2020年江西省名校学术联盟高考数学模拟试卷(文科)(二)(有解析)

2020年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学模拟试卷(二)

一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）

1.已知集合A={1,2，3}，B={x|(x+1)(x−2)<0,x∈Z}，则A∪B=______ ．

2.i是虚数单位，复数6+7i

1+2i

=________．

3.执行下边的流程图，若输入的x的值为−2，则输出y的值是__________．

4.样本数据11，8，9，10，7的方差是________．

5.甲、乙两名学生选修4门课程(每门课程被选中的机会相等)，要求每名学生必须选1门且只需

选1门，则他们选修的课程互不相同的概率是______ ．

6.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=7，S6=63，则a1=________．

7.已知点A是抛物线C1：y2=2px(p>0)与双曲线C2：x2

a2−y2

b2

=1(a>0,b>0)的一条渐近线的

交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线的离心率等于______．

8.若cosα=1

3

(0<α<π)，则sin2α=______．

9.设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数，其导函数为f′(x)，且f′(x)

ef(ln x)的解集为_____．

10.已知函数的定义域和值域都是[0,1]，则实数a的值是____．

11. 已知函数f(x)=e x−2+x −3(e 为自然对数的底数)，g(x)=x 2−(a +1)x −a +7，若存在实

数x 1、x 2、x 3(x 2≠x 3)，使得f(x 1)=g(x 2)=g(x 3)=0，且|x 1−x 2|≤1和|x 1−x 3|≤1同时成立，则实数a 的取值范围是__________．

12. 已知a ≥0，b ≥0，且a +b =1

3则1

a+2b +1

2a+b 的最小值为 ．

13. 若函数f(x)=1

6(2x −1)3−x +2(1≤x ≤4),则f(x)的最大值是__________．

14. 在平面直角坐标系xOy 中，A(−12,0)，B(0,6)，点P 在圆O ：x 2+y 2=50上．若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20，

则点P 的横坐标的取值范围是________． 二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）

15. 已知函数f(x)=2sinx ⋅cosx −cos 2x +sin 2x ，x ∈R ．

(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间； (2)求f(x)在区间[0,π

2]上的最大值和最小值．

16. 在梯形ABCD 中，AB//CD ，AD =DC =CB =a ，∠ABC =60°.平面ACEF ⊥平面ABCD ，四边

形ACEF 是矩形，AF =a ，点M 在线段EF 上． (Ⅰ)求证：BC ⊥AM ；

(Ⅱ)试问当AM 为何值时，AM//平面BDE ？证明你的结论． (Ⅲ)求三棱锥A −BFD 的体积．

17.如图所示，等腰△ABC的底边AB=8，高CD=3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点F

在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V(x)表示四棱锥P−ACEF的体积．

(1)求V(x)的表达式；

(2)当x为何值时，V(x)取得最大，并求最大值．

18. 已知椭圆x 2

a 2+y

2

b 2

=1(a >b >0)离心率为1

2，过点E(−√7,0)的椭圆的两条切线相互垂直． (1)求此椭圆的方程；

(2)若存在过点(t,0)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，使得FA ⊥FB(F 为右焦点)，求t 的取值范围．

19. 数列{a n }满足a 1=2，a n+1=2n+1a n

(n+12

)a

n

+2n

(n ∈N ∗)

(1)设b n =2n

a n

，求数列{b n }的通项公式；

(2)设c n =1

n(n+1)a n+1

，数列{c n }的前n 项和为S n ，不等式14m 2−1

4m >S n 对一切n ∈N ∗成立，求

m 得范围．

20. 已知函数f (x )=x 3−ax 2+4

27．

(1)若f(x)在(a −1,a +3)上存在极大值，求a 的取值范围；

(2)若x轴是曲线y=f(x)的一条切线，证明：当x≥1时，f(x)>lnx−23

．

27

【答案与解析】

1.答案：{0,1，2，3}

解析：

先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．

本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．解：∵集合A={1,2，3}，

B={x|(x+1)(x−2)<0,x∈Z}={0,1}，

∴A∪B={0,1，2，3}．

故答案为：{0,1，2，3}．

2.答案：4−i

解析：

本题考查复数的四则运算，根据复数除法的运算法则直接计算即可，属于基础题．

解：6+7i

1+2i =(6+7i)(1−2i)

(1+2i)(1−2i)

=6+14+7i−12i

5

=20−5i

5

=4−i．

故答案为4−i．

3.答案：5

解析：x=−2<0，则y=−2×(−2)+1=5．

4.答案：2

解析：

本题考查了方差的公式，属于基础题．

将数据直接代入方差计算公式可得答案．

解：因为样本平均数x=7+8+10+11+9

5

=9，

故方差s2=1

5

[(11−9)2+(8−9)2+(9−9)2+

(10−9)2+(7−9)2]