出数列的前5项,并用图像表示出来.(1)a n=(-1)n+2;(2)a n=.【解析】(1)a1=1,a2=3,a3=1,a4=3,a5=1.图像如图.(2)a1=-,a2=-,a3=-,a4=-2,a5=2.图像如图所示.类型二数列的增减性(逻辑推理)角度1 数列增减性的判断【典例】1.已知数列{a n}的通项公式为a n=,按项的变化趋势,该数列是( )A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列2.已知函数f(x)=(x≥1),构造数列a n=f(n)(n∈N+).(1)求证:a n>-2.(2)数列{a n}是递增数列,还是递减数列?为什么?【思路导引】通过计算a n+1-a n,判断差的符号确定增减性.【解析】1.选B.因为a n+1-a n=-=<0,所以a n+1<a n.故该数列是递减数列.2.(1)由题意得a n=f(n)===-2+.因为n∈N+,所以>0. 所以a n=-2+>-2.(2)数列{a n}是递减数列,证明如下:因为a n=,a n+1==,所以a n+1-a n=-===<0,所以a n+1<a n,所以数列{a n}是递减数列.如果{a n}为递增数列,则{a n}的通项公式可以为( )A.a n=-2n+3B.a n=-n2-3n+1C.a n=D.a n=log2 n【解析】选D.A选项是n的一次函数,一次项系数为-2,所以为递减数列;B选项是n的二次函数,图像开口向下,且对称轴为n=-,所以为递减数列;C选项是n的指数函数,且底数为,是递减数列;D选项是n的对数函数,且底数为2,是递增数列.角度2 数列增减性的应用【典例】(2020·贵阳高一检测)若数列的通项公式是a n=(n+1)·0.9n,对于任意的正整数n都有a n≤a N成立,则N为( )A.6或7B.7或8C.8或9D.9或10【思路导引】作差判断数列的单调性,得到当n<8时,a n+1>a n,数列单调递增;当n>8时,a n+1<a n,数列单调递减,当n=8时,a9=a8,由此可判断数列的最大项.【解析】选C.a n+1-a n=(n+2)·0.9n+1-(n+1)·0.9n=0.9n=0.9n,当n=8时,a n+1-a n=0,当n<8时,a n+1-a n>0,当n>8时,a n+1-a n<0.所以当n<8时,a n+1>a n,数列单调递增;当n>8时,a n+1<a n,数列单调递减,所以当n=8时,a 9=a8为数列的最大项.数列增减性两方面的应用(1)利用数列的增减性可以求参数范围:数列的增减性揭示了项之间的大小关系,可以据此列出不等式(组),求某些参数的范围.(2)利用数列的增减性求数列的最大或最小项:如果数列先增后减或先减后增,则存在最大(小)项,递增(减)数列中首项是最小(大)项.1.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-21n+20.(1)n为何值时,a n有最小值?并求出最小值;(2)数列{a n}有没有最大项?若有,求出最大项,若没有,说明理由.【解析】(1)因为a n=n2-21n+20=-,可知对称轴方程为n==10.5.又因n∈N+,所以n=10或n=11时,a n有最小值,其最小值为102-21×10+20=-90.(2)由(1)知,a1>a2>…>a10=a11<a12<…,所以数列{a n}没有最大项.2.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n×0.9n,求数列{a n}中的最大项. 【解析】设a n是数列{a n}中的最大项,则即所以所以即9≤n≤10,所以当n=9或n=10时,a n最大,最大项a9=a10=2×10×0.910=20×0.910.3.在数列{a n}中,a n=(n+1)(n∈N+).(1)求证:数列{a n}先递增,后递减;(2)求数列{a n}的最大项.【解析】(1)因为a n+1-a n=(n+2)-(n+1)=·, 当n<9时,a n+1-a n>0,即a n+1>a n;当n=9时,a n+1-a n=0,即a n+1=a n;当n>9时,a n+1-a n<0,即a n+1<a n.所以a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,所以数列{a n}先递增,后递减.(2)由(1)可知数列中有最大项,最大项为第9,10项,即a9=a10=.课堂检测·素养达标1.下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是 ( )A.1,,,,…B.sin ,sin ,sin,sin ,…C.-1,-,-,-,…D.1,2,3,4,…,30【解析】选C.数列1,,,,…是无穷数列,但它不是递增数列,而是递减数列;数列sin ,sin ,sin ,sin ,…是无穷数列,但它既不是递增数列,又不是递减数列;数列-1,-,-,-,…是无穷数列,也是递增数列;数列1,2,3,4,…,30是递增数列,但不是无穷数列.2.已知数列{a n}的通项公式是a n=,则这个数列是( )A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列【解析】选B.数列{a n}的通项公式是a n===1+,则当n∈N+时为递减数列.3.数列{a n}的通项公式为a n=n2-6n,则它的最小值是.【解析】a n=n2-6n=(n-3)2-9,所以当n=3时,a n取得最小值-9.答案:-94.已知递增数列{a n}的通项公式为a n=2kn+1,则实数k的取值范围是.【解析】因为{a n}单调递增,所以a n+1-a n=[2k(n+1)+1]-(2kn+1)=2k>0,所以k>0.答案:(0,+∞)5.(教材二次开发:习题改编)数列{a n}满足a n+1=-2a n,若{a n}单调递增,则首项a1的范围是.【解题指南】先表示出a n+1-a n,再结合{a n}单调递增可求首项a1的范围. 【解析】因为a n+1=-2a n,所以a n+1-a n=-3a n>0,解得a n>3或a n<0,则有a1>3或a1<0.由于a 2=-2a1,所以-2a1>3或-2a1<0,解得a1>3或a1<-1(0<a1<2舍去).答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)。
数列的函数特性
数列的函数特性1．数列的函数特性【知识点的认识】1、等差数列的通项公式：a n＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式S n＝na1+12n（n﹣1）d或者S n=n(a1+a n)22、等比数列的通项公式：a n＝a1q n﹣1；前n项和公式S n=a1(1−q n)1−q=a1−a n q1−q（q≠1）3、用函数的观点理解等差数列、等比数列（1）对于等差数列，a n＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），当d≠0时，a n是n的一次函数，对应的点（n，a n）是位于直线上的若干个点．当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数．若等差数列的前n项和为S n，则S n＝pn2+qn（p、q∈R）．当p＝0时，{a n}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．（2）对于等比数列：a n＝a1q n﹣1．可用指数函数的性质来理解．当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{a n}是递减数列．当q＝1时，是一个常数列．当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．【典型例题分析】典例1：数列{a n}满足a n＝n2+kn+2，若不等式a n≥a4恒成立，则实数k的取值范围是（）A．[﹣9，﹣8]B．[﹣9，﹣7]C．（﹣9，﹣8）D．（﹣9，﹣7）解：a n＝n2+kn+2=(n+k2)2+2−k24，∵不等式a n≥a4恒成立，∴3.5≤−k 2≤4.5，解得﹣9≤k ≤﹣7，故选：B ．典例2：设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n ＞0（n ∈N *），其前n 项和为S n ，若数列{√S n }也为等差数列，则S n+10a n 2的最大值是（ ）A ．310B ．212C ．180D ．121解：∵等差数列{a n }满足a 1＝1，a n ＞0（n ∈N *），设公差为d ，则a n ＝1+（n ﹣1）d ， 其前n 项和为S n =n[1+1+(n−1)d]2， ∴√S n =√n[2+(n−1)d]2， √S 1=1，√S 2=√2+d ，√S 3=√3+3d ， ∵数列{√S n }也为等差数列，∴2√S 2=√S 1+√S 3，∴2√2+d =1+√3+3d ，解得d ＝2．∴S n +10＝（n +10）2，a n 2=（2n ﹣1）2，∴S n+10a n 2=(n+102n−1)2=(12+214n−2)2，由于{(12+214n−2)2}为单调递减数列， ∴S n+10a n 2≤S 11a 12=112＝121，故选：D ．。
11.2 数列的函数特性导学案(北师大版必修5)(1)
主备人：李斌 审核：高二备课组 使用日期：2012.9 负责人签字:1.2 数列的函数特性导学案班级 小组 姓名 小组评价: 教师评价: 学习目标：1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项；3.了解数列和函数之间的关系，能用函数的观点研究数列．学习重点：用函数观点解决数列问题学习难点：数列的函数理解【使用说明及学法指导】试验、交流、归纳等方法的综合应用.先由学生认真阅读教材P6-8，按照学习目标提出的要求，完成：“自主学习”，再去完成：“合作交流”部分，学习组长做好督导、检查。
【知识链接】1．数列可以看作是一个定义域为正整数集N ＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值．2．一般地，一个数列{a n }，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即a n ＋1>a n ，那么这个数列叫做递增数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即a n ＋1<a n ，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{a n }的各项都相同，那么这个数列叫做常数列．3．数列的最大、最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决，若求最大项a n ，n 的值可通过不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1a n ≥a n ＋1来确定；若求最小项a n ，n 的值可通过解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1a n ≤a n ＋1来确定． Ⅰ、自主学习已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，试写出a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，你发现数列{a n }具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 011项是多少？Ⅱ合作交流利用函数的性质判断数列的单调性例1 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2n 2＋1.求证：数列{a n }为递增数列．总结数列是一种特殊的函数，因此可用研究函数单调性的方法来研究数列的单调性．变式训练1在数列{a n}中，a n＝n2－an，若数列{a n}为递增数列，试确定实数a的取值范围．求数列的最大项例2已知a n＝9n(n＋1)10n(n∈N＋)，试问数列{a n}中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．总结先考虑{a n}的单调性，再利用单调性求其最值．变式训练2已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2－5n＋4，则(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，a n有最小值？并求出最小值．由递推公式求通项公式例3 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n +1＋1n (n －1)(n ≥2)，写出该数列的前五项及它的一个通项公式．总结 已知递推关系求通项公式这类问题要求不高，主要掌握由a 1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想a n 的方法，以及累加：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1；累乘：a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2…·a 2a 1·a 1等方法． 变式训练3 已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n+1＝a n+1－a n ，求数列{a n }的通项公式．Ⅲ 拓展交流函数与数列的联系与区别Ⅳ、自我总结:我学到了什么?我有哪些问题与老师交流? Ⅴ、达标检测1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数项D ．不能确定2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12n ＋12n ，则此数列第4项是( ) A ．1 B.12 C.34 D.583．若a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，给出的数列{a n }的第34项是( ) A.34103 B ．100 C.1100 D.11044．已知a n ＝32n －11(n ∈N ＋)，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则使S n >0的n 的最小值为( )A ．10B ．11C ．12D ．135．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧ 2a n ⎝⎛0≤a n <12，2a n －1 ⎝⎛⎭⎫12≤a n <1.若a 1＝67，则a 2 010的值为( ) A.67 B.57 C.37 D.17Ⅵ、延伸拓广1．已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2 a n )＝－2n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{a n }是递减数列．2．在数列{a n }中，a 1＝12a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)． (1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2 010.Ⅶ、作业布置课本P8-9 AB 组 .ⅦI 课后反思。
§1.2数列的函数特性
1.1.2数列的函数特性一 学习目标：1.了解数列的增减性的概念，掌握判断数列的增减性的方法，能够利用数列的增减性求数列的最大项、最小项.2.明确数列与函数的关系，数列问题常会转化为函数问题，体现了化归与转换、函数与方程等数学思想方法.3.激情投入，高效学习，踊跃展示，大胆质疑，体验自主学习的快乐和成功的愉悦. 重点：数列的函数特性.难点：用数列的增减性解决数列的最大（小）项问题.二 问题导学1.重温旧知数列可以看作是 .2.数列的函数特性 数列{}n a 的通项公式(),n a f n n N +=∈(1)定义域： ； (2)值域： ； (3)图像：一群孤立的点，其坐标为 ；(4)数列的增减性比较后一项与前一项的大小关系，数列可分为 ， 其符号表示分别为 .思考：你能判定数列的增减性吗？是如何判定的？又如何确定数列中的最大项或最小项？导学自测1．在同一坐标系中分别作出下面数列的图像，并分析它们的增减性.(1) 1,0,1,,2,n -- ；(2) 2341,,,,,3452n n ++；(3)11111,,,,,(1),24682nn---；2.已知数列{}n a 中，130n n a a +--=，则数列{}n a 是 （ ）A . 递增数列 B. 递减数列 C . 常数列 D. 不确定3. 数列{}n a 中，n a =n b -+（b 为常数），此数列是递减数列，则有 （ ） A. 0b > B. 0b < C. 0b ≠ D. b R ∈4．已知数列{}n a 的通项公式为28n a n n =-+，画出该数列的图像，根据图像，判断从第几项起，这个数列是递减的，并求出它的最大项.三 合作探究1. 已知数列{}n a 的通项公式为31n na n =+，判断此数列的增减性.2. 已知数列{}n a 的通项公式为1()(0)2n n a a a a =≠为常数且，判断此数列的增减性.nn a 0数学导学案装订线3.若数列{}n a 的通项公式为2()()n a k n n n N +=+∈，且数列{}n a 是单调递增数列，你能求出实数k 的取值范围吗？你是如何求解的？给你带来什么启示？4. 若数列{}n a 的通项公式为254n a n n =-+，那么当n 为何值时，n a 有最小值？最小值为多少？变式.已知数列}{n a 的通项公式为31522+-=n n a n ，求数列}{n a 的最小项.四 我的学习总结：（1）我对知识的总结（2）我对数学思想及方法的总结 __________________。
北师大版必修5高中数学1.1数列的函数特性导学案
高中数学 1.1数列的函数特性导学案北师大版必修5个性笔记【学习目标】1.通过阅读教材第6----8页，让学生体会数列是一种特殊的函数及数列的图像表示；2.利用数列的函数特征判断函数的增减性；3.会用函数方法处理数列问题．【学习重点、难点】重点：数列的函数特性，数列的增减性及最值项。
【考纲要求】理解数列的函数特性.【使用说明】A、B等普通班、重点班学生完成， C等实验班学生完成【学习过程】（一）基础学习1、复习巩固：①什么是数列？②数列通项公式是什么？（Ａ） 3、认真观察下列数列，总结出数列的增减性并得出数列增减性的概念？① 3,4,5,6,7,8,9② 0.1,0.01,0.001,0.0001，…③ 100,100,100,100，…（二）学习探究（B ）探究2 已知数列{a n }的通项公式为n a 画出数列的图像，并判断数列的增减性。
（提示：依据数列函数特性完成本题）1、1n a n =-+；2、22153n a n n =-+（C ）例3结合例题2第2个小题，判断从第几项起，这个数列是递增的，并求出数列的最小项。
（三）当堂检测1．已知130n n a a +--= ，则数列{a n } 是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不确定2．已知数列{a n }的通项公式为523n a n =-，则该数列的增减性为( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列5．变式：第4题当一次项的系数变为5时，结果又是什么？请算一算（四）课后作业1.教材第8页练习第2题(2).2.．完成教材第9页习题1—1第5题.（五）教与学后反思本节课你学到哪些知识？请写下来，与组内的同学分享.总结反思。
数列的函数特性
在例1中,我们是利用二次函数的性质求得 了数列的最小项,一般来说,要求数列的最小项 或最大项,我们最关心的是数列的单调性,那么, 应该如何来研究数列的单调性呢?
问题3:什么是递增数列?什么是递减数列?
例 2:已知数列{an}的通项公式为 an＝ n2 1 n，证明： 数列{an}是递减数列.
例 3．已知数列{an}的通项公式为 an n2 n ，若{an}是增
[自主解答] (1)因为 an＝n2－21n＋20＝n－2212－ 3641，可知对称轴方程为 n＝221＝10.5.又因 n∈N*，故 n＝ 10 或 n＝11 时，an 有最小值，其最小值为
a10 a11 112－21×11＋20＝－90.
(2)设数列的前 n 项和最小，则有 an≤0，由 n2－21n＋ 20≤0，解得 1≤n≤20，故数列{an}从第 21 项开始为正数， 所以该数列的前 19 或 20 项和最小．
5．设 Tn
(4)n 5
n (n
1)
，是否存在正整数
m
，对一切
正整数 n ，总有Tn Tm ？若存在，求 m ；若不存在，
说明理由.
1．判断一个数列的增减性，可以利用递增数列、 递减数列、常数列的定义进行判断，即通过判断一个数 列{an}的任意相邻两项之间的大小关系来确定数列的增 减性．可利用作差比较法：
f (x) 1 x 98
的 单 调 性 研 究 数 列 {an} 的 单 调
性 . f (x) 在 (0, 98 ) 上 单 调 增 , 在 ( 98 ,) 上 单 调 减 。 故 1 a1 a2 a9 ， a10 a11 a12 1，显然 a9 最小，
a10 最大．
答案：C
例
①若an＋1－an＞0恒成立，则数列{an}是递增数列； ②若an＋1－an＜0恒成立，则数列{an}是递减数列； ③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列．
数学必修5导学案：1-1 第2课时数列的函数特性
第2课时数列的函数特性知能目标解读1.熟练掌握数列与函数之间的关系，了解数列是一种特殊的函数的含义.2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.3.能够通过探求数列的增减性或画出数列的图像来求数列中的最大项或最小项.重点难点点拨重点：1.了解数列是一种特殊的函数的含义.2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.难点：用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.学习方法指导1.数列的概念与函数概念的联系(1)数列是一种特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或是它的有限子集{1,2,3,…,n}，它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数.(2)数列与函数不能画等号，数列是相应函数的一系列函数值.(3)利用函数与数列的关系，可以从函数的观点研究数列的表示方法及有关性质.2.数列的表示方法(1)数列的图像是无限个或有限个离散的孤立的点.(2)若数列是以解析式的形式给出的，则数列的图像是相应函数图像上的一系列孤立的点.(3)数列是一类离散函数，它是刻画离散过程的重要数学模型，有很广泛的应用.(4)列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但是它只能表示有限个元素间的对应关系.3.数列的单调性（1）递增数列：一般地，一个数列{a n}，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即a n+1>a n(n∈N+)，那么这个数列叫做递增数列.（2）递减数列：一般地，一个数列{a n}，如果从第2项起，每一项都小于它前面的项，即a n+1<a n(n∈N+)，那么这个数列叫做递减数列.（3）常数列：如果数列{a n}的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.（4）摆动数列：一个数列{a n}，从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，那么这个数列叫做摆动数列.注意：(ⅰ)有关数列的分类，由于分类的标准不同，分类方法也不一致：(ⅱ)数列的单调性的判断，定义法是十分重要的方法，即计算a n+1-a n，并研究差的符号的正负；除了应用定义判断外，也可以利用其函数性质判定，例如数列a n=3-n，因为一次函数y=3-x是减函数，因此可判断4.如何证明数列的单调性证明数列的单调性的主要方法有：(1)定义法：其中之一是作差比较，为了便于判断a n+1-a n的符号，通常将a n+1-a n变成常数形式或因式连乘积的形式或平方和形式.除了作差比较外，也可以采用作商的方法，作商时，首先应明确数列的项a n的符号(a n>0还是a n<0)，将其商与1进行比较，从而确定数列的单调性，对于多项式应进行因式分解，对于根式，进行分子（或分母）有理化.(2)借助于数列图像的直观性，证明数列的单调性.知能自主梳理1.几种数列的概念（1）数列按照项与项之间的大小关系可分为数列，数列，数列和数列.（2）一般地，一个数列｛a n｝，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即，那么这个数列叫做数列；（3）一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即，那么这个数列叫做数列；（4）一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫做数列；（5）如果数列｛a n｝的各项都相等，那么这个数列叫做数列.2.数列的递推公式如果已知数列的(或前几项)，且从第二项（或某一项）开始的与它的(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的公式.3.a n与S n的关系S1(n=1)若数列｛a n｝的前n项和记为S n，即S n=a1+a2+…+a n,则a n=(n≥2)［答案］ 1.(1)递增递减摆动常（2）a n+1>a n递增(3)a n+1<a n递减（4）摆动（5）常2.第1项任一项a n前一项a n-1递推3.S n-S n-1思路方法技巧命题方向数列表示法的应用［例1］(1)根据数列的通项公式填表：(2)画出数列{a n}的图像，其中a n=3.［分析］(1)根据数列的通项公式，代入相应的n值得到所求的项，解关于n的方程得项对应的n值. (2)在直角坐标系下，描出点(n,a n).所以a 1=3×(4×1+3)=21,a 2=3×(4×2+3)=33,a 5=3×(4×5+3)=69. 令3(4n +3)=153，解得n =12. 故填充完整的表格为：(2)∵a n =3，列表：在直角坐标系中图像如下：［说明］ (1)列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素之间的对应关系；(2)数列a n =3n -1的图像是函数y =3x -1 (x >0)上的无穷多个孤立的点. 变式应用1 已知数列{a n }的通项公式为a n =2n -1,作出该数列的图像.［解析］ 分别取n =1,2,3,…,得到点（1,1）,(2,3),(3,5),…,描点作出图像.如图，它的图像是直线y =2x -1上的一些等间隔的点.命题方向 数列单调性的判断［例2］ 已知函数f (x )=2x -2-x ，数列{a n }满足f (log 2a n ) =-2n . (1)求数列{a n }的通项公式； （2）求证数列{a n }是递减数列.［分析］ （1）已知函数关系式，由条件可得出2log 2a n -2-log 2a n =-2n ,解这个关于a n 的方程即可；（2）只需证明a -a <0或na >1(a >0)即可.［解析］ （1）∵f (x )=2x -2-x ,f (log 2a n )=-2n , ∴2log 2a n -2-log 2a n =-2n ,a n -na 1=-2n , ∴a n 2+2na n -1=0,解得a n =-n ±12+n . ∵a n >0,∴a n =12+n -n .（2）n n a a 1+=nn n n -++-++1)1(1)1(22=)1(1)1(122++++++n n n n <1.即{a n }是递减数列.［说明］ 我们常把递增数列和递减数列统称为单调数列，由于数列可看作是一个特殊的函数，因此，判断函数性质的方法同样适用于数列.比较a n 与a n +1大小的常用方法有：①作差法：若a n +1-a n >0,则数列{a n }是递增数列；若a n +1-a n <0，则数列{a n }是递减数列.②作商法：若n n a a 1+>1,则数列{a n }是递增数列；若nn a a1+<1，则数列{a n }是递减数列. 变式应用2 写出数列1,42,73,104,135,…的通项公式，并判断它的增减性. ［解析］ 该数列的通项公式为a n =23-n n,∴a n +1-a n =2)1(31-++n n -23-n n =)23)(13(2-+-n n .∵n ∈N +,∴(3n+1)(3n-2)>0, ∴a n +1<a n ,∴该数列为递减数列.命题方向 数列中最大项与最小项的求法 ［例3］ 求数列{-2n 2+9n +3}中的最大项.［分析］ 由通项公式可以看出a n 与n 构成二次函数关系，求二次函数的最值可采用配方法.此时应注意自变量n 为正整数.［解析］ 由已知a n =-2n 2+9n +3=-2(n -49)2+8105. 由于n 为正整数,故当n =2时,a n 取得最大值为13. 所以数列{-2n 2+9n +3}的最大值为a 2=13.［说明］ 数列的项与项数之间构成特殊的函数关系,因此有关数列的最大项与最小项问题可用函数最值的求法去解决,但要注意函数的定义域为正整数集这一约束条件.(1)数列中有多少项是负数？（2）n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值. ［解析］ （1）由n 2-5n +4<0,解得1<n <4. ∵n ∈N ＋,∴n =2,3. ∴数列有两项是负数. （2）∵a n =n 2-5n +4=（n -25）2-49,可知对称轴方程为n =25=2.5. 又∵n ∈N ＋,∴n =2或3时，a n 有最小值，其最小值为22-5×2+4=-2.探索延拓创新命题方向 数列的实际应用题［例4］ 在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出它们的工资标准：A 公司允诺第一年月工资1500元，以后每年月工资比上年月工资增加230元，B 公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上年月工资的基础上增加5%，设某人年初被A 、B 两家公司同时录取，试问：该人在A 公司工作比在B 公司工作月工资收入最多可以多多少元？并说明理由(精确到1元).［分析］ 根据题意，先建立实际问题的数学模型，根据建立的函数模型解决问题.由于自变量n ∈N +,函数解析式可以看作数列的通项公式，因此可运用数列的单调性求解. ［解析］ 设在A 公司月工资为a n ，在B 公司月工资为b n ，则 问题等价于求c n =a n -b n =1270+230n -2000×1.05n -1 (n ∈N +)的最大值. 当n ≥2时，c n -c n -1=230-100×1.05n -2;当c n -c n -1>0,即230-100×1.05n -2>0时，1.05n -2<2.3，得n <19.1. 因此，当2≤n ≤19时，c n -1<c n , 于是当n ≥20时，c n <c n -1. 所以c 19=a 19-b 19≈827(元).即在A 公司工作比在B 公司工作的月工资收入最多可以多827元.［说明］ 数列是一种特殊的函数，定义域为正整数集N +（或它的有限子集{1,2,3,…,n }）的函数，数列的通项公式就是相应的函数解析式，因此，用函数的观点去考察数列问题也是一种有效的途径.变式应用4 某企业由于受2011年国家财政紧缩政策的影响，预测2012年的月产值（万元）组成数列{a n }，满足a n =2n 2-15n +3,问第几个月的产值最少，最少是多少万元？ ［解析］ 由题意知，实质是求数列{a n }的最小项. 由于a n =2n 2-15n +3=2（n -415）2-8201，图像如图所示，由图像知n =4时，a 4最小，a 4=-25，即第4个月产值最少，最少为-25万元.名师辨误做答［例5］ 已知a n =a ·（21）n(a ≠0且a 为常数)，试判断数列{a n }的单调性. ［误解］ ∵a n -a n -1=a （21）n -a （21）n -1=-a （21）n <0, ∴数列{a n }为递减数列.［辨析］ 错误原因是误认为a >0,其实对非零实数a 应分a >0和a <0两种情况讨论. ［正解］ ∵a n -a n -1=-a （21）n(n ≥2,n ∈N *), ∴①当a >0时，a n -a n -1<0,∴a n <a n -1, ∴数列{a n }是递减数列. ②当a <0时，a n -a n -1>0,∴a n >a n -1, ∴数列｛a n ｝是递增数列.课堂巩固训练一、选择题1.已知数列｛a n ｝,a 1=1,a n -a n -1＝n -1(n ≥2)，则a 6=（ ）A.7B.11C.16D.17 ［答案］ C［解析］ ∵a 1=1,a n -a n -1=n -1(n ≥2)， ∴a 2-a 1=1,∴a 2=a 1+1=2, ∴a 3-a 2=2,∴a 3=a 2+2=4, ∴a 4-a 3=3,∴a 4=a 3+3=7, ∴a 5-a 4=4,∴a 5=a 4+4=11, ∴a 6-a 5=5,∴a 6=a 5+5=16.2.(2012·济南高二检测)数列{a n }中，a n =-n 2+11n ,则此数列最大项的值是（ ） A.4121B.30C.31D.32［解析］ a n =-n 2+11n =-（n -211）2+4121, ∵n ∈N +,∴当n =5或6时，a n 取最大值30，故选B.3.一给定函数y =f (x )的图像在下列图中，并且对任意a 1∈(0,1),由关系式a n +1=f (a n )得到数列{a n }满足a n +1>a n (n ∈N +)，则该函数的图像是（ ）［答案］ A［解析］ 由关系式a n +1=f (a n )得到数列{a n }满足a n+1>a n ,可得f (a n )>a n ,即f (x )>x .故要使该函数y =f (x )图像上任一点（x ,y ）都满足y >x ,图像必在直线y =x 的上方，所以A 正确.说明：借用函数的图像与性质来研究数列时，要注意函数的一般性及数列的特殊性之间的关系，不可不加区分，混为一谈，表达时要清楚明白，数列问题有时用图像来处理，往往可以使问题巧妙、简捷地获得解决.二、填空题 4.已知f (1)=2,f (n +1)=21)(+n f (n ∈N +),则f (4)= . ［答案］89 ［解析］ ∵f (1)=2,f (n +1)=21)(+n f (n ∈N ＋), ∴f (2)=21)1(+f =23, f (3)= 21)2(+f =225=45,f (4)= 21)3(+f =2145+=89.5.已知数列{a n }中，a n =a n +m (a <0,n ∈N ＋)满足a 1=2,a 2=4,则a 3= .2=a+m a =2 a =-1 ［解析］ ∵a 1=2,a 2=4, ∴ , ∴ （舍去）或 ,4=a 2+m m =0 m =3∴a 3=(-1) 3+3=2. 三、解答题 6.证明数列｛)1(1+n n ｝是递减数列.［证明］ 令a n =)1(1+n n ，∴a n +1-a n =)2)(1(1++n n -)1(1+n n=n n n n ⋅++)2)(1(-)2()1(2+⋅++n n n n=-)2)(1(2++n n n <0,∴a n +1<a n .所以数列｛)1(1+n n ｝是递减数列.课后强化作业一、选择题1.已知数列{a n }满足a n +1-a n -3=0，则数列{a n }是（ ）A.递增数列B.递减数列C.常数列D.不能确定 ［答案］ A［解析］ 由条件得a n +1-a n =3>0可知a n +1>a n ， 所以数列{a n }是递增数列.2.设a n =-n 2+10n +11，则数列{a n }的最大项为（ ）A.5B.11C.10或11D.36 ［答案］ D［解析］ ∵a n =-n 2+10n +11=-(n -5) 2+36, ∴当n =5时，a n 取最大值36.3.数列｛a n ｝中，a 1=0，以后各项由公式a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2给出，则a 3+a 5等于（ ） A.925 B. 1625 C. 1661 D. 1531 ［答案］ C［解析］ ∵a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2, ∴a 1·a 2·a 3=9,a 1·a 2=4,∴a 3＝49. 同理a =25,∴a +a =9+25=61.4.已知数列{a n }的通项公式a n =lg1536-(n -1)lg2，则使得a n <0成立的最小正整数n 的值为（ ） A.11 B.13 C.15 D.12 ［答案］ D［解析］ lg1536-lg2n -1<0,lg1536<lg2n -1, 即2n -1>1536,代入验证得答案为D. 5.已知数列{a n }中，a 1=1,a 2=3，a n =a n -1+21 n a (n ≥3)，则a 5=（ ）A.1255 B. 313 C.4 D.5［答案］ A ［解析］ a 3=a 2+11a =3+1=4. a 4=a 3+21a =4+31=313.a 5=a 4+31a =313+41=1255. 6.在数列{a n }中，a 1=1,a n ·a n -1=a n -1+(-1) n (n ≥2)，则53a a 的值是（ ） A.21 B. 32 C. 43 D. 54 ［答案］ C［解析］ ∵a 1=1,∴a 2=1+1=2,a 3a 2=a 2+(-1) 3=2+(-1)=1,∴a 3=21, 又a 3a 4=a 3+(-1) 4,∴a 4=3, ∵a 4a 5=a 4+(-1) 5=2,∴a 5=32, ∴53a a=3221=43. 7.已知S k 表示数列的前k 项和，且S k +S k +1=a k +1 (k ∈N +)，那么此数列是（ ） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 ［答案］ C［解析］ ∵a k +1=S k +1-S k =S k +S k +1， ∴S k =0(k ∈N +).可知此数列每一项均为0， 即a n =0是常数列.8.已知数列{a n }的通项公式为a n =（43）n -1［（43）n -1-1］，则关于a n 的最大项，最小项叙述正确的是（ ） A.最大项为a 1,最小项为a 3 B.最大项为a 1,最小项不存在 C.最大项不存在，最小项为a 3 D.最大项为a 1，最小项为a 4 ［答案］ A ［解析］ 令t =（43）n -1，则它在N +上递减且0<t ≤1，而a n =t 2-t ，在0<t ≤21时递减，在t ≥21时递增，且n =1时，t =1，n =2时，t =43，n =3时，t =169，n =4时，t =6427，且a 4>a 3，故选A. 二、填空题9.已知数列{a n }的通项公式a n =n 2-4n -12（n ∈N +），则 （1）这个数列的第四项是 ； （2）65是这个数列的第 项； （3）这个数列从第 项起以后各项为正数. ［答案］ －12 11 7［解析］ (1)a 4=42-4×4-12＝-12. (2)令65＝n 2-4n -12,∴n 2-4n -77=0, ∴n =11或n =-7(舍去). 故65是这个数列的第11项. （3）令n 2-4n -12>0,得n >6或n <2. ∴这个数列从第7项起各项为正数. 10.已知数列{a n }的通项a n =cnb na+ (a 、b 、c 都是正实数)，则a n 与a n +1的大小关系是 .［答案］ a n +1>a n［解析］ ∵a,b,c 均为实数，f (x )=cbx ax+=xc b a +在(0,+∞)上是增函数，故数列a n =cbn an+在n ∈N +时为递增数列，∴a n <a n +1.11.已知｛a n ｝是递增数列，且对任意的自然数n (n ≥1)，都有a n =n 2+λn 恒成立，则实数λ的取值范围为 . ［答案］ λ>-3［解析］ 由｛a n ｝为递增数列，得a n +1-a n =(n +1) 2+λ(n +1)-n 2-λn =2n +1+λ>0恒成立， 即λ>-2n -1在n ≥1时恒成立， 令f (n )=-2n -1,f (n ) max =-3. 只需λ>f (n ) max =-3即可.(1)该数列有无限多个正数项；(2)该数列有无限多个负数项；(3)该数列的最大项就是函数f (x )=-2x 2+13x 的最大值；(4)-70是该数列中的一项.其中正确的说法有 .（把所有正确的序号都填上）［答案］ (2)(4)［解析］ 令-2n 2+13n >0，得0<n <213，故数列{a n }有6项是正数项，有无限个负数项.当n =3时，数列{a n }取到最大值，而当x =3.25时函数f (x )取到最大值.令-2n 2+13n =-70，得n =10，或n =-27（舍去）.即-70是该数列的第10项. 三、解答题13.已知数列1，2，37，25，513，…. （1）写出这个数列的一个通项公式a n ;（2）判断数列｛a n ｝的增减性.［解析］ （1）数列1，2，37，25，513，….可变为11，24，37，410，513，….观察该数列可知，每一项的分母恰与该项序号n 对应，而分子比序号n 的3倍少2， ∴a n =n n 23-. (2)∵a n =n n 23-=3-n2, ∴a n +1=3-12+n , ∴a n +1-a n =3-12+n -3+n 2=n 2-12+n =)1(2+n n >0, ∴a n +1>a n .故数列｛a n ｝为递增数列. 14.根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图像表示出来.(1)a n =(-1) n +2;(2)a n =nn 1+. ［解析］ (1)a 1=1,a 2=3,a 3=1,a 4=3,a 5=1.图像如图1.(2)a 1=2,a 2=23,a 3=34,a 4=45,a 5=56.图像如图2.15.已知数列｛a n ｝,a 1=2,a n +1=2a n ，写出数列的前4项，猜想a n ,并加以证明.［证明］ 由a 1=2,a n +1=2a n ,得a 2=2a 1=4=22,a 3=2a 2=2·22=23, a 4=2a 3=2·23=24.猜想a n =2n (n ∈N +).证明如下：由a 1=2,a n +1=2a n , 得1-n n a a =21--n n a a =…=23a a =12a a =2. ∴a n =1-n n a a ·21--n n a a …23a a ·12a a ·a 1=2·2…2·2＝2n . 16.已知函数f (x )= 122+x x ,设f (n )=a n (n ∈N +).求证：21≤a n <1. ［解析］ 解法一：因为a n -1=122+n n -1=-112+n <0, a n -21=122+n n -21＝)1(2122+-n n ≥0, 所以21≤a n <1. 解法二：a n =122+n n =11122+-+n n =1-112+n <1, a n +1-a n =1)1()1(22+++n n -122+n n =]1)1[()1(]1)1[()1()1(222222++⋅+++⋅-+⋅+n n n n n n =]1)1[()1(1222++⋅++n n n . 由n ∈N +得a n +1-a n >0，即a n +1>a n , 所以数列{a n }是递增数列. 所以a n 的最小值为a 1=21,即a n ≥21. 所以21≤a n <1.。
数学中的数列与函数(数学知识点)
数学中的数列与函数（数学知识点）数学是一门抽象而又严谨的学科，其中数列与函数是数学中的基本概念之一。
数列与函数在数学的各个分支中都有广泛的应用，从数学分析到微积分，从代数到概率论，都涉及到数列与函数的概念和理论。
本文将介绍数列和函数的基本概念，以及它们在数学中的重要作用。
一、数列的概念及性质数列是按照一定的规律依次排列的一组数字。
数列由一系列的项组成，每个项有特定的位置和数值。
数列可以用通项公式来表示，通常用字母n表示位置，用an表示第n个位置上的数值。
数列的性质主要包括有界性、递增性和递减性等。
1. 有界性：数列的有界性是指数列中所有的项都被某个常数所限制，即存在两个常数M和N，使得对于所有的n，有M ≤ an ≤ N。
如果数列存在上界和下界，称为有界数列；反之，称为无界数列。
2. 递增性和递减性：数列的递增性是指数列中的后一项大于前一项，即an+1 > an；递减性则相反，即an+1 < an。
有时数列可能会存在非严格递增和非严格递减情况，这时允许相邻两项相等。
数列的这些性质使得它在数学中有着重要的作用，在数学分析中，数列是序列极限的基础；在概率论中，数列与随机事件的概率分布密切相关。
二、函数的概念与分类函数是数学中一种特殊的关系，它把一个集合的每个元素映射到另一个集合中的一个元素上。
函数通常用f(x)、g(x)等符号表示。
函数的定义域是指函数可能取值的集合，而值域则是函数实际取值的集合。
根据函数的特性和定义域、值域的属性，函数可以分为多种类型，如常函数、线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
以下是其中几类常见的函数：1. 常函数：常函数是指其函数值恒为常数的函数，即f(x) = c，其中c为常数。
常函数的图像是一条横线平行于x轴。
2. 线性函数：线性函数是一次函数，其表达式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，a不为零。
线性函数的图像是一条直线。
3. 二次函数：二次函数是二次多项式，即f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，a不为零。
北师版高中数学选择性必修第二册课后习题 第一章 1.2 数列的函数特性
1.2 数列的函数特性课后训练巩固提升1.已知数列{a n}的通项公式是a n=n-1n+1,那么这个数列是( ).A.递增数列B.递减数列C.常数列D.以上都不是a n+1-a n=nn+2−n-1n+1=n2+n-(n2+n-2)(n+1)(n+2)=2(n+1)(n+2)>0,∴a n+1>a n,∴{a n}是递增数列.2.给出下列说法:①已知数列{a n},a n=1n(n+2)(n∈N+),那么1120是这个数列的第10项,且最大项为第一项;②数列{a n}:√2,√5,2√2,√11,…的一个通项公式是a n=√3n-1;③已知数列{a n},a n=kn-5,且a8=11,则a17=29;④已知a n+1=a n+3,则数列{a n}是递增数列.其中正确的有( ).A.4个B.3个C.2个D.1个,令a n=1n(n+2)=1120⇒n=10(n=-12舍去),易知最大项为第一项.①正确.对于②,数列{a n}:√2,√5,2√2,√11,…即为√2,√5,√8,√11,…,亦为√3×1-1,√3×2-1,√3×3-1,√3×4-1,…,故a n=√3n-1.②正确.对于③,a n=kn-5,且a8=11⇒k=2⇒a n=2n-5⇒a17=29.③正确.对于④,由a n+1-a n=3>0,易知④正确.3.对任意的a1∈(0,1),由关系式a n+1=f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1>a n(n∈N+),则函数y=f(x)的图象是( ).a n+1=f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1>a n,即该函数y=f(x)的图象上任一点(x,y)都满足y>x,结合图象,只有A满足,故选A.4.(多选题)对于数列{a n},若存在正整数k(k≥2),使得a k>a k-1,a k>a k+1,则称a k是数列{a n}的“峰值”,k是数列{a n}的“峰值点”.在数列{a n}中,若-9|,下面哪些数不能作为数列{a n}的“峰值点”().a n=|n+8nA.2B.3C.6D.12a n =|n +8n-9|,所以a 1=0,a 2=3,a 3=103,a 4=3,a 5=125,a 6=53,a 7=67,a 11=3011,a 12=113,a 13=6013,只有a 3>a 2,a 3>a 4,所以“3”是“峰值点”,其他选项不是.故选ACD.5.已知数列{a n },a n =a n +m(a>0,n ∈N +),满足a 1=2,a 2=4,则{a n }是 数列.(填“递增”或“递减”){a 1=a +m =2,a 2=a 2+m =4,∴{m =0,a =2,或{m =3,a =-1(舍去).∴a n =2n , ∴{a n }是递增数列.6.已知数列{a n },a n =n 2-kn(n ∈N +),且{a n }为递增数列,则k 的取值范围是 .n+1-a n =(n+1)2-k(n+1)-n 2+kn=2n+1-k,又{a n }为递增数列,故应有a n+1-a n >0,即2n+1-k>0恒成立,分离参数得k<2n+1,故只需k<3即可.∞,3)7.已知数列{a n }的通项a n ,画出数列的图象.(1)a n =(-1)n ×2; (2)a n =2n-4; (3)a n =(12)n -1.,(1)(2)(3)(第7题) 8.已知数列{a n },a n =1+1a+2(n -1)(n ∈N +,a ∈R,且a≠0).(1)若a=-7,求数列{a n }中的最大项和最小项的值; (2)若对任意的n ∈N +,都有a n ≤a 6成立,求a 的取值范围.∵a=-7,∴a n =1+12n -9(n ∈N +).结合函数f(x)=1+12x -9的单调性,可知1>a 1>a 2>a 3>a 4,a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N +). ∴数列{a n }中的最大项为a 5=2,最小项为a 4=0.(2)a n=1+1a+2(n-1)=1+12n-2-a2,由对任意的n∈N+,都有a n≤a6成立,(1)∵a=-7,∴a n=1+(n∈N+).结合函数f(x)=1+的单调性,可知1>a1>a2>a3>a4,a5>a6>a7>?>a n>1(n∈N+).∴数列{a n}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.(2)a n=1+=1+,由对任意的n∈N+,都有a n≤a6成立,结合函数f(x)=1+的单调性,可知5<<6,即-10<a<-8,故a的取值范围为(-10,-8).。
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数列的函数特性
【学习目标】
利用函数研究数列
【学习重点】
利用函数的性质研究数列的性质
【课前预习案】
1. 如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an 与它的 前一项an －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式。
2. 数列可以看作是一个定义域为____________(或它的有限子集{1,2,3，…， n})的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列________。
3. 一般地，一个数列{an}，如果从________起，每一项都大于它的前一项， 即__________，那么这个数列叫做递增数列。
如果从________起，每一项都小于它的前一项，即__________，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{an}的各项________，那么这个数列叫做常数列。
【课堂探究案】
自学指导：围绕下列问题阅读课本6到8页，
1.数列的图像有什么特征：
2.什么是递增数列，递减数列，常数列，它们的图像有什么特点。
3.如何判断数列的增减性：
探究一：作数列的图像
例1.画出下列数列的图像，并判断增减性。
（1） （2）
探究二：判断数列的增减性
例2.判断下列数列的增减性；
(1) (2) 归纳总结：（1）数列图像的特征：
1n n a =-+12n n a -=231n n n a +=+23n
a n =-
（2）数列增减性的判断方法：
【课后检测案】
一、选择题
1．已知an ＋1－an －3＝0，则数列{an}是( )
A ．递增数列
B ．递减数列
C ．常数项
D ．不能确定
2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
A ．an ＋1＝an ＋n ，n ∈N ＋
B ．an ＝an －1＋n ，n ∈N ＋，n≥2
C ．an ＋1＝an ＋(n ＋1)，n ∈N ＋，n≥2
D ．an ＝an －1＋(n －1)，n ∈N ＋，n≥2
3．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an ＋1＝12an ＋12n
，则此数列第4项是( )
A ．1 B.12 C.34 D.58
4．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3…an＝n2，则：a3＋a5等于( )
A.259
B.2516
C.6116
D.3115
5．已知数列{an}满足an ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2an ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤an <12，2an －1 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12≤an<1.若a1＝67
，则a201的值为( ) A.67 B.57 C.37 D.17
6．已知an ＝n －98n －99
，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )
A ．a1，a30
B ．a1，a9
C ．a10，a9
D ．a10，a30
二、填空题
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝3,4Sn＝6an－an－1＋4Sn－1，则an＝________.
8．已知数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，(n∈N＋)，则使an>100的n的最小值是________．
9．若数列{an}满足：a1＝1，且an＋1
an
＝
n＋2
n
(n∈N＋)，则当n≥2时，
an＝________.
10．已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N＋，则实数λ的最小值是________．
三、解答题
11．在数列{an}中，a1＝1
2
，an＝1－
1
an－1
(n≥2，n∈N＋)．
(1)求证：an＋3＝an；
(2)求a2 010.。