2020年江西省名校学术联盟高考数学模拟试卷(文科)(二)(有解析)
2020年江西省南昌市高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)
2020年江西省南昌市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数，，，则A. B. 2 C. D. 42.集合，，则A. B. C. D.3.已知空间内两条不同的直线a，b，则“”是“a与b没有公共点”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知，则不等式的解集是A. B. C. D.5.已知函数的图象关于原点对称，则A. B. 1 C. D.6.已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则角A等于A. B. C. D.7.已知为不共线的两个单位向量，且在上的投影为，则A. B. C. D.8.直线被圆截得最大弦长为A. B. C. 3 D.9.函数的图象大致为A. B.C. D.10.已知抛物线C：的焦点为F，是抛物线上一点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为B，若，则A. 3B.C. 4D.11.春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆--桔槔，后发展成辘轳．19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道在等高图上的垂直投影，在A处测得B处的仰角为37度，在A处测得C处的仰角为45度，在B处测得C处的仰角为53度，A点所在等高线值为20米，若BC管道长为50米，则B点所在等高线值为参考数据A. 30米B. 50米C. 60米D. 70米12.已知函数在区间上有且仅有2个最小值点，下列判断：在上有2个最大值点；在上最少3个零点，最多4个零点；；在上单调递减．其中所有正确判断的序号是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为______．14.已知函数，，则的最小值为______．15.已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线的渐近线的一个公共点为P，若，则双曲线的离心率为______．16.已知四棱锥的底面ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，E为PD中点，过EB作平面分别与线段PA、PC交于点M，N，且，则______，四边形EMBN的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽8甲8281797895889384乙9295807583809085用茎叶图表示这两组数据；求两位学生预赛成绩的平均数和方差；现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．18.已知等差数列的公差为，前n项和为，且满足______从；，，成等比数列；，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题．Ⅰ求；Ⅱ若，求数列的前n项和．19.如图所示，四棱柱，底面ABCD是以AB，CD为底边的等腰梯形，且，，D.Ⅰ求证：平面平面ABCD；Ⅱ若，求三棱锥的体积．20.已知函数．Ⅰ讨论在区间上的单调性；Ⅱ若恒成立，求实数a的最大值．为自然对数的底21.已知椭圆，过点的两条不同的直线与椭圆E分别相交于A，B和C，D四点，其中A为椭圆E的右顶点．Ⅰ求以AB为直径的圆的方程；Ⅱ设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆相交于M，N两点，探究直线MN是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．22.平面直角坐标系xOy中，抛物线E顶点在坐标原点，焦点为以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求抛物线E的极坐标方程；Ⅱ过点倾斜角为的直线l交E于M，N两点，若，求．23.已知，．Ⅰ当时，求不等式的解集；Ⅱ求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：由，，且，．故选：D．直接利用乘积的模等于模的乘积求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．2.答案：C解析：解：集合，，．故选：C．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：A解析：解：“”“a与b没有公共点”，反之不成立，由a与b没有公共点，a，b可能平行、可能为异面直线．“”是“a与b没有公共点”的充分不必要条件．故选：A．利用空间线线位置关系即可判断出关系．本题考查了空间线线位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：A解析：解：已知，则不等式，即或．由可得；由可得，综上，，故选：A．不等式即或，分别求出的解集，再取并集，即得所求．本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，属于中档题．5.答案：A解析：解：由题意可知，为奇函数，故，所以，，则．由奇函数的性质可知，代入可求a，进而可求．本题主要考查了奇函数的性质在求解函数解析式中的应用，属于基础试题．6.答案：C解析：解：，由正弦定理可得，可得，，整理可得，解得，或舍去，，．故选：C．由已知利用正弦定理可得，利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式可得，解方程可得sin A的值，结合范围，可求A的值．本题主要考查了正弦定理，二倍角的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了方程思想，属于基础题．7.答案：D解析：解：为不共线的两个单位向量，且在上的投影为，故；则．故选：D．根据向量在向量的方向上投影的定义求出，进而求出即可．本题考查了平面向量的数量积的定义与几何意义及向量的数量积运算，属于基础题．8.答案：D解析：解：根据题意，圆，即，其圆心为，半径，圆心到直线的距离，当圆心到直线的距离最小时，直线被圆截得弦长最大，而的最小值为1，则直线被圆截得最大弦长值为，根据题意，由圆的方程分析圆的圆心和半径，求出圆心到直线的距离d，分析可得d的最小值，由直线与圆的位置关系可得当圆心到直线的距离最小时，直线被圆截得弦长最大，据此计算可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意分析直线所过的定点，属于基础题．9.答案：C解析：解：当时，，故排除AD；，令，则，显然在上递减，且，当时，，在上递增，又，故存在，使得，且当，，，递减，，，，递增，可排除B．故选：C．利用极限思想及函数的单调性，运用排除法得解．本题主要考查函数图象的运用以及利用导数研究函数的单调性，考查极限思想及数形结合思想，属于基础题．10.答案：D解析：解：抛物线C：的焦点为，是抛物线上一点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为，若，可得，可得，所以，解得舍去，此时，所以．故选：D．画出图形，结合已知条件，利用，列出方程，求出A的横坐标，然后求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，三角形的解法，考查计算能力，是中档题．11.答案：B解析：解：BC管道长为50米，可得B点与点C等高线值差为40，C与B水平的距离为30，因为A处测得C处的仰角为45度，即A与C的水平距离等于A点与点C等高线值差，设B点与点A等高线值差为x，A处测得B处的仰角为37度，可得A与B水平的距离；所以，解得，A点所在等高线值为20米，因此B点所在等高线值50米，故选：B．由题意，设B点与点A等高线值差为x，A处测得B处的仰角为37度，可得A与B水平的距离；BC 管道长为50米，可得B点与点C等高线值差为40，C与B水平的距离为30，在结合A处测得C处的仰角为45度，即A与C的水平距离等于A点与点C等高线值差，从而求解x的值；本题考查解三角在实际生活中的应用，灵活利用夹角以及直角三角形中的正余弦定义即可求解．属于基础题．12.答案：A解析：解：令解得，由，可知满足题意的k值只有两个，而，所以或，即有，，，解得，，所以错误；当时，取，，此时只有当时取最大值，所以错误；当时，，，，，，有5个解，所以错误；当时，，而，所以在上单调递减，正确．故选：A．先求出函数的最小值点，再解不等式即可得到的范围，即可判断各选项的真假．本题主要考查正弦函数的性质应用，整体代换法的应用，以及求零点的方法，属于较难题．13.答案：3解析：解：作出变量x，y满足约束条件，对应的平面区域如图：由得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大此时z最大，由，解得，此时，故答案为：3．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．14.答案：解析：解：因为，，所以，故，则，当且仅当时取等号，故答案为：由已知结合对数运算性质可求ab，然后结合基本不等式即可求解．本题主要考查了对数的运算性质及基本不等式求解最值，属于基础试题．15.答案：解析：解：双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，，设点P的坐标为，不妨令，，，以为直径的圆与双曲线的渐近线的一个公共点为P，，即，，，，即，则，故答案为：．根据圆的有关性质和双曲线的渐近线方程可得P点的坐标，再根据即可求出，可得双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的方程、定义和简单性质．考查了解直角三角形的知识，考查运算能力，属于中档题．16.答案：解析：解：四棱锥的底面ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，E为PD中点，过EB作平面分别与线段PA、PC交于点M，N，且，连结AC，BD，交于点O，过O作平面ABCD的垂线OF，交BE于F，过F作AC的平行线，分别与线段PA、PC交于点M，N，则平面EMBN就是平面，，，∽，，，，，，平面PBD，平面PBD，，四边形EMBN的面积为．故答案为：；．过EB作平面分别与线段PA、PC交于点M，N，且，连结AC，BD，交于点O，过O作平面ABCD的垂线OF，交BE于F，过F作AC的平行线，分别与线段PA、PC交于点M，N，则平面EMBN就是平面，由此能求出结果．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．17.答案：解：作出茎叶图如下：派甲参赛比较合适，理由如下：，，，，，，结合甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．解析：根据所给的数据，以十位做茎，个位做叶，做出茎叶图，注意图形要做到美观，不要丢失数据；根据所给的数据做出两个人的平均数和方差即可；把平均数和方差进行比较，得到两个人的平均数相等，但是乙的方差大于甲的方差，得到要派甲参加．对于两组数据，通常要求的是这组数据的方差和平均数，用这两个特征数来表示分别表示两组数据的特征，即平均水平和稳定程度．18.答案：解：Ⅰ由，得，即；由，，成等比数列，得，，即；由，得，即；当选择时，有，，此时；当选择时，有，，解得，此时；当选择时，有且，解得，，此时；综合以上不管选择哪两个，均得、，即；Ⅱ，，两式相减得：，得．解析：Ⅰ先分别由首项与公差的关系式，然后选择、、条件组合，求出；Ⅱ利用错位相减法求其前n项和即可．本题主要考查数列基本量的运算及通项公式的求法，以及错位相减法在数列求和中的应用，属于基础题．19.答案：Ⅰ证明：中，，，，得，则，即，而，，平面，又面ABCD，平面平面ABCD；Ⅱ解：取BD的中点O，由于，，由Ⅰ可知平面面ABCD，故D面ABCD．，，，平面ABCD，．解析：Ⅰ中，由已知求解三角形可得，再由，由直线与平面垂直的判定可得平面，进一步得到平面平面ABCD；Ⅱ取BD的中点O，由于，得，结合Ⅰ可得面求得，再由平面ABCD，然后利用等体积法求三棱锥的体积．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．20.答案：解：Ⅰ，时，；时，．当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，上递增；当时，在的单调递减；分Ⅱ，即，由Ⅰ知：在上递减，在上递增，则，即，分令，，即在R单调递增，而，，所以，即a的最大值为分解析：Ⅰ求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；Ⅱ问题转化为，即，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出a的范围．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．21.答案：解：Ⅰ由已知，则，故AB方程：，联立直线AB与椭圆方程，消去y可得：，得，即，从而以AB为直径的圆方程为：，即；Ⅱ当CD斜率存在时，并设CD方程：，设，由，消去y得：，故，，从而，，而以CD为直径的圆方程为：，即，且以AB为直径的圆方程为，将两式相减得直线MN：，即，可得：，两条直线互异，则，即，令，解得，即直线MN过定点；当CD斜率不存在时，CD方程：，知，，则以CD为直径的圆为，而以AB为直径的圆方程，两式相减得MN方程：，过点．综上所述，直线MN过定点．解析：Ⅰ由已知，求得AB所在直线当斜率，得到AB的方程，与椭圆方程联立求得B点坐标，则以AB为直径的圆方程可求；Ⅱ当CD斜率存在时，并设CD方程：，设，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，结合根与系数的关系写出以CD为直径的圆方程，与以AB为直径的圆的方程联立，求得MN的方程，利用直线系方程可得直线MN过定点；然后验证CD斜率不存在时即可．本题考查圆的方程的求法，考查直线与椭圆位置关系、圆与圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，考查运算求解能力，属难题．22.答案：解：Ⅰ由题意抛物线E的焦点为，所以标准方程为，故极坐标方程为；Ⅱ设过点A的直线l参数方程为为参数，代入，化简得，，，且．由，A在E内部，知，得或，所以，当时，解得，所以，当时，解得，所以或．解析：Ⅰ求出抛物线E的标准方程为，然后求解极坐标方程．Ⅱ设过点A的直线l参数方程为为参数，代入，利用韦达定理结合参数的几何意义，转化求解即可．本题考查抛物线的极坐标方程的求法，普通方程与极坐标方程的互化，直线的参数方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．23.答案：解：Ⅰ当时，不等式为，平方得，则，得，即或，所以，所求不等式的解集；Ⅱ证明：因为，又，所以，不等式得证．解析：Ⅰ将代入，把不等式两边平方后，解不等式即可；Ⅱ运用绝对值不等式的性质结合基本不等式可得，，由此得证．本题主要考查绝对值不等式的解法，及绝对值不等式的性质，基本不等式的运用，考查运算求解能力及推理论证能力，属于基础题．。
2020年江西省名校学术联盟高考数学模拟试卷(文科)(二)
2020年江西省名校学术联盟高考数学模拟试卷（文科）（二）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{x ∈N |﹣3＜x ＜3}，B ＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，0，2}B ．{0，2}C ．{0}D ．{2}2．若x ∈（3，6），则不等式x 2﹣3x ﹣10≥0成立的概率为（ ） A ．13B ．14C ．23D ．343．若cos （3π2+α）=−√35，则cos2α＝（ ）A ．−1925B ．1925C ．−2225D ．22254．现有如下命题：命题p ：“∀x ∈（0，+∞），lnx ﹣x ＜0”的否定为“∃x 0∈（﹣∞，0]，lnx 0﹣x 0≥0”； 命题q ：“sin2x ＞0”的充要条件为：“kπ＜x ＜(2k+1)π2(k ∈Z)”， 则下列命题中的真命题是（ ） A ．pB ．p ∧qC ．（￢p ）∧qD ．p ∧（￢q ）5．已知正四面体A ﹣BCD 外接球的表面积为12π，则该正四面体的表面积为（ ） A ．4√3B ．6√3C ．8√3D ．12√36．已知函数f （x ）的定义域为R ，f （x +2）是偶函数，f （4）＝2，f （x ）在（﹣∞，2）上单调递增，则不等式f （4x ﹣1）＞2的解集为（ ） A ．(14，54)B ．(−∞，14)∪(54，+∞)C ．（﹣∞，﹣1）∪（17，+∞）D ．（﹣1，17）7．已知向量a →，b →满足|a →|=6，|b →|=2，且3a →−2b →在b →方向上的投影为4，现有如下说法： ①a →⋅b →=83；②向量a →与b →夹角的余弦值为49；③(3a →−4b →)⊥b →，则其中说法正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．已知函数f(x)=√3sin(3x −π4)，x ∈(π2，5π6)，则函数f （x ）的值域为（ ）A ．(−√3，√62) B ．[−√3，√62) C ．(−√62，√62) D ．[−√62，√62) 9．若关于x 的不等式x 2﹣mlnx ﹣1≥0在[2，3]上有解，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(−∞，3ln2] B ．(−∞，8ln3] C ．（﹣∞，e 2﹣1]D ．[3ln2，8ln3] 10．已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2BC ＝2AA 1＝2，E ，F 分别是线段A 1D 1，CC 1的中点，若E '是E 在平面BDD 1B 1上的射影，点F '在线段BB 1上，FF '∥BC ，则|E 'F '|＝（ ） A ．√21515B ．√21510C ．√43015D ．√4301011．设函数f （x ）={|lg(x −1)|，x ＞114x−1−12，x ≤1，若函数y ＝|3f （x ）﹣m |﹣4有5个零点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(4，112)B ．[−52，+∞)C ．[−52，112)D ．[−52，4)12．已知首项为3的正项数列{a n }满足（a n +1+a n ）（a n +1﹣a n ）＝3（a n +1）（a n ﹣1），记数列{log 2(a n 2−1)}的前n 项和为S n ，则使得S n ＞440成立的n 的最小值为（ ）A ．23B ．22C ．20D ．21二、填空题（将答案填写在题中的横线上）13．曲线y ＝x （e x +x 3）在点（0，0）处的切线方程为 ．14．已知实数x ，y 满足{y ≥4x ，x +2y +6≥0，y ≤4，z ＝x ﹣y 的最大值为 ．15．若直线l ：x ﹣3y ＝0与圆C ：x 2+y 2﹣8x ﹣4y +16＝0交于M ，N 两点，则|MN |＝ ． 16．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 满足|MF 2|﹣|MF 1|＝2a ，若点N 是双曲线虚轴的一个顶点，且△MNF 2的周长的最小值为实轴长的3倍，则双曲线C 的渐近线方程为 ．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．某校将一次测试中高三年级学生的数学成绩统计如表所示，在参加测试的学生中任取1人，其成绩不低于120分的概率为14．分数 [70，80） [80，90） [90，100） [100，110） [110，120） [120，130） [130，140）频数 40 50 70 60 80 m 50（1）求m 的值；（2）若按照分层抽样的方法从成绩在[70，80）、[110，120）的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行错题分析，求这2人中至少有1人的分数在[70，80）的概率． 18．四棱锥A ﹣BCED 中，DE ∥BC ，∠BCE ＝90°，AE ⊥ED ，AE ＝EC ，BC ＝CD ，DE =12BC ． （1）求证：BC ⊥AC ；（2）若AB ＝4，AB 与平面AEC 所成的角为45°，求三棱锥A ﹣BCE 的体积．19．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =√13，且sinAcosC+cosAsinCc+b−a=sinC+sinAa−b．（1）求△ABC 外接圆的半径； （2）若c ＝3，求△ABC 的面积．20．已知数列{a n }满足2a 1+7a 2+12a 3+…+（5n ﹣3）a n ＝4n ． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{3na n}的前n 项和S n ．21．已知椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且点M 满足PM →=MQ →． （1）若点M （1，√34），求直线l 的方程； （2）若直线l 过点F 2且不与x 轴重合，过点M 作垂直于l 的直线l ′与y 轴交于点A （0，t ），求实数t 的取值范围．22．已知函数f （x ）＝lnx +m （x ﹣1）2．（1）若函数f （x ）在[2，4]上单调递减，求实数m 的取值范围． （2）讨论函数f （x ）的单调性．2020年江西省名校学术联盟高考数学模拟试卷（文科）（二）参考答案与试题解析一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{x ∈N |﹣3＜x ＜3}，B ＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，0，2}B ．{0，2}C ．{0}D ．{2}【解答】解：依题意，A ＝{x ∈N |﹣3＜x ＜3}＝{0，1，2}， 故A ∩B ＝{0，2}， 故选：B ．2．若x ∈（3，6），则不等式x 2﹣3x ﹣10≥0成立的概率为（ ） A ．13B ．14C ．23D ．34【解答】解：不等式x 2﹣3x ﹣10≥0可化为（x ﹣5）（x +2）≥0， 解得x ≤﹣2或x ≥5，利用几何概型的概率公式计算所求概率为 P =6−56−3=13． 故选：A ． 3．若cos （3π2+α）=−√35，则cos2α＝（ ）A ．−1925B ．1925C ．−2225D ．2225【解答】解：依题意，cos(3π2+α)=sinα=−√35， 故cos2α=1−2sin 2α=1−625=1925． 故选：B ． 4．现有如下命题：命题p ：“∀x ∈（0，+∞），lnx ﹣x ＜0”的否定为“∃x 0∈（﹣∞，0]，lnx 0﹣x 0≥0”； 命题q ：“sin2x ＞0”的充要条件为：“kπ＜x ＜(2k+1)π2(k ∈Z)”， 则下列命题中的真命题是（ ） A ．pB ．p ∧qC ．（￢p ）∧qD ．p ∧（￢q ）【解答】解：“∀x ∈（0，+∞），lnx ﹣x ＜0”的否定为“∃x 0∈（0，+∞），lnx 0﹣x 0≥0”，故命题为假；sin2x ＞0⇔2kπ＜2x ＜(2k +1)π⇔kπ＜x ＜(2k+1)π2，其中k ∈Z ， 故命题q 为真；故（￢p ）∧q 为真， 故选：C ．5．已知正四面体A ﹣BCD 外接球的表面积为12π，则该正四面体的表面积为（ ） A ．4√3B ．6√3C ．8√3D ．12√3【解答】解：设外接球半径为R ，则S ＝4πR 2＝12π，解得R =√3， 将正四面体A ﹣BCD 恢复成正方体，知正四面体的棱为正方体的面对角线， 故AB ×√22×√3=2√3，解得AB =2√2，故该正四面体的表面积为4×√34×(2√2)2=8√3，故选：C ．6．已知函数f （x ）的定义域为R ，f （x +2）是偶函数，f （4）＝2，f （x ）在（﹣∞，2）上单调递增，则不等式f （4x ﹣1）＞2的解集为（ ） A ．(14，54)B ．(−∞，14)∪(54，+∞)C ．（﹣∞，﹣1）∪（17，+∞）D ．（﹣1，17）【解答】解：依题意，函数f （x ）的图象关于x ＝2对称，则f （4）＝f （0）＝2，故f （4x ﹣1）＞2⇔0＜4x −1＜4⇔14＜x ＜54， 故选：A ．7．已知向量a →，b →满足|a →|=6，|b →|=2，且3a →−2b →在b →方向上的投影为4，现有如下说法： ①a →⋅b →=83；②向量a →与b →夹角的余弦值为49；③(3a →−4b →)⊥b →，则其中说法正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：依题意对于①，由于：(3a →−2b →)⋅b→|b →|=3a →⋅b →−2b →2|b →|=4，即a →⋅b →=163，故①错误； 对于②由3a →⋅b →=16，即3×6×2×cos θ＝16，得cosθ=49，故②正确； 对于③(3a →−4b →)⋅b →=3a →⋅b →−4b →2=0， 故(3a →−4b →)⊥b →，故③正确， 故选：C ．8．已知函数f(x)=√3sin(3x −π4)，x ∈(π2，5π6)，则函数f （x ）的值域为（ ） A ．(−√3，√62) B ．[−√3，√62)C ．(−√62，√62) D ．[−√62，√62) 【解答】解：当x ∈(π2，5π6)时，3x ∈(3π2，5π2)， 故3x −π4∈(5π4，9π4)， 故sin(3x −π4)∈[−1，√22)， 故f(x)∈[−√3，√62)， 故选：B ．9．若关于x 的不等式x 2﹣mlnx ﹣1≥0在[2，3]上有解，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(−∞，3ln2]B ．(−∞，8ln3]C ．（﹣∞，e 2﹣1]D ．[3ln2，8ln3]【解答】解：依题意，x 2−1lnx≥m ，令g(x)=x 2−1lnx ，x ∈[2，3]，则g ′(x)=2xlnx−x+1x (lnx)2，令m(x)=2xlnx −x +1x ，则m ′(x)=2lnx +1−1x 2，易知m '（x ）单调递增，m '（x ）≥m '（2）＞0，所以m （x ）单调递增，故m （x ）≥m （2）＞0，故g '（x ）＞0， 则g （x ）在[2，3]上单调递增，故g （3）≥m ，所以m ≤8ln3， 即实数m 的取值范围为(−∞，8ln3]， 故选：B ．10．已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2BC ＝2AA 1＝2，E ，F 分别是线段A 1D 1，CC 1的中点，若E '是E 在平面BDD 1B 1上的射影，点F '在线段BB 1上，FF '∥BC ，则|E 'F '|＝（ ） A ．√21515B ．√21510C ．√43015D ．√43010【解答】解：过点E 作EE '⊥B 1D 1，垂足为E '，取BB 1的中点F '，连接FF '，则EF ′=√B 1E′2+B 1F′2=√(B 1D 1−D 1E′)2+B 1F′2=√(√51√512)2+(12)2=(9510)2+(12)2=√43010，故选：D ．11．设函数f （x ）={|lg(x −1)|，x ＞114x−1−12，x ≤1，若函数y ＝|3f （x ）﹣m |﹣4有5个零点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(4，112) B ．[−52，+∞)C ．[−52，112) D ．[−52，4)【解答】解：作出函数f （x ）的图象如右所示， 令|3f （x ）﹣m |﹣4＝0，解得f(x)=m±43，则{0＜m−43＜12m+43≥12，解得4＜m ＜112，故选：A ．12．已知首项为3的正项数列{a n }满足（a n +1+a n ）（a n +1﹣a n ）＝3（a n +1）（a n ﹣1），记数列{log 2(a n 2−1)}的前n 项和为S n ，则使得S n ＞440成立的n 的最小值为（ ）A ．23B ．22C ．20D ．21【解答】解：依题意，a n+12=4a n 2−3，故a n+12−1=4a n 2−3−1=4a n 2−4=4(a n 2−1)， 令b n =a n 2−1，所以b n +1＝4b n ，所以数列{b n }是等比数列，首项为b 1=a 12−1=8，公比为4，所以b n =b 1⋅4n−1=8×22n−2=22n+1，故log 2(a n 2−1)=log 222n+1=2n +1，S n =n(3+2n+1)2=n 2+2n ， 令n 2+2n ﹣440＞0，即（n +22）（n ﹣20）＞0，所以n ＞20或n ＜﹣22（舍去）， 故所求最小值为21， 故选：D ．二、填空题（将答案填写在题中的横线上）13．曲线y ＝x （e x +x 3）在点（0，0）处的切线方程为 y ＝x ． 【解答】解：依题意，y '＝e x +x 3+x （e x +3x 2）， 故切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝1，∴曲线y ＝x （e x +x 3）在点（0，0）处的切线方程为y ＝x ． 故答案为：y ＝x ．14．已知实数x ，y 满足{y ≥4x ，x +2y +6≥0，y ≤4，z ＝x ﹣y 的最大值为 2 ．【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，观察可知， 当直线z ＝x ﹣y 过点B 时，z 有最大值，联立{y =4x ，x +2y +6=0，解得{x =−23，y =−83，故z ＝x ﹣y 的最大值为2．故答案为：2．15．若直线l ：x ﹣3y ＝0与圆C ：x 2+y 2﹣8x ﹣4y +16＝0交于M ，N 两点，则|MN |＝ 6√105． 【解答】解：依题意，圆C ：（x ﹣4）2+（y ﹣2）2＝4， 故圆心（4，2）到直线l ：x ﹣3y ＝0的距离d =10=10， ∴|MN|=2√r 2−d 2=2√4−25=6√105． 故答案为：6√105．16．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 满足|MF 2|﹣|MF 1|＝2a ，若点N 是双曲线虚轴的一个顶点，且△MNF 2的周长的最小值为实轴长的3倍，则双曲线C 的渐近线方程为 y ＝±√62x ． 【解答】解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M满足|MF 2|﹣|MF 1|＝2a ，点N 的坐标为（0，b ），M 在双曲线的左支， F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），△MNF 2的周长为|MN |+|MF 2|+|NF 2|＝|MN |+|MF 2|+a ， 由双曲线的定义可得|MF 2|﹣|MF 1|＝2a ，|NF 2|=√b 2+c 2， 当P 在左支上运动到M ，N ，F 1共线时， △MNF 2的周长取最小值：2√b 2+c 2+2a ，△MNF 2的周长的最小值为实轴长的3倍，可得2√b 2+c 2+2a ＝6a ，可得：2b 2＝3a 2，ba =√62，双曲线C 的渐近线方程为：y ＝±√62x ．故答案为：y ＝±√62x ．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．某校将一次测试中高三年级学生的数学成绩统计如表所示，在参加测试的学生中任取1人，其成绩不低于120分的概率为14．分数 [70，80） [80，90） [90，100） [100，110） [110，120） [120，130） [130，140）频数4050706080m50（1）求m 的值；（2）若按照分层抽样的方法从成绩在[70，80）、[110，120）的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行错题分析，求这2人中至少有1人的分数在[70，80）的概率． 【解答】解：（1）依题意，m+50350+m=14，解得m ＝50.2．（2）依题意，成绩在[70，80）的学生抽取2人，记为A ，B ，成绩在[110，120）的学生抽取4人，记为a ，b ，c ，d ，则任取2人，所有的情况为： （A ，B ），（A ，a ），（A ，b ），（A ，c ），（A ，d ），（B ，a ），（B ，b ），（B ，c ），（B ，d ），（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（b ，c ），（b ，d ），（c ，d ），共15种， 其中满足条件的为：（A ，B ），（A ，a ），（A ，b ），（A ，c ），（A ，d ），（B ，a ），（B ，b ），（B ，c ），（B ，d ），共9种， 故所求概率P =915=35． 18．四棱锥A ﹣BCED 中，DE ∥BC ，∠BCE ＝90°，AE ⊥ED ，AE ＝EC ，BC ＝CD ，DE =12BC ． （1）求证：BC ⊥AC ；（2）若AB ＝4，AB 与平面AEC 所成的角为45°，求三棱锥A ﹣BCE 的体积．【解答】解：（1）因为∠BCE ＝90°，故BC ⊥EC ， 又BC ∥DE ，故DE ⊥EC ，又AE ⊥ED ，而EC ∩AE ＝E ，故DE ⊥平面AEC ，即BC ⊥平面AEC ， 因为AC ⊂平面AEC ，故BC ⊥AC ； （2）因为DE ∥BC ，由（1）可知，DE ⊥平面AEC ，所以BC ⊥平面AEC ，故AB 与平面AEC 所成的角即为∠BAC ， 在 Rt △BCA 中，∠BAC ＝45°，AB ＝4，所以，BC =CA =2√2， 故CD =2√2，DE =√2，故CE =√6， 故S △ACE =12×2√2×√(√6)2−(√2)2=2√2， 故V 三棱锥A−BCE =V 三棱锥B−ACE =13×2√2×2√2=83． 19．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =√13，且sinAcosC+cosAsinCc+b−a=sinC+sinAa−b．（1）求△ABC 外接圆的半径； （2）若c ＝3，求△ABC 的面积． 【解答】解：（1）∵sinAcosC+cosAsinCc+b−a=sinC+sinAa−b，∴sin(A+C)c+b−a=sinC+sinAa−b =sinB c+b−a ，由正弦定理可得，c+a a−b=b c+b−a，所以（a ﹣b ）b ＝（c +a ）（c +b ﹣a ）， 整理可得，c 2+b 2﹣a 2＝﹣bc ，由余弦定理可得，cos A =c 2+b 2−a 22bc =−12所以A =2π3， 由正弦定理可得2R =√1332=2√393，即外接圆半径R =√393； （2）由c 2+b 2﹣a 2＝﹣bc ，a =√13，c ＝3可得，9+b 2﹣13＝﹣3b ， 解可得，b ＝1， 所以S △ABC =12bcsinA =12×1×3×√32=3√34． 20．已知数列{a n }满足2a 1+7a 2+12a 3+…+（5n ﹣3）a n ＝4n ． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{3na n}的前n 项和S n ．【解答】解：（1）2a 1+7a 2+12a 3+…+（5n ﹣3）a n ＝4n ． n ＝1时，2a 1＝4，解得a 1＝2，∴n ≥2时，2a 1+7a 2+12a 3+…+（5n ﹣8）a n ﹣1＝4（n ﹣1）． ∴（5n ﹣3）a n ＝4． ∴a n =45n−3． （2）3n a n=(5n−3)⋅3n4，∴数列{3na n }的前n 项和S n =14[2×3+7×32+12×33+……+（5n ﹣3）•3n ]，3S n =14[2×32+7×33+12×34+……+（5n ﹣8）•3n +（5n ﹣3）•3n +1]，∴﹣2S n =14[6+5（32+33+……+3n ）﹣（5n ﹣3）•3n +1]=14[6+5×9(3n−1−1)3−1−（5n ﹣3）•3n +1]．∴S n =(10n−11)⋅3n+1+3316．21．已知椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且点M 满足PM →=MQ →． （1）若点M （1，√34），求直线l 的方程； （2）若直线l 过点F 2且不与x 轴重合，过点M 作垂直于l 的直线l ′与y 轴交于点A （0，t ），求实数t 的取值范围．【解答】解：（1）由题意点M 满足PM →=MQ →，可得M 是PQ 的中点． 设P （x ，y ），Q （x '，y '），则x +x '＝2，y +y '=√32，∵点P ，Q 在椭圆C 上，∴{x 24+y 23=1x′24+y′23=1， 两式相减，得(x+x′)(x−x′)4+(y+y′)(y−y′)3=0，∴k =y−y′x−x′=−3(x+x′)4(y+y′)=−√3， ∴直线l 的方程为：y −√34=−√3（x ﹣1），即4√3x +4y ﹣5√3=0． （2）由题意，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， ∵M 是PQ 的中点，∴M （x 1+x 22，y 1+y 22）．①当直线l 斜率不存在时，直线l 的直线方程为：x ＝1．此时P （1，√32），Q （1，−√32），M （1，0）． 直线l ′：y ＝0，A （0，0） ∴t ＝0．②当直线l 斜率存在时，设斜率为k ，（k ≠0），则 直线l ：y ＝k （x ﹣1）． 联立{y =k(x −1)x 24+y 23=1，整理，得（4k 2+3）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣12＝0．则△＝64k 4﹣4（4k 2+3）（4k 2﹣12）＝144（k 2+1）＞0． x 1+x 2=8k24k 2+3，x 1•x 2=4k 2−124k 2+3．∴x 1+x 22=4k 24k 2+3，y 1+y 22=k(x 1−1)+k(x 2−1)2=k （x 1+x 22−1）＝k （4k 24k +3−1）=−3k 4k 2+3．∴点M 坐标为（4k 24k +3，−3k4k 2+3）．∵直线l ′与直线l 互相垂直， ∴直线l ′的斜率为−1k ．直线l ′的直线方程：y +3k4k 2+3=−1k •（x −4k24k 2+3）．将A （0，t ）代入直线l ′的直线方程，可得t +3k4k 2+3=−1k •（−4k24k 2+3）， 解得t =k4k 2+3．（i ）当k ＞0时，t =k4k 2+3=14k+3k， ∵4k +3k ≥2√4k ⋅3k =4√3．当且仅当4k =3k ，即k =√32时，等号成立． ∴0＜t =14k+3k≤14√3=√312．（ii ）当k ＜0时，t =k4k 2+3=14k+3k =−14(−k)+3−k ， ∵4（﹣k ）+3−k ≥2√4(−k)⋅3−k =4√3．当且仅当4（﹣k ）=3−k ，即k =−√32时，等号成立．∴−√312=143≤t=−14(−k)+3−k＜0．综上所述，可知实数t的取值范围为[−√312，√312]．22．已知函数f（x）＝lnx+m（x﹣1）2．（1）若函数f（x）在[2，4]上单调递减，求实数m的取值范围．（2）讨论函数f（x）的单调性．【解答】解：（1）依题意，f′(x)=2m(x−1)+1 x，因为函数f（x）在[2，4]上单调递减，所以f'（x）≤0在[2，4]上恒成立，故2m≤(1−x2+x)min，而1−x2+x =1−(x−12)2+14，故当x∈[2，4]时，1−x2+x∈[−12，−112]，故2m≤−12，解得m≤−14，即实数m的取值范围为(−∞，−14 ]；（2）由（1）可得，f′(x)=2mx2−2mx+1x，x∈(0，+∞)，①若m＝0，则f′(x)=1x＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；若m≠0，则函数y＝2mx2﹣2mx+1的△＝4m2﹣8m＝4m（m﹣2），若m＜0或m＞2，则△＞0，令2mx2﹣2mx+1＝0，解得x=m±√m(m−2)2m，记x1=m−√m(m−2)2m，x2=m+√m(m−2)2m，其中x1+x2=1，x1x2=12m，②若0＜m≤2，则△≤0，故当x∈（0，+∞）时，f'（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；③若m＜0，则x1+x2＝1，x1x2＜0，其中x1＞0＞x2，故当x∈（0，x1）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，当x∈（x1，+∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；④若m＞2，则x1+x2＝1，x1x2＞0，其中0＜x1＜x2，故当x∈（0，x1）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上所述，当0≤m≤2时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当m＜0时，函数f（x）在(0，m−√m(m−2)2m)上单调递增，在(m−√m(m−2)2m，+∞)上单调递减；当m＞2时，函数f（x）在(0，m−√m(m−2)2m)，(m−√m(m−2)2m，+∞)上单调递增，在(m−√m(m−2)2m，m+√m(m−2)2m)上单调递减．。
【精准解析】江西省南昌市四校联盟2020届高三第二次联考数学(文)试题
运算结果为纯虚数的是 1 i ． 1 i
故选：A． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题． 3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21 世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我 国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自 2015 年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是 2015—2019 年，我国对“一带一路”沿线国家 进出口情况统计图，下列描述错．误．的是( )
，即可得解；
【详解】解：依题意可得 e c 1 a cos 50
所以 e2
c2 a2
1
b2 a2
1 cos2 50
-3-
b2 a2
1 cos2 50
1
b2 sin2 50 a2 cos2 50
b a
sin 50 cos 50
tan 50
因为双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0 的渐近线为
A. 这五年，出口总．额．之．和．比进口总．额．之．和．大 B. 这五年，2015 年出口额最少
C. 这五年，2019 年进口增速最快
D. 这五年，出口增速前四年逐年下降
【答案】D
【解析】
【分析】
根据统计图中数据的含义进行判断即可.
【详解】对 A 项，由统计图可得，2015 年出口额和进口额基本相等，而 2016 年到 2019 年出
2 3
2x
3sin
2
6
2x
3cos
6
2x
3
cos
2x
6
，
令 2k
2x
6
2k
，k Z
2020年江西省名师联盟高考数学一模试卷(文科)
2020年江西省名师联盟高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{2A =-，1-，0，1，2}，2{|20}B x x x =--=，则(A B =I ) A ．{1-，2}B ．{2-，1}C ．{1，2}D ．∅2．（5分）设i 为虚数单位，321iz i=+-，则||(z = ) A ．1B ．10C ．2D ．1023．（5分）若129()4a =，83log 3b =，132()3c =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b <<4．（5分）斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，*12(3,)n n n a a a n n N --=+∈…．若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的格子的面积之和为n S ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为n c ，则下列结论错误的是()A ．2111n n n n S a a a +++=+gB ．12321n n a a a a a ++++⋯+=-C ．1352121n n a a a a a -+++⋯+=-D ．1214()n n n n c c a a π--+-=g5．（5分）函数1sin 1x x e y x e +=-g 的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．6．（5分）数列{}n a ，{}n b 为等差数列，前n 项和分别为n S ，n T ，若322n n S n T n +=，则77(a b =)A ．4126B ．2314C ．117D ．1167．（5分）已知α，(2πβ∈，)π，13sin α=，513cos()αβ+=，则(β= )A ．23πB ．56πC ．34πD ．1112π8．（5分）如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为1，则该多面体的侧面最大面积为( )A ．23B ．22C 6D ．29．（5分）将一个总体分为甲、乙、丙三层，其个体数之比为5:4:1，若用分层抽样的方法抽取容量为250的样本，则应从丙层中抽取的个体数为( ) A ．25B ．35C ．75D ．10010．（5分）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知24a b +=，sin 4sin 6sin sin a A b B a B C +=，则ABC ∆的面积取得最小值时有2(c = )A ．55+B ．55+C ．2553D ．455311．（5分）已知双曲线22:13y C x -=，过点(0,4)P 的直线l 交双曲线C 于M ，N 两点，交x轴于点Q （点Q 与双曲线C 的顶点不重合），当121(PQ QM QN λλλ==u u u r u u u u r u u u r，20)λ≠，且12327λλ+=-时，点Q 的坐标为( ) A ．4(3±，0)B ．4(3，0)C ．2(3±，0) D ．2(3，0)12．（5分）已知函数21()21x x f x -=+，当(0,)x π∈时，不等式(sin 1)(cos )0f x x f x a -+-„恒成立，则整数a 的最小值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知变量x ，y 满足约束条件20111x y x y +-⎧⎪-<⎨⎪-⎩„„…，若2z x y =-，则z 的取值范围是 ．14．（5分）已知向量a r ，b r 的夹角为56π，且||a =r ||2b =r ，则()(2)a b a b +-=r r r r g ．15．（5分）四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD，AB BD ==1CB CD ==，则四面体A BCD -的外接球的表面积为 ．16．（5分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，2n n S a λ=-，其中λ为常数，若13n n a b n =-，则数列{}n b 中的项的最小值为 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知数列{2}n a 是等比数列，且13a =，37a =． （1）证明：数列{}n a 是等差数列，并求出其通项公式； （2）求数列()()111n n n n S a a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭的前项和．18．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，1BC =，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点．（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1//C F 平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -的体积．19．（12分）某学校有40名高中生参加足球特长生初选，第一轮测身高和体重，第二轮足球基础知识问答，测试员把成绩（单位：分）分组如下：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100)，得到频率分布直方图如图所示． （1）根据频率分布直方图估计成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）用分层抽样的方法从成绩在第3，4，5组的高中生中6名组成一个小组，若6人中随2人担任小组负责人，求这2人来自3，4组各1人的概率．20．（12分）已知O 为坐标原点，椭圆2212y x +=的下焦点为F ，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆相交于A ，B 两点．（1）以AB 为直径的圆与2x =（2）在y 轴上是否存在定点P ，使得PA PB u u u r u u u rg 为定值，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数()()f x x lnx a b =++，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线为210x y --=．（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的(1,)x ∈+∞，()(1)f x m x -…恒成立，求正整数m 的最大值． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线()12:x cos C y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:(cos sin )C ρθθ-= （1）写出曲线1C 和2C 的普通方程；（2）若曲线1C 上有一动点M ，曲线2C 上有一动点N ，求||MN 的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|2|||f x x a x a =++-．（1）当1a =时，求不等式()4|2|f x x -+…的解集；（2）设0a >，0b >，且()f x 的最小值为t ．若33t b +=，求1aa b+的最小值．2020年江西省名师联盟高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{2A =-，1-，0，1，2}，2{|20}B x x x =--=，则(A B =I ) A ．{1-，2}B ．{2-，1}C ．{1，2}D ．∅【解答】解：{1B =-Q ，2}， {1A B ∴=-I ，2}．故选：A ．2．（5分）设i 为虚数单位，321iz i=+-，则||(z = )A ．1B C D 【解答】解：33(1)33132221(1)(1)2222i i i z i i i i i +=+=+=-+=+--+，则||z ==．故选：D ．3．（5分）若129()4a =，83log 3b =，132()3c =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b <<【解答】解：Q 1293()42a ==，8233log 3log 32b log ==>=，10322()()133c =<=，a ∴，b ，c 的大小关系是c a b <<．故选：D ．4．（5分）斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，*12(3,)n n n a a a n n N --=+∈…．若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的格子的面积之和为n S ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为n c ，则下列结论错误的是()A ．2111n n n n S a a a +++=+gB ．12321n n a a a a a ++++⋯+=-C ．1352121n n a a a a a -+++⋯+=-D ．1214()n n n n c c a a π--+-=g【解答】解：由题意，11a =，32a =，43a =，55a =，68a =，713a =， 13431a a a ∴+=≠-，135681a a a a ++=≠-，故选：C ．5．（5分）函数1sin 1x x e y x e +=-g 的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据题意，对于1()sin 1x x e f x x e +=-g ，有11()sin()sin ()11x x x x e e f x x x f x e e --++-=-==--g g ，即函数()f x 为偶函数，据此可以排除A 、C ，又由在(0,)π上，sin 0x >，101x x e e +>-，有()0f x >，则函数()0f x >，据此排除D ； 故选：B ．6．（5分）数列{}n a ，{}n b 为等差数列，前n 项和分别为n S ，n T ，若322n n S n T n +=，则77(ab = )A ．4126B ．2314C ．117D ．116【解答】解：因为{}n a ，{}n b为等差数列，且322n n S n T n+=， 所以113771131137711313()2213()22a a a a a a b b b b b b ++===++ 131331324121326S T ⨯+===⨯， 故选：A ．7．（5分）已知α，(2πβ∈，)π，13sin 13α=，513cos()26αβ+=，则(β= )A ．23πB ．56πC ．34πD ．1112π【解答】解：由于α，(2πβ∈，)π，(,2)αβππ∴+∈， 513cos()26αβ+=Q ，339sin()26αβ∴+=-，239cos 13α=-， 513239339131013331333cos cos[()]cos()cos )sin()sin ()()2613261326132βαβααβααβα-⨯-⨯∴=+-=+++=⨯-+-⨯==-⨯， 56πβ∴=． 故选：B ．8．（5分）如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为1，则该多面体的侧面最大面积为( )A ．23B ．22C ．6D ．2【解答】解：由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC -，故1AC =，2PA =，BC PC ==AB =PB =，∴12112ABC PAC S S ∆∆==⨯⨯=，122PAB S ∆=⨯⨯=12PBC S ∆=⨯∴该多面体的侧面最大面积为故选：B ．9．（5分）将一个总体分为甲、乙、丙三层，其个体数之比为5:4:1，若用分层抽样的方法抽取容量为250的样本，则应从丙层中抽取的个体数为( ) A ．25B ．35C ．75D ．100【解答】解：因为甲、乙、丙三层，其个体数之比为5:4:1， 所以丙层所占的比例为10.1541=++，所以应从丙层中抽取的个体数为0.125025⨯=， 故选：A ．10．（5分）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知24a b +=，sin 4sin 6sin sin a A b B a B C +=，则ABC ∆的面积取得最小值时有2(c = )A ．5+B ．5+C ．5D ．5【解答】解：由正弦定理，sin 4sin 6sin sin a A b B a B C +=即为2246sin a b ab C +=， 又1sin 2S ab C =，即有22412a b S +=，由于24a b +=，即有2224(2)4164a b a b ab ab +=+-=-， 即有41612ab S =-， 由42(ab „22)82a b +=， 即有16128S -„，解得23S …．当且仅当22a b ==，取得等号． 当2a =，1b =，S 取得最小值23，2sin 3C =，(C 为锐角），则cos C ==．则2222cos 412215c a b ab C =+-=+-⨯⨯=． 故选：D ．11．（5分）已知双曲线22:13y C x -=，过点(0,4)P 的直线l 交双曲线C 于M ，N 两点，交x轴于点Q （点Q 与双曲线C 的顶点不重合），当121(PQ QM QN λλλ==u u u r u u u u r u u u r ，20)λ≠，且12327λλ+=-时，点Q 的坐标为( ) A ．4(3±，0)B ．4(3，0)C ．2(3±，0) D ．2(3，0)【解答】解：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零，由题意设l 的方程为4y kx =+，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则4(Q k-，0)．又1PQ QM λ=u u u r u u u u r ，4(k ∴-，1144)(x k λ-=+，1)y ，故111144()4x k k y λλ⎧-=+⎪⎨⎪-=⎩，得1114441x k k y λλ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 1(M x Q ，1)y 在双曲线C 上，∴21221111616()103k λλλ+--=g ， 整理得22211161632(16)03k k λλ++--=， 同理得22222161632(16)03k k λλ++--=． 若2160k -=，则直线l 过双曲线C 的顶点，不合题意，2160k ∴-≠， 1λ∴，2λ 是方程222161632(16)03x k x k ++--=的两根， 1223232167k λλ∴+==--，29k ∴=，此时△0>，3k ∴=±，点Q 的坐标为4(3±，0)． 故选：A ．12．（5分）已知函数21()21x x f x -=+，当(0,)x π∈时，不等式(sin 1)(cos )0f x x f x a -+-„恒成立，则整数a 的最小值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：由题意知函数2121()()2121x x x x f x f x -----==-=-++，即()f x 为奇函数，又2()121x f x =-+，可得()f x 为增函数，不等式(sin 1)(cos )0f x x f x a -+-„恒成立， 等价于(sin 1)(cos )f x x f x a ---„，得(sin 1)(cos )f x f a x --„，即sin cos 1x x x a ++„，令()sin cos g x x x x =+，()cos g x x x '=， 当02x π<<时，()0g x '>，()g x 单调递增；当2x ππ<<时，()0g x '<，()g x 单调递减，故当2x π=时，()g x 取极大值也是最大值，最大值为()22g ππ=， 所以12a π+…，得12a π-…． 又a 为整数，则a 的最小值为1． 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知变量x ，y 满足约束条件20111x y x y +-⎧⎪-<⎨⎪-⎩„„…，若2z x y =-，则z 的取值范围是(5-，3] ．【解答】解：由图可知A B z z Z <„． 2(1)35A Z =⨯--=-Q ，21(3)B Z =⨯--，z ∴的取值范围为(5-，3]．故答案为：(5-，3]14．（5分）已知向量a r ，b r 的夹角为56π，且||3a =r ，||2b =r ，则()(2)a b a b +-=r r r r g 2- ．【解答】解：依题有225()(2)||||||cos 2||6a b a b a a b b π+-=--r r rr r r r r g3323(242=--⨯=-． 故答案为：2-．15．（5分）四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，2AB BD ==1CB CD ==，则四面体A BCD -的外接球的表面积为 4π ．【解答】解：如图，在四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，2AB BD ==，1CB CD ==，可得90BCD ∠=︒，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，12 22211(2)2++，则三棱锥A BCD -的外接球的半径为1． 其表面积为2414ππ⨯=． 故答案为：4π．16．（5分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，2n n S a λ=-，其中λ为常数，若13n n a b n =-，则数列{}n b 中的项的最小值为 1412-． 【解答】解：根据题意，数列{}n a 的满足12a =，2n n S a λ=-， 当1n =时，有1112a S a λ==-，即222λ=-，解可得2λ=， 则22n n S a =-，① 则有1122n n S a --=-，②①-②：122n n n a a a -=-，变形可得12n n a a -=，则数列{}n a 是首项为12a =，公比为2的等比数列，则2n n a =， 又由13n n a b n =-，则132n nnb -=， 当13n „时，0n b …，当14n …时，0n b <，且{}n b 为递增数列，则当14n =时，n b 取得最小值，此时141412b =-； 故答案为：1412-． 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{2}n a 是等比数列，且13a =，37a =． （1）证明：数列{}n a 是等差数列，并求出其通项公式； （2）求数列()()111n n n n S a a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭的前项和．【解答】解：（1）证明：数列{2}n a 是公比为(0)q q >的等比数列，且13a =，37a =． 可得3122228128a a q q ===g ， 解得4q =，即有1242nn a a q -==，即12n n a a --=，可得数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列， 可得32(1)21n a n n =+-=+； （2）11111()(1)(1)2(22)41n n a a n n n n ==--+++g ，则数列()()111111111142231n n n n S a a n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=-+-+⋯+-⎨⎬ ⎪-++⎝⎭⎪⎪⎩⎭的前项和11(1)414(1)nn n =-=++． 18．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，1BC =，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点．（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1//C F 平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -的体积．【解答】解：（1）证明：Q 三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面， 1BB AB ∴⊥，AB BC ⊥Q ，1BB BC B =I ，1BB ，BC ⊂平面11B BCC ，AB ∴⊥平面11B BCC ， AB ⊂Q 平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面11B BCC ；（Ⅱ）证明：取AB 中点G ，连接EG ，FG ，则F Q 是BC 的中点， //FG AC ∴，12FG AC =， E Q 是11A C 的中点，1//FG EC ∴，1FG EC =，∴四边形1FGEC 为平行四边形，1//C F EG ∴，1C F ⊂/Q 平面ABE ，EG ⊂平面ABE ， 1//C F ∴平面ABE ；（3）解：12AA AC ==Q ，1BC =，AB BC ⊥， 3AB ∴=，11113(31)2332E ABC ABC V S AA -∆∴==⨯⨯⨯⨯=g ．19．（12分）某学校有40名高中生参加足球特长生初选，第一轮测身高和体重，第二轮足球基础知识问答，测试员把成绩（单位：分）分组如下：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100)，得到频率分布直方图如图所示． （1）根据频率分布直方图估计成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）用分层抽样的方法从成绩在第3，4，5组的高中生中6名组成一个小组，若6人中随2人担任小组负责人，求这2人来自3，4组各1人的概率．【解答】解：（1）因为(0.010.070.060.02)51x ++++⨯=，所以0.04x =， 所以成绩的平均值为7580858085909095951000.050.350.300.200.1087.2522222+++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； （2）第3组学生人数为0.0654012⨯⨯=， 第4 组学生人数为0.045408⨯⨯=， 第5组学生人数为0.025404⨯⨯=，所以抽取的6人中第3，4，5组的人数分别为3，2，1．第3组的3人分别记为1A ，2A ，3A ，第4 组的2 人分别记为1B ，2B ，第5 组的1 人记为C ，则从中选出2人的基本事件为共 15个，记“从这6人中随机选出2人担任小组负责人，这2人来自第3，4组各1人”为事件M ， 则事件M 包含的基本事件为1(A ，1)B ，1(A ，2)B ，2(A ，1)B ，2(A ，2)B ，3(A ，1)B ，3(A ，2)B ，共6个，所以62()155P M ==． 20．（12分）已知O 为坐标原点，椭圆2212y x +=的下焦点为F ，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆相交于A ，B 两点．（1）以AB为直径的圆与x =（2）在y 轴上是否存在定点P ，使得PA PB u u u r u u u rg 为定值，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：由题意可设直线l 的方程为1y kx =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 由22121y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ，得22(2)210k x kx +--=， 则△224480k k =++>恒成立，12222k x x k +=+，12212x x k -=+， 121224()22y y k x x k -+=+-=+，21212222(1)(1)2k y y kx kx k -=--=+． （1）||AB == 线段AB 的中点的横坐标为22kk +， Q 以AB为直径的圆与x =∴22kk +，解得k此时12||22AB +==+， ∴（2）设0(0,)P y ，212102012120120()()()PA PB x x y y y y x x y y y y y y =+--=+-++u u u r u u u rg ， 222220000022224(2)2411222222y y k y y k y k k k k -+++--=+++=++++， 由22000224112y y y -++=， 得054y =-，716PA PB =-u u u r u u u r g ，y ∴轴上存在定点5(0,)4P -，使得PA PB u u u r u u u r g 为定值．21．（12分）已知函数()()f x x lnx a b =++，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线为210x y --=．（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的(1,)x ∈+∞，()(1)f x m x -…恒成立，求正整数m 的最大值．【解答】解：（1）由()()f x x lnx a b =++，得()1f x lnx a '=++． 曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线为210x y --=， 所以f '（1）12a =+=，f （1）1a b =+=，解得1a =，0b =．（2）由（1）知()(1)f x x lnx =+，则(1,)x ∈+∞时，()(1)f x m x -…恒成立，等价于(1,)x ∈+∞时，(1)1x lnx m x +-„恒成立． 令(1)()1x lnx g x x +=-，1x >，则22()(1)x lnx g x x --'=-．令()2h x x lnx =--，则11()1x h x x x-'=-=，所以1x >，()0h x '>，()h x 单调递增． 因为h （3）130ln =-<，h （4）2220ln =->，所以存在0(3,4)x ∈使0()0h x =． 且0(1,)x x ∈时，()0g x '<；0(x x ∈，)+∞时，()0g x '>，所以0000(1)()()1min x lnx g x g x x +==-，因为0020x lnx --=，所以002lnx x =-，所以00000(21)()()(3,4)1min x x g x g x x x -+===∈-，所以0(3,4)m x ∈„，即正整数m 的最大值为3．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线()12:x cos C y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:(cos sin )C ρθθ-= （1）写出曲线1C 和2C 的普通方程；（2）若曲线1C 上有一动点M ，曲线2C 上有一动点N ，求||MN 的最小值．【解答】解：（1）Q曲线()12:x cos C y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，∴曲线1C 的普通方程为22143x y +=，Q曲线2:(cos sin )C ρθθ-=∴曲线2C的普通方程为0x y --=．（2）Q 曲线1C 上有一动点M ，曲线2C 上有一动点N ，∴设(2cos )M θθ，||MN ∴的最小值是M 到直线2C 的距离d 的最小值，d ∴=min d ∴==||MN ∴[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|2|||f x x a x a =++-．（1）当1a =时，求不等式()4|2|f x x -+…的解集；（2）设0a >，0b >，且()f x 的最小值为t ．若33t b +=，求1aa b+的最小值． 【解答】解：（1）当1a =时，()|2||1|f x x x =++-，原不等式可化为2|2||1|4x x ++-…，①当2x -„时，不等式①可化为2414x x ---+…，解得73x -„，此时73x -„； 当21x -<<时，不等式①可化为2414x x +-+…，解得1x -…，此时11x -<„； 当1x …时，不等式①可化为2414x x ++-…，解得13x …，此时1x …，综上，原不等式的解集为7(,][1,)3-∞--+∞U ．（2）由题意得，()|2||||(2)()|3f x x a x a x a x a a =++-+--=…， 因为()f x 的最小值为t ，所以3t a =，由333a b +=，得1a b +=，所以12122()()333b a a b a b a b a b +=++=++++g …，当且仅当2b aa b=，即1a =，2b =时，12a b +的最小值为3+。
2020年高考文科数学模拟试卷及答案(二)
2020年高考文科数学模拟试卷及答案（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x |x ＞2}，B={x |（x ﹣1）（x ﹣3）＜0}，则A ∩B=（ ）A ．{x |x ＞1}B ．{x |2＜x ＜3}C ．{x |1＜x ＜3}D ．{x |x ＞2或x ＜1}2．（5分）在复平面内，复数z=对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．（5分）已知=（3，﹣1），=（1，﹣2），则与的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．4．（5分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9=54，则a 2+a 4+a 9=（ ）A ．9B ．15C ．18D ．365．（5分）某人从甲地去乙地共走了500m ，途经一条宽为xm 的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为（ ）A ．80mB ．100mC ．40mD ．50m6．（5分）若x=，则sin 4x ﹣cos 4x 的值为（ ）A ．B ．﹣C ．﹣D ．7．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A．10 B．5 C．20 D．308．（5分）程序框图如图，如果程序运行的结果为s=132，那么判断框中可填入（）A．k≤10 B．k≥10 C．k≤11 D．k≥119．（5分）已知命题p：∃φ∈R，使f（x）=sin（x+φ）为偶函数；命题q：∀x∈R，cos2x+4sinx﹣3＜0，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．p∨（￢q）D．（￢p）∧（￢q）10．（5分）设函数f（x）=﹣，[x]表示不超过x的最大整数，则y=[f（x）]的值域是（）A．{0，1}B．{0，﹣1}C．{﹣1，1}D．{1，1}11．（5分）已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O的表面积为（）A．πB．πC．πD．π12．（5分）设奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，若函数f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，则当a ∈[﹣1，1]时，t的取值范围是（）A．﹣2≤t≤2 B．C．t≥2或t≤﹣2或t=0 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知P（x，y）满足，则z=x﹣y最小值是．14．（5分）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=．15．（5分）设x，y为正数，且x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的最小值是．16．（5分）图形的对称，正弦曲线的流畅都能体现“数学美”．“黄金分割”也是数学美得一种体现，如图，椭圆的中心在原点，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=3a n，n∈N+．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）已知{b n}是等差数列，T n为前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20．18．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点．（1）证明：平面PBE⊥平面PAC；（2）如何在BC上找一点F，使AD∥平面PEF？并说明理由；（3）若PA=AB=2，对于（2）的点F，求三棱锥B﹣PEF的体积．19．（12分）已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动，为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（满分100分），得分取整数，抽取得学生的分数均在[50，100]内作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出的频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值；（2）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“升级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有1人得分在[90，100]内的概率．20．（12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣bx（a、b为常数）．（1）当函数g（x）在x=2处取得极值﹣2．求函数g（x）的解析式；（2）当a=时，设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围．21．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，左、右焦点分别为F1、F2，点满足：F2在线段PF1的中垂线上．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A（2，0）、M、N，且∠NF2F1=∠MF2A，求k的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点为O极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ=4．（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值．[选修4-5；不等式选讲]．23．已知函数f（x）=|x﹣a|（1）若f（x）≤m的解集为[﹣1，5]，求实数a，m的值（2）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A ∩B=（）A．{x|x＞1}B．{x|2＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|x＞2或x＜1}【解答】解：集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x|1＜x＜3}，则A∩B={x|2＜x＜3}．故选：B．2．（5分）在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：z==，在复平面内，复数z=对应的点的坐标为：（，﹣1），位于第三象限．故选：C．3．（5分）已知=（3，﹣1），=（1，﹣2），则与的夹角为（）A． B． C． D．【解答】解：∵=3+2=5，==，==．两向量的夹角θ的取值范围是，θ∈[0，π]，∴===，∴与的夹角为，故选：B．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=54，则a2+a4+a9=（）A．9 B．15 C．18 D．36【解答】解：由等差数列的求和公式可得：S9=（a1+a9）=54，又由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，即9a5=54，解得a5=6，而a2+a4+a9=a5+a4+a6=3a5=18．故选：C．5．（5分）某人从甲地去乙地共走了500m，途经一条宽为xm的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为（）A．80m B．100m C．40m D．50m【解答】解：由已知易得：l从甲地到乙=500l途中涉水=x，故物品遗落在河里的概率P==1﹣=∴x=100（m）．故选B．6．（5分）若x=，则sin4x﹣cos4x的值为（）A．B．﹣C．﹣D．【解答】解：∵x=，∴sin4x﹣cos4x=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x=﹣cos=﹣，故选：C．7．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．10 B．5 C．20 D．30【解答】解：由空间几何体的三视图得：该几何体是倒放的四棱锥S﹣ABCD，其中，ABCD是矩形，AB=4，AD=5，BC⊥底面ABS，△ABS中，AB∥BS，BS=3，∴该几何体的体积：V===20．故选：C．8．（5分）程序框图如图，如果程序运行的结果为s=132，那么判断框中可填入（）A．k≤10 B．k≥10 C．k≤11 D．k≥11【解答】解：由题意知，程序框图的功能是求S=1×12×11×…，∵程序运行的结果为S=132，∴终止程序时，k=10，∴不满足判断框的条件是k≥11，退出循环．故选：D．9．（5分）已知命题p：∃φ∈R，使f（x）=sin（x+φ）为偶函数；命题q：∀x∈R，cos2x+4sinx﹣3＜0，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．p∨（￢q）D．（￢p）∧（￢q）【解答】解：∵当φ=时，f（x）=sin（x+φ）=cosx，此时f（x）为偶函数，所以命题p为真命题；∵y=cos2x+4sinx﹣3=1﹣2sin2x+4sinx﹣3=﹣2sin2x+4sinx﹣2=﹣2（sinx﹣1）2，当sinx=1时y=0，所以y≤0即cos2x+4sinx﹣3≤0所以命题q为假命题；￢q为真命题；所以p∨￢q为真命题故选C10．（5分）设函数f（x）=﹣，[x]表示不超过x的最大整数，则y=[f（x）]的值域是（）A．{0，1}B．{0，﹣1}C．{﹣1，1}D．{1，1}【解答】解：函数f（x）=﹣，[x]表示不超过x的最大整数，∴f（x）=﹣，分析可得，﹣＜f （x ）＜，∴[f （x ）]={0，﹣1}，故选B ；11．（5分）已知球O 的半径为R ，A ，B ，C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为R ．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O 的表面积为（ ）A ．πB ．πC ．πD ．π【解答】解：在△ABC 中，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴BC==2，由正弦定理可得平面ABC 截球所得圆的半径（即△ABC 的外接圆半径），r==2，又∵球心到平面ABC 的距离d=R ，∴球O 的半径R=，∴R 2=故球O 的表面积S=4πR 2=π， 故选：D ．12．（5分）设奇函数f （x ）在[﹣1，1]上是增函数，且f （﹣1）=﹣1，若函数f （x ）≤t 2﹣2at +1对所有的x ∈[﹣1，1]都成立，则当a∈[﹣1，1]时，t的取值范围是（）A．﹣2≤t≤2 B．C．t≥2或t≤﹣2或t=0 D．【解答】解：奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，在[﹣1，1]最大值是1，∴1≤t2﹣2at+1，当t=0时显然成立当t≠0时，则t2﹣2at≥0成立，又a∈[﹣1，1]令r（a）=﹣2ta+t2，a∈[﹣1，1]当t＞0时，r（a）是减函数，故令r（1）≥0，解得t≥2当t＜0时，r（a）是增函数，故令r（﹣1）≥0，解得t≤﹣2综上知，t≥2或t≤﹣2或t=0故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知P（x，y）满足，则z=x﹣y最小值是﹣1．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图，根据目标函数z=x﹣y，即y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过A时z最小，由得到A（0，1），所以z=x﹣y的最小值是0﹣1=﹣1．故答案为：﹣1；14．（5分）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=2．【解答】解：∠A=75°，∠B=45°，则∠C=180°﹣75°﹣45°=60°，由正弦定理可得，=，即有AC==2．故答案为：2．15．（5分）设x，y为正数，且x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的最小值是4．【解答】解：由等差数列的性质知a1+a2=x+y；由等比数列的性质知b1b2=xy，所以，当且仅当x=y时取等号．故答案为：4．16．（5分）图形的对称，正弦曲线的流畅都能体现“数学美”．“黄金分割”也是数学美得一种体现，如图，椭圆的中心在原点，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于．【解答】解：在黄金双曲线中，|OA|=a，|OB|=b，|OF|=c，由题意可知，|BF|2+|AB|2=|AF|2，∴b2+c2+c2=a2+c2+2ac，∵b2=c2﹣a2，整理得c2=a2+ac，∴e2﹣e﹣1=0，解得e=，或e=，由e＞1，则e=，故黄金双曲线的离心率e=，故答案为：，三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=3a n，n∈N+．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）已知{b n}是等差数列，T n为前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20．【解答】解：（Ⅰ）由a n+1=3a n，得，又a1=1，∴数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，则，；（Ⅱ）∵b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=1+3+9=13，∴b3﹣b1=10=2d，则d=5．故．18．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点．（1）证明：平面PBE⊥平面PAC；（2）如何在BC上找一点F，使AD∥平面PEF？并说明理由；（3）若PA=AB=2，对于（2）的点F，求三棱锥B﹣PEF的体积．【解答】（1）证明：∵PA⊥底面ABC，BE⊂底面ABC，∴PA⊥BE．又∵△ABC是正三角形，且E为AC的中点，∴BE⊥CA．∵PA∩CA=A，∴BE⊥平面PAC．∵BE⊂平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAC；（2）解：取CD的中点F，连接EF，则F即为所求．∵E，F分别为CA，CD的中点，∴EF∥AD．又EF⊂平面PEF，AD⊄平面PEF，∴AD∥平面PEF；（3）解：在等边三角形ABC中，∵AB=2，E、F分别为AC、DC的中点，∴BF=，EF=，又PA=2，由等积法可得V B﹣PEF=V P﹣BEF=S△BEF•PA==．19．（12分）已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动，为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（满分100分），得分取整数，抽取得学生的分数均在[50，100]内作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出的频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值；（2）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“升级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有1人得分在[90，100]内的概率．【解答】解：（1）由题意可知，样本容量n==50，y==0.004，x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.004=0.030．（2）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分数在[90，100）有2人，共7人．从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“升级学科基础知识竞赛”，基本事件总数n==21，所抽取的2名学生中恰有1人得分在[90，100]内包含的基本事件个数：m==10，∴所抽取的2名学生中恰有1人得分在[90，100]内的概率p=．20．（12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣bx（a、b为常数）．（1）当函数g（x）在x=2处取得极值﹣2．求函数g（x）的解析式；（2）当a=时，设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）由g（x）=ax2﹣bx可得g′（x）=2ax﹣b，且g（x）在x=2处取得极值﹣2．∴，可得解得a=，b=2．所求g（x）=x2﹣2x，（x∈R）．（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=lnx+x2﹣bx，h′（x）=（x＞0）．依题存在x＞0使h′（x）=＜0（x＞0），即存在x＞0使x2﹣bx+1＜0，∵不等式x2﹣bx+1＜0等价于b＞x+，∵x+≥2=2，当且仅当x=1时取等号，∴b＞2．所求b∈（2，+∞）．21．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，左、右焦点分别为F1、F2，点满足：F2在线段PF1的中垂线上．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A（2，0）、M、N，且∠NF2F1=∠MF2A，求k的取值范围．【解答】解：（1）解法一：椭圆C的离心率，得，其中椭圆C的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），、F2（c，0），又点F2在线段PF1的中垂线上，∴F1F2=PF2，∴解得c=1，a2=2，b2=1，∴椭圆C的方程为．…（6分）解法二：椭圆C的离心率，得，其中椭圆C的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），、F2（c，0），设线段PF1的中点为D，∵F1（﹣c，0），，∴，又线段PF1的中垂线过点F2，∴，即c=1，a2=2，b2=1，∴椭圆方程为（2）由题意，直线l的方程为y=k（x﹣2），且k≠0，联立，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，由△=8（1﹣2k2）＞0，得，且k≠0设M（x1，y1），N（x2，y2），则有，，（*）∵∠NF2F1=∠MF2A，且由题意∠NF2A≠90°，∴，又F2（1，0），∴，即，∴，整理得2x1x2﹣3（x1+x2）+4=0，，知上式恒成立，故直线l的斜将（*）代入得，率k的取值范围是．…（12分）请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点为O极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ=4．（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值．【解答】解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=4，展开可得：ρ2=4×ρ（cosθ﹣sinθ），可得直角坐标方程：x2+y2﹣4x+4y=0．（2）直线l的参数方程为：（t为参数），代入上述方程可得：t2+2t﹣4=0．t+t2=﹣2，t1t2=﹣4，1则=====．[选修4-5；不等式选讲]．23．已知函数f（x）=|x﹣a|（1）若f（x）≤m的解集为[﹣1，5]，求实数a，m的值（2）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）【解答】解：（1）∵f（x）≤m，∴|x﹣a|≤m，即a﹣m≤x≤a+m，∵f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，∴，解得a=2，m=3．（2）当a=2时，函数f（x）=|x﹣2|，则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价为|x﹣2|+t≥|x|．当x≥2时，x﹣2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾．当0≤x＜2时，2﹣x+t≥x，即0≤x≤，成立．当x＜0时，2﹣x+t≥﹣x，即t≥﹣2恒成立．综上不等式的解集为（﹣∞，]．。
江西省名校学术联盟2020届高三教学质量检测考试(二)数学(文)试卷(含答案)
江西名校学术联盟2018届高三年级教学质量检测考试（二）文科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为R ，集合}0|{2<-=x x x A ，}02|{2≤-+=x x x B ，则（ ）A ．B A ⊆ B ．A B ⊆C ．)(B C A R ⊆D ．R B A =2.已知等差数列}{n a 的前n 项和n S )(*N n ∈，若5253=S S ，则=126a a （ ） A ．4 B ． 2 C ． 41 D ．21 3.已知函数⎩⎨⎧>-≤-=+3),3(log 3,22)(212x x x x x f m ，其中R m ∈，则=+)43(m f （ ）A ． m 2B ．6C ． mD ． m 2或64.函数25ln )(xx x f =的单调递增区间为（ ） A ． ),0(e B ． ),(e -∞ C. ),0(e D ．),(+∞e5.已知R n m ∈,，则“1||||>+n m ”是“1-<n ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要6. 陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜”或“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，从前的制作材料多为木头，现代多为塑料或铁制，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，下图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网络纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（ ）A ．π3107B ．π33332+ C. π9932+ D ． π33316+ 7. 将函数ϕπϕsin )22cos(cos )sin 21()(2++-=x x x f 的图像向右平移3π个单位后，所得函数图像关于原点对称，则ϕ的取值可能为（ ）A ．65πB ．3π- C. 2π D ． 6π 8.已知正方形ABCD 如图所示，其中BD AC ,相较于O 点，J I H G F E ,,,,,分别为DO AO AD ,,，CO BO BC ,,的中点，阴影部分中的两个圆分别为ABO ∆与CDO ∆的内切圆，若往正方形ABCD 中随机投掷一点，则该点落在图中阴影区域内的概率为（ ）A ．2)22(1π-+B ．4)224(1π-+ C. 4)246(1π-+ D ．4)226(1π-+ 9.已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，准线为l ，点P 是抛物线C 上一点，过点P 作l 的垂线，垂足为A ，准线l 与x 轴的交点设为B ，若030=∠BAF ，且APF ∆的面积为312，则以PF 为直径的圆的标准方程为（ ）A ．12)3()32(22=++-y x 或12)3()32(22=-+-y xB ．12)32()3(22=++-y x 或12)32()3(22=-+-y xC. 8)3()32(22=++-y x 或8)3()32(22=-+-y xD ．8)32()3(22=++-y x 或8)32()3(22=-+-y x10. 已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1，点M 在线段BC 上（点M 异于C B ,两点），点N 为线段1CC 的中点，若平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为四边形，则线段BM 的取值范围为（ ）A ． ]31,0( B ．]21,0( C. ]32,21[ D ． )1,21[ 11.已知双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为21,F F ，过点1F 作圆Ω：4222a y x =+的切线l ，切点为M ，且直线l 与双曲线C 的一个交点N 满足a NF NF 2||||21=-，设O 为坐标原点，若OF 21=+，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．x y 23±=B ．x y 3±= C. x y 26±= D ．x y 6±= 12. 已知函数⎩⎨⎧≥++-<-=1,241|,)1(log |)(22x x x x x x f ，现有如下说法： ①函数)(x f 的单调增区间为)1,0(和)2,1(；②不等式2)(>x f 的解集为)4,43()3,( --∞； ③函数1)21(--+=xx f y 有6个零点. 则上述说法中，正确结论的个数有（ ）A ． 0个B ． 1个 C.2个 D ．3个二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知等比数列{}n a 的前n 项和n S )(*N n ∈，若6536=S S ，则数列{}n a 的公比为 ． 14.已知单位向量,满足||3|2|-=+，则,夹角的余弦值为 ．15. 已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤--44201y y x y x ，则y x z -=3的取值范围为 ．16.已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ac A b B 4cos 5cos 5+=，则=-B A A AA tan )2sin 2(cos 2cos tan 222 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项目，因其外形仿照古代海盗船而得名，现有甲、乙两游乐场统计了一天6个时间点参与海盗船游玩的游客数量，具体数据如下：（1）从所给6个时间点中任选一个，求参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少的概率；（2）记甲、乙两游乐场6个时间点参与海盗船游玩的游客数量分别为)6,5,4,3,2,1(,=i y x i i ，现从该6个时间点中任取2个，求恰有1个时间满足i i y x >的概率.18. 在如图所示的五面体ABCDEF 中，CD AB //，22==AD AB ，0120=∠=∠BCD ADC ，四边形EDCF 为正方形，平面⊥EDCF 平面ABCD .（1）证明：在线段AB 上存在一点G ，使得//EG 平面BDF ；（2）求EB 的长.19. 已知数列{}n a 的前n 项和n S )(*N n ∈，且2n S n =，数列}{n b 是首项为1、公比为q 的等比数列.（1）若数列}{n n b a +是等差数列，求该等差数列的通项公式；（2）求数列}{n n b n a ++的前n 项和n T .20. 已知ABC ∆中，角060=B ，8=AB .（1）若12=AC ，求ABC ∆的面积；（2）若点N M ,满足NC MN BM ==32||=BM ，求AM 的值.21. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为21，且椭圆C 过点)23,1(-，直线l 过椭圆C 的右焦点且与椭圆C 交于N M ,两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点)0,4(P ，求证：若圆)0(:222>=+Ωr r y x 与直线PM 相切，则圆Ω与直线PN 也相切.22.已知函数x m e x f x ln )(-=，),0(e m ∈，其中e 为自然对数的底数.（1）若2=m ，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线斜率；（2）证明：当)1,(em x ∈时，函数)(x f 有极小值，且极小值大于m .试卷答案1.【答案】A【解析】依题意，{}{}2001A x x x x x =-<=<<， {}{}22021B x x x x x =+-≤=-≤≤，故A B ⊆，故选A.2.【答案】D【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则113325105a d a d +=+，故1a d =，故61212a a =，故选D. 3.【答案】A【解析】依题意，343m +>，故()234log 42m m f m +==，故选A.4.【答案】C 【解析】依题意，()522ln 5ln x x f x x x ==，故()24312ln 12ln '55x x x x x f x x x ⋅--=⋅=⋅，令()'0f x >，解得0x <<，故选C.5.【答案】B 【解析】若1m n +>，可令12,2m n ==，可知充分性不成立；若1n <-，则1n >，则1m n n +≥>，故必要性成立，故“1m n +>”是“1n <-”的必要不充分条件，故选B. 6.【答案】B【解析】依题意，该陀螺模型由一个四棱锥、一个圆柱以及一个圆锥拼接而成，故所求几何体的体积221132442333233333V πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+，故选B. 7.【答案】D【解析】依题意，()()cos 2cos sin 2sin cos 2f x x x x ϕϕϕ=-=+，故向右平移3π个单位后，得到2cos 23y x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，故()232Z k k ππϕπ-=-+∈，则()6Z k k πϕπ=+∈，观察可知，故选D.8.【答案】C【解析】依题意，不妨设2AO =，则四边形EFOG 与四边形HIOJ 的面积之和为2S =；两个内切圆的面积之和为((2'2212S ππ=⨯⨯=-，故所求概率P =42461π）（-+=，故选C. 9.【答案】A【解析】作出辅助图形如下所示，因为030BAF ∠=，故060AFB PAF ∠==∠，由抛物线的定义可知PA PF =，故APF ∆为等边三角形，因为APF ∆的面积为，故PF PA AF ===，而12BF AF p ===，故点P 的横坐标为2BF PA -=，代入2y =中，解得6y =±，故所求圆的标准方程为(()22312x y -+±=，故选A.10.【答案】B【解析】依题意，当点M 为线段BC 的中点时，由题意可知，截面为四边形AMND 1，从而当210≤<BM 时，截面为四边形，当12BM >时，截面为五边形，故线段BM 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0，故选B.11.【答案】C【解析】因为12ON OF OM +=uuu r uuu r uuu r ，故1ON OM OM OF -=-uuu r uuu r uuu r uuu r ，即1MN F M =uuu r uuu u r ，故点M 为线段1F N 的中点；连接OM ，则OM 为12NF F ∆的中位线，且,,21N F OM a OM ⊥=故22NF OM a ==，且21F N F N ⊥；因为122NF NF a -=，故点N 在双曲线C 的右支上，所以13NF a =，则在12Rt NF F ∆中，由勾股定理可得，2221212NF NF F F +=，即()()22232a a c +=，解得c a ==b a =，故双曲线C 的渐近线方程为y x =，故选C.。
2020年江西省南昌市高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)
2020年江西省南昌市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 复数z 1=2−i ，z 2=12−i ，则|z 1z 2|=( ) A. 52 B. 5 C. 254 D. 252. 设集合A ={x ∈Z|x 2≤1}，B ={−1,0,1,2}，则A ∩B =( )A. {−1,1}B. {0}C. {−1,0，1}D. [−1,1]3. 已知空间内两条不同的直线a ，b ，则“a // b ”是“a 与b 没有公共点”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知函数f(x)={2e x−1,(x <2)log 3(x 2−1),(x ≥2)，则不等式f(x)>2的解集为( ) A. (1,2)⋃(3,+∞)B. (√10,+∞)C. (1,2)⋃(√10,+∞)D. (1,2)5. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x =2对称，当0<x <2时，f(x)=2x+2−x ，则f(5)=( )A. 3B. −3C. 7D. −76. 已知▵ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2c ，sinA =2cos2C ，则角A 等于( )A. π6B. π2C. 2π3D. 5π6 7. 已知a ⃗ ，b ⃗ 为单位．．向量，且|a ⃗ +b ⃗ |=√2|a ⃗ −b ⃗ |，则a ⃗ 在a ⃗ +b ⃗ 上的投影为( ) A. 13 B. −2√63 C. √63 D. 2√238. 直线4x −3y =0被圆(x −1)2+(y −3)2=10所截得弦长为( )A. 3B. 3√2C. 6D. 6√29. 函数f(x)=e x x 的图象大致为( )A. B. C. D.10. 已知F 是抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过C 上一点M 作其准线的垂线，垂足为N ，若∠NMF =120°，则|MF|=( ) A. 23 B. 2√33 C. 43 D. 4√3311. 春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆——桔槔，后发展成辘轳，19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道在等高图的上垂直投影，在A 处测得B 处的仰角为37度，在A 处测得C 处的仰角为45度，在B 处测得C 处的仰角为53度，A 点所在等高线值为20米，若BC 管道长为50米，则B 点所在等高线值为(参考数据sin37∘=35)A. 30米B. 50米C. 60米D. 70米 12. 已知函数f(x)=3sinωx 在区间[−π3,π4]上的最小值为−3，则ω的取值范围是( )A. (−∞,−92]∪[6,+∞)B. (−∞,−92]∪[32,+∞) C. (−∞,−2]∪[6,+∞)D. (−∞,−2]∪[32,+∞) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足{x −y ≤02x +y −6≤0x ≥−1，则x +y 的最大值为______．14. 已知a >0，b >0，且ab =1，则12a +12b +8a+b 的最小值为______．15. 设P 是双曲线x 2a 2−y 29=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x −2y =0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|=3，则|PF 2|的值为______．16. 已知四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是边长为3的正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD =6，E 为PD中点，过EB 作平面α分别与线段PA 、PC 交于点M ，N ，且AC // α，则PM PA =________.四边形EMBN 的面积为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82，81，79，78，95，88，93，84乙：92，95，80，75，83，80，90，85(1)用茎叶图表示这两组数据；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．18. 已知等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)，前n 项和为S n ，且满足____________.(从①S 10=5(a 10+1))；②a 1,a 2,a 6成等比数列；③S 5=35，这三个条件中任选两个．．补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题)(Ⅰ)求a n ；(Ⅱ)若b n=1，求数列{a n b n}的前n项和T n．2n19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB//CD，AB=2AD=2CD=2.E是PB的中点．(Ⅰ)求证：平面EAC⊥平面PBC；(Ⅱ)若PB=2，求三棱锥P−ACE的体积．20.已知函数f(x)=e x−ax，其中a∈R，e为自然对数的底数．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a>0时，求函数f(x)在[0,a]上的最大值．21.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x24+y22=1，其左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)？请证明你的结论．22.平面直角坐标系xOy中，抛物线E顶点在坐标原点，焦点为(1,0).以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求抛物线E的极坐标方程；(Ⅱ)过点A(3,2)倾斜角为α的直线l交E于M，N两点，若|AN|=2|AM|，求tanα．23.已知函数f(x)=|x|+|x+1|．(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)≥2；(Ⅱ)若a，b，c∈R+，函数f(x)的最小值为m，若a+b+c=m，求证：ab+bc+ac≤1．3-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查复数的模，属于基础题．根据复数模的性质可得结果．解：|z 1z 2|=|z 1||z 2|=√22+(−1)2⋅√(12)2+(−1)2=√5×√52=52． 故选A ．2.答案：C解析：本题考查了交集及其运算，是基础题．解：集合A ={x ∈Z|x 2⩽1}={−1,0,1}，B ={−1,0,1,2}，∴A ∩B ={−1,0，1}，故选C ．3.答案：A解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间直线的位置关系是解决本题的关键，属于基础题．根据充分条件和必要条件的定义进行判断．解：空间内两条不同的直线a ，b ，若，⇒与b 没有公共点，若“a 与b 没有公共点，不能推出“a // b ”因为a ，b 可能平行，也可能为异面，故空间内两条不同的直线a ，b ，则“a // b ”是“a 与b 没有公共点”的充分不必要条件，故选A ．4.答案：C解析：本题考查分段函数，不等式求解．根据已知函数解析式分段求解f(x)>2即可． 解：函数则不等式f(x)>2即为{2e x−1>2x <2或，解得1<x <2，或x >√10即原不等式的解集为．故选C ． 5.答案：D解析：解：由题意可得f(x +2)=f(−x +2)，所以f(5)=f(3+2)=f(−3+2)=f(−1)=−f(1)=−(23−1)=−7．故选：D ．由已知结合函数的对称性可得f(x +2)=f(−x +2)，从而可把f(5)转化到已知区间上，代入可求． 本题考查函数的性质，考查运算求解能力与推理论证能力．6.答案：B解析：本题考查了正弦定理及二倍角公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由正弦定理可得，sinA =2sinC ，进而利用二倍角公式求出sinC =12，则可得sin A ，结合A 的范围，可得角A 的大小．解：由正弦定理，得a sinA =c sinC ，又a =2c ，则sinA =2sinC ，∵sin A =2cos 2C ，。
江西省南昌市2020届高三下学期二模(文科)数学试卷
等高线
等高线：指的是地形图上 海拔高度相等的相邻各点 所连成的封闭曲线
的仰角为 37 度，在 A 处测得 C 处的仰角为 45 度，在 B 处测得
C 处的仰角为 53 度，A 点所在等高线值为 20 米，若 BC 管道长
为 50 米，则 B 点所在等高线值为(参考数据 sin 37 3 ) 5
A. 30 米
1. 复数 z1 1 3i ， z2 3 i ， z z1 z2 ，则| z |
A. 3
B. 2
C. 2 3
D. 4
2. 集合 A {x | y 4 x2 }, B {y | y 4 x2 } ，则 A B
A.
B.[2, 2]
C.[0, 2]
D.2
3. 已知空间内两条不同的直线 a, b ，则“ a / / b ”是“ a 与 b 没有公共点”的
=
1 2n
，求数列{anbn}的前 n
项和 Tn
．
19.（12 分）如图所示，四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是以 AB, CD 为底边的等腰梯
形，且 AB 2AD 4 ， DAB 60o ， AD D1D ．
D1
C1
（Ⅰ）求证：平面 D1DBB1 平面 ABCD ； （Ⅱ）若 D1D D1B 2 ,求三棱锥 D CC1B 的体积．
个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分 17.（12 分）甲、乙两位战士参加射击比赛训练.从若干次预赛成绩中随机抽取 8 次，记录如下：
甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85
（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据，并分别求两组数据的中位数； （Ⅱ）现要从中选派一人参加射击比赛，从统计学的角度考虑， 你认为选派哪位战士参加合适？请说明理由.
2020-2021学年江西省高考数学二模试卷(文科)及答案解析
江西省高考数学二模试卷(文科)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U=R,集合A={y|y=X— 2}, B={x|y=log (3 —x),贝U ( ? U A) A B=( )A. {x|- 2<x< 3}B. {x|x0 - 2}C. {x|x< - 2}D. {x|x< 3}2.已知i为虚数单位，则尤丁的实部与虚部之积等于( )A.& B用C卷D D千3.九江气象台统计，5月1日滑阳区下雨的概率为白，刮风的概率为白，既刮风又ID下雨的概率为圉，设A为下雨，B为刮风，那么P (A|B)=( )A- i B 1 C- f D- i4. z\ABC的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c,若ssC=一—, bcosA+acosB=2则△ ABC的外接圆的面积为( )A. 4 冗B. 8 冗C. 9 冗D. 36 冗2 25.双曲线七-方二1 (a, b>0)离心率为、乃，左右焦点分别为R, F2, P为双曲线右支上一点，/ RPF2的平分线为l,点F I关于l的对称点为Q, |F2Q|=2,则双曲线方程为(A . y 2=i 6 .要得到函数y=sin (2x+^-)得图象，只需将y=sin2x 的图象( JA.向左平移-个单位B.向右平移-个单位 6 &C.向左平移耍个单位D.向左平移g 个单位 J J7 .北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术，所谓隙积，即 枳之有隙”者，如 累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积，设隙积共 n 层，上底由a>b 个物体 组成，以下各层的长、宽依次各增加一个物体，最下层(即下底)由c>d 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为 S=r [ (2b+d) a+ (b+2d) 知由若干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图如图所示，则该垛积中所有小 球的个数为(A. 83B. 84C. 85D. 868 .已知 a=log 0.a 4, b=log 43, c=0.3 2,则 a, b, c 的大小关系是( A. c<a<b B. b<a<c C. a< c< b D. a< b< c o 088 - ----nd 离 XVAXX XXYWAKr C k l J ooc'_"J _TB r_I ( I- -fl --- 1 J ooooc ' ■2 B. x 2- =12 2D .丁 y 2=i(c —a).已,则函数f （x） =1*2x的图象大致为（A. a i+x）（8+先（a o+ax。
2020年江西省南昌市高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)
2020年江西省南昌市高考数学二模试卷（文科）题号一二三总分得分1236.01. 已知集合A={x|x2-x-2>0}，B={x|0<x<3}，则A∩B 等于（）C.4. 己知角的顶点在坐标原点，始边为A. -B. -5. 已知抛物线y2=8 x的焦点为F，点P在该抛物线上，且P在y轴上的投影为点E，则|PF|-|PE|的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知圆锥的侧面展开图为四分之三个圆面，设圆锥的底面半径为r，母线长为l ，有以下结论：① l：r=4：3；②圆锥的侧面积与底面面积之比为4：3；③圆锥的轴截面是锐角三角形．其中所有正确结论的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③7. 某市教育局卫生健康所对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100 名学生，他们身高都处于A，B，C，D，E 五个层次，根据抽样结果得到如下统计图表，则从图表中不能得出的信息是（）2.3.A. （-1，3）B. （0，3）C. （1，3）已知a，b∈R，复数z=a-bi，则|z|2= （）D. （2，3）A. a2+b2-2abiB. a2-b2-2abiC. a2-b2D. a2+b2已知函数，命题，若p 为假命题，则实数 a 的取值范围是D.x 轴非负半轴，终边过点P（2,－1），则cos2 等于（）A. 样本中男生人数少于女生人数C. 样本中 D 层次身高的男生多于女生B. 样本中 B 层次身高人数最多D. 样本中 E 层次身高的女生有3人）10. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐 含着一个有趣的数学问题 --“将军饮马”问题， 即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发， 先到 河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2+y 2≤1，若将军从点 A （ 2，0）处出发，河岸线所在直线方程为 x+y=3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. -1 B. 2 C. 2 D.11. 已知一个四棱锥的三视图如图（网络中的小正方形边长为 1），则该四 棱锥的侧面中直角三角形的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 412. 已知双曲线 E ： - =1（ a > 0，b >0）的焦距为 2c ，圆 C 1：（ x-c ）2+y 2=r 2（ r >0）与圆 C 2： x 2+、填空题（本大题共 4 小题，共 12.0分）与 的夹角为 ，| |=2，| |=1，则 ?（ ） =14. 已知实 x ，y 满足 ，则 2x+y 的最小值是 _____15. 已知函数 f （x ）对于任意实数 x 都有 f （ -x ） = f （ x ），且当 x ≥0时，f （x ）=e x -sinx ，若实数 a满 足 f （log 2a ）< f （ 1），则 a 的取值范围是 ．8.已知函数 f （x ）=Asin （ωx+φ）（ A >0， 所示，若将 f （ x ）图象上的所有点向左平移 象，则函数 g （ x ）的单调递增区间是（A. [k π- ，k π- ] （k ∈Z ）B. [k π- ， k π ] （ k ∈Z ）C. [k π- ，k π ] （k ∈Z ）D. π， π （ ∈）9. 已知正实数 a ，b ，c 满足 log a 2=2，log 3b= ，c 6= ，则 a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a <b < cB. a < c < bC. c < b < aD. b < a < cy-m ）2=4r 2（m ∈R ）外切，且 E 的两条渐近线恰为两圆的公切线，则 E 的离心率为（A. B. C.13. 已知平面向量16. 已知平行四边形 ABCD 中， AB=AC ，BD=6，则此平行四边形面积的最大值为 ______ ．三、解答题（本大题共 7 小题，共 84.0分）17. 已知数列 { a n }是公差不为零的等差数列， a 1=1，且存在实数 λ满足 2a n+1=λa n +4， n ∈N +． （ 1）求 λ的值及通项 a n ；（ 2）求数列 { a } 的前 n 项和 S n ．矩形 ABCD 中，AB=3，BC=1，E 、F 是边 DC 的三等分点．现将 △DAE 、△CBF 分别沿 19. 已知椭圆 C ： =1（a >b >0），点 M 是C 长轴上的一个动点， 过点 M 的直线 l 与 C 交于 P ，Q 两点，与 y 轴交于点 N ，弦 PQ 的中点为 R ．当 M 为 C 的右焦点且 l 的倾斜角为 时， N ， P重合， |PM |=2． （ 1）求椭圆 C 的方程；（2）当 M ，N 均与原点 O 不重合时， 过点 N 且垂直于 OR 的直线 l ′与 x 轴交于点 H ．求证： 为定值．18. 如图，1）若 G 为线段 AB 上一点，且 AG=1，求证： DG ∥平面CBF ；2）求多面体 CDABFE 的体积．20. 某品牌餐饮公司准备在10 个规模相当的地区开设加盟店，为合理安排各地区加盟店的个数，先在其中 5 个地区试点，得到试点地区加盟店个数分别为1，2，3，4，5 时，单店日平均营业额y加盟店个数x（个）12345单店日平均营业额y（万元）10.910.297.87.1（1）求单店日平均营业额y（万元）与所在地区加盟店个数x（个）的线性回归方程；（2）根据试点调研结果，为保证规模和效益，在其他 5 个地区，该公司要求同一地区所有加盟店的日平均营业额预计值总和不低于35 万元，求一个地区开设加盟店个数m 的所有可能取值；（3）小赵与小王都准备加入该公司的加盟店，根据公司规定，他们只能分别从其他五个地区（加盟店都不少于 2 个）中随机选一个地区加入，求他们选取的地区相同的概率．21. 已知函数f（x）＝lnx＋ax，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）当时，证明：x3>f（x）．x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcos-2θ=0，点P的极坐标是（，参考数据及公式：x i y i=125，=55 ，线性回归方程22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，，以坐标原点为极点，直线l 的参数方程为t 为参数）1）求直线l 的极坐标方程及点P 到直线l的距离；2）若直线l 与曲线C交于M，N两点，求△PMN 的面积．23. 已知为正实数，函数.（1）求函数的最大值；（2）若函数的最大值为 1 ，求的最小值.答案与解析1. 答案： D解析： 解： A={ x|x <-1，或 x >2} ； ∴A ∩B=（ 2， 3）． 故选： D ．可求出集合 A ，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2. 答案： D解析： 解：因为复数 z=a-bi ， 所以 |z|= ， 故|z|2=a 2+b 2， 故选： D ．根据复数 z=a-bi ，先求出 |z|，然后再求出 |z|2．本题考查了复数模的问题，解决问题的关键对 |z|2 的正确理解．本题属于基础题．3. 答案： C解析： 解：因为 p 为假命题，所以￢ p 为真命题， 即不存在 x 0∈R ，使 f （ x 0） =0 ， 故 △=1-4 a 2< 0， 解得： ， 故选： C ．直接利用命题 p 为假命题，即不存在 x 0∈R ，使 f （x 0）=0，根据这个条件得出实数 a 的取值范围． 本题考查的知识要点：命题的否定，解题的关键是要将假命题转化为真命题，从而来解决问题．4. 答案： C解析： 解：由题得点 P 到原点的距离为= ，故选： C ．先求出点 P 到原点的距离为 ，再利用三角函数的坐标定义求出 cos α，再利用二倍角的余弦求 cos2α 的值．本题主要考查三角函数的定义和二倍角公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理 计算能力．5. 答案： B解析： 解：因为抛物线 y 2=8x ， 所以抛物线的准线方程为 x=-2， 因为 P 在 y 轴上的投影为点 E ， 所以|PE|即为点 P 到 x=-2的距离减去 2， 因为点 P 在该抛物线上， 故点 P 到 x=-2的距离等于 |PF|，cos 所以cos2α =2co 2s α-1=2所以，|PE|=|PF |-2，故|PF|-|PE|=2，故选：B．P在y轴上的投影为点E，由抛物线的定义可得，|PE|=|PF|-2，故可得结果．本题考查了抛物线的定义，解决问题的关键是要利用抛物线的定义将|PE|进行转化．6. 答案：A解析：解：①，由题意得= ，可得l：r=4：3，所以该结论正确；②，由题意得= = = ，所以圆锥的侧面积与底面面积之比为4：3，所以该结论正确；③，由题得轴截面的三角形的三边长分别为，，2r ，顶角最大，其余弦为=- < 0，所以顶角为钝角，所以轴截面三角形是钝角三角形，所以该结论错误．故选：A．利用圆锥的侧面展开图和圆锥的关系可判断①；由圆锥的侧面积和底面积计算可判断②；由余弦定理计算可判断③．本题主要考查圆锥的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．7. 答案：C解析：解：A．样本中男生人数为4+12+10+8+6=40 ，女生人数为100-40=60 ，所以样本中男生人数少于女生人数，所以该选项是正确的；B．因为男生中 B 层次的比例最大，女生中 B 层次的比例最大，所以样本中 B 层次身高人数最多，所以该选项是正确的；C．样本中 D 层次身高的男生有8人，女生 D 层次的有60×15%=9，所以样本中 D 层次身高的男生少于女生，所以该选项是错误的；D．样本中E层次身高的女生有60×5%=3 人，所以该选项是正确的．故选：C．结合已知和两个统计图表，对每一个选项逐一分析判断得解．本题主要考查统计图表，考查比例和样本频数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．8. 答案：A解析：【分析】本题考查了求三角函数解析式问题、三角函数图象平移问题、三角函数单调性问题，解决问题的关键是要能由函数图象得出函数解析式，属于中档题.根据三角函数的图象得出函数f（x）解析式，然后根据平移规则得出函数g（x）的图象，从而得出函数g（x）的单调区间．【解答】解：由图可得解得ω=2，将点代入函数f（x）=Asin（2x+φ），即，因为| φ<|，所以φ=，故函数f（x）= Asin（2x+ ），因为将f（x）图象上的所有点向左平移个单位得到函数g（x）的图象．所以，当（k∈Z）时,解得：（k∈Z ），故当x∈[ ]（k∈Z）时，g（x）单调递增，故选：A．9. 答案：B解析：解：由题得a2=2，；∴a6=8，b6=9，且；∵，a，b，c 都是正数；∴a<c<b．故选：B．先求出a6=8，b6=9，从而得出a6< c6< b6，根据a，b，c为正数即可得出a，b，c 的大小关系．考查对数的定义，对数式与指数式的互化，以及指数幂的运算，幂函数的单调性．10.答案：A解析：解：设点A关于直线x+y=3 的对称点A'（a，b），AA'的中点为（，），解得要使从点 A 到军营总路程最短，即为点A'到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为，故选：A．先求出点A关于直线x+y=3 的对称点A'，点A'到圆心的距离减去半径即为最短．本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题．11.答案：C解析：解：由题得几何体原图是如图所示的四棱锥P-ABCD ，在四个侧面中，有∠PBA= ∠PCD = ∠CPB =90°，△PAD 是等边三角形．所以该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为：3．故选：C．先找到几何体原图，再确定侧面直角三角形的个数得解．本题主要考查三视图还原几何体，考查空间几何元素位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．12.答案：C解析：解：双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0，故C1（c，0）到渐近线的距离为=r ，即b=r，设圆C1与圆C2的切点为M，则OM ⊥C1C2，故Rt△OMC 1∽Rt△C2OC1，于是= ，即，故c= r ，∴a= r ，∴双曲线的离心率e= = = ．故选：C．根据三角形相似和距离公式得出a，b，c与r 的关系即可得出离心率．本题考查了双曲线的性质，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．13.答案：3解析：解：由题平面向量与的夹角为，| |=2，| |=1，得?（）= =4-2×=3．故答案为：3．直接利用数量积的运算法则求解．本题主要考查数量积的运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力．14.答案：-4解析：解：先作出不等式组对应的可行域，如图所示，设z=2x+y，所以y=-2 x+ z，当直线经过点 A 时，直线的纵截距最小，z最小，联立得A（-2，0），所以z最小=2×（-2）+0=-4 ．故答案为：-4．先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得到2x+y 的最小值．本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．15.答案：（，2）解析：解：∵任意实数x 都有f（-x）=f（x），∴f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=e x-sinx，即f′（x）=e x-cosx>0，即f（x）为增函数，则f（log 2a）< f （1），等价为f（|log2a|）< f（1），即|log 2a|< 1，即-1< log 2a< 1，即实数 a 的取值范围是故答案为：，2）根据条件判断函数的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化进行求解即可．本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．16.答案：3解析：解：平行四边形ABCD 中，AB=AC，BD=6，如图所示；则OB=3，设AB=2 x，∠BAC =θ，θ∈（0，π），则AO=x；△AOB 中，由余弦定理得32=4x2+x2-2?2x?x?cos θ，∴x2= ，∴ = ，∴平行四边形的面积为：S=2S△ABC =2? ?2x?2xsin θ=4x2sin θ=4? ?sin θ当且仅当tan θ=时取“ =”，∴平面四边形ABCD 面积的最大值为 3 ．故答案为： 3 ．根据题意设AB=2x，∠BAC=θ，利用余弦定理求得x2，再计算平行四边形的面积与它的最大值．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．17. 答案：解：（1）设等差数列{ a n}的公差为d，由存在实数λ满足2a n+1=λa n+4①，得2a n=λa n-1+4②，①-②得，2d=λd，又因为d≠0，解得λ=2；将λ =2代入① 可得：a n+1-a n=2，即d=2 ，又因为a1=1，所以a n=2n-1．2）由（1）可得：=2n+1-（2n+1 ），所以：，===2n+2-n2-2n-4解析：（1）设出等差数列的公差d，然后退位相减便可得结果；（2）求出数列{a }的通项公式，然后利用分组求和法解出数列的前n 项和S n．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求出数列的和，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18. 答案：证明：（1）分别取AE，BF 的中点M，N，连接DM ，CN，MG，MN，因为AD=DE=1，∠ADE=90°，所以DM ⊥AE，且DM= ．因为BC=CF=1，∠BCF=90°，所以CN⊥BF，且CN= ．因为面DAE 、面CBF 均与面ABFE 垂直，所以DM ⊥面ABFE，CN⊥面ABFE ，所以DM ∥CN，且DM=CN．因为AM=AGcos45°，所以∠AMG=90°，所以△AMG 是以AG 为斜边的等腰直角三角形，故∠MGA =45°，而∠FBA=45°，则MG ∥FB，故面DMG ∥面CBF ，则DG∥面CBF．解：（2）如图，连接BE，DF，由（1）可知，DM ∥CN，且DM=CN，则四边形DMNC 为平行四边形，故DC=MN= =2．因为V=V D-ABE+V B-EFCD=V D-ABE+3V B-DEF ．所以V= +3× （）×1= ．解析：（1）分别取AE，BF 的中点M，N，连接DM ，CN，MG，MN，先证明DM ∥CN，再证明面DMG ∥面CBF，即证DG∥面CBF ．（2）连接BE，DF ，利用割补法和体积变换V=V D-ABE+V B-EFCD=V D-ABE+3V B-DEF ．求多面体CDABFE 的体积．本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．19. 答案： （1）解： ∵当 M 为 C 的右焦点，且 l 的倾斜角为，又 a 2=b 2+c 2，解得 b=1， c= ，∴椭圆 C 的方程为 ；（ 2）证明：设直线 l ：y=kx+m （k ≠0）， P （x 1，y 1）， Q （ x 2， y 2），将 y=kx+m 代入 得：（ 1+4k 2） x 2+8kmx+4m 2-4=0，∴R （1）根据题意得到关于 a ，b ，c 的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；2）设直线 l ：y=kx+m （ k ≠0），P （x 1，y 1），Q （ x 2，y 2），联立直线和椭圆的方程得到 R （本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是中档题．将 =3， =9 代入，得 a=9-（ -3） =12，故所求线性回归方程为 =-x+12．（ 2）根据题意， m （12-m ）≥35，解得： 5≤m ≤7，又 m ∈Z +，所以 m 的所有可能取值为 5， （3）设其他 5个地区分别为 A ，B ，C ，D ，E ，他们选择结果共有 25 种，具体如下： AA ， AD ，AE ，BA ，BB ，BC ，BD ，BE ，CA ，CB ，CC ，CD ，CE ，DA ，DB ，DC ，DD ，DE ，EA ，EB EE ， 其中他们在同一个地区的有 5 种，所以他们选取的地区相同的概率 P= 解（1）利用最小二乘法求线性回归方程；，N ，P 重合， |PM |=2．∴直线 l ′的方程为 y=4 kx+m ，点 H 的坐标为（ -，0）， 又∵点 M （ ，0）， ∴为定值．点 H 的坐标为（），再求 为定值．）， 解析： 20.答案： 解（ 1）由题可得，=3， =9，设所求线性回归方程为 = x+a ， 则==-1， ，6，7． AB ，AC ， EC ．ED ，），则 ．2）解不等式 m （12-m ）≥35得一个地区开设加盟店个数 m 的所有可能取值；（3）利用古典概型的概率求选取的地区相同的概率．本题主要考查线性回归方程的求法，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解 掌握水平和分析推理能力．属中档题．21. 答案： 解：（ 1）f （ x ）的定义域为（ 0，+∞）．由已知， f ′（ x ） = = ，①当 a ≥0时， f ′（ x ）≥0恒成立，此时 f （x ）在（ 0，+∞）．上单调递增；②当 a < 0时，令 f ′（ x ）> 0恒，得 x ，所以 f （ x ）在（ 0， - ）上单调递增，在（ - ）上单调递减．综上所述，当 a ≥0时， f （x ）的单调增区间为（ 0，+∞），无单调递减区间；当 a < 0时， f （x ）的单调递增区间为（ 0，- ），单调递减区间为（ - ）．（ 2）考虑到 x >0 时 x-1≥lnx ，欲证 x 3>ln x+ ，只要证明-1，令 g （x ）= ， x >0， 则 g ′（ x ）= ，令则 g ′（ x ）=0，可得 x 0= ， 且当 x ∈（0，x 0）时 g ′（x ）<0，当 x ∈（x 0，+∞）时 g ′（ x ）>0， 所以 g （ x ）在∈（0，x 0）上单调递减，在 x ∈（x 0，+∞）上单调递增，因为 ，所以 ，所以 g （x ） ≥g （ x 0）> 0，即 x 3>（ x-1）+ 只恒成立，所以 x 3>ln x+ 恒成立，即 x 3>f （x ）解析： （1）对 a 分 a ≥0和 a < 0讨论，利用导数求函数的单调区间；（2）x >0 时，x-1≥lnx ，欲证： x 3> ln x+ 只需证明-1，再构造函数 g （x ）= ，x >0，利用导数求函数的最小值 g （ x 0），即得证．本题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式和求函数的最值，意在考查学 生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力． 22.答案： 解（ 1）由 消去 t ，得到 y= ，则 ρ sin θ=ρ cos ，θ ∴θ=，所以直线 l 的极坐标方程为 θ=（ ρ∈R ）．所以 g （ x ） ≥g（ x ）点P（，）到直线l 的距离为d= ×sin （- ）（2）由，得，ρ2-ρ-2=0 所以ρ1+ρ2=1 ，ρ1ρ2=-2所以，|MN |=| 1ρ-ρ2|= =3则△PMN 的面积为．S△PMN= |MN| ×d= ×= ．解析：（1）现将直线方程转化为普通方程，再利用公式求出直线的极坐标方程，进而可得点到直线的距离；（2）在极坐标下，利用韦达定理求出MN 的长度，从而得出面积．本题考查了直线的极坐标方程与普通方程的互化以及在极坐标下求解直线与曲线的弦长问题，利用韦达定理是解题的关键．属中档题．23. 答案：解：（1）因为f（x）=|x-a|-|x+2b| ≤（|x-a）-（x+2b）|=a+2b．，所以函数f（x）的最大值为a+2b．（2）由（1）可知，a+2b=1，因为a2+4b2≥4ab，所以2（a2+4b2）≥a2+4b2+4ab=（a+2b）2=1，即a2+4b2≥，且当a=2b= 时取“ =”，所以a2+4b2的最小值为解析：本题考查了基本不等式、绝对值不等式等知识，运用基本不等式时，要注意题意是否满足正、二定、三相等”的条件，熟练运用绝对值不等式也是解决本题的关键．（1）利用绝对值不等式公式进行求解；（2）由（1）得a+2b=1，再根据基本不等式可得a2+4b2的最小值．。
2020届江西省名校联盟高三第二次联考数学(文)试卷
2020届江西省名校联盟高三第二次联考文科数学试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
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5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|32}A x x =-<<，1{|2}4xB x =≥，则A B =（ ）A ．(2,2)-B ．(32]--，C ．（－3,－2)D ．[2,2)-2．已知复数(3)(2)z m i i =+-+在复平面内对应的点在第三象限，则实数m 的取值范围是（ ）A ．∞（－,1)B ．2)3∞（－, C ．213（，） D ．2)(1,)3∞+∞（-,3．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽（cōng ），周四丈八尺，高一丈一尺。
问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺。
2020年江西省高考(文科)数学(6月份)模拟试卷 (解析版)
2020年江西省高考数学模拟试卷（文科）（6月份）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣4x≤0}，B＝{x|2﹣x＞0}，则A∩B＝（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|x＜2}C．{x|0≤x≤4}D．{x|x≤4}2．复数z＝，则＝（）A．B．C．D．3．已知|＝2，＝，•＝3，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．4．随着社会的发展与进步，传播和存储状态已全面进入数字时代，以数字格式存储，以互联网为平台进行传输的音乐﹣﹣数字音乐已然融入了我们的日常生活．虽然我国音乐相关市场仍处在起步阶段，但政策利好使音乐产业逐渐得到资本市场更多的关注．对比如下两幅统计图，下列说法正确的是（）A．2011～2018年我国音乐产业投融资事件数量逐年增长B．2013～2018年我国录制音乐营收与音乐产业投融资事件数量呈正相关关系C．2016年我国音乐产业投融资事件的平均营收约为1.27亿美元D．2013～2019年我国录制音乐营收年增长率最大的是2018年5．已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+3y﹣4的最小值为（）A．0B．2C．6D．306．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5＝1，a8＝9，则S12＝（）A．30B．60C．90D．1208．已知函数f（x）＝4sin（3x﹣）的定义域为[0，m]，值域为[﹣2，4]，则m的取值范围是（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）的图象关于直线x＝2对称，当0＜x ＜2时，f（x）＝2x+2﹣x，则f（5）＝（）A．3B．﹣3C．7D．﹣710．在四面体ABCD中，BD＝AC＝2，AB＝BC＝CD＝DA＝，E，F分别为AD，BC 的中点，则异面直线EF与AC所成的角为（）A．B．C．D．11．设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点Q（0，b）．已知点P在双曲线C的左支上，且P，Q，F不共线，若△PQF的周长的最小值是8a，则双曲线C 的离心率是（）A．3B．C．5D．12．设函数f（x）是定义在R上的单调函数，且∀x∈R，f（f（x）﹣e x）＝e+1．若函数g （x）＝f（x）﹣k（x+2）有两个零点，则k的取值范围是（）A．（e，+∞）B．（1，e]C．（1，+∞）D．（0，1）二、填空题：把答案填在答题卡中的横线上．13．已知函数f（x）＝log2（x+1）+3，若f（a+2）＝5，则a＝．14．辊子是客家传统农具，南方农民犁开田地后，仍有大的土块．农人便用六片叶齿组成辊轴，两侧装上木板，人跨开两脚站立，既能掌握平衡，又能增加重量，让牛拉动辊轴前进，压碎土块，以利于耕种．这六片叶齿又对应着菩萨六度，即布施、持戒、忍辱、精进、禅定与般若．若甲、乙每人依次有放回地从这六片叶齿中随机取一片，则这两人选的叶齿对应的“度”相同的概率为．15．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，直线l：y＝kx+b（k≠0）与抛物线C交于A，B两点，且|AF|+|BF|＝6，线段AB的垂直平分线过点M（0，4），则抛物线C的方程是；若直线l过点F，则k＝．16．在数列{a n}中，a1＝1，且a n+1＝3a n+（﹣1）n，则a n＝．（用含n的式子表示）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．针对某新型病毒，某科研机构已研发出甲、乙两种疫苗，为比较两种疫苗的效果，选取100名志愿者，将他们随机分成两组，每组50人．第一组志愿者注射甲种疫苗，第二组志愿者注射乙种疫苗，经过一段时间后，对这100名志愿者进行该新型病毒抗体检测，发现有的志愿者未产生该新型病毒抗体，在未产生该新型病毒抗体的志愿者中，注射甲种疫苗的志愿者占．（1）根据题中数据，完成答题卡上的列联表；产生抗体未产生抗体合计甲乙合计（2）根据（1）中的列联表，判断能否有95%的把握认为甲、乙两种疫苗的效果有差异．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.100.050.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.82818．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4c＝b+4a cos B．（1）求sin A；（2）若c＝6，AD为∠BAC的角平分线，D在BC上，且AD＝，求b．19．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，E为AC的中点，且AC＝2BE．（1）证明：BC⊥平面PAB．（2）若PA＝AB＝BE＝2，求点C到平面PBE的距离．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆C的右顶点到直线x﹣y+＝0的距离为3．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（2，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值（O为坐标原点）．21．（1）试比较2lnx与x﹣的大小．（2）若函数f（x）＝x﹣lnx﹣m的两个零点分别为x1，x2，①求m的取值范围；②证明：x1+x2＜2m．（二）选考题[选修4-4，坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（m为参数）．（1）求曲线C1，C2的普通方程；（2）已知点M（2，1），若曲线C1，C2交于A，B两点，求||MA|﹣|MB||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）若函数f（x）的最小值为m，且实数a，b满足a2+b2＝2m，求3a+4b的最大值．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣4x≤0}，B＝{x|2﹣x＞0}，则A∩B＝（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|x＜2}C．{x|0≤x≤4}D．{x|x≤4}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：因为A＝{x|x2﹣4x≤0}＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|2﹣x＞0}＝{x|x＜2}，所以A∩B＝{x|0≤x＜2}．故选：A．2．复数z＝，则＝（）A．B．C．D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．解：∵，∴．故选：B．3．已知|＝2，＝，•＝3，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【分析】根据向量数量积的计算公式便可由条件求出cos的值，根据向量夹角的范围便可得出向量的夹角．解：根据条件，＝；∴；又；∴向量的夹角为．故选：D．4．随着社会的发展与进步，传播和存储状态已全面进入数字时代，以数字格式存储，以互联网为平台进行传输的音乐﹣﹣数字音乐已然融入了我们的日常生活．虽然我国音乐相关市场仍处在起步阶段，但政策利好使音乐产业逐渐得到资本市场更多的关注．对比如下两幅统计图，下列说法正确的是（）A．2011～2018年我国音乐产业投融资事件数量逐年增长B．2013～2018年我国录制音乐营收与音乐产业投融资事件数量呈正相关关系C．2016年我国音乐产业投融资事件的平均营收约为1.27亿美元D．2013～2019年我国录制音乐营收年增长率最大的是2018年【分析】仔细观察统计图，利用统计图的性质直接求解．解：对于A，2013年我国音乐产业投融资事件数为10，比2012年我国音乐产业投融资事件数11少，故A错误；对于B，由图可知2013～2018年我国录制音乐营收随音乐产业投融资事件数量的增加而增加，故呈正相关关系，故B正确；对于C，2016年我国音乐产业投融资事件的平均营收为6÷59≈0.10亿美兀，故C错误；对于D，2013～2019年我国录制音乐营收年增长率最大的是2015年，年增长率为（5﹣3）÷3≈66.67%，故D错误．故选：B．5．已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+3y﹣4的最小值为（）A．0B．2C．6D．30【分析】利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域，然后由z＝x+3y﹣4得y＝﹣x+，根据平移直线确定目标函数的最小值．解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝x+3y﹣4得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，⇒B（3，1）；代入z＝x+3y﹣4得z的最小值为2．故选：B．6．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形【分析】画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，即可判断选项．解：画出截面图形如图显然A正三角形，B正方形：D正六边形可以画出五边形但不是正五边形；故选：C．7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5＝1，a8＝9，则S12＝（）A．30B．60C．90D．120【分析】由已知结合等差数列的性质及求和公式即可求解．解：由等差数列的性质可知，a1+a12＝a5+a8＝10，则S12＝＝6×10＝60，故选：B．8．已知函数f（x）＝4sin（3x﹣）的定义域为[0，m]，值域为[﹣2，4]，则m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】直接利用正弦型函数的性质和不等式的解法，求出结果．解：因为0≤x≤m，所以．因为﹣2≤f（x）≤4，所以，解得，故m的取值范围是．故选：C．9．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）的图象关于直线x＝2对称，当0＜x ＜2时，f（x）＝2x+2﹣x，则f（5）＝（）A．3B．﹣3C．7D．﹣7【分析】由已知结合函数的对称性可得f（x+2）＝f（﹣x+2），从而可把f（5）转化到已知区间上，代入可求．解：由题意可得f（x+2）＝f（﹣x+2），所以f（5）＝f（3+2）＝f（﹣3+2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（23﹣1）＝﹣7．故选：D．10．在四面体ABCD中，BD＝AC＝2，AB＝BC＝CD＝DA＝，E，F分别为AD，BC的中点，则异面直线EF与AC所成的角为（）A．B．C．D．【分析】由于四面体ABCD对棱相等，所以补成一个长方体，取AB的中点G，根据GF ∥AC，在三角形GEF中计算角的大小即可．解：如图，把四面体ABCD补成一个长，宽，高分别为，，1的长方体，取AB的中点G，连接GE，GF．因为G，F分别是AB，BC的中点，所以GF∥AC，，同理GE∥BD，．因为AC⊥BD，所以GE⊥GF，所以△GEF是等腰直角三角形，则，即异面直线EF与AC所成的角为，故选：B．11．设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点Q（0，b）．已知点P在双曲线C的左支上，且P，Q，F不共线，若△PQF的周长的最小值是8a，则双曲线C 的离心率是（）A．3B．C．5D．【分析】求出双曲线的右焦点坐标，利用已知条件推出a的表达式，然后求解双曲线的离心率即可．解：双曲线的右焦点为F（c，0），F′为双曲线的左焦点，点Q（0，b），P为双曲线左支上的动点，且△PQF周长的最小值为8a，|QF|＝．因为P在双曲线上，所以|PF|＝2a+|PF′|，则|PQ|+|PF|＝|PQ|+|PF′|+2a≥|QF′|+2a＝2a+，因为Q（0，b），F（c，0），△PQF周长的最小值为8a，则2＝6a，c2＝5a2，所以双曲线的离心率为：e＝．故选：D．12．设函数f（x）是定义在R上的单调函数，且∀x∈R，f（f（x）﹣e x）＝e+1．若函数g （x）＝f（x）﹣k（x+2）有两个零点，则k的取值范围是（）A．（e，+∞）B．（1，e]C．（1，+∞）D．（0，1）【分析】由题意可得f（x）﹣e x为常数，设f（x）﹣e x＝t，得到f（x）＝e x+t，再由f （t）＝e t+t＝e+1求得t＝1，得到f（x）的解析式．把g（x）有两个零点等价于函数y ＝f（x）与y＝k（x+2）的图象有两个不同的交点，利用导数求出直线y＝k（x+2）与曲线y＝f（x）相切时的k值，数形结合得答案．解：由题意，可得f（x）﹣e x为常数，设f（x）﹣e x＝t，∴f（x）＝e x+t，则f（t）＝e t+t＝e+1，解得t＝1，故f（x）＝e x+1，f'（x）＝e x．g（x）有两个零点等价于函数y＝f（x）与y＝k（x+2）的图象有两个不同的交点，当直线y＝k（x+2）与曲线y＝f（x）相切时，设切点P（x0，y0），则，解得x0＝0，y0＝2，此时k＝1．故要使得函数y＝f（x）与y＝k（x+2）的图象有两个不同的交点，则k＞1．故选：C．二、填空题：把答案填在答题卡中的横线上．13．已知函数f（x）＝log2（x+1）+3，若f（a+2）＝5，则a＝1．【分析】直接把变量代入解析式即可求解．解：由题意可得f（a+2）＝log2（a+3）+3＝5，解得a＝1．故答案为：1．14．辊子是客家传统农具，南方农民犁开田地后，仍有大的土块．农人便用六片叶齿组成辊轴，两侧装上木板，人跨开两脚站立，既能掌握平衡，又能增加重量，让牛拉动辊轴前进，压碎土块，以利于耕种．这六片叶齿又对应着菩萨六度，即布施、持戒、忍辱、精进、禅定与般若．若甲、乙每人依次有放回地从这六片叶齿中随机取一片，则这两人选的叶齿对应的“度”相同的概率为．【分析】记布施，持戒，忍辱，精进，禅定，般若分别为a，b，c，d，e，f，甲、乙每人依次有放回地从这六片叶齿中随机取一片，利用列举法求出基本事件有36个，其中这两人选的叶齿对应的“度”相同的有6个，由此能求出这两人选的叶齿对应的“度”相同的概率．解：记布施，持戒，忍辱，精进，禅定，般若分别为a，b，c，d，e，f，甲、乙每人依次有放回地从这六片叶齿中随机取一片，则基本事件有：（a，a），（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，a），（b，b），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，a），（c，b），（c，c），（c，d），（c，e），（c，f），（d，a），（d，b），（d，c），（d，d），（d，e），（d，f），（e，a），（e，b），（e，c），（e，d），（e，e），（e，f），（f，a），（f，b），（f，c），（f，d），（f，e），（f，f），共36个，其中这两人选的叶齿对应的“度”相同的有6个，故这两人选的叶齿对应的“度”相同的概率．故答案为：．15．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，直线l：y＝kx+b（k≠0）与抛物线C交于A，B两点，且|AF|+|BF|＝6，线段AB的垂直平分线过点M（0，4），则抛物线C的方程是x2＝4y；若直线l过点F，则k＝．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），利用抛物线的性质结合|MA|＝|MB|，转化求解抛物线方程；联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，转化求解直线的斜率即可．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的定义，，则|AF|+|BF|＝y1+y2+p＝6，即y1+y2＝6﹣p．因为点M（0，4）在线段AB的垂直平分线上，所以|MA|＝|MB|，则．因为，，所以（y1﹣y2）（y1+y2+2p﹣8）＝0，因为y1≠y2，所以y1+y2＝8﹣2p，则8﹣2p＝6﹣p，解得p＝2，故抛物线C的方程是x2＝4y．因为直线l过点F，所以直线l的方程是y＝kx+1，联立，整理得x2﹣4kx﹣4＝0，则x1+x2＝4k，从而，因为y1+y2＝6﹣p＝4，所以4k2+2＝4，解得．故答案为：x2＝4y；．16．在数列{a n}中，a1＝1，且a n+1＝3a n+（﹣1）n，则a n＝．（用含n的式子表示）【分析】利用数列的递推关系式，推出数列是首项为，公比为3的等比数列，求解数列的通项公式．解：因为，所以，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，所以．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．针对某新型病毒，某科研机构已研发出甲、乙两种疫苗，为比较两种疫苗的效果，选取100名志愿者，将他们随机分成两组，每组50人．第一组志愿者注射甲种疫苗，第二组志愿者注射乙种疫苗，经过一段时间后，对这100名志愿者进行该新型病毒抗体检测，发现有的志愿者未产生该新型病毒抗体，在未产生该新型病毒抗体的志愿者中，注射甲种疫苗的志愿者占．（1）根据题中数据，完成答题卡上的列联表；产生抗体未产生抗体合计甲乙合计（2）根据（1）中的列联表，判断能否有95%的把握认为甲、乙两种疫苗的效果有差异．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.100.050.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.828【分析】（1）由题意计算对应的数据，由此填写列联表；（2）计算观测值，对照临界值得出结论．解：（1）由题意可得未产生该新型病毒抗体的志愿者的人数为，则注射甲种疫苗的志愿者中未产生抗体的人数为，产生抗体的人数为50﹣2＝48；注射乙种疫苗的志愿者中未产生抗体的人数为10﹣2＝8，产生抗体的人数为50﹣8＝42．产生抗体未产生抗体合计甲48250乙42850合计9010100（2）计算，因为4＞3.841，所以有95%的把握认为甲、乙两种疫苗的效果有差异．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4c＝b+4a cos B．（1）求sin A；（2）若c＝6，AD为∠BAC的角平分线，D在BC上，且AD＝，求b．【分析】（1）由4c＝b+4a cos B，根据正弦定理即可求出，进而可求出；（2）可设A＝2θ，从而根据题意可求出，然后根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD列式即可求出b的值．解：（1）∵4c＝b+4a cos B，∴4sin C＝sin B+4sin A cos B，∴4sin（A+B）＝sin B+4sin A cos B，∴4cos A sin B＝sin B．∵sin B≠0，∴，故；（2）设A＝2θ，则，∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD＝θ，∵，∴，则，∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，∴，即，解得b＝3．19．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，E为AC的中点，且AC＝2BE．（1）证明：BC⊥平面PAB．（2）若PA＝AB＝BE＝2，求点C到平面PBE的距离．【分析】（1）证明AB⊥BC．PA⊥BC．然后证明BC⊥平面PAB．（2）求出△ABC的面积，△BCE的面积，设点C到平面PBE的距离为h，利用V P﹣BCE ＝V C﹣PBE，求解点C到平面PBE的距离．【解答】（1）证明：因为E为AC的中点，且AC＝2BE，所以AE＝BE＝CE，所以∠BAE＝∠ABE，∠BCE＝∠CBE，所以∠BAE+∠BCE＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC．因为∠BAE+∠BCE+∠ABC＝180°，所以∠ABC＝90°，即AB⊥BC．因为PA⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，且PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB．（2）解：由（1）可知AB⊥BC．因为AB＝BE＝2，所以AC＝2BE＝4，所以，则△ABC的面积为．因为E为AC的中点，所以△BCE的面积为．因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AE，所以，则△PBE的面积为．设点C到平面PBE的距离为h，因为V P﹣BCE＝V C﹣PBE，所以，解得．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆C的右顶点到直线x﹣y+＝0的距离为3．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（2，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值（O为坐标原点）．【分析】（1）由离心率的值及右顶点到直线x﹣y+＝0的距离为3和a，c，b之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；（2）设直线l的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出面积的表达式，换元，由均值不等式的可得面积的最大值．解：（1）由椭圆的方程可得右顶点（a，0），所以右顶点到直线x﹣y+＝0的距离为d＝＝3，a＞0可得：a＝2，由离心率e＝＝＝，可得c＝，所以b2＝a2﹣c2＝8﹣6＝2，所以椭圆C的方程为：+＝1；（2）由题意显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为：x＝my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与椭圆的方程可得：，整理可得：（4+m2）y2+4my﹣4＝0，y1+y2＝，y1y2＝所以S△OAB＝|OP|•|y1﹣y2|＝•＝＝，设t＝≥2，则m2＝﹣2，所以S△AOB＝＝＝，当且仅当＝t，即t＝时取等号，所以△OAB面积的最大值为．21．（1）试比较2lnx与x﹣的大小．（2）若函数f（x）＝x﹣lnx﹣m的两个零点分别为x1，x2，①求m的取值范围；②证明：x1+x2＜2m．【分析】（1）构造函数，对函数求导，结合导数可求函数的单调性，进而可比较大小；（2）①利用导数可分析函数f（x）的单调性，然后结合零点存在条件即可求解m的范围；②由已知结合函数零点存在条件及不等式的性质即可证明．解：（1）设，则，故g（x）在（0，+∞）上单调递减．因为g（1）＝0，所以当0＜x＜1时，g（x）＞0；当x＝1时，g（x）＝0；当x＞1时，g（x）＜0．即当0＜x＜1时，；当x＝1时，；当x＞1时，．（2）①因为f（x）＝x﹣lnx﹣m，所以，令f'（x）＞0，得x＞1；令f'（x）＜0，得0＜x＜1，则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故f（x）≥f（1）＝1﹣m．因为f（x）有两个零点，所以1﹣m＜0，即m＞1．因为f（e m）＝e m﹣2m＞0，f（e﹣m）＝e﹣m＞0，所以当f（x）有两个零点时，m的取值范围为（1，+∞）．②证明：因为x1，x2是f（x）的两个零点，不妨设x1＜x2，则0＜x1＜1＜x2．因为x1﹣lnx1﹣m＝0，x2﹣lnx2﹣m＝0，所以，，即，，则，即（x1﹣x2）（x1+x2）﹣2m（x1﹣x2）＞0，即（x1﹣x2）（x1+x2﹣2m）＞0．因为x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，则x1+x2﹣2m＜0，即x1+x2＜2m．（二）选考题[选修4-4，坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（m为参数）．（1）求曲线C1，C2的普通方程；（2）已知点M（2，1），若曲线C1，C2交于A，B两点，求||MA|﹣|MB||的值．【分析】（1）根据曲线C1和C2的参数方程，消去参数即可得到其普通方程；（2）先求出曲线C1的标准参数方程，然后将方程代入曲线C2中，由根与系数的关系得到t1+t2和t1t2，再根据||MA|﹣|MB||＝|t1+t2|求出||MA|﹣|MB||的值．解：（1）由曲线C1的参数方程（t为参数），消去t，得y＝3x﹣5．由曲线C2的参数方程（m为参数），消去m，得y2＝4x+4．（2）曲线C1的标准参数方程为（t为参数），代入y2＝4x+4，整理得，∴，，∵t1+t2＜0，t1t2＜0，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）若函数f（x）的最小值为m，且实数a，b满足a2+b2＝2m，求3a+4b的最大值．【分析】（1）将f（x）写为分段函数的形式，然后由f（x）＜6，利用零点分段法解不等式即可；（2）先求出f（x）的最小值m，然后由，利用柯西不等式求出3a+4b的最大值．解：（1）f（x）＝|x﹣2|+|2x﹣1|＝，∵f（x）＜6，∴或或，∴或或2⩽x＜3，∴﹣1＜x＜3，∴不等式的解集为（﹣1，3）．（2）由（1）知，f（x）在上单调递减，在上单调递增，∴，∴m＝，∴a2+b2＝2m＝3，∴，当且仅当时取等号，∴3a+4b的最大值为．。
江西省名师联盟2020届高三上学期第一次模拟考试数学(文)试题含解析
【解析】
【分析】
（1）先由所有矩形面积和为1求出 ,然后算出平均值即可
（2）先算出抽取的6人中第3,4，5组的人数分别为3，2，1，然后得出所有的基本事件的个数和列出这2人来自第3,4组各1人的基本事件即可.
【详解】（1)因为 ,所以 ,
所以成绩的平均值为
三、解答题：本大题共6大题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17。已知数列 是等比数列，且 ；
（1）证明：数列 是等差数列，并求出其通项公式；
（2)求数列 的前 项和 。
【答案】(1）见证明；（2）
【解析】
【分析】
（1）数列 是公比为 的等比数列，运用等比数列的定义和通项公式可得数列 是首项为3,公差为2的等差数列,可得所求通项公式；（2）求得 ，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
（2）第3组学生人数为 ，第4组学生人数为 ，
第5组学生人数为 ，
所以抽取的6人中第3,4,5组的人数分别为3，2,1.
第3组的3人分别记为 ,第4组的2人分别记为 ， ，
第5组的1人记为 ，则从中选出2人的基本事件为共15个,
记“从这6人中随机选出2人担任小组负责人，
这2人来自第3，4组各1人"为事件 ，
18。如图，在三棱柱 中，侧棱垂直于底面， 分别是 的中点．
（1)求证: 平面 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
(3）求三棱锥 体积．
【答案】(1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） ．
【解析】
试题分析：（1）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（2）证明直线与平面平行；（3）求三棱锥的体积就用体积公式。
2020年江西省九江市高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)
2020年江西省九江市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合0，1，，，则A. B. C. 0， D.2.已知复数z满足，则A. B. C. D.3.已知等差数列的前n项和为，若，，则A. 7B. 9C. 11D. 144.已知，则A. B. C. D. 25.已知，则下列结论正确的是A. B. C. D.6.将函数的图象向左平移个单位得到函数，则函数的图象大致为A. B.C. D.7.如图，圆柱的轴截面ABCD为边长为2的正方形，过AC且与截面ABCD垂直的平面截该圆柱表面，所得曲线为一个椭圆，则该椭圆的焦距为A. 1B.C. 2D.8.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为A. 8B.C.D. 139.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：的右焦点F，若存在平行于x轴的直线l，与双曲线E相交于A，B两点，使得四边形ABOF为菱形，则该双曲线E的离心率为A. B. C. D.10.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为A. B. C. D.11.已知函数有两个零点，则a的取值范围是A. B. C. D.12.现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为，，，，则A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，满足，，，则向量，夹角的大小为______．14.设x，y满足约束条件，则的最大值是______．15.中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为______．16.如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列满足．Ⅰ求证：为等比数列；Ⅱ求的通项公式．18.BMI指数身体质量指数，英文为BodyMassIndex，简称是衡量人体胖瘦程度的一个标准，体重身高的平方．根据中国肥胖问题工作组标准，当时为肥胖．某地区随机调查了1200名35岁以上成人的身体健康状况，其中有200名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如图：Ⅰ求被调查者中肥胖人群的BMI平均值；Ⅱ填写下面列联表，并判断是否有的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关．肥胖不肥胖合计高血压非高血压合计k附：，其中．19.如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且，平面平面ABC．Ⅰ求证：平面平面；Ⅱ若，，求几何体的体积．20.过点的动直线l与y轴交于点，过点T且垂直于l的直线与直线相交于点M．Ⅰ求M的轨迹方程；Ⅱ设M位于第一象限，以AM为直径的圆与y轴相交于点N，且，求的值．21.已知函数．Ⅰ求的单调性；Ⅱ若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线E的参数方程为为参数，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线，的极坐标方程分别为，，交曲线E于点A，B，交曲线E于点C，D．Ⅰ求曲线E的普通方程及极坐标方程；Ⅱ求的值．23.已知函数的最大值为m．Ⅰ求m的值；Ⅱ若a，b，c为正数，且，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合0，1，，，0，．故选：C．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：解：由，得．故选：D．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3.答案：D解析：解：设等差数列的公差为d，若，，则，解得；所以．故选：D．根据题意求出等差数列的公差d，再计算的值．本题考查了等差数列的前n项和公式计算问题，是基础题．4.答案：A解析：解：，，两边平方，得，即，整理得，，解得，或；当时，，无意义；当时，，．故选：A．根据同角的三角函数的平方关系，先化简已知条件，求出的值，再求出的值，即可得出答案．本题考查了同角的三角函数的求值问题，解题时应灵活地利用三角函数的基本关系进行解答，是基础题．5.答案：B解析：解：对于选项A：由指数函数为减函数，且，所以，故选项A 错误；对于选项B：由幂函数在上为增函数，且，所以，故选项B 正确；对于选项C：由指数函数为减函数，且，所以，故选项C错误；对于选项D：由幂函数在上为增函数，且，所以，故选项D错误；故选：B．利用指数函数和幂函数的单调性求解．本题主要考查了指数函数和幂函数的单调性，是基础题．6.答案：D解析：解：将函数的图象向左平移个单位得到函数，故，易知函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除BC；又，可排除A．故选：D．先根据三角函数图象的变换法则求出，进而求得的解析式，再根据解析式的奇偶性及函数值的正负确定函数图象即可．本题考查三角函数的图象变换，以及利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．7.答案：C解析：解：由图可知，该椭圆的长轴，短轴即为圆柱底面直径，即，所以，，则，所以焦距，故选：C．根据图形，得到，，即可得到c本题考查椭圆的性质，数形结合思想，根据图形得到a，b是关键，属于基础题．8.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得，，，，，，，不满足条件，执行循环体，，，，，，不满足条件，执行循环体，，，，，，不满足条件，执行循环体，，，，，，不满足条件，执行循环体，，，，，，不满足条件，执行循环体，，，，，，此时，满足条件，退出循环，输出S的值为．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.答案：B解析：解：双曲线E：，的右焦点分别为F，由于直线轴，与双曲线E相交于A，B两点，且四边形ABOF为菱形，可得：，代入双曲线方程可得：，由于，化简得，，可得：，解得．故选：B．通过四边形ABOF为菱形，求出A的坐标，代入双曲线方程，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．10.答案：C解析：解：在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，所拨数字可能为610，601，511，160，151，115，106，61，16，共9个数字，其中有5个奇数，则所拨数字为奇数的概率为．故选：C．利用列举法求出所拨数字可能有9个数字，其中有5个奇数，由此能求出所拨数字为奇数的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.答案：B解析：解：令，整理可得，当，即时，等式不成立，所以，则，令，则，令，则，解得，和，，单调递减，，单调递增，的图象大致如图，所以有两个零点的a的范围为：，故选：B．令函数，可得，时不成立，则，令，对求导得它的单调性，画出大致图象，可得函数有两个零点的a的范围，进而可得的由两个零点的a的范围．本题考查利用导数研究函数的单调性及零点的情况，属于中档题．12.答案：B解析：解：由题意可知，它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆心角为的弧长，设半径分别为，，，，由题意可知，半径为中心与顶点的距离，又因为正方形、正五边形、正六边形的边长均为1，圆的半径为1，对于正方形，如图所示：，，；对于正五边形，如图所示：，，，；对于正六边形，如图所示：，，为等边三角形，；而，又因为，，，，所以，故选：B．由题意可知，它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆心角为的弧长，设半径分别为，，，，则半径为中心与顶点的距离，由正方形、正五边形、正六边形得几何特征可知，，，再利用弧长公式即可得到．本题主要考查了弧长公式，以及正方形、正五边形、正六边形得几何特征，是中档题．13.答案：解析：解：，，，则，即有，则，，由于，则有向量，夹角为．故答案为：．运用向量垂直的条件，即为数量积为0，再由向量的夹角公式计算即可得到夹角．本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的夹角公式，考查运算能力，属于基础题．14.答案：解析：解：x，y满足约束条件，的可行区域如下图阴影所示；目标函数，，，．．．故目标函数的最大值为．故答案为：．根据已知中的约束条件，先画出满足条件的可行域，进而求出可行域的各角点的坐标，代入目标函数求出目标函数的值，比较后可得目标函数的最大值．本题考查的知识点是线性规划，其中角点法是求已知约束条件，求目标函数最优解最常用的方法，一定要熟练掌握．15.答案：2解析：解：，由余弦定理可得：，，可得，的面积．故答案为：2．由余弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.答案：解析：解：设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，则，，，如图，在截面PMO中，设N为球与平面PAB的切点，则N在PM上，且，设球的半径为R，则，因为，所以，则，，所以，设球与球相切与点Q，则，设球的半径为r，同理可得，所以，故小球的体积，故答案为：．设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，则，，如图，分别可求得大球与小球半径分别为和，进而可得小球的体积．本题考查球的体积公式，考查两圆相切性质，正四棱锥性质的应用，属于中档偏难题．17.答案：Ⅰ证明：，，即，，又，数列为首项为，公比为的等比数列；Ⅱ解：由可知：，，，，，累加得：，又，，．解析：Ⅰ由得，又，所以数列为首项为，公比为的等比数列；Ⅱ由可知：，利用累加法求出，所以．本题主要考查了数列的递推式，考查了等比数列的定义，以及累加法求数列的通项公式，是中档题．18.答案：解：Ⅰ被调查者中肥胖人群的BMI平均值；Ⅱ高血压人群中肥胖的人数为：人，不肥胖的人数为：人，非高血压人群中肥胖的人数为：，不肥胖的人数为：人，肥胖不肥胖合计高血压70130200非高血压2307701000合计3009001200则K的观测值：，有的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关．解析：Ⅰ取区间中点值作为该组数据的代表，分别用的各区间中点值乘以该组的频率再相加，即可得到被调查者中肥胖人群的BMI平均值；Ⅱ根据频率分布直方图，计算出高血压人群中肥胖的人数和不肥胖的人数，非高血压人群中肥胖的人数和不肥胖的人数，完成列联表，再计算K的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论．本题考查了独立性检验的应用问题，考查了频率分布直方图，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．19.答案：证明：取BC的中点D，连接AD，D.四边形是正方形，，又平面平面ABC，平面平面．平面ABC，平面ABC，．中，，，，又，平面．四边形是梯形，，且．，四边形是平行四边形，，又，，四边形是平行四边形．，平面．又平面，平面平面．Ⅱ解：由可得：三棱柱是直三棱柱，四边形是矩形，底面．直三棱柱的体积，四棱锥的体积．几何体的体积．解析：取BC的中点D，连接AD，D.由正方形可得：，又平面平面ABC，可得平面ABC，于是由是等腰三角形，可得，利用线面垂直的判定定理可得：平面利用梯形的性质可得：四边形是平行四边形，进而得出四边形是平行四边形．即可证明结论．Ⅱ由可得：三棱柱是直三棱柱，四边形是矩形，底面利用直三棱柱的体积计算公式、四棱锥的体积计算公式即可得出．本题考查了空间位置关系、线面面面平行与垂直的判定与性质定理、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直三棱柱与四棱锥的体积计算公式，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：Ⅰ因为，，当时，M为，当时，，则，则的方程为，由得，所以，验证当时，也满足，故M的坐标满足方程，则M的轨迹方程为；Ⅱ设，则，，则的方程为，令，得，即，即，所以轴，因为，，所以，则直线AM的方程为，联立，整理得，解得或舍，故，因为A为抛物线的焦点，所以．解析：Ⅰ当时，M为，当时，表示出的方程，得到；Ⅱ，，得到N，表示出方程，得到，进而得到AM方程，与抛物线联立，解得即可本题考查点的轨迹方程，考查直线与圆、抛物线综合，属于中档偏难题．21.答案：解：Ⅰ的定义域为，，当时，单调递减，当时，单调递增，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；Ⅱ不等式等价于，令，则，易知函数在上单调递增，在上单调递减，又的单调递减区间为，单调递增区间为，在上单调递减，在上单调递增，函数在处取得最小值，，即实数a的取值范围为．解析：Ⅰ求导可得，易知当时，，当时，，由此即可求得单调性；Ⅱ问题等价于在上恒成立，令，利用导数可知在上单调递增，在上单调递减，结合可知在上单调递减，在上单调递增，由此求得在上的最小值，进而得到实数a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的恒成立问题，考查转化思想及求解能力，属于中档题．22.答案：解：Ⅰ曲线E的参数方程为为参数，由，即曲线E的普通方程为圆；由，，，可得；Ⅱ当直线的斜率不存在，可设，，可得直线的斜率为0，可设，，则；当直线的斜率存在且不为0，方程设为，直线的方程设为，由可得，可设，，，，可得，，即有，将k换为可得，则．综上可得的值为16．解析：Ⅰ由同角的平方关系可得曲线E的普通方程；由，，，代入化简可得曲线E的极坐标方程；Ⅱ分别讨论直线的斜率不存在，求得A，B，C，D的坐标，计算可得所求和；若斜率存在且不为0，设出两直线的方程，联立圆的方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件，结合两点的距离公式可得所求和．本题考查参数方程、普通方程和极坐标方程的转化，考查直线和圆的方程联立，运用韦达定理和两点的距离公式，考查化简整理的运算能力和推理能力，属于中档题．23.答案：解：Ⅰ的定义域为，，当且仅当时取等号，，即的最大值为1，；Ⅱ证明：由Ⅰ知，，，，，，当且仅当时取等号．解析：Ⅰ利用绝对值不等式的性质可得，进而得到，由此求得m的值；Ⅱ由Ⅰ知，，再利用基本不等式累加即可得证．本题主要考查绝对值不等式的性质以及基本不等式的运用，考查推理能力及计算能力，属于基础题．。
2020年江西省九江市高考数学二模试卷(文科)
2020年江西省九江市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合{2A =-，1-，0，1，2}，2{|2}B x x =<，则(A B =I ) A ．{0，1}B ．{1-，1}C ．{1-，0，1}D ．{0}2．（5分）已知复数z 满足(3)10z i -=，则(z = ) A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +3．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，46S =，则7(S = ) A ．7 B ．9C ．11D ．144．（5分）已知sin 21cos αα=+，则tan (α= )A ．43-B ．34C ．43D ．25．（5分）已知01a b <<<，则下列结论正确的是( ) A ．a b b b <B ．b b a b <C ．a b a a <D ．a a b a <6．（5分）将函数2cos(2)6y x π=+的图象向左平移6π个单位得到函数()f x ，则函数()sin f x y x x=的图象大致为( )A ．B ．C ．D．7．（5分）如图，圆柱的轴截面ABCD为边长为2的正方形，过AC且与截面ABCD垂直的平面截该圆柱表面，所得曲线为一个椭圆，则该椭圆的焦距为()=A．1B．2C．2D．228．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值为()A．8B．195C．163D．139．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线2222:1(0,0)x yE a ba b-=>>的右焦点F，若存在平行于x轴的直线l，与双曲线E相交于A，B两点，使得四边形ABOF为菱形，则该双曲线E的离心率为()A．231B31C3D．2310．（5分）算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65．若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为()A．13B．49C．59D．2311．（5分）已知函数()()f x x alnx a a R=-+∈有两个零点，则a的取值范围是() A．(,)e+∞B．2(e，)+∞C．2(e，3)e D．2(e，22)e 12．（5分）现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为1l，2l，3l，4l，则()A．1234l l l l<<<B．1234l l l l<<=C．1234l l l l===D．1234l l l l==<二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知向量ar，br满足||1a=r，||2b=r，()a a b⊥+rr r，则向量ar，br夹角的大小为．14．（5分）设x，y满足约束条件220220x yx yy x+-⎧⎪-+⎨⎪⎩„……，则32z x y=-的最大值是．15．（5分）ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2228tana b cC+-=，则ABC∆的面积为．16．（5分）如图，在一个底面边长为2，侧棱长为10的正四棱锥P ABCD-中，大球1O内切于该四棱锥，小球2O与大球1O及四棱锥的四个侧面相切，则小球2O的体积为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知数列{}n a 满足121211,,22n n n a a a a a ++==+=．（Ⅰ）求证：1{}n n a a +-为等比数列； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式．18．（12分）BMI 指数（身体质量指数，英文为BodyMassIndex ，简称)BMI 是衡量人体胖瘦程度的一个标准，BMI =体重()/kg 身高()m 的平方．根据中国肥胖问题工作组标准，当28BMI …时为肥胖．某地区随机调查了1200名35岁以上成人的身体健康状况，其中有200名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求被调查者中肥胖人群的BMI 平均值μ；（Ⅱ）填写下面列联表，并判断是否有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关．肥胖 不肥胖 合计 高血压 非高血压 合计2()P K k …0.05 0.010 0.001 k3.8416.63510.828附：2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中n a b c d =+++．19．（12分）如图所示的几何体111ABC A B C -中，四边形11ABB A 是正方形，四边形11BCC B 是梯形，11//B C BC ，且111,2B C BC AB AC ==，平面11ABB A ⊥平面ABC ． （Ⅰ）求证：平面11ACC ⊥平面11BCC B ；（Ⅱ）若2AB =，90BAC ∠=︒，求几何体111ABC A B C -的体积．。
2020年江西省九江市高考（文科）数学二模试卷（解析版）
2020年江西省九江市高考（文科）数学二模试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2＜2}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{﹣1，1}C．{﹣1，0，1}D．{0} 2．已知复数z满足z（3﹣i）＝10，则z＝（）A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i 3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，S4＝6，则S7＝（）A．7B．9C．11D．14 4．已知1+=??，则tanα＝（）A．-43B．34C．43D．25．已知0＜a＜b＜1，则下列结论正确的是（）A．b a＜b b B．a b＜b b C．a a＜a b D．b a＜a a6．将函数??=(????+6)的图象向左平移6个单位得到函数f（x），则函数??=()的图象大致为（）A．B．C．D．7．如图，圆柱的轴截面ABCD为边长为2的正方形，过AC且与截面ABCD垂直的平面截该圆柱表面，所得曲线为一个椭圆，则该椭圆的焦距为（）＝A．1B．√??C．2D．??√??8．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．8B．195C．163D．139．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：22-??2??2=??(??＞??，??＞??)的右焦点F，若存在平行于x轴的直线l，与双曲线E相交于A，B两点，使得四边形ABOF为菱形，则该双曲线E的离心率为（）A．√??+??B．√??+??C．√??D．??√??10．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65．若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为（）A．13B．49C．59D．2311．已知函数f（x）＝x﹣alnx+a（a∈R）有两个零点，则a的取值范围是（）A．（e，+∞）B．（e2，+∞）C．（e2，e3）D．（e2，2e2）12．现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为l1，l2，l3，l4，则（）A．l1＜l2＜l3＜l4B．l1＜l2＜l3＝l4C．l1＝l2＝l3＝l4D．l1＝l2＝l3＜l4二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知向量→，→满足|??→|＝1，|??→|＝2，??→⊥（??→+??→），则向量??→，??→夹角的大小为．14．设x，y满足约束条件{+??-??≤??-??+??≥??≥??，则z＝3x﹣2y的最大值是．15．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若+????-????=8，则△ABC 的面积为．16．如图，在一个底面边长为2，侧棱长为√的正四棱锥P﹣ABCD中，大球O1内切于该四棱锥，小球O2与大球O1及四棱锥的四个侧面相切，则小球O2的体积为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n }满足??=??，????=12，????+????+??=??+??．（Ⅰ）求证：{a n+1﹣a n }为等比数列；（Ⅱ）求{a n }的通项公式．18．BMI 指数（身体质量指数，英文为BodyMassIndex ，简称BMI ）是衡量人体胖瘦程度的一个标准，BMI ＝体重（kg ）/身高（m ）的平方．根据中国肥胖问题工作组标准，当BMI ≥28时为肥胖．某地区随机调查了1200名35岁以上成人的身体健康状况，其中有200名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求被调查者中肥胖人群的BMI 平均值μ；（Ⅱ）填写下面列联表，并判断是否有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关．肥胖不肥胖合计高血压非高血压合计P （K 2≥k ）0.050.0100.001k3.8416.63510.828附：=(-)2(??+??)(??+??)(??+??)(??+??)，其中n ＝a +b +c +d ．19．如图所示的几何体ABC ﹣A 1B 1C 1中，四边形ABB 1A 1是正方形，四边形BCC 1B 1是梯形，B 1C 1∥BC ，且????=12，=，平面ABB 1A 1⊥平面ABC ．（Ⅰ）求证：平面A 1CC 1⊥平面BCC 1B 1；（Ⅱ）若AB ＝2，∠BAC ＝90°，求几何体ABC ﹣A 1B 1C 1的体积．20．过点A（1，0）的动直线l与y轴交于点T（0，t），过点T且垂直于l的直线l'与直线y＝2t相交于点M．（Ⅰ）求M的轨迹方程；（Ⅱ）设M位于第一象限，以AM为直径的圆O′与y轴相交于点N，且∠NMA＝30°，求|AM|的值．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx．（Ⅰ）求f（x）的单调性；（Ⅱ）若不等式e x f（x）≥x+ae x在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4--4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线E的参数方程为{=??+=（φ为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1，l2的极坐标方程分别为θ＝θ0，θ＝θ0+2(????∈(??，??))，l1交曲线E于点A，B，l2交曲线E于点C，D．（Ⅰ）求曲线E的普通方程及极坐标方程；（Ⅱ）求|BC|2+|AD|2的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数??(??)=||??+1|-|2-??|||2??-1|的最大值为m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c为正数，且a+b+c＝m，求证：+??+??≥??．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2＜2}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{﹣1，1}C．{﹣1，0，1}D．{0}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2＜2}＝{x|-√??＜??＜√??}，∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．已知复数z满足z（3﹣i）＝10，则z＝（）A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z（3﹣i）＝10，得z=103-??=10(3+??)(3-??)(3+??)=??+??．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，S4＝6，则S7＝（）A．7B．9C．11D．14【分析】根据题意求出等差数列的公差d，再计算S7的值．解：设等差数列{a n}的公差为d，若a1＝1，S4＝6，则S4＝4a1+6d＝4+6d＝6，解得d=13；所以S7＝7a1+21d＝7+21×13=14．故选：D．【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式计算问题，是基础题．4．已知1+=??，则tanα＝（）A．-43B．34C．43D．2【分析】根据同角的三角函数的平方关系，先化简已知条件，求出cosα的值，再求出sinα的值，即可得出答案．解：∵1+=??，∴sinα＝2+2cosα，∴两边平方，得sin2α＝4+8cosα+4cos2α，即1﹣cos2α＝4+8cosα+4cos2α，∴整理得，5cos2α+8cosα+3＝0，∴解得cosα＝﹣1，或cosα=-35；∵当cosα＝﹣1时，1+cosα＝0，1+无意义；∴当cosα=-35时，sinα=45，tαnα==-43．故选：A．【点评】本题考查了同角的三角函数的求值问题，解题时应灵活地利用三角函数的基本关系进行解答，是基础题．5．已知0＜a＜b＜1，则下列结论正确的是（）A．b a＜b b B．a b＜b b C．a a＜a b D．b a＜a a【分析】利用指数函数和幂函数的单调性求解．解：对于选项A：由指数函数y＝b x（0＜b＜1）为减函数，且a＜b，所以b a＞b b，故选项A错误；对于选项B：由幂函数y＝x b（0＜b＜1）在（0，+∞）上为增函数，且a＜b，所以a b ＜b b，故选项B正确；对于选项C：由指数函数y＝a x（0＜a＜1）为减函数，且a＜b，所以a a＞a b，故选项C 错误；对于选项D：由幂函数y＝x a（0＜a＜1）在（0，+∞）上为增函数，且a＜b，所以a a ＜b a，故选项D错误；故选：B．【点评】本题主要考查了指数函数和幂函数的单调性，是基础题．6．将函数??=(????+6)的图象向左平移6个单位得到函数f（x），则函数??=()的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【分析】先根据三角函数图象的变换法则求出f （x ）＝﹣2sin2x ，进而求得=()的解析式，再根据解析式的奇偶性及函数值的正负确定函数图象即可．解：将函数=(????+6)的图象向左平移6个单位得到函数??(??)=[??(??+??6)+6]=(????+??2)=-，故=()=-22??=-4??(??≠，??∈??)，易知函数??=-4为奇函数，其图象关于原点对称，可排除BC ；又(3)=-4×123＜??，??(??2)=??，可排除A ．故选：D ．【点评】本题考查三角函数的图象变换，以及利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．7．如图，圆柱的轴截面ABCD 为边长为2的正方形，过AC 且与截面ABCD 垂直的平面截该圆柱表面，所得曲线为一个椭圆，则该椭圆的焦距为（）＝A．1B．√??C．2D．??√??【分析】根据图形，得到a=√??，b＝1，即可得到c解：由图可知，该椭圆的长轴2a＝AC＝2√，短轴即为圆柱底面直径，即2b＝2，所以a=√??，b＝1，则c=√??-??=1，所以焦距2c＝2，故选：C．【点评】本题考查椭圆的性质，数形结合思想，根据图形得到a，b是关键，属于基础题．8．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．8B．195C．163D．13【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得a＝0，b＝1，S＝0，i＝1，c＝1，a＝1，b＝1，S＝1不满足条件i＞5，执行循环体，i＝2，c＝2，a＝1，b＝2，S=32，不满足条件i＞5，执行循环体，i＝3，c＝3，a＝2，b＝3，S＝2，不满足条件i＞5，执行循环体，i＝4，c＝5，a＝3，b＝5，S=114，不满足条件i＞5，执行循环体，i＝5，c＝8，a＝5，b＝8，S=195，不满足条件i＞5，执行循环体，i＝6，c＝13，a＝8，b＝13，S=163，此时，满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为163．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：22-??2??2=??(??＞??，??＞??)的右焦点F，若存在平行于x轴的直线l，与双曲线E相交于A，B两点，使得四边形ABOF为菱形，则该双曲线E的离心率为（）A．√??+??B．√??+??C．√??D．??√??【分析】通过四边形ABOF为菱形，求出A的坐标，代入双曲线方程，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．解：双曲线E：22-??2??2=1，（a＞0，b＞0）的右焦点分别为F，由于直线l∥x轴，与双曲线E相交于A，B两点，且四边形ABOF为菱形，可得：A（2，√32c），代入双曲线方程可得：24??2-3??24??2=1，由于c2＝a2+b2，化简得，e4﹣8e2+4＝0，可得：e＞1，解得e＝1+√??．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．10．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65．若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为（）A．13B．49C．59D．23【分析】利用列举法求出所拨数字可能有9个数字，其中有5个奇数，由此能求出所拨数字为奇数的概率．解：在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，所拨数字可能为610，601，511，160，151，115，106，61，16，共9个数字，其中有5个奇数，则所拨数字为奇数的概率为p =59．故选：C ．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．已知函数f （x ）＝x ﹣alnx +a （a ∈R ）有两个零点，则a 的取值范围是（）A ．（e ，+∞）B ．（e 2，+∞）C ．（e 2，e 3）D ．（e 2，2e 2）【分析】令函数f （x ）＝0，可得a （lnx ﹣1）＝x ，x ＝1时不成立，x ≠1则a=-1，令g （x ）=-1，对g （x ）求导得它的单调性，画出大致图象，可得函数g （x ）有两个零点的a 的范围，进而可得f （x ）的由两个零点的a 的范围．解：令f （x ）＝0，整理可得a （lnx ﹣1）＝x ，当lnx ＝1，即x ＝e 时，等式不成立，所以x ≠e ，则a=-1，令g （x ）=??-1，则g'（x ）=′(-1)-???1(-1)2=-2(-1)2，令g （x ）＝0，则lnx ﹣2＝0，解得x ＝e 2，x ∈（0，e ）和（e ，e 2），g'（x ）＜0，g （x ）单调递减，x ∈（e 2，+∞），g'（x ）＞0单调递增，g （x ）的图象大致如图，所以f （x ）＝x ﹣alnx +a （a ∈R ）有两个零点的a 的范围为：（e 2，+∞），故选：B ．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及零点的情况，属于中档题．12．现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为l1，l2，l3，l4，则（）A．l1＜l2＜l3＜l4B．l1＜l2＜l3＝l4C．l1＝l2＝l3＝l4D．l1＝l2＝l3＜l4【分析】由题意可知，它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆心角为2π的弧长，设半径分别为r1，r2，r3，r4，则半径为中心与顶点的距离，由正方形、正五边形、正六边形，r1＜r2＜1，r3＝r4＝1，再利用弧长公式即可得到l1＜l2＜l3＝l4．得几何特征可知=√22解：由题意可知，它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆心角为2π的弧长，设半径分别为r1，r2，r3，r4，由题意可知，半径为中心与顶点的距离，又因为正方形、正五边形、正六边形的边长均为1，圆的半径为1，；对于正方形，如图所示：，∵∠AOB＝90°，∴==√22对于正五边形，如图所示：，∵∠AOB＝72°＜90°，∠OAB＝∠OBA＝54°＜72°，∴r1＜r2＜1；对于正六边形，如图所示：，∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形，∴r3＝OA＝1；而r4＝1，又因为l1＝2π?r1，l2＝2π?r2，l3＝2π?r3，l4＝2π?r4，所以l 1＜l 2＜l 3＝l 4，故选：B ．【点评】本题主要考查了弧长公式，以及正方形、正五边形、正六边形得几何特征，是中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知向量→，→满足|??→|＝1，|??→|＝2，??→⊥（??→+??→），则向量??→，??→夹角的大小为2??3．【分析】运用向量垂直的条件，即为数量积为0，再由向量的夹角公式计算即可得到夹角．解：|→|＝1，|→|＝2，??→⊥（??→+??→），则→?（→+??→）＝0，即有→+??→→=0，则→→=-??→=-1，cos ＜??→，→＞=→→|??→|?|??→|=-11×２=-12，由于0≤＜??→，→＞≤π，则有向量→，→夹角为2??3．故答案为：2??3．【点评】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的夹角公式，考查运算能力，属于基础题．14．设x ，y 满足约束条件{+??-??≤??-??+??≥??≥??，则z ＝3x ﹣2y 的最大值是23．【分析】根据已知中的约束条件，先画出满足条件的可行域，进而求出可行域的各角点的坐标，代入目标函数求出目标函数的值，比较后可得目标函数的最大值．解：x ，y 满足约束条件{+??-??≤??-??+??≥??≥??，的可行区域如下图阴影所示；∵目标函数z ＝3x ﹣2y ，A （23，23），B （0，2），C （﹣2，﹣2）∴z A＝2-43=23．z B＝﹣4．z C＝﹣2．故目标函数z＝3x﹣2y的最大值为23．故答案为：23．【点评】本题考查的知识点是线性规划，其中角点法是求已知约束条件，求目标函数最优解最常用的方法，一定要熟练掌握．15．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若+????-????=8，则△ABC 的面积为2．【分析】由余弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得absin C＝4，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：∵+????-????=8，∴由余弦定理可得：2abcosC=8，∴2abcosC=8，∴可得absinC＝4，∴△ABC的面积S=12absinC=12×4＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．如图，在一个底面边长为2，侧棱长为√的正四棱锥P﹣ABCD中，大球O1内切于该四棱锥，小球O2与大球O1及四棱锥的四个侧面相切，则小球O2的体积为√224．【分析】设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，则OM ＝1PM=√-??=√-??=3，PO=√??-??=2√??，如图，分别可求得大球O1与小球O2半径分别为√22和√24，进而可得小球的体积．解：设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，则OM＝1，PM=√-??=√-??=3，PO=√??-??=2√??，如图，在截面PMO中，设N 为球O1与平面PAB的切点，则N在PM上，且O1N⊥PM，设球O1的半径为R，则O1N＝R，因为sin∠MPO==13，所以11=13，则PO1＝3R，PO＝PO1+OO1＝4R＝2√，所以R=√22，设球O1与球O2相切与点Q，则PQ＝PO﹣2R＝2R，设球O2的半径为r，同理可得PQ＝4r，所以r=2=√24，故小球O2的体积V=43πr3=√224??，故答案为：√224．【点评】本题考查球的体积公式，考查两圆相切性质，正四棱锥性质的应用，属于中档偏难题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}满足??=??，????=12，????+????+??=??+??．（Ⅰ）求证：{a n+1﹣a n}为等比数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．【分析】（Ⅰ）由a n+a n+1＝2a n+2得+2-????+1+1-????=-12，又??-????=-12，所以数列{a n+1﹣a n}为首项为-12，公比为-12的等比数列；（Ⅱ）由（1）可知：a n+1﹣a n=(-12)，利用累加法求出a n+1=-13×[??-(-12)??]+1=23+1 3×(-12)，所以????=23+13×(-12)??-??．【解答】（Ⅰ）证明：∵a n+a n+1＝2a n+2，∴a n﹣a n+1＝2a n+2﹣2a n+1，即2（a n+2﹣a n+1）＝﹣（a n+1﹣a n），∴+2-????+1+1-????=-12，又∵??-????=-12，∴数列{a n+1﹣a n}为首项为-12，公比为-12的等比数列；（Ⅱ）解：由（1）可知：a n+1﹣a n=(-12)，∴-????=(-12)，-????=(-12 )，-????=(-12 )，……a n+1﹣a n=(-12 )，累加得：+-????=(-12)+(-12)??+(-12)??+??+(-12)??=-13×[??-(-12)??]，又∵a1＝1，∴a n+1=-13×[??-(-12)]+1=23+13×(-12)??，∴=23+13×(-12)-．【点评】本题主要考查了数列的递推式，考查了等比数列的定义，以及累加法求数列的通项公式，是中档题．18．BMI指数（身体质量指数，英文为BodyMassIndex，简称BMI）是衡量人体胖瘦程度的一个标准，BMI＝体重（kg）/身高（m）的平方．根据中国肥胖问题工作组标准，当BMI ≥28时为肥胖．某地区随机调查了1200名35岁以上成人的身体健康状况，其中有200名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求被调查者中肥胖人群的BMI 平均值μ；（Ⅱ）填写下面列联表，并判断是否有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关．肥胖不肥胖合计高血压非高血压合计P （K 2≥k ）0.050.0100.001k3.8416.63510.828附：=(-)2(??+??)(??+??)(??+??)(??+??)，其中n ＝a+b+c+d ．【分析】（Ⅰ）取区间中点值作为该组数据的代表，分别用BMI ≥28的各区间中点值乘以该组的频率再相加，即可得到被调查者中肥胖人群的BMI 平均值μ；（Ⅱ）根据频率分布直方图，计算出高血压人群中肥胖的人数和不肥胖的人数，非高血压人群中肥胖的人数和不肥胖的人数，完成2×2列联表，再计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．解：（Ⅰ）被调查者中肥胖人群的BMI 平均值μ＝29×0.2+31×0.1+33×0.05+29×0.16+31×0.06+33×0.010＝17.38；（Ⅱ）高血压人群中肥胖的人数为：200×（0.2+0.1+0.05）＝70（人），不肥胖的人数为：200﹣70＝130（人），非高血压人群中肥胖的人数为：（1200﹣200）×（0.16+0.06+0.010）＝230，不肥胖的人数为：1200﹣200﹣230＝770（人），所以2×2列联表如下：肥胖不肥胖合计高血压70130200非高血压2307701000合计3009001200∴则K 的观测值：K 2=1200(70×770-130×230)2300×900×1000×200=645=12.8＞10.828，∴有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，考查了频率分布直方图，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．19．如图所示的几何体ABC ﹣A 1B 1C 1中，四边形ABB 1A 1是正方形，四边形BCC 1B 1是梯形，B 1C 1∥BC ，且??????=12，=，平面ABB 1A 1⊥平面ABC ．（Ⅰ）求证：平面A 1CC 1⊥平面BCC 1B 1；（Ⅱ）若AB ＝2，∠BAC ＝90°，求几何体ABC ﹣A 1B 1C 1的体积．【分析】（I ）取BC 的中点D ，连接AD ，C 1D ．由正方形可得：B 1B ⊥AB ，又平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，可得B 1B ⊥平面ABC ，于是B 1B ⊥AD ．由△ABC 是等腰三角形，可得AD⊥BC ，利用线面垂直的判定定理可得：AD ⊥平面BCC 1B 1．利用梯形的性质可得：四边形BB 1C 1D 是平行四边形，进而得出四边形ADC 1A 1是平行四边形．即可证明结论．（Ⅱ）由（I ）可得：三棱柱A 1B 1C 1﹣ABD 是直三棱柱，四边形ADC 1A 1是矩形，CD ⊥底面ADC 1A 1．利用直三棱柱的体积计算公式、四棱锥的体积计算公式即可得出．【解答】（I ）证明：取BC 的中点D ，连接AD ，C 1D ．四边形ABB 1A 1是正方形，∴B 1B ⊥AB ，又平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，平面ABB 1A 1∩平面ABC ＝AB ．∴B 1B ⊥平面ABC ，AD ?平面ABC ，∴B 1B ⊥AD ．△ABC 中，AC ＝AB ，CD ＝DB ，∴AD ⊥BC ，又BC ∩B 1B ＝B ，∴AD ⊥平面BCC 1B 1．∵四边形BCC 1B 1是梯形，B 1C 1∥BC ，且B 1C 1=12BC ．∴∴B 1C 1＝BD ，∴四边形BB 1C 1D 是平行四边形，∴C 1D ∥=B 1B ，又B 1B ∥=A 1A ，∴C 1D ∥=A 1A ，∴四边形ADC 1A 1是平行四边形．∴A 1C 1∥AD ，∴A 1C 1⊥平面BCC 1B 1．又A 1C 1?平面A 1CC 1，∴平面A 1CC 1⊥平面BCC 1B 1．（Ⅱ）解：由（I ）可得：三棱柱A 1B 1C 1﹣ABD 是直三棱柱，四边形ADC 1A 1是矩形，CD ⊥底面ADC 1A 1．∴直三棱柱A 1B 1C 1﹣ABD 的体积V 1=12×(√??)×2＝2，四棱锥C ﹣ADC 1A 1的体积V 2=13×√??×2×√??=43．∴几何体ABC ﹣A 1B 1C 1的体积＝V 1+V 2＝2+43=103．【点评】本题考查了空间位置关系、线面面面平行与垂直的判定与性质定理、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直三棱柱与四棱锥的体积计算公式，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．20．过点A （1，0）的动直线l 与y 轴交于点T （0，t ），过点T 且垂直于l 的直线l '与直线y ＝2t 相交于点M ．（Ⅰ）求M的轨迹方程；（Ⅱ）设M位于第一象限，以AM为直径的圆O′与y轴相交于点N，且∠NMA＝30°，求|AM|的值．【分析】（Ⅰ）当t＝0时，M为（0，0），当t≠0时，表示出l′的方程，得到M（t2，2t）；（Ⅱ）M（x0，y0），得到N，表示出O′方程，得到O′N∥x，进而得到AM方程，与抛物线联立，解得即可解：（Ⅰ）因为A（1，0），T（0，t），当t＝0时，M为（0，0），当t≠0时，k l=0-??1-0=-t，则k l′=1??，则l′的方程为y=1x+t，由y＝2t得x＝t2，所以M（t2，2t），验证当t＝0时，也满足，故M的坐标满足方程y2＝4x，则M的轨迹方程为y2＝4x；（Ⅱ）设M（x0，y0）（x0，y0＞0），则y02＝4x0，O′（0+12，02），则O′的方程为（x﹣1）（x﹣x0）+（y﹣0）（y﹣y0）＝0，令x＝0，得y2﹣y0y+x0＝0，即y2﹣y0y+024=0，即N（0，2），所以O′N∥x轴，因为∠NMA＝30°，∠NO′A＝60°，所以k AM=√??，则直线AM的方程为y=√??（x ﹣1），联立{=√??(??-??)=，整理得3x2﹣10x+3＝0，解得x＝3或x=13（舍），故x＝3，因为A为抛物线y2＝4x的焦点，所以|AM|＝x0+1＝4．【点评】本题考查点的轨迹方程，考查直线与圆、抛物线综合，属于中档偏难题．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx．（Ⅰ）求f（x）的单调性；（Ⅱ）若不等式e x f（x）≥x+ae x在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求导可得′(??)=+??-1，易知当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，由此即可求得单调性；（Ⅱ）问题等价于≤??(??)-在（0，+∞）上恒成立，令??(??)=??????，利用导数可知g （x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，结合（1）可知??=??(??)-在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，由此求得??=??(??)-在（0，+∞）上的最小值，进而得到实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）f （x ）的定义域为（0，+∞），′(??)=+-1=+??-1??，当0＜x ＜1时，＜??，??-1＜??，+??-1??＜??，??′(??)＜??，??(??)单调递减，当x ＞1时，＞??，??-1＞??，+??-1??＞??，??′(??)＞??，??(??)单调递增，∴函数f （x ）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）；（Ⅱ）不等式e xf （x ）≥x+ae x 等价于??≤??(??)-，令??(??)=??????，则??′(??)=1-??，易知函数g （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，又f （x ）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞），∴=??(??)-在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴函数??=??(??)-在x ＝1处取得最小值-1，∴≤-1，即实数a 的取值范围为(-∞，-1??]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的恒成立问题，考查转化思想及求解能力，属于中档题．一、选择题22．在直角坐标系xOy 中，曲线E 的参数方程为{=??+=（φ为参数），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 1，l 2的极坐标方程分别为θ＝θ0，θ＝θ0+2(????∈(??，??))，l 1交曲线E 于点A ，B ，l 2交曲线E 于点C ，D ．（Ⅰ）求曲线E 的普通方程及极坐标方程；（Ⅱ）求|BC|2+|AD |2的值．【分析】（Ⅰ）由同角的平方关系可得曲线E 的普通方程；由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2+y 2＝ρ2，代入化简可得曲线E 的极坐标方程；（Ⅱ）分别讨论直线l 1的斜率不存在，求得A ，B ，C ，D 的坐标，计算可得所求和；若斜率存在且不为0，设出两直线的方程，联立圆的方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件，结合两点的距离公式可得所求和．解：（Ⅰ）曲线E 的参数方程为{=??+=（φ为参数），由cos 2φ+sin 2φ=(??-1)24+??24=1，即曲线E 的普通方程为圆（x ﹣1）2+y 2＝4；由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2+y 2＝ρ2，可得ρ2﹣2ρcos θ﹣3＝0；（Ⅱ）当直线l 1的斜率不存在，可设A （0，√），B （0，-√??），可得直线l 2的斜率为0，可设C （3，0），D （﹣1，0），则|BC |2+|AD |2＝9+3+1+3＝16；当直线l 1的斜率存在且不为0，方程设为y ＝kx ，直线l 1的方程设为y =-1x ，由{=(??-??)+????=??可得（1+k 2）x 2﹣2x ﹣3＝0，可设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），可得x 1+x 2=21+??2，x 1x 2=-31+??2，即有x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=4(1+??2)2+61+??2，将k 换为-1可得x 32+x 42=4(1+12)2+61+12，则|BC |2+|AD |2＝|OB|2+|OC|2+|OA |2+|OD|2＝（|OB |2+|OA |2）+（|OC|2+|OD |2）＝（1+k 2）（x 12+x 22）+（1+12）（x 32+x 42）=41+??2+6+41+12+6＝12+4+4??21+??2=12+4＝16．综上可得|BC |2+|AD |2的值为16．【点评】本题考查参数方程、普通方程和极坐标方程的转化，考查直线和圆的方程联立，运用韦达定理和两点的距离公式，考查化简整理的运算能力和推理能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数??(??)=||??+1|-|2-??|||2??-1|的最大值为m ．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若a ，b ，c 为正数，且a +b +c ＝m ，求证：+??+??≥??．【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式的性质可得||x +1|﹣|2﹣x ||≤|2x ﹣1|，进而得到??(??)≤|2??-1||2??-1|=??，由此求得m 的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a+b+c＝1，再利用基本不等式累加即可得证．解：（Ⅰ）f（x）的定义域为{??|??≠12}，∵||x+1|﹣|2﹣x||≤|（x+1）﹣（2﹣x）|＝|2x﹣1|，当且仅当{(??-??)(??-??)≥??≠12时取等号，∴??(??)≤|2??-1||2??-1|=??，即f（x）的最大值为1，∴m＝1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a+b+c＝1，∵+??≥??√?????=，??+??≥??√?????=，??+??≥??√???????=，∴(+??+??)≥??(??+??+??)=??，∴+??+??≥??，当且仅当??=??=??=13时取等号．【点评】本题主要考查绝对值不等式的性质以及基本不等式的运用，考查推理能力及计算能力，属于基础题．。
江西省2020年高考文科数学预测题及答案(二)
正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为
.
( Ⅰ) 求曲线 的普通方程与直线的直角坐标方程；
( Ⅱ) 已知直线与曲线 交于 ， 两点，与 轴交于点 ，求
.
23． [ 选修 4— 5：不等式选讲 ] （10 分）
已知函数 f x 2x 1 .
（ 1）若不等式 f x 1 2
2m 1 m 0 的解集为
，当
若不等式
恒
成立，则实数 的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13. 已知函数 f ( x) x ln x 的图像在点 1, f 1 处的切线过点 0,a ，则 a _____． 14. 若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限， 且与直线 4 x 3y 0 和 x 轴都相切， 则该圆的标准方程是
, 2 U 2, ，
9
3 所以 m ．
2
（ 2）原不等式等价于
2x 1
2x 3
2y
a 2y ，
而 2 x 1 2 x 3 2x 1 2x 3
4 ，所以 2y
a 2y
4，即 a 2y 4 2y 恒成立，
又 2y 4 2y 4 ，所以 a 4 ，当且仅当 y 1时取等号．
故正实数 a 的最小值为 4．
，求证
；
（ 2）若函数
有两个零点，求实数 的取值范围 .
，不过原点的直线 与
（二）选考题（共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。）
22． [ 选修 4— 4：坐标系与参数方程 ] （ 10 分）
在平面直角坐标系
2020年江西省九江市高考数学二模试卷(文科)
2020年江西省九江市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合{2A =-，1-，0，1，2}，2{|2}B x x =<，则(A B =I ) A ．{0，1}B ．{1-，1}C ．{1-，0，1}D ．{0}2．（5分）已知复数z 满足(3)10z i -=，则(z = ) A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +3．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，46S =，则7(S = ) A ．7 B ．9C ．11D ．144．（5分）已知sin 21cos αα=+，则tan (α= )A ．43-B ．34C ．43D ．25．（5分）已知01a b <<<，则下列结论正确的是( ) A ．a b b b <B ．b b a b <C ．a b a a <D ．a a b a <6．（5分）将函数2cos(2)6y x π=+的图象向左平移6π个单位得到函数()f x ，则函数()sin f x y x x=的图象大致为( )A ．B ．C ．D．7．（5分）如图，圆柱的轴截面ABCD为边长为2的正方形，过AC且与截面ABCD垂直的平面截该圆柱表面，所得曲线为一个椭圆，则该椭圆的焦距为()=A．1B．2C．2D．228．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值为()A．8B．195C．163D．139．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线2222:1(0,0)x yE a ba b-=>>的右焦点F，若存在平行于x轴的直线l，与双曲线E相交于A，B两点，使得四边形ABOF为菱形，则该双曲线E的离心率为()A．231B31C3D．2310．（5分）算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65．若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为()A．13B．49C．59D．2311．（5分）已知函数()()f x x alnx a a R=-+∈有两个零点，则a的取值范围是() A．(,)e+∞B．2(e，)+∞C．2(e，3)e D．2(e，22)e 12．（5分）现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为1l，2l，3l，4l，则()A．1234l l l l<<<B．1234l l l l<<=C．1234l l l l===D．1234l l l l==<二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知向量ar，br满足||1a=r，||2b=r，()a a b⊥+rr r，则向量ar，br夹角的大小为．14．（5分）设x，y满足约束条件220220x yx yy x+-⎧⎪-+⎨⎪⎩„……，则32z x y=-的最大值是．15．（5分）ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2228tana b cC+-=，则ABC∆的面积为．16．（5分）如图，在一个底面边长为2，侧棱长为10的正四棱锥P ABCD-中，大球1O内切于该四棱锥，小球2O与大球1O及四棱锥的四个侧面相切，则小球2O的体积为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知数列{}n a 满足121211,,22n n n a a a a a ++==+=．（Ⅰ）求证：1{}n n a a +-为等比数列； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式．18．（12分）BMI 指数（身体质量指数，英文为BodyMassIndex ，简称)BMI 是衡量人体胖瘦程度的一个标准，BMI =体重()/kg 身高()m 的平方．根据中国肥胖问题工作组标准，当28BMI …时为肥胖．某地区随机调查了1200名35岁以上成人的身体健康状况，其中有200名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求被调查者中肥胖人群的BMI 平均值μ；（Ⅱ）填写下面列联表，并判断是否有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关．肥胖 不肥胖 合计 高血压 非高血压 合计2()P K k …0.05 0.010 0.001 k3.8416.63510.828附：2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中n a b c d =+++．19．（12分）如图所示的几何体111ABC A B C -中，四边形11ABB A 是正方形，四边形11BCC B 是梯形，11//B C BC ，且111,2B C BC AB AC ==，平面11ABB A ⊥平面ABC ． （Ⅰ）求证：平面11ACC ⊥平面11BCC B ；（Ⅱ）若2AB =，90BAC ∠=︒，求几何体111ABC A B C -的体积．20．（12分）过点(1,0)A 的动直线l 与y 轴交于点(0,)T t ，过点T 且垂直于l 的直线l '与直线2y t =相交于点M ．（Ⅰ）求M 的轨迹方程；（Ⅱ）设M 位于第一象限，以AM 为直径的圆O '与y 轴相交于点N ，且30NMA ∠=︒，求||AM 的值．21．（12分）已知函数()(1)f x x lnx =-． （Ⅰ）求()f x 的单调性；（Ⅱ）若不等式()x x e f x x ae +…在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围． 请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4--4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线E 的参数方程为12cos (2sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线1l ，2l 的极坐标方程分别为0θθ=，00((0,))2πθθθπ=+∈，1l 交曲线E 于点A ，B ，2l 交曲线E 于点C ，D ．（Ⅰ）求曲线E 的普通方程及极坐标方程； （Ⅱ）求22||||BC AD +的值． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数||1||2||()|21|x x f x x +--=-的最大值为m ．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若a ，b ，c 为正数，且a b c m ++=，求证：1bc ac ab a b c++…．2020年江西省九江市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合{2A =-，1-，0，1，2}，2{|2}B x x =<，则(A B =I ) A ．{0，1}B ．{1-，1}C ．{1-，0，1}D ．{0}【解答】解：Q 集合{2A =-，1-，0，1，2}，2{|2}{|B x x x x =<=<<， {1A B ∴=-I ，0，1}．故选：C ．2．（5分）已知复数z 满足(3)10z i -=，则(z = ) A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +【解答】解：由(3)10z i -=，得1010(3)33(3)(3)i z i i i i +===+--+． 故选：D ．3．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，46S =，则7(S = ) A ．7B ．9C ．11D ．14【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，若11a =，46S =， 则4146466S a d d =+=+=，解得13d =； 所以711721721143S a d =+=+⨯=．故选：D ． 4．（5分）已知sin 21cos αα=+，则tan (α= )A ．43-B ．34C ．43D ．2【解答】解：Qsin 21cos αα=+，sin 22cos αα∴=+，∴两边平方，得22sin 48cos 4cos ααα=++，即221cos 48cos 4cos ααα-=++， ∴整理得，25cos 8cos 30αα++=， ∴解得cos 1α=-，或3cos 5α=-；Q 当cos 1α=-时，1cos 0α+=，sin 1cos αα+无意义；∴当3cos 5α=-时，4sin 5α=，sin 4cos 3t n αααα==-． 故选：A ．5．（5分）已知01a b <<<，则下列结论正确的是( ) A ．a b b b <B ．b b a b <C ．a b a a <D ．a a b a <【解答】解：对于选项A ：由指数函数(01)x y b b =<<为减函数，且a b <，所以a b b b >，故选项A 错误；对于选项B ：由幂函数(01)b y x b =<<在(0,)+∞上为增函数，且a b <，所以b b a b <，故选项B 正确；对于选项C ：由指数函数(01)x y a a =<<为减函数，且a b <，所以a b a a >，故选项C 错误； 对于选项D ：由幂函数(01)a y x a =<<在(0,)+∞上为增函数，且a b <，所以a a a b <，故选项D 错误； 故选：B ．6．（5分）将函数2cos(2)6y x π=+的图象向左平移6π个单位得到函数()f x ，则函数()sin f x y x x=的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：将函数2cos(2)6y x π=+的图象向左平移6π个单位得到函数()2cos[2()]2cos(2)2sin 2662f x x x x πππ=++=+=-，故()2sin 24cos (,)sin sin f x x x y x k k Z x x x x x π--===≠∈，易知函数4cos xy x-=为奇函数，其图象关于原点对称，可排除BC ；又142()0,()0323f f πππ-⨯=<=，可排除A ． 故选：D ．7．（5分）如图，圆柱的轴截面ABCD 为边长为2的正方形，过AC 且与截面ABCD 垂直的平面截该圆柱表面，所得曲线为一个椭圆，则该椭圆的焦距为( )=A ．1B ．2C ．2D ．22【解答】解：由图可知，该椭圆的长轴222a AC ==，短轴即为圆柱底面直径，即22b =， 所以2a =，1b =，则211c =-=，所以焦距22c =， 故选：C ．8．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．8B ．195C ．163D ．13【解答】解：模拟程序的运行，可得 0a =，1b =，0S =，1i =，1c =，1a =，1b =，1S =不满足条件5i >，执行循环体，2i =，2c =，1a =，2b =，32S =， 不满足条件5i >，执行循环体，3i =，3c =，2a =，3b =，2S =， 不满足条件5i >，执行循环体，4i =，5c =，3a =，5b =，114S =， 不满足条件5i >，执行循环体，5i =，8c =，5a =，8b =，195S =， 不满足条件5i >，执行循环体，6i =，13c =，8a =，13b =，163S =， 此时，满足条件5i >，退出循环，输出S 的值为163． 故选：C ．9．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点F ，若存在平行于x 轴的直线l ，与双曲线E 相交于A ，B 两点，使得四边形ABOF 为菱形，则该双曲线E 的离心率为( )A ．1B 1C D ．【解答】解：双曲线2222:1x y E a b-=，(0,0)a b >>的右焦点分别为F ，由于直线//l x 轴，与双曲线E 相交于A ，B 两点，且四边形ABOF 为菱形，可得：(2cA ，)，代入双曲线方程可得：22223144c c a b -=，由于222c a b =+，化简得，42840e e -+=，可得：1e >，解得1e = 故选：B ．10．（5分）算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65．若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为( )A．13B．49C．59D．23【解答】解：在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，所拨数字可能为610，601，511，160，151，115，106，61，16，共9个数字，其中有5个奇数，则所拨数字为奇数的概率为59p=．故选：C．11．（5分）已知函数()()f x x alnx a a R=-+∈有两个零点，则a的取值范围是() A．(,)e+∞B．2(e，)+∞C．2(e，3)e D．2(e，22)e【解答】解：令()0f x=，整理可得(1)a lnx x-=，当1lnx=，即x e=时，等式不成立，所以x e≠，则1xalnx=-，令()1xg xlnx=-，则221(1)2()(1)(1)x lnx xlnxxg xlnx lnx'---'==--g，令()0g x=，则20lnx-=，解得2x e=，(0,)x e∈和2(,)e e，()0g x'<，()g x单调递减，2(x e∈，)+∞，()0g x'>单调递增，()g x 的图象大致如图，所以()()f x x alnx a a R =-+∈有两个零点的a 的范围为：2(e ，)+∞， 故选：B ．12．（5分）现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为1l ，2l ，3l ，4l ，则( )A ．1234l l l l <<<B ．1234l l l l <<=C ．1234l l l l ===D ．1234l l l l ==<【解答】解：由题意可知，它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆心角为2π的弧长， 设半径分别为1r ，2r ，3r ，4r ，由题意可知，半径为中心与顶点的距离， 又因为正方形、正五边形、正六边形的边长均为1，圆的半径为1，对于正方形，如图所示：，90AOB ∠=︒Q ，∴12r OA ==； 对于正五边形，如图所示：，7290AOB ∠=︒<︒Q ，5472OAB OBA ∠=∠=︒<︒，121r r ∴<<；对于正六边形，如图所示：，60AOB ∠=︒，AOB ∴∆为等边三角形，31r OA ∴==；而41r =，又因为112l r π=g ，222l r π=g ，332l r π=g ，442l r π=g ， 所以1234l l l l <<=， 故选：B ．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知向量a r ，b r 满足||1a =r ，||2b =r ，()a a b ⊥+r r r ，则向量a r ，b r 夹角的大小为23π． 【解答】解：||1a =r，||2b =r ，()a a b ⊥+r r r ， 则()0a a b +=rr r g ， 即有20a a b +=r r r g ， 则21a b a =-=-r r r g ，11cos ,122||||a b a b a b -<>===-⨯rr rg r r r g ，由于0,a b π<>rr 剟，则有向量a r，b r 夹角为23π．故答案为：23π． 14．（5分）设x ，y 满足约束条件220220x y x y y x +-⎧⎪-+⎨⎪⎩„……，则32z x y =-的最大值是 23 ．【解答】解：x ，y 满足约束条件220220x y x y y x+-⎧⎪-+⎨⎪⎩„……，的可行区域如下图阴影所示； Q 目标函数32z x y =-，2(3A ，2)3，(0,2)B ，(2,2)C --42233A z ∴=-=． 4B z =-． 2C z =-．故目标函数32z x y =-的最大值为23． 故答案为：23．15．（5分）ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2228tan a b c C+-=，则ABC ∆的面积为 2 ． 【解答】解：Q 2228tan a b c C +-=， ∴由余弦定理可得：82cos tan ab C C=， 8cos 2cos sin Cab C C∴=， ∴可得sin 4ab C =，ABC ∴∆的面积11sin 4222S ab C ==⨯=．故答案为：2．16．（5分）如图，在一个底面边长为2，侧棱长为10的正四棱锥P ABCD -中，大球1O 内切于该四棱锥，小球2O 与大球1O 及四棱锥的四个侧面相切，则小球2O 的体积为224π ．【解答】解：设O 为正方形ABCD 的中心，AB 的中点为M ，连接PM ，OM ，PO ，则1OM =， 221013PM PA AM =-=-=，9122PO =-=PMO 中，设N 为球1O 与平面PAB 的切点，则N 在PM 上，且1O N PM ⊥，设球1O 的半径为R ，则1O N R =，因为1 sin3OMMPOPM∠==，所以1113NOPO=，则13PO R=，11422PO PO OO R=+==，所以2R=，设球1O与球2O相切与点Q，则22PQ PO R R=-=，设球2O的半径为r，同理可得4PQ r=，所以22Rr==，故小球2O的体积342324V rππ==，故答案为：2π．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知数列{}na满足121211,,22n n na a a a a++==+=．（Ⅰ）求证：1{}n na a+-为等比数列；（Ⅱ）求{}na的通项公式．【解答】（Ⅰ）证明：122n n na a a+++=Q，12122n n n na a a a+++∴-=-，即2112()()n n n na a a a+++-=--，∴21112n nn na aa a+++-=--，又Q2112a a-=-，∴数列1{}n na a+-为首项为12-，公比为12-的等比数列；（Ⅱ）解：由（1）可知：11()2nn na a+-=-，∴1211()2a a-=-，2321()2a a-=-，3431()2a a-=-，⋯⋯11()2nn na a+-=-，累加得：12311111111()()()()[1()]222232n n n a a +-=-+-+-+⋯⋯+-=-⨯--，又11a =Q ，111211[1()]1()32332n n n a +∴=-⨯--+=+⨯-，∴1211()332n n a -=+⨯-． 18．（12分）BMI 指数（身体质量指数，英文为BodyMassIndex ，简称)BMI 是衡量人体胖瘦程度的一个标准，BMI =体重()/kg 身高()m 的平方．根据中国肥胖问题工作组标准，当28BMI …时为肥胖．某地区随机调查了1200名35岁以上成人的身体健康状况，其中有200名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求被调查者中肥胖人群的BMI 平均值μ；（Ⅱ）填写下面列联表，并判断是否有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关．肥胖 不肥胖 合计 高血压 非高血压 合计2()P K k …0.05 0.010 0.001 k3.8416.63510.828附：2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中n a b c d =+++．【解答】解：（Ⅰ）被调查者中肥胖人群的BMI 平均值290.2310.1330.05290.16310.06330.01017.38μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（Ⅱ）高血压人群中肥胖的人数为：200(0.20.10.05)70⨯++=（人)，不肥胖的人数为：20070130-=（人)，非高血压人群中肥胖的人数为：(1200200)(0.160.060.010)230-⨯++=，不肥胖的人数为：1200200230770--=（人)，所以22⨯列联表如下：肥胖 不肥胖 合计 高血压 70 130 200 非高血压 230 770 1000 合计3009001200∴则K 的观测值：21200(70770130230)6412.810.82830090010002005K ⨯-⨯===>⨯⨯⨯，∴有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关．19．（12分）如图所示的几何体111ABC A B C -中，四边形11ABB A 是正方形，四边形11BCC B 是梯形，11//B C BC ，且111,2B C BC AB AC ==，平面11ABB A ⊥平面ABC ． （Ⅰ）求证：平面11ACC ⊥平面11BCC B ；（Ⅱ）若2AB =，90BAC ∠=︒，求几何体111ABC A B C -的体积．【解答】()I 证明：取BC 的中点D ，连接AD ，1C D ． 四边形11ABB A 是正方形，1B B AB ∴⊥，又平面11ABB A ⊥平面ABC ，平面11ABB A ⋂平面ABC AB =． 1B B ∴⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ， 1B B AD ∴⊥．ABC ∆中，AC AB =，CD DB =，AD BC ∴⊥，又1BC B B B =I ，AD ∴⊥平面11BCC B ． Q 四边形11BCC B 是梯形，11//B C BC ，且1112B C BC =． 11B C BD ∴∴=，∴四边形11BB C D 是平行四边形，11//C D B B =∴，又11//B B A A =，11//C D A A =∴，∴四边形11ADC A 是平行四边形．11//AC AD ∴， 11AC ∴⊥平面11BCC B ．又11AC ⊂平面11A CC ，∴平面11ACC ⊥平面11BCC B ．（Ⅱ）解：由()I 可得：三棱柱111A B C ABD -是直三棱柱，四边形11ADC A 是矩形，CD ⊥底面11ADC A ．∴直三棱柱111A B C ABD -的体积211(2)222V =⨯⨯=， 四棱锥11C ADC A -的体积21422233V =⨯⨯⨯=．∴几何体111ABC A B C -的体积12410233V V =+=+=．20．（12分）过点(1,0)A 的动直线l 与y 轴交于点(0,)T t ，过点T 且垂直于l 的直线l '与直线2y t =相交于点M ．（Ⅰ）求M 的轨迹方程；（Ⅱ）设M 位于第一象限，以AM 为直径的圆O '与y 轴相交于点N ，且30NMA ∠=︒，求||AM 的值．【解答】解：（Ⅰ）因为(1,0)A ，(0,)T t ，当0t =时，M 为(0,0)， 当0t ≠时，010l t k t -==--，则1l k t'=， 则l '的方程为1y x t t=+，由2y t =得2x t =，所以2(M t ，2)t ，验证当0t =时，也满足，故M 的坐标满足方程24y x =，则M 的轨迹方程为24y x =；（Ⅱ）设0(M x ，00)(y x ，00)y >，则204y x =，01(2x O +'，0)2y ， 则O '的方程为00(1)()(0)()0x x x y y y --+--=，令0x =，得2000y y y x -+=，即220004y y y y -+=，即0(0,)2yN ，所以//O N x '轴，因为30NMA ∠=︒，60NO A ∠'=︒，所以AM k =AM 的方程为1)y x =-，联立21)4y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，整理得231030x x -+=，解得3x =或13x =（舍)，故3x =，因为A 为抛物线24y x =的焦点，所以0||14AM x =+=． 21．（12分）已知函数()(1)f x x lnx =-． （Ⅰ）求()f x 的单调性；（Ⅱ）若不等式()x x e f x x ae +…在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，11()1x f x lnx lnx x x-'=+=+-， 当01x <<时，110,10,10,()0,()lnx lnx f x f x x x<-<+-<'<单调递减， 当1x >时，110,10,10,()0,()lnx lnx f x f x x x>->+->'>单调递增， ∴函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；（Ⅱ）不等式()x x e f x x ae +…等价于()x x a f x e -„，令()x x g x e =，则1()x xg x e-'=， 易知函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 又()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，∴()xxy f x e =-在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ∴函数()xxy f x e=-在1x =处取得最小值1e -， ∴1a e-„，即实数a 的取值范围为1(,]e-∞-．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4--4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线E 的参数方程为12cos (2sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线1l ，2l 的极坐标方程分别为0θθ=，00((0,))2πθθθπ=+∈，1l 交曲线E 于点A ，B ，2l 交曲线E 于点C ，D ．（Ⅰ）求曲线E 的普通方程及极坐标方程； （Ⅱ）求22||||BC AD +的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线E 的参数方程为12cos (2sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数），由2222(1)cos sin 144x y ϕϕ-+=+=，即曲线E 的普通方程为圆22(1)4x y -+=；由cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，可得22cos 30ρρθ--=； （Ⅱ）当直线1l的斜率不存在，可设A，(0,B ， 可得直线2l 的斜率为0，可设(3,0)C ，(1,0)D -， 则22||||931316BC AD +=+++=；当直线1l 的斜率存在且不为0，方程设为y kx =， 直线1l 的方程设为1y x k=-，由22(1)4y kx x y =⎧⎨-+=⎩可得22(1)230k x x +--=， 可设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ， 可得12221x x k+=+，12231x x k =-+， 即有22212121222246()2(1)1x x x x x x k k +=+-=+++， 将k 换为1k -可得22342224611(1)1x x k k+=+++，则2222222222||||||||||||(||||)(||||)BC AD OB OC OA OD OB OA OC OD +=+++=+++22222123421(1)()(1)()k x x x x k=+++++ 224466111k k=+++++224412124161k k +=+=+=+．综上可得22||||BC AD +的值为16． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数||1||2||()|21|x x f x x +--=-的最大值为m ．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若a ，b ，c 为正数，且a b c m ++=，求证：1bc ac ab a b c++…． 【解答】解：（Ⅰ）()f x 的定义域为1{|}2x x ≠，||1||2|||(1)(2)||21|x x x x x +--+--=-Q „，当且仅当(1)(2)012x x x --⎧⎪⎨≠⎪⎩…时取等号， ∴|21|()1|21|x f x x -=-„，即()f x 的最大值为1，1m ∴=；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知1a b c ++=，Q2bc ac c a b +=…，2ac ab a b c +=…，2ab bc b c a +=…， ∴2()2()2bc ac aba b c a b c++++=…， ∴1bc ac ab a b c ++…，当且仅当13a b c ===时取等号．。
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2020年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学模拟试卷(二)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={1,2，3}，B={x|(x+1)(x−2)<0,x∈Z}，则A∪B=______ ．2.i是虚数单位，复数6+7i1+2i=________．3.执行下边的流程图，若输入的x的值为−2，则输出y的值是__________．4.样本数据11，8，9，10，7的方差是________．5.甲、乙两名学生选修4门课程(每门课程被选中的机会相等)，要求每名学生必须选1门且只需选1门，则他们选修的课程互不相同的概率是______ ．6.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=7，S6=63，则a1=________．7.已知点A是抛物线C1：y2=2px(p>0)与双曲线C2：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线的离心率等于______．8.若cosα=13(0<α<π)，则sin2α=______．9.设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数，其导函数为f′(x)，且f′(x)<f(x)，则关于x的不等式xf(1)<ef(ln x)的解集为_____．10.已知函数的定义域和值域都是[0,1]，则实数a的值是____．11. 已知函数f(x)=e x−2+x −3(e 为自然对数的底数)，g(x)=x 2−(a +1)x −a +7，若存在实数x 1、x 2、x 3(x 2≠x 3)，使得f(x 1)=g(x 2)=g(x 3)=0，且|x 1−x 2|≤1和|x 1−x 3|≤1同时成立，则实数a 的取值范围是__________．12. 已知a ≥0，b ≥0，且a +b =13则1a+2b +12a+b 的最小值为 ．13. 若函数f(x)=16(2x −1)3−x +2(1≤x ≤4),则f(x)的最大值是__________．14. 在平面直角坐标系xOy 中，A(−12,0)，B(0,6)，点P 在圆O ：x 2+y 2=50上．若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________． 二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 已知函数f(x)=2sinx ⋅cosx −cos 2x +sin 2x ，x ∈R ．(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间； (2)求f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．16. 在梯形ABCD 中，AB//CD ，AD =DC =CB =a ，∠ABC =60°.平面ACEF ⊥平面ABCD ，四边形ACEF 是矩形，AF =a ，点M 在线段EF 上． (Ⅰ)求证：BC ⊥AM ；(Ⅱ)试问当AM 为何值时，AM//平面BDE ？证明你的结论． (Ⅲ)求三棱锥A −BFD 的体积．17.如图所示，等腰△ABC的底边AB=8，高CD=3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V(x)表示四棱锥P−ACEF的体积．(1)求V(x)的表达式；(2)当x为何值时，V(x)取得最大，并求最大值．18. 已知椭圆x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)离心率为12，过点E(−√7,0)的椭圆的两条切线相互垂直． (1)求此椭圆的方程；(2)若存在过点(t,0)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，使得FA ⊥FB(F 为右焦点)，求t 的取值范围．19. 数列{a n }满足a 1=2，a n+1=2n+1a n(n+12)an+2n(n ∈N ∗)(1)设b n =2na n，求数列{b n }的通项公式；(2)设c n =1n(n+1)a n+1，数列{c n }的前n 项和为S n ，不等式14m 2−14m >S n 对一切n ∈N ∗成立，求m 得范围．20. 已知函数f (x )=x 3−ax 2+427．(1)若f(x)在(a −1,a +3)上存在极大值，求a 的取值范围；(2)若x轴是曲线y=f(x)的一条切线，证明：当x≥1时，f(x)>lnx−23．27【答案与解析】1.答案：{0,1，2，3}解析：先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．解：∵集合A={1,2，3}，B={x|(x+1)(x−2)<0,x∈Z}={0,1}，∴A∪B={0,1，2，3}．故答案为：{0,1，2，3}．2.答案：4−i解析：本题考查复数的四则运算，根据复数除法的运算法则直接计算即可，属于基础题．解：6+7i1+2i =(6+7i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=6+14+7i−12i5=20−5i5=4−i．故答案为4−i．3.答案：5解析：x=−2<0，则y=−2×(−2)+1=5．4.答案：2解析：本题考查了方差的公式，属于基础题．将数据直接代入方差计算公式可得答案．解：因为样本平均数x=7+8+10+11+95=9，故方差s2=15[(11−9)2+(8−9)2+(9−9)2+(10−9)2+(7−9)2]=2，故答案为2．5.答案：34解析：此题考查了古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．利用分步乘法原理，分别计算出甲、乙两名学生任选一门选修课程的情况总数和满足他们选修的课程互不相同的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．解：设选修4门课程名称为A，B，C，D甲、乙两名学生选修课程名称记为(x,y)，则共有4×4=16种不同情况，其中他们选修的课程互不相同的事件有4×3=12种不同情况，故他们选修的课程互不相同的概率P=1216=34，故答案为：34．6.答案：1解析：本题考查等比数列的前n项和公式以及应用，注意分析q是否为1.根据题意，由等比数列前n项和公式可得S3=a1(1−q3)1−q =7，S6=a1(1−q6)1−q=63；变形可得1+q3=9，解可得q的值，将q的值代入S3=a1(1−q3)1−q=7，计算可得答案．解：根据题意，等比数列{a n}满足S3=7，S6=63，则其公比q≠1，若S3=7，则a1(1−q3)1−q=7；S6=63，则a1(1−q6)1−q=63；变形可得：1+q3=9，解可得q=2；又由a1(1−q 3)1−q=7，解可得a1=1．故答案为17.答案：√5解析：解：取双曲线的一条渐近线：y=ba x，联立{y2=2pxy=bax解得{x=2pa2b2y=2pab，故A(2pa2b2,2pab)．∵点A到抛物线的准线的距离为p，∴p2+2pa2b=p，化为a2b=14．∴双曲线C2的离心率e=ca =√1+b2a2=√5．故答案为√5．取双曲线的一条渐近线：y=bax，与抛物线方程联立即可得到交点A的坐标，再利用点A到抛物线的准线的距离为p，即可得到a，b满足的关系式，利用离心率计算公式即可得出．熟练掌握抛物线及双曲线的标准方程及其性质、渐近线方程和离心率计算公式是解题的关键．8.答案：4√29解析：解：∵cosα=13(0<α<π)，∴sinα=2√23，∴sin2α=2sinαcosα=2×2√23×13=4√29，故答案为：4√29．由题意可得sinα=2√23，再根据sin2α=2sinαcosα，计算求得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式的应用，属于中档题．9.答案：(1,e)解析：本题考查的是利用导数研究函数的单调性问题，属于基础题．解：设函数g(x)=f(x)e x ，则g′(x)=ex f′(x)−e x f(x)(e x)2=f′(x)−f(x)e x<0，所以g(x)=f(x)e x为(0,+∞)上的单调递减函数．当x>0时，不等式xf(1)<ef(ln x)等价于f(ln x)x >f(1)e，即f(ln x)e ln x>f(1)e，所以0<ln x<1，即1<x<e．故答案为(1,e)．10.答案：2解析：本题考查对数函数的单调性，属于基础题．分a >1和0<a <1讨论，结合对数函数的性质即可求解． 解：当a >1时，函数f(x)=log a (x +1)在定义域上是增函数， 所以，解得a =2;当0<a <1时，函数f(x)=log a (x +1)在定义域上是减函数， 所以，无解;综上a =2， 故答案为2 ．11.答案：(3,134]解析：本题主要考查函数与方程的综合知识，首先求出函数f(x)的导数，可得f(x)单调递增，解得f(x)=0的解为x 1=2，由题意可得g(x)=x 2−(a +1)x −a +7=0在1≤x ≤3上有两个不等的根，通过判别式对称轴等可求得a 的取值范围，难度中等．解：函数f(x)=e x−2+x −3的导数为f ′(x)=e x−2+1>0， ∴f(x)在R 上单调递增，由f(2)=0，可得x 1=2，又存在实数x 1、x 2、x 3(x 2≠x 3)，使得f(x 1)=g(x 2)=g(x 3)=0，且|x 1−x 2|⩽1和|x 1−x 3|⩽1同时成立，∴存在实数x 2、x 3(x 2≠x 3)，使得g(x 2)=g(x 3)=0，且|2−x 2|⩽1和|2−x 3|⩽1同时成立， 即g(x)=x 2−(a +1)x −a +7=0在1≤x ≤3上有两个不等的根， 则{g (1)=−2a +7≥0g (3)=−4a +13≥0Δ=(a +1)2−4(−a +7)>01<a+12<3，解得3<a ≤134， 即a 的取值范围为(3,134]12.答案：4 解析：本题考查柯西不等式，结合已知条件将原式变形，即1a+2b +12a+b=(a+2b+2a+b)(1a+2b+12a+b)，进而运用柯西不等式求解．解：因为a+b=13，所以1a+2b +12a+b=(a+2b+2a+b)(1a+2b+12a+b)≥(√a+2b·a+2b +√2a+b2a+b)2=4，当且仅当√a+2b√2a+b =√2a+b√a+2b，即a=b时取等号．故答案为4．13.答案：3316．解析：本题考察了导数与函数的单调性，根据单调性求最值即可。