41完全平方公式(基础)知识讲解

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完全平方公式讲解

完全平方公式讲解第一部分概念导入1 •问题：根据乘方的定义，我们知道：穿=日・a,那么(a+b) 2应该写成什么样的形式呢？ ( a+b) 2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？(1)_____________________________ (P+1)2=( p+1)( P+1) = ；( m+2)2= ；(2)(P-1)2= ( p-1) ( p-1) = _______ ；( m-2) 2= _____ ；2 •学生计算3 •得到结果：(1) (p+1) 2= (p+1) ( p+1) =p2+2p+12 2(m+2) = (m+2) (m+2) = m +4m+4(2) (p-1) 2= (p-1) (p-1) = p2-2p+12 2(m-2) = ( m-2) ( m-2=m -4m+44•分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2 • p • 1, 4m=2- m- 2，恰好是两个数乘积的二倍。

(1) ( 2)之间只差一个符号。

推广：计算(a+b) 2= ______ _______ _(a-b) 2= _________________ 【2］得到公式，分析公式(1) •结论：(a+b) 2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2即：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.(2 )公式特征左边：二项式的平方右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和.注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号.若这两项同号，则2ab取“ + ”，若这两项异号，则2ab的符号为“―” •(3)公式中字母可代表的含义公式中的a和b可代表一个字母，一个数字及单项式.(4 )几何解释图1 — 5图1 —5中最大正方形的面积可用两种形式表示：©( a + b) 2②a2+ 2ab+ b2,由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即( a + b) 2= a2+ 2ab + b2因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性.【学习方法指导］［例1 ］计算(1) (3a+ 2b) 2(2) (mn —n2) 2点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中a，b在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候.同时应注意公式中2ab的符号.解：(1) (3a + 2b) 2=( 3a) 2+ 2 • ( 3a) • (2b) + ( 2b) 2= 9a2+ 12ab + 4b2(2) (rnn— iCT ?◎ b—〔机打)z—g(讥”)* 异+( ii)zA + *</ — 2 必+ ¥=z>? if —2 mtf ~\~ »4注意：(2)中n2的指数2与公式中b2的二次方所代表含义不同，所以在展开过程中不要漏掉“二次方”.［例2 ］计算(1)(- m- n) 2(2) (- 5a—2) ( 5a+ 2)点拨：(1)可直接用完全平方公式•由于一m与一n是同号，所以公式中的2ab取“ + ” .( 2)中两个二项式虽然不同，但若将第一个括号中的“一”提出，则剩下的两个括号里的项完全相同，可利用完全平方公式进行计算.解：(1) (- m- n) 2=(-m) 2+ 2 •( —m) (- n) + (—n) 2=m2+ 2mn+ n2(2)(- 5a- 2) (5a+ 2)=-(5a+ 2) (5a+ 2)=-(5a+ 2) 2=-(25a2+ 20a + 4)=-25a2- 20a- 4小结：由(2)可知，将两个二项式相乘，两个括号里的每一项都相反的话，可先作适当调整，再利用完全平方公式进行计算.［例3 ］计算(1)(x-2y) 2-( x- y) (x+ y)(2)(m-n) (m2- n2) ( m+ n)点拨：(1)可分别应用平方差公式与完全平方公式进行乘法运算，再化简. (2)可先利用平方差公式将m-n与m + n相乘，再将所得结果m2- n2与中间括号里的m2- n2相乘，可利用完全平方公式.解：(1) (x- 2y) 2-( x - y) (x+ y)=(x2- 4xy+ 4护)-(x2- y2)=x2- 4xy+ 4y2- x2+ y2=-4xy+ 5y2(2) (m-n) (m2- n2) ( m+ n)=(m- n) ( m+ n) ( m^- n2)=(m^-n2) (m2-n2)=(m2) 2- 2 • m2• n2+( n2) 2=m4- 2m2n2+ n4说明：这两题在能用公式的地方尽量用公式，是因为应用公式可以简化运算，若想不到，用多乘多也可.［例4］计算：(x+ — ) 2-(x- y ) 22 2a 2—b 2=一、选择题1•下列运算中，正确的是() 2•下列运算中，利用完全平方公式计算正确的是(点拨：第一种方法是利用完全平方公式直接展开，第二种方法是可利用平方差公式逆运算:(a + b ) (a — b ),将此题转化为平方差公式进行计算.解法一：(x + y ) 222 (x 2+ xy + 仝)— 42(x 2— xy + L )4 =x 2+ xy + 2 y 2—x 2 + xy — 44=2xy解法二: = ［“+和+仃-和+炉-3-子口u u(出+ tO =* y■加』［例 5］计算：(a — 2b + 1) ( a + 2b — 1)点拨：此题“三项式乘三项式”，且这两个括号中的三项只有符号不同•先找出两个括号中完全相同的项放在一起，再把互为相反数的项放在一起，构成(a + b ) ( a — b )的形式，利用平方差公式进行简化运算.(a -W相反-[a-(26-1) J La *^(26 -1).②寿_(2卜・关键：此题最重要一步就是由①到②的过程转化, 随堂练习要保证代数式在形式发生变化的同时，大小不变!A . 3a+2b=5abB . (a — 1) 2=a 2— 2a+1C . a 6心a 2D . (a 4) 5=a 9A . (x+y ) 2=x 2+y 2B . ( x — y ) 2=x 2 — y2C . (- x+y ) 2=x 2-2xy+y 2D . (- x -y ) 2=x 2- 2xy+y 23•下列各式计算结果为 2xy - x 2-y 2的是() A . (x - y ) 2 B . (- x -y ) 2 C .-( x+y ) 2 D .-( x -y )4•若等式(x - 4) 2=x 2 - 8x+m 2成立，则m 的值是()A . 16B . 4C . - 4D . 4 或—4二、填空题5. (- x -2y ) 2= ______.6. 若(3x+4y ) 2= (3x - 4y ) 2+B ，贝U B= ______ .7. _______________________________ 若 a - b=3, ab=2，则 a 2+b 2= . 19 9 8 . ( --- ---- y ) 2= — x 2— xy+ ______ ; ( ____ ) 2=——a 2- 6ab+ _____ .34 16 三、解答题 9 .利用完全平方公式计算：(1) 20082； ( 2) 782 .110 .先化简，再求值：(2x - 1) (x+2)-( x -2) 2-( x+2) 2,其中 x=-311利用公式计算：196212某正方形边长a cm ,若把这个正方形的边长减小1 1 分别求a 2+2 , (a - ) 2的值a a15.为了扩大绿化面积，若将一个正方形花坛的边长增加 3米，？则它的面积就增加 39平方米，求这个正方3 cm ,则面积减少了多少?13.已知 x+y=1 , 求1 x 2+xy+丄y 2的值. 2 2114.已知 a+ =5 a形花坛的边长.-时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本2 不需要用计算器，而且很快说岀了答案•你知道他是怎么做的吗?17.已知：a + b=- 5，ab = - 6，求a2+ b2.18利用公式计算：992- 119.计算(1) (ab 1)( ab 1) ; (2) ( 2x 3)( 2x 3);(3) 1022; (4) 992.(5)(a b1)(a b 1) ； (6) (m 2n p)2.20. 一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加239cm ,这个正方形的边长是多少？21.当a1,b 1时,求(3a 2b)(3a22b) (a 2b)2的值16.小明在计算2200920082 2 20092007 2009200922.求证：当n为整数时，两个连续奇数的平方差2 2(2n 1) (2n 1)是8的倍数23. 观察下列等式:2 2 2 .2 2 2 2 21 0 1 ,2 1 3,3 2 5 ,4 3 7,请用含自然数n的等式表示这种规律为：____________________ .2 224. 已知4x Mxy 9y是一个完全平方式，求M的值.25.2005年12月1日是星期四，请问：再过2005 2天的后一天是星期几？答案1. B2. C 点拨：(x+y) 2=x2+2xy+y2，所以 A 不正确；(x—y2=x2- 2xy+y2,所以 B 不正确；(—x+y) 2= (-x) 2+2 (-x) y+y2=x2—2xy+y2，所以C正确；(—x —y) 2= (x+y) 2=x2+2xy+y2,所以 D 也不正确，故选C.3. D4. D 点拨：因为(x-4) 2=2—8x+16，所以若(x-4) 2=x2-8x+m2成立，则m2=16，从而得m=±4，故选D.__ 、5. x2+4xy+4y2点拨：(—x —2y) 2=[ —(x+2y) ] 2= (x+2y ) 2=x2+4xy+4y2.6. 48xy 点拨：B= (3x+4y) 2—( 3x —4y) 2=9x2+24xy+16y2—( 9x2—24xy+16y2) ?=?9x2+?24xy+16y 2—92 +24xy—16y2=48xy .7. 13 点拨：因为a—b=3，ab=2,所以a F+b2= (a—b) 2+2ab=32+2X2=9+4=13.3 1 2 3 28. —x; — y ; —a—4b;16b22 9 4三、9. 解：(1) 20082= (2000+8) 2 =20002+2 X2000 >8+8 2=4000000+32000+64=4032064;(2)782= ( 80—2) 2=802—2X80X2+22=6400 —320+4=6084.10. 解：(2x—1) (x+2 ) — ( x—2) 2—( x+2) 2=2x2+4x —x —2—( x2—4x+4 ) — ( x2+4x+4 )=2x 2+3x —2 —x2+4x —4 —x2—4x —4=3x —10 .1 1当x=—时，原式=3X(—-) —10=—1—10=—11.3 311思路：196接近整数200,故196= 200 —4,则此题可化为(200 —4 ) 2，利用完全平方公式计算.解：1962①(200— 4) 22002-2X 200 X 4 + 42 =40000 — 1600+ 16 = 38416说明：1 .可转化为完全平方的形式的数必须较接近一个整数才较易进行计算. 12. 思路：先分别表示出新旧正方形的边长，再根据“正方形面积=边长X 边长” ，表示出两个正方形的面积，用“大-小”即可得出所求.计算的关键在完全平方式的展开.解：原正方形面积：a 2 现正方形面积：(a — 3) 2面积减少了 a 2—( a — 3) 2 = a 2—( a 2 — 6a + 9)= a 2— a 2 + 6a — 9=( 6a — 9) (cm 2) 答：面积减少了( 6a — 9) cm 2. 13. 解：因为 x+y=1，所以(x+y ) 2=1,即 x 2+2xy+y 2=1.11 1 1 1 所以一 x 2+xy+— y 2= — (x 2+2xy+y 2) =— X =— .22 222点拨：通过平方将已知条件转化为完全平方公式，从而巧妙求值.1 1 1 所以(a —) 2=a 2+ 2 — 2a- =23 — 2=21.aaa点拨：注意公式的一些变形形式，例如： a F +b 2= (a+b ) 2 — 2ab, a 2+b 2= ( a — b )2+2ab ， (a+b )2=( a — b ) 2+4ab ， ( a — b ) 2=(a+b ) 2 — 4ab 等等.15. 解：设这个正方形花坛的边长为 x 米，依题意列方程得，(x+3 ) 2 — x 2=39, ?即 x 2+6x+9 — x 2=39， 6x=30， x=5. 答：这个正方形花坛的边长为 5米.点拨：适当引进未知数，？根据题中的相等关系得到方程，解方程即可. 16. 解：知道，做法如下：______ 200920082 ______ _________ 200920082 ___________ 200920072200920092 2 (20092008 1)2(20092008 1)2 22_____________________ 20092008 200920082 2 200920081 200920082 ____________2 20092008 1 2200920082 12 20092008^ 2点拨：由 200920072= (20092008 — 1) 2，200920092= ( 20092008+1) 2，运用完全平方公式化简即可.17. 点拨：同时存在a + b ，ab, a 2+ b 2的公式为完全平方公式(a + b ) 2 = a 2 +2ab + b 2,将题目中所给条件分别看作整体，代入公式即可.注意：1.不要分别求出 a 和b ,运算繁琐.n.若已知a +b (或a — b), ab , a 2+ b 2中的二者，都可利用完全平方公式求出第三者.解：a 2+ b 2 =( a + b ) 2 — 2ab14. 因为 a+^=5，所以 a 2+4 =a1 1(a+ ) 2 — 2 a •=52 —2=23,aa当 a + b = — 5, ab =— 6 时原式=(—5) 2 —2 X(— 6)= 25 + 12 = 37.18. 点拨：可分别用完全平方公式或平方差公式两种方法得到相同的答案. 19. 【点拨】(1)符合平方差公式的特征，只要将 ab 看成是a , 1看成是b 来计算.( 2)利用加法交换律将原式变形为 ( 32x)( 3 2x) , 然后运用平方差公式计算 .22(3) 可将 1022改写为 (1002) ,利用两数和的平方公式进行简便运算 .22(4) 可将 99 改写为 (100 1) ，利用两数差的平方公式进行简便运算 . 解：(1) (ab 1)(ab 1) =(ab)2 1 a 2b 21；(2)( 2x 3)(2x 3)= ( 3 2x)( 3 2x) =( 3)2(2x)2 9 4x 2；(3)1022 = (100 2) 2 =100 2 2 100 2 2210000 400 4 10404 ； (4)992 =(100 1) 2=10022 100 1 1 10000 200 1 9801.【点拨】(5,6)两个因式中都含有三项，把三项看成是两项，符号相同的看作是一项，符号相反的看作是一项，运用公式计算，本题可将 (a b) 看作是一项 .先将三项看成是两项，用完全平方公式，然后再用完全平方公式计算解：(5) (a b 1)(a b 1) =[(a b) 1][( a b) 1] (a b)2 1 a 2 2ab b 21;( 6) (m 2np)2=[(m 2n) p]2 (m 2n)2 2(m2n) p2p 22=m4mn 224n 2mp 4np p .【点评】 1. 在运用平方差公式时 , 应分清两个因式中是不是有一项完全相同, 有一项互为相反数 , 这样才可以用平方差公式，否则不能用; 2. 完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个完全平方式，两数和或差的平方，等于这两个数的平方2 2 2 2 2 2和，加上或减去这两个数乘积的 2倍，在计算时不要发生：(a b) a b 或(a b) a b 这样的错误; 3.当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组,看成是两项，用平方差公式或完全平方公式. 20.【点拨】如果设原正方形的边长为 xcm,根据题意和正方形的面积公式可列出方程求解 . 解：设原正方形的边长为xcm,则 (x 3)2 x 239即 x 2 6x 9 x 2 39，解得 X=5.答:这个正方形的边长是 5cm . 21.【点拨】先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后，再将 a 、b 的值代入计算出结果.2 2 2 2 2解： (3a 2b)(3a 2b) (a 2b)2 9a 2 4b 2 (a 2 4ab 4b 2)=9a 24b 2 a 24ab4b 2 8a 24ab 8b 2；当a 1,b 1时，(3a 2b)(3a 2b) (a 2b)28a 22 24ab 8b =8(-1)4( 1) 18=-4【点拨】运用完全平方公式将 (2n1)2(2n 21)化简，看所得的结果是否是8整数倍.2证明：(2n 1)(2n 1)2=4n 24n 21 (4n 4n 1)= 4n24n 1 4n 24n 1 8n ，又T n 为整数，二8n 也为整数且是8的倍数.23. 【点拨】本题是属于阅读理解，探索规律的题目，认真观察、分析已知的等式的特点，从中总结出规律 .同学们相互研讨交流一下.答案为：n2(n 1)2 2n 1(n 1且n 为整数).24. 【点拨】已知条件是一个二次三项式，且是一个完全平方式， x 2 与 y 2项的系数分别为4和9,所以这个完全平方式应该是2(2x 3y),由完全平方公式就可以求出 M .2 2 2解：根据(2x 3y) =4x 12xy 9y 得： M 12.二M 12答：M 的值是土 12.2 225. 【点拨】因为每个星期都有7天，要求再过2005天的后一天是星期几，可以想办法先求出 2005是7的多少倍数还余几天.解: 20052 = (7 286 3)2 (7 286)22 (7 286)3 9=(7 286)2(6 286) 7 7 2.2显然2005年12月1日是星期四，再过2005 天的后一天实际上要求星期四再过两天后的一天是星期日。

完全平方公式知识点分解

完全平方公式知识点分解1.完全平方公式的定义：(a+b)² = a² + 2ab + b²2.完全平方公式的推导：完全平方公式可以通过将一个二次多项式展开后进行适当的合并得到。

假设有一个二次多项式：(x+a)²，我们可以将其展开为：x² + 2ax + a²。

而这个结果恰好是完全平方公式的一种形式。

根据这种思路，可以得到完全平方公式的一般形式：(a+b)² = a² + 2ab + b²。

3.完全平方公式的应用：-求解二次方程：通过将一个二次方程转化为完全平方公式的形式，可以更容易地解得方程的根。

-分解因式：对于一个多项式，如果它是一个完全平方公式的形式，那么可以通过完全平方公式的逆运算，将其分解为两个一次多项式的乘积。

-求解二次特殊图形问题：例如，求解一个面积已知的正方形边长，可以通过构造一个面积为完全平方公式的方程，然后利用完全平方公式求解。

4.完全平方公式的推广：除了一般形式的完全平方公式，还存在其他推广形式的完全平方公式。

例如，如果一个三次多项式可以表示为两个一次多项式的平方之差，那么可以利用完全平方公式的推广形式进行分解。

常见的推广形式包括：- 差平方公式：(a-b)² = a² - 2ab + b²-完全平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)- 三次平方差公式：a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²)5.完全平方公式的相关例题：下面列举几个常见的完全平方公式的例题，以进一步说明其应用：例题1：求解方程x²+6x+9=0的解。

解：将方程转化为完全平方公式的形式：(x+3)²=0。

由此可得，x+3=0，所以x=-3例题2：将多项式x²+4x+4分解为两个一次多项式的乘积。

完全平方公式(完整知识点)

该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。

该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。

难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。

必须注意的：①漏下了一次项②混淆公式(与平方差公式)③运算结果中符号错误④变式应用难于掌握。

两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的 2 倍。

叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的 2 倍；2、左边两项符号相同时，右边各项全用”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“ - ”两项乘积的 2 倍同号加、异号减，符号添在异号前。

(可以背下来)变形的方法( 1 ) (-4x+3y)2 ( 2 ) (-a-b)2解答：(1)原式=16x2-24xy+9y2(2)原式=a2+2ab+b2解答：原式=9a2+12ab+6ac+4b2+4bc+c2( 1 ) (x+y)(2x+2y)( 2 ) (a+b)(-a-b)( 3 ) (a-b)(b-a)解答：( 1)原式=2(x+y)(x+y)=2(x+y) 2=2x2+4xy+2y2 ( 2 )原式 =-(a+b)(a+b)=-(a+b) 2= -(a2+2ab+b2) ( 3 )原式 =-(a-b)(a-b)=-(a-b) 2= -(a2-2ab+b2)数字变形的应用( 1 ) 9992( 2 ) 100.12解答：( 1 )原式=(1000-1)2 =998001( 2 )原式=(100+0.1)2=10020.01公式的变形：熟悉完全平方公式的变形式，是相关整体代换求知值的关键。

求下列各式的值：( 1 ) a2+b 2； ( 2 ) (a-b)2解答：( 1 )原式=(a+b)2-2ab=10-2=8( 2 )原式=a2-2ab+b2=(a+b)2-4ab=10-4=6注意事项1、左边是一个二项式的完全平方。

《完全平方公式》PPT课件

完全平方公式
-.
思考:
你能计算图1和图2的面积吗？
b
a
a
b
图1
b a
b a 图2
b ab b²
(a+b)
a a²² ab
ab
(a b)2 a2+ 2ab+b2
b a b²
a
b
a² a
(a-b)² b
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
完全平方公式的数学表达式：
3、若a b 5，ab 6，求 a2b2，a2ab b2.
基础练习:
1.运用完全平方公式计算:
(1)(x+6)2；
(2) (y-5)2；
(3) (-2x+5)2；
(4) ( 2 x - 3 y)2.
34
2.运用完全平方公式计算:
(1) 9.9
(2)201
3.若a b 5，ab 6，求 a2b2，a2ab b2.
4.已知 x y 8，x y 4，求xy.
.
(1)
(1 x 2 y2)2 23
(2) 1012
解：1
1 2
x
2 3y2Βιβλιοθήκη 21 2x
2
2
1 2
x
2 3
y2
2 3
y2
2
1 x2 2 xy2 4 y4;
43
9
21012 100 12
1002 21001 12
10201.
例3：计算： (1) (x 2y) (x 2y) (x 2y)2 8y2
2
x
2
1 2
x
2 3
y

初中数学完全平方公式知识点归纳

初中数学完全平方公式知识点归纳完全平方公式是指二元二次方程的解可以通过将方程化为完全平方形式来求解的方法。

下面是初中数学中关于完全平方公式的归纳知识点：1.完全平方公式的形式：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果其中a ≠ 0，那么它的解可以通过将方程化为完全平方形式来求解。

完全平方形式是指将二次项和一次项的系数合并为一个完全平方的形式。

2.完全平方公式的表达式：设一元二次方程为ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0，则它的解可以表示为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)3.完全平方公式的推导：在推导完全平方公式时，首先将方程右侧移到左侧，得到一个平方的形式，然后通过配方完成平方形式的提取。

4.完全平方公式的用途：完全平方公式可以用于求解一元二次方程的根，特别对于不能直观看出解的二次方程来说，可以通过完全平方公式直接求解。

5.完全平方公式的例题：例如，对于方程2x^2+5x-3=0，可以应用完全平方公式计算出其解为：x=(-5±√(5^2-4(2)(-3)))/(2(2))6.完全平方公式的注意事项：在应用完全平方公式时，需要注意判别式的值。

判别式为b^2 - 4ac，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于0时，方程没有实数根。

7.完全平方公式与图像的关系：完全平方公式也可以用来解释二次函数的图像特征。

例如，当b=0时，方程的解为x=±√(-c/a)，可以看出二次函数的图像与x轴交于两点；当判别式大于0时，二次函数的图像与x轴有两个不相等的交点；当判别式等于0时，二次函数的图像与x轴有一个重复的交点；当判别式小于0时，二次函数的图像与x轴没有交点。

8.完全平方公式的应用：完全平方公式不仅可以用于求解一元二次方程的根，还可以应用于其他数学问题中。

例如，可以用完全平方公式证明两条直线之间的距离公式、证明两个平面之间的夹角余弦公式等。

完全平方公式ppt

发展
自Gauss以来，完全平方公式在数学中得到了广泛的应用和发展，它已经成为数学学习和研究中的基本工具之一。
02
完全平方公式的证明
几何证明
证明结论
$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$
证明过程
利用几何形状的性质，将边长为$a$和$b$的正方形分别向外和向内扩展，形成边长为$a \pm b$的新正方形，通过比较面积得到结论。
完全平方公式
xx年xx月xx日
contents
目录
• 完全平方公式概述 • 完全平方公式的证明 • 完全平方公式的应用 • 完全平方公式的变体 • 练习和例题
01
完全平方公式概述
定义和公式
定义
$完全平方公式是指对于一个项x，(x \pm d)^2 = x^2 \pm 2dx + d^2$，其中d为常数。
解析：利用完全平方公式如何求一个数的平方根？
THANKS
代数证明
证明结论
$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$
证明过程
利用代数的运算律，将$(a \pm b)^2$展开，得到$a^2 \pm 2ab + b^2$。
三角函数证明
证明结论
$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$
证明过程
利用三角函数的诱导公式和两角和差的余弦公式，将$(a \pm b)^2$展开，得到 $a^2 \pm 2ab + b^2$。
平方差公式
公式形式
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
推导过程
$(a+b)(a-b)=a^2+ab-abb^2=a^2-b^2$

完全平方公式讲解

完全平方公式讲解完全平方公式是一种求解二次方程的方法，通常用于解决含有未知数的平方项和一次项的方程。

这个公式的公式表达形式为：$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$完全平方公式在数学中具有广泛的应用，可以用来解决一元二次方程、分解因式、证明等问题。

首先，我们可以考虑一个特殊的二次多项式：$$(x+a)^2$$这里，a 是一个常数。

根据分配律，我们可以展开该二次多项式：$$(x+a)(x+a)=x^2+ax+ax+a^2$$合并相同项得到：$$x^2+2ax+a^2$$我们可以观察到，这个二次多项式中的平方项（$x^2$）和常数项（$a^2$）是完全平方的结构。

而一次项的系数项（$2ax$）是两个a的乘积的两倍。

这就是所谓的完全平方。

根据以上的推导，我们得出了完全平方的一般形式。

接下来，我们将利用完全平方公式来解决一元二次方程的问题。

对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0$$其中a、b、c是已知实数常数。

我们将该方程两边移项，并利用一种变形技巧，将方程转化为完全平方的形式。

具体步骤如下：1. 将方程两边移项，使等式右边等于0，得到$$ax^2+bx=-c$$2.对于方程的左边，我们将其利用完全平方公式进行变形。

如果我们能找到一个常数k，使得左边可以变为$(x+k)^2$的形式，那么我们就可以利用完全平方公式直接求解。

3. 考虑到$(x+k)^2=x^2+2kx+k^2$，我们可以发现，当$b=2k$时，方程的左边可以写成完全平方形式。

4. 所以，我们可以得到方程$$ax^2+2kx+k^2=-c$$5.然而，我们不能直接将方程的右边变为k的平方形式，因为我们无法确切地知道k的值。

所以，我们需要做一个额外的变形。

6. 我们可以再次考虑方程的两边，得到$$ax^2+2kx+k^2+c=0$$7.现在，我们成功地将方程转化为一个完全平方的形式。

进一步观察，我们可以发现，左边的二次项是$x^2$的系数与$a$的乘积，一次项是$x$的系数与$2k$的乘积，常数项则是$k^2+c$。

完全平方公式讲解

完全平方公式讲解完全平方（perfectsquare）公式是数学中最重要的公式之一，它可以用于快速解决许多数学问题的解法。

它的用处非常广泛，由于它的实用性，它被广泛应用于学校，大学，实验室和工作岗位中。

完全平方公式有三种基本形式：一是把一个根号中的式子化简为一个完全平方；二是将一个简单的数学表达式转换为另一个完全平方；三是将一个复杂的数学表达式化简为一个完全平方。

首先，要讲解完全平方公式，先来讲解求根数的完全平方形式。

这种情况下，要求根数是将一个数x开方，例如求根162，就是求x=162的根号，其公式的形式为：y=a^2+bx+c由此可得：y=(a-b)^2 + 2ab + c，a,b,c是常数。

若要求根数，要满足 y=a^2+bx+c=0，那么可以得到x=(-b+(b^2-4ac))/2a，此就可以得到x的值，也就是我们要求的根数。

其次，要解释完全平方公式，要讲解如何将一个简单的数学表达式转换成另一个完全平方的形式。

以熟悉的表达式y= ax^2+ bx+ c为例，如果要将它化简成完全平方的形式，可以这样做：令y=(ax+b)^2+c，y=a^2x^2+2axb+b^2+ c，令a^2=d，d减去b^2就是c的值，最后可以得到y=(ax+b)^2+d-b^2，也就是常见的完全平方形式。

最后，要讲解完全平方公式，要讲解如何将一个复杂的数学表达式化简为完全平方。

在这种情况下，我们通常会使用一些数学方法，根据原数学表达式的结构，把它分解分解成多个部分，每一部分作为一个完全平方求解，最后把这些部分综合起来，就可以得到一个完全平方的表达式。

总之，完全平方公式是一种非常有用的数学工具，它可以帮助我们快速解决许多数学问题。

通过对它的正确使用，我们可以提高我们的解题能力，从而获得更好的成绩。

第3讲(学生)完全平方公式----讲义

第3讲完全平方公式【知识及方法】（一）整式的除法1.单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的_________一起作为商的一个.2.多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这多项式的每一项___________这个单项式，再把所得的商__________.(二)完全平方公式：(a+b )2=a 2+2ab +b 2 (a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2其中a 、b 可以是一个数，也可以是一个代数式。

注意公式的逆用【范例及拓展】1.单项式除以单项式【例1】计算：（1）-a 7x 4y 4÷（-43ax 4y 2）；（2）2a 2b·（-3b 2）÷（4a b 3）．2.多项式除以单项式【例2】计算：（1）（14a 3-7a 2）÷（7a ）；（2）（15x 3y 5-10x 4y 4-20x 3y 2）÷（-5x 3y 2）．3．完全平方公式例3、⑴、（2a －b ）2⑵19982 (3)2012(4).(31x +y )(31x －y )(91x 2-y 2) (5)已知x + y = 5, ,求x －y 之值拓展（1）已知4,1222=+=+y x y x 求xy 的值(2)已知,1)(,3)(22=-=+y x y x 求22y x +的值（3）已知，求的值(4)已知x 2+x-8=0,求代数式x 5+2x 4+4x 3+4x 2-87x+1的值(6)若(x+a)(x+b)=x 2+mx+n,则m=______,n=______,(x÷a+2)(x÷b+2)=_____.平方差公式及完全平分公式一．平方差公式 (a+b)(a –b )＝a 2–b 2例题1 20052÷(2006×2004+1) 例题2 已知m=3,n=2.求代数式(m+n)2-(m-n)2的值二．完全平方公式 (a ＋b )2=a 2＋2ab ＋b 2 (a －b )2=a 2－2ab ＋b 2例题3 若4x 2+mx+196是一个完全平方式,则m 的值是多少?例题4 的最小值是多少？2011692+--x x 的最大值是多少？训练题一．计算题1．20032–2004×2. (x-y+3)(x-y-3) 3.(3a-2b)(-2b-3a)4. (x2y+4)(x2y-4)-(x2y+2)(x2y-3)5. (2x+3y)(4x+5y)(2x-3y)(-4x+5y)6. 2(3a+1)(1-3a)+(a-2)(2+a)7．97×99×101×103 8. 10.2×9.8 9．(x－3y) 2－(x+3y) 2 10. (2x-3y)(2x+3y)(4x2-9y2)11.(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1) 12. (4x+5y) 2 (4x-5y) 2二．解答题1 . 化简(a-b) 2+b(a-b) 2．已知a2-b2=4,a-b=2, 求(a+b) 2的值3．计算199319922÷(199319912+199319932-2)4.计算：199319922199319912+199319932-2= ？练习计算2119992+200120012-2的结果为.2、平方差公式的逆向应用例1计算:199****1192+9311999932129932-2.逆用多个公式例2、若 a=19952+19952·19962+19962 求证：a 是一个完全平方数．平方差公式和完全平方公式巩固及拓展练习一．选择题1、若x 2－k xy +16y 2是一个完全平方式，则k 的值是（）A.8B.16C.±8D.±162、(x +y )2－M =(x －y )2，则M 为（）A.2xyB.±2xyC.4xyD.±4xy3、已知a +a 1=3，则a 2+21a的值是（） A.9B.7 C.11D.54.在多项式x 2+xy +y 2，x 2－4x +2，x 2－2x +1，4x 2+1，a 2－b 2，a 2+a +41中是完全平方式的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5、如果x 2+mx +4是一个完全平方式，那么m 的值是( )A.4B.－4C.±4D.±86、整式(－x －y )( )=x 2－y 2中括号内应填入下式中的（）A.－x －yB.－x +yC.x －yD.－x +y7、在下列各多项式乘法中不能用平方差公式的是（） A.(m +n )(－m +n ) B.(x 3－y 3)(x 3+y 3) C.(－a －b )(a +b ) D.(31a －b )( 31a +b ) 二．填空题8、用完全平方公式计算：（1）992=___________=_____________=_____________. （2）9x 2+(_________)+y 2=(3x －y )2（3）.m 2－4mn +_________=(m －_________)29、(2x －3y )2=_____,(41a +52b )2=_____. 10、9x 2+_____+25y 2=(_____)2；_____+10xy +1=(_____+1)2. 11、用完全平方公式计算1972=( )2=________________=_______.12、x 2－2x +_____=(_____)2；m 2+4mn +_____=( )2.13、(a +b )2=(a －b )2+_____,(x +21)2=x 2+_____. 14、若4x 2+mx +49是一个完全平方式，则m =_____.15、若(x －m )2=x 2+x +a ,则m =_____,a =_____.16、(x +x 1)2=x 2+21x +_____. 17、若(3x +4)2=9x 2－kx +16,则k =_____. 18、41a 2++9b 2=(21a +3b )2. 19、(a －2b )2+(a +2b )2=.20、(5x +3y )·( )=25x 2－9y 220、 (－0.2x －0.4y )( )=0.16y 2－0.04x 221、 (－23x －11y )( )=－49x 2+121y 222、若(－7m +A )(4n +B )=16n 2－49m 2,则A =，B =.23、(1－5n )(1+5n )=_______________ 24、1002－972=(_____+_____)(_____－_____)=_____25、(x －1)(x +1)=_____，(2a +b )(2a －b )=_____，(31x －y )(31x +y )=_____. 26、(x +4)(－x +4)=_________，(x +3y )(_________)=9y 2－x 2,(－m －n )(_________)=m 2－n 227、98×102=(_________)(__________)=( )2－( )2=_________.28、－(2x 2+3y )(3y －2x 2)=__________, (a －b )(a +b )(a 2+b 2)=___________.29、(_____－4b )(_____+4b )=9a 2－16b 2,(_____－2x )(_____－2x )=4x 2－25y 230、(xy －z )(z +xy )=___________，(65x －0.7y )(65x +0.7y )=_____. 31、(41x +y 2)(____________)=y 4－161x 2 三．计算题 32、498233、(a m +1－b n +1)234、 (a +21b )2－(a －21b )235、(x +y )2－2(x +y )(x －y )+(x －y )236、(m +3)2(m －3)237、(x －y )(x +y )－(x +y )2+2y (y －x ),其中x =1,y =3.38、已知(x +y )2=8,(x －y )2=4,求x 2+y 2及xy 的值.39、(2x 2+3y )(3y －2x 2). 40、(p －5)(p －2)(p +2)(p +5).41、(x 2y +4)(x 2y －4)－(x 2y +2)·(x 2y －3).42、设x+y=6，x－y=5，求x2－y243、计算(x+y－1)(x+y+1)44、若m、n为有理数，式子(8m3+2n)(8m3－2n)+(2n－3)(3+2n)的值及n有没有关系？为什么？45、计算a4+(1－a)(1+a)(1+a2)的计算结果46、已知a+b=7，ab=12，求(a－b)2的值.47、如图，是一个机器零件，大圆的半径为r+2，小圆的半径为r－2，求阴影部分的面积.整式的运算A 卷（100分）一.选择题.（每小题3分，共30分）1.代数式:πab x x x abc ,213,0,52,17,52--+-中,单项式共有( )个. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.下列各式正确的是( )A.2224)2(b a b a +=+ B.C.32622x x x -=÷-D.523)()()(y x x y y x -=-- 3.计算结果为( ) A.591a B.691a C.69a - D. 4.的运算结果是( )A. B. C. D.5.若))((b x a x +-的乘积中不含x 的一次项,则b a ,的关系是( )A.互为倒数B.相等C.互为相反数D.b a ,都为06.下列各式中,不能用平方差公式计算的是( )A.)43)(34(x y y x ---B.)2)(2(2222y x y x +-C.))((a b c c b a +---+D.))((y x y x -+-7.若y b a 25.0及的和仍是单项式，则正确的是( )A.x=2,y=0B.x=－2,y=0C.x=－2,y=1D.x=2,y=18.观察下列算式：12=2，22=4，32=8，42=16，52=32，62=64，72=128，82=256，…… 根据其规律可知108的末位数是 ……………………………………………（）A 、2B 、4C 、6D 、89.如果(3x 2y －2xy 2)÷M =－3x +2y ，则单项式M 等于( )A 、xyB 、－xyC 、xD 、－y10.若A ＝5a 2－4a ＋3及B ＝3a 2－4a ＋2,则A 及B( )A 、A ＝B B 、A ＞BC 、A ＜BD 、以上都可能成立二.填空题.（每小题4分，共24分） 11.多项式13254242+---x y x y x π是一个 __ 次 __ 项式,其中最高次项的系数为. 12.当k =时,多项式8313322+---xy y kxy x 中不含xy 项. 13.)()()(12y x y x x y n n --⋅--=.14.(1)29___))(________3(x x -=--；(2)-+2)23(y x =2)23(y x -. 15.计算:02397)21(6425.0⨯-⨯⨯-=. 16.若、a b 互为倒数,则20122011b a ⨯=.三.计算题.(每小题5分，共10分)17、25223223)21(})2()]()2{[(a a a a a -÷⋅+-⋅-18、)2(3)121()614121(22332mn n m mn mn n m n m +--÷+--四．用简便方法计算（每小题6分，共18分）22、)21)(12(y x y x --++23、22)2()2)(2(2)2(-+-+-+x x x x2424422222)2()2()4()2(y x y x y x y x ---++五．解答题26.解方程:0)1)(1(3)12)(23()3(2=-++-+--x x x x x （8分）27.已知将32()(34)x mx n x x ++-+乘开的结果不含3x 和2x 项.（10分）（1）求m 、n 的值；（2）求22()()m n m mn n +-+的值。

完全平方公式讲解

完全平方公式讲解(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2这里，a和b可以是任意数，a^2和b^2分别被称为二次项，2ab被称为二次项的第一次乘积。

我们从(a+b)^2入手进行推导。

(a+b)^2=(a+b)(a+b)（根据平方定义）=a(a+b)+b(a+b)（分配律）= a^2 + ab + ab + b^2 （使用分配律）= a^2 + 2ab + b^2通过这个推导过程，我们可以得到完全平方公式。

通过完全平方公式，我们可以将二次多项式转化成完全平方的形式，进而进行一些简化操作。

这对于解方程、求解二次函数的最值等问题非常有用。

1.解二次方程：当我们需要解二次方程时，可以使用完全平方公式将其转化为完全平方形式，从而更方便地求解。

例如，对于方程x^2+6x+9=0，我们可以将其写成完全平方的形式(x+3)^2=0，然后解得x=-32.求解二次函数的最值：对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a不等于0，完全平方公式可以帮助我们求解该二次函数的最值。

例如，对于函数 f(x) = x^2+ 6x + 8，我们可以将其转化成完全平方形式 f(x) = (x + 3)^2 + 1，从而可以很容易地看出该函数的最小值为1，并且该最小值在x = -3时取得。

3.分解因式：在分解二次多项式的过程中，我们可以使用完全平方公式将其转化为完全平方形式，从而更容易地进行因式分解。

例如，对于多项式x^2+4x+4，我们可以将其写成完全平方的形式(x+2)^2，并且可以进一步分解为(x+2)(x+2)。

通过以上几个例子，我们可以看到完全平方公式在解方程、求解二次函数的最值以及分解因式时的重要性。

在这些应用中，一个关键的步骤就是将二次多项式转化为完全平方的形式，通过完全平方公式，我们可以很容易地完成这一步骤。

总结：完全平方公式是一种将二次多项式转化为完全平方的方法。

它可以帮助我们解方程、求解二次函数的最值，以及分解因式。

完全平方公式知识点

完全平方公式知识点完全平方公式是高中数学中常用的一个重要公式，它在解决二次方程相关问题时起到了关键作用。

它的形式为：若a是实数，那么二次方程ax^2+bx+c=0的解为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

完全平方公式的应用范围很广泛，涉及到解方程、求根、求解问题等多个方面。

接下来我们将从不同角度来讲解完全平方公式的相关知识点。

一、完全平方公式的推导过程完全平方公式的推导过程相对简单，我们可以通过配方法将二次方程化简为完全平方的形式，从而得到该公式。

具体推导过程如下：对于二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以通过配方法将其化简为(a·x^2+b·x+c)=a(x^2+(b/a)·x+(c/a))=a((x+(b/2a))^2-(b/2a)^2+c/a)=a(x+(b/2a))^2+(c-b^2/4a)。

由此可得，原二次方程的解为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

二、完全平方公式的含义和应用完全平方公式的含义在于，它可以将一个二次方程转化为一个完全平方的形式，使得求解过程更加简便。

在实际应用中，完全平方公式常被用来求解二次方程的根，解决与二次方程相关的各种问题。

1. 求解二次方程的根完全平方公式可以帮助我们求解任意形式的二次方程的根。

通过将二次方程化简为完全平方的形式，我们可以直接得到方程的解。

2. 求解几何问题在几何问题中，完全平方公式也有重要的应用。

例如，求解一个矩形的对角线长度时，我们可以将其转化为一个二次方程，并利用完全平方公式求解。

3. 解决实际问题完全平方公式不仅仅在数学问题中有应用，它还可以帮助我们解决一些实际问题。

例如，在物理学中，通过将一些物理量表示为二次方程的形式，再利用完全平方公式求解，可以得到一些有用的结果。

三、完全平方公式的注意事项在应用完全平方公式时，我们需要注意以下几点：1. 判断二次方程是否适合使用完全平方公式。

完全平方公式知识点总结

完全平方公式知识点总结一、完全平方公式的定义在代数中，完全平方是指一个数的平方能够整除另一个数。

在一元二次方程中，如果其二次项和一次项可以写成一个完全平方的形式，那么我们就可以利用完全平方公式来求解方程的根。

二、完全平方公式的形式一元二次方程的标准形式为ax^2 + bx + c = 0，而完全平方公式的一般形式为(a+b)^2 =a^2 + 2ab + b^2，其中a、b为任意实数。

根据这个形式，我们可以进一步推导出完全平方公式的常用形式，即(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。

三、完全平方公式的推导要理解完全平方公式的推导过程，我们可以通过简单的代数运算来进行推导。

假设我们有一个二次方程x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以将其写成完全平方的形式，即(x+3)^2 = 0。

通过这个例子，我们可以看到完全平方公式的推导过程，即将一元二次方程的一次项系数分解成两个相同的系数，然后将其写成完全平方的形式。

四、完全平方公式的应用技巧在使用完全平方公式求解一元二次方程时，我们需要注意以下几点应用技巧：1.将一元二次方程转化为完全平方的形式2.确定完全平方公式的形式，即(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^23.利用完全平方公式求解方程的根4.注意判断方程的解的情况，即判断判别式的正负性五、完全平方公式的拓展应用除了求解二次方程外，完全平方公式还可以在数学和科学领域的其他问题中进行拓展应用。

比如在几何学中，我们可以利用完全平方公式来求解圆的面积和周长；在物理学中，我们可以利用完全平方公式来分析物体的运动规律等。

总之，完全平方公式是求解一元二次方程的重要方法之一，它有着广泛的应用领域，对于学生来说掌握完全平方公式是十分重要的。

通过以上的知识点总结，相信大家对完全平方公式有了更深入的理解和掌握，希望能够帮助大家更好地学习和应用完全平方公式。

完全平方公式讲解

完全平方公式讲解完全平方公式是数学中重要的基本定理，它可以将复杂的高等数学问题简化成简单的形式。

它通过分解复数式，使得许多数学问题变得简单明了，也可以用于求解非线性方程，是一个必不可少的数学理论的重要组成部分。

完全平方公式的定义：如果a和b是整数，那么a的完全平方公式表示为：a2 + b2 = c2，其中c也是一个整数。

这里的a和b是两个不同的整数，而c是由a和b构成的两个不同数字的和。

完全平方公式的算法：1.于两个不同的整数a和b，将它们求和，即a+b，然后将该和平方，即（a+b）2。

2.该平方值减去a2和b2，求出它们的差值，即（a+b）2 - a2 - b2。

3.后，根据此差值，结合a和b的值，求出c的值，即a2 + b2 = c2，即 c =（a2 + b2）。

完全平方公式的应用：1.以用完全平方公式来求解非线性方程，即求解x2+2x+1=0，在这个例子中，它可以转化为x2+2x= -1，那么用到完全平方公式，即x2+2x+1=0可以求得x=-1±√2。

2.全平方公式还可以帮助我们解决类似于a2+b2+c2+d2的多项式的求根问题。

例如：a2+b2+c2+d2=3，那么用到完全平方公式，可以求得a2+b2=3-c2-d2，即a2+b2=1，这样就可以把这个问题转变成一个完全平方的求根问题。

3.全平方公式还可以用来解决类似于a2+2ab+b2=c2+2cd+d2的多项式方程。

例如，a2+2ab+b2=4，c2+2cd+d2=9，那么可以分别求出a2，b2和c2，d2，即a2=2，b2=2，c2=7，d2=7，从而求出a，b，c，d的值。

完全平方公式是数学中重要的基本定理，它可以将复杂的高等数学问题简化成简单的形式，给予解决数学问题带来极大的便利，是研究数学理论的最佳工具之一。

它的应用非常广泛，几乎可以用于各种数学问题的解决，也可以用来解决复杂的非线性方程，对于提高数学水平有重要的意义。

八上完全平方公式

八上完全平方公式完全平方公式是在数学中非常有用的公式之一，主要用于求解几个数的平方和。

下面将详细介绍完全平方公式的概念、应用和示例。

一、完全平方公式的基本概念完全平方公式是指：如果有一个数x，那么(a ± b)² = a²± 2ab + b²其中，a和b是两个数，表示它们之间的差或和。

这个公式可以用来求解a、b的平方和。

二、完全平方公式的应用完全平方公式在数学中有很多应用，比如求多项式的平方和、解方程组等等。

其中最常见的是求解一元二次方程的根。

例如，对于方程x² + 2x + 3 = 0，可以通过求二次项系数a²和常数项b²的和的平方减去4倍的二次项系数a²来求解这个方程。

三、完全平方公式的示例以下是一些完全平方公式的示例：1. 求两个数的平方和：(3 + 4)² = 3² + 4² + 2 × 3 ×4 = 53 2. 求三个数的平方和：(1 - 2)² + (2 - 3)² + (4 -5)² = 2 - 2 × (2 × 2 +3 × 4 + 5 × 5) = -14以上这些示例说明完全平方公式不仅在求解两个数的平方和非常有用，而且也可以解决三个数的平方和的问题。

当然，当数字超过三个时，可以考虑其他数学方法。

四、总结通过上述介绍，我们了解了完全平方公式的基本概念、应用以及一些示例。

完全平方公式是数学中的一个重要工具，它能够解决许多数学问题，特别是求几个数的平方和的问题。

通过灵活运用完全平方公式，可以提高解题效率和准确性。

人教版数学八年级上册第十四章14.公式法课件

(1)m2－14m＋49；
(2)9x2－24xy＋16y2.
解：原式＝m2－2·7·m＋72 解：原式＝(3x)2－2·3x·4y＋(4y)2
=(m－7)2.
=(3x-4y)2.
课堂导练
典型例题【例1】分解因式：（1）x2+16x+64; 解：原式=x2+2×8x+82
=（x+8）2.
（2）（x+y）2-10（x+y）+25. 解：原式=（x+y-5）2.
思路点拨：直接利用完全平方公式进行因式分解即可.
举一反三 1.分解因式：（1）9x2-6x+1；解：原式=（3x-1）2.
（2）（x-1）2-2（x-1）+1. 解：原式=（x-1-1）2
=（x-2）2.
典型例题【例2】分解因式：（1）x（x+4）+4; 解：原式=x2+4x+4
=（x+2）2.
举一反三
3.分解因式：
（1）-3ma2+12ma-12m; （2）2x2y-8xy+8y. 解：原式=-3m（a2-4a+4）解：原式=2y（x2-4x+4）
=-3m（a-2）2.
=2y（x-2）2.
典型例题
【例4】分解因式：
(1)（x2-6）2-6（x2-6）+9； (2)16y4-8x2y2+x4.
解：原式=（x2-6-3）2
解：原式=（4y2-x2）2
=（x2-9）2
=［（2y+x）（2y-x）］2
=（x+3）2（x-3）2.
平方差公式和完全平方公式来
解答.

完全平方公式详解

完全平方公式详解首先，我们从一个二次方程ax^2 + bx + c = 0（其中a≠0）开始推导完全平方公式：1. 将二次方程移到等号的右边，得到ax^2 + bx = -c。

2. 将二次方程左边的项进行配方，即将x^2和x项分别平方，得到(a/2*x + b/2)^2 = b^2/4 - ac。

现在我们求解完全平方公式的步骤如下：1.检查二次方程是否为完全平方。

即检查a、b和c的值是否满足公式。

若满足，则进一步求解；否则，无实数解。

2. 根据完全平方公式，我们可以得到两个根的表达式：x1 = (-b +√(b^2-4ac))/(2a)和x2 = (-b - √(b^2-4ac))/(2a)。

3. 计算√(b^2-4ac)的值。

a. 首先，计算判别式D = b^2-4ac。

b.如果D>0，即判别式大于零，说明二次方程有两个不相等的实数根。

c.如果D=0，即判别式等于零，说明二次方程有两个相等的实数根。

d.如果D<0，即判别式小于零，说明二次方程没有实数根，但有两个共轭复数根。

接下来，我们举例说明完全平方公式的使用。

例1：求解二次方程2x^2-5x+3=0的根。

首先，将方程的系数代入完全平方公式中：a=2,b=-5,c=3根据公式 x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)，我们可以得到：x1=(-(-5)+√((-5)^2-4*2*3))/(2*2)=(5+√(25-24))/4=(5+√1)/4=(5+1)/4=6/4=3/2x2=(-(-5)-√((-5)^2-4*2*3))/(2*2)=(5-√(25-24))/4=(5-√1)/4=(5-1)/4=4/4=1因此，二次方程2x^2-5x+3=0的根为x1=3/2和x2=1例2：求解二次方程x^2+4x+4=0的根。

首先，将方程的系数代入完全平方公式中：a=1,b=4,c=4根据公式 x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)，我们可以得到：x1=(-4+√(4^2-4*1*4))/(2*1)=(-4+√(16-16))/2=(-4+0)/2=-4/2=-2x2=(-4-√(4^2-4*1*4))/(2*1)=(-4-√(16-16))/2=(-4-0)/2=-4/2=-2因此，二次方程x^2+4x+4=0的根为x1=-2和x2=-2通过以上的例子，我们可以看出，完全平方公式可以用于求解二次方程的根。

人教版数学八年级上册说课稿14.2.2《完全平方公式》

人教版数学八年级上册说课稿14.2.2《完全平方公式》一. 教材分析完全平方公式是数学中一个重要的概念，它在解决二次方程和几何问题中起着关键的作用。

人教版数学八年级上册第14章第二节的内容完全平方公式，通过实例和推导，让学生理解和掌握完全平方公式的含义和应用。

二. 学情分析学生在学习完全平方公式之前，已经学习了有理数的乘法、完全平方和平方差公式等知识。

因此，学生对于完全平方公式的理解需要建立在这些知识的基础上。

同时，学生需要具备一定的逻辑思维能力和空间想象力，才能理解和应用完全平方公式。

三. 说教学目标1.让学生理解完全平方公式的含义和推导过程。

2.让学生能够运用完全平方公式解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。

四. 说教学重难点1.完全平方公式的推导和理解。

2.完全平方公式的应用和解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，通过提问和解答的方式，引导学生思考和探索完全平方公式的推导过程。

2.使用多媒体教学手段，通过动画和图形展示，帮助学生直观地理解完全平方公式的含义和应用。

六. 说教学过程1.引入：通过提问和解答的方式，引导学生回顾完全平方和平方差公式的知识，为学习完全平方公式做铺垫。

2.推导：通过实例和数学推导，引导学生理解和掌握完全平方公式的推导过程。

3.应用：通过解决实际问题，让学生运用完全平方公式进行计算和解答。

4.练习：布置相关的练习题，让学生巩固和加深对完全平方公式的理解和掌握。

七. 说板书设计板书设计应包括完全平方公式的表达式和推导过程，以及相关的实例和练习题。

板书设计应简洁明了，突出完全平方公式的关键信息，方便学生理解和记忆。

八. 说教学评价教学评价可以通过学生的课堂表现、作业完成情况和练习题的正确率来进行。

对于学生的课堂表现，可以关注学生对于完全平方公式的理解和掌握程度，以及学生解决问题的能力和逻辑思维能力。

对于作业完成情况，可以关注学生对于完全平方公式的应用和解决实际问题的能力。

完全平方公式讲解

完全平方公式讲解完全平方公式是一种常见的数学公式，可以用来解决方程和多项式中的完全平方的技巧，是学习数学的必备技能之一。

完全平方公式的知识包括本质上的概念和方法以及它的计算方法与应用。

本文将详细讲解完全平方公式的定义、公式的计算方法和应用，以便读者能够更加全面的了解这一概念和方法。

完全平方公式的本质概念是指任何一个多项式的平方，可以表示为一个乘积公式，其中一个项称为完全平方项（Perfect Square），完全平方公式中，其它项也可以化简表示，这就是完全平方公式的本质概念。

完全平方公式的计算方法和应用主要有三种：（1）完全平方的求解：完全平方公式可以用来求解任何一个多项式的完全平方，首先要将多项式化简为一元二次方程，然后用完全平方公式对多项式求完全平方，最后将该完全平方进行拆解，得到完全平方根，从而解决问题。

（2）将含平方项的多项式化简：完全平方公式也可以用来将多项式中有平方项的含有x的项整理成完全平方，以便更容易求解多项式，进而求解多项式方程的解。

（3）求多项式的最小完全平方根：可以通过分解多项式的完全平方，来求出所求多项式的最小完全平方根，这样就可以求出多项式问题的最终解。

完全平方公式在数学上有很多应用，以上讲解的三种应用方法只是其中常见的应用。

完全平方公式也可以应用到复数、矩阵、非线性方程等情况，以求解更复杂的数学问题，比如求解复数的线性方程组和求解非线性方程组等。

此外，完全平方公式也可以用来求解更大的数学问题，如求解椭圆的矩阵、求解多项式的极值问题等。

完全平方公式是学习数学的必备技能，数学学习者只要能够理解完全平方公式的概念和方法，就可以通过完全平方公式求解多项式、矩阵、复数、非线性方程组等数学问题。

完全平方公式是一种具有广泛应用的数学工具，只要学习者掌握了完全平方公式，就能更好地解决数学问题。

完全平方公式讲解

完全平方公式讲解完全平方公式是数学中的一种重要概念，作为学习数学的基本概念，它在帮助我们掌握数学的过程中发挥了重要作用。

完全平方公式是一种表明数学关系的工具，有助于理解数学中的概念和现象。

下面将对完全平方公式做一个详细的说明。

完全平方公式可以表达多项式中数学性质的关系，对于指定的数学现象能够有效地剖析。

完全平方公式的形式一般为$ax^2 +bx+c=0$，其中a，b，c是实数，a≠0。

完全平方公式可以解释如下：$ax^2+bx+c$表示等式左侧，等式右侧也可以写成一个完全平方形式：$(x+α)^2+β=0$。

α和β是两个实数，α=－b/2a，β=c/a。

完全平方公式可以用来解决多项式的根，即求出多项式的原根，也可以直接得出结果。

下面用完全平方公式来解决求解多项式根的问题，$ax^2 +bx+c=0$，求解x的值：$(x+α)^2+β=0$将其化为一元二次方程，有：$x^2+2αx+α^2+β=0$根据二次公式：$x_1,x_2=-αpm sqrt{α^2-4(1)β}$将α和β的值代入，可得：$x_1,x_2=frac{-bpm sqrt{b^2-4ac}}{2a}$将该公式带入到多项式中，就能得出多项式的根：$x_1=frac{-b+sqrt{b^2-4ac}}{2a}，x_2=frac{-b-sqrt{b^2-4ac}}{2a}$完全平方公式还可以用来解决含有绝对值的一元二次不等式，新的形式如下：$|ax^2 +bx+c|=0$。

可以看出，此类不等式左侧的绝对值变成了括号，这就使其转换成普通的一元二次不等式，此时就可以使用完全平方公式来解决了。

完全平方公式的用途还不止如此，它还可以用来处理有理函数，特别是能够使有理函数形式更清楚、更简便，更具有可读性。

因此，完全平方公式也被广泛应用于高等数学中。

完全平方公式也可以解决三次方程，其具体步骤如下：首先，将三次方程转化为一次二次mixed型方程，即有如下形式：$ax^3+bx^2+cx+d=0$，然后，利用完全平方公式将其中的二次项处理，将它变成完全平方的形式，有：$(x^2+2αx+α^2)+β=0$，将α和β的值代入，即可得出解，最后，将解代入原方程中，检查解的有效性。