二次函数和根与系数的关系
二次函数根与系数的关系公式
二次函数根与系数的关系公式二次函数是代数中的一种重要函数类型，其形式为：f(x) = ax² + bx + c其中，a、b、c是常数且a≠0。
二次函数的根是使得函数等于零的x值。
根据二次函数的定义，当f(x) = ax² + bx + c = 0时，求解x的值就是求二次函数的根。
求二次函数的根是我们经常需要做的一种数学问题。
在计算过程中，我们需要了解二次函数的根与系数之间的关系公式，以便更好地理解和解决这类问题。
从解二次方程的角度来看，二次函数的根可以通过求解相应的二次方程来获得。
对于一般的二次方程ax² + bx + c = 0，我们可以使用以下公式来求解：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a这个公式称为二次方程的求根公式，它给出了二次方程的根与系数a、b、c之间的关系。
根据这个公式，可以看出：1. 根的个数：二次方程的根的个数由判别式决定，即b² - 4ac。
如果判别式大于零，则方程有两个不相等的实数根；如果判别式等于零，则方程有两个相等的实数根；如果判别式小于零，则方程没有实数根。
2.根的取值：根的取值由公式中的正负号决定。
在求根公式中，我们可以看到±号，这表示在求解根的过程中，我们需要考虑两个可能的根。
取正号的根对应着加号，取负号的根对应着减号。
此外，二次函数的系数a、b、c之间也存在一定的关系。
我们可以看出：1.a的正负：二次函数的系数a的正负决定了抛物线开口的方向。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.a的绝对值：二次函数的系数a的绝对值决定了抛物线的背离x轴的程度。
绝对值越大，抛物线与x轴的交点越远。
3.根的和与积：根的和可以通过系数b/a得到，根的积可以通过常数项c/a得到。
具体地，根的和为-b/a，根的积为c/a。
这些关系对于解决一些实际问题时，可以提供便利。
二次函数与根与系数的关系
二次函数与根与系数的关系二次函数是高中数学中的一个重要概念，也是数学中常见的一类函数。
在学习二次函数时，我们需要了解二次函数的根和系数之间的关系。
一、二次函数概述二次函数的标准形式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为实数，且a≠0。
二次函数的图像一般为抛物线，开口方向由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二、二次函数的根与系数的关系1. 零点或根的概念二次函数的零点，也叫作根、解或x的值，表示函数在x轴上的交点。
即，当f(x)=0时，x的值就是二次函数的根。
2. 判别式的概念与性质对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们定义判别式Δ为：Δ = b^2 - 4ac判别式Δ可以用来判断二次函数的根的情况，根据Δ的取值可以分为以下三种情况：- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；- 当Δ=0时，方程有两个相等的实根；- 当Δ<0时，方程没有实根，即无解。
3. 系数与二次函数根的关系（1）二次函数的顶点横坐标二次函数的顶点横坐标可以通过以下公式计算得出：x_v = -b / (2a)（2）二次函数的顶点纵坐标二次函数的顶点纵坐标可以通过将横坐标带入函数表达式中计算得出：y_v = f(x_v) = f(-b / (2a))（3）二次函数的根和系数的关系根据二次函数的判别式Δ的性质，我们可以得到以下结论：- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
此时，根与系数的关系如下：- 两个根x_1和x_2的和等于- b / a（x_1 + x_2 = - b / a）；- 两个根x_1和x_2的积等于c / a（x_1 * x_2 = c / a）。
- 当Δ=0时，方程有两个相等的实根。
此时，根与系数的关系如下：- 两个相等的根x_1和x_2都等于 - b / (2a)（x_1 = x_2 = - b / (2a)）；- 两个相等的根的和等于 - b / a（x_1 + x_2 = - b / a）；- 两个相等的根的积等于c / a（x_1 * x_2 = c / a）。
二次函数的根与系数的关系
二次函数的根与系数的关系二次函数是一种常见的数学函数形式，通常表示为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数常数，且a ≠ 0。
在二次函数中，根是函数图像与 x 轴相交的点，也就是函数的零点或解。
本文将探讨二次函数的根与系数之间的关系。
1. 二次函数的一般形式二次函数的一般形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。
这里的 a 是最重要的系数，它决定了二次函数的开口方向和开口的大小。
2. 二次函数的根为了确定二次函数的根，需要解方程 f(x) = 0。
根据求根公式（也称作二次公式），根可以通过以下公式计算：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)3. 根与系数的关系根与系数之间有着密切的关系，可以通过系数的值推断根的性质。
3.1 开口方向当 a > 0 时，二次函数开口向上，拥有最小值，也就是抛物线的顶点。
当 a < 0 时，二次函数开口向下，拥有最大值，同样是顶点。
3.2 顶点坐标二次函数的顶点坐标可以通过以下公式计算：x = -b / (2a)y = f(x) = f(-b / (2a))3.3 根的个数根的个数与判别式有关，判别式（也称为二次方程的判别式）可以通过以下公式计算：Δ = b^2 - 4ac若Δ > 0，则方程有两个不相等的实数根；若Δ = 0，则方程有两个相等的实数根；若Δ < 0，则方程没有实数根。
3.4 根之间的关系对于有两个实数根的二次函数：设 x1 和 x2 分别为两个根，且 x1 < x2，则 x1 + x2 = -b / a，x1 * x2 = c / a。
4. 根与二次函数图像根与二次函数的图像之间有着密切的联系。
当根为实数时，二次函数图像与 x 轴相交；当根为负数或复数时，二次函数图像则不与 x 轴相交。
5. 例题分析假设有二次函数 f(x) = x^2 + 3x - 4，我们可以根据函数的系数计算根的性质和其他相关信息。
二次方程解与系数的关系
二次方程解与系数的关系二次方程是高中数学中的重要概念之一，它涉及到方程、系数以及解等数学概念。
二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为方程的系数，x为未知数，我们将从解与系数的关系角度来探讨二次方程的特性。
1. 解的个数与判别式求解二次方程的根需要依靠判别式，即Δ = b^2 - 4ac。
判别式Δ可以判断根的情况，它与系数之间存在着一定的关系：a) 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根；b) 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根；c) 当Δ < 0时，方程无实根，但存在一对共轭复根。
2. 解与系数之间的关系解与系数之间存在着一定的关系，通过系数的改变，解的特性也会相应地发生变化。
a) 二次系数a的变化：当a > 0时，二次方程的抛物线开口朝上，最小值在x轴的下方；当a < 0时，二次方程的抛物线开口朝下，最大值在x轴的上方。
这意味着解的符号会随着a的变化而改变，从而影响方程的解的正负。
b) 一次系数b的变化：一次系数b可以影响二次方程的轴对称线的位置。
当b > 0时，轴对称线向左移动；当b < 0时，轴对称线向右移动。
这会对二次方程的两个解的位置产生影响，使得x的取值范围发生变化。
c) 常数项c的变化：常数项c对二次方程的根的位置没有直接影响，但是它会影响方程图像与y轴的交点，也就是方程的解当x为零时的值。
3. 解与系数的关系示例为了更好地理解解与系数之间的关系，我们可以通过具体的例子来说明。
考虑二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，其中a = 1，b = -5，c = 6。
根据判别式Δ = (-5)^2 - 4(1)(6) = 1。
根据判别式的结果可知，Δ > 0，因此方程有两个不相等的实根。
我们可以进一步求解方程，通过配方法得到(x - 2)(x - 3) = 0，即得到x1 = 2，x2 = 3两个解。
这个例子中，我们可以看出系数的变化对解的位置及个数产生了影响，而且解与系数之间存在着明确的关系。
二次函数根与系数的关系公式
二次函数根与系数的关系公式二次函数是指具有形如 y=ax^2+bx+c 的函数，其中 a,b,c 是常数。
其中 x 称为自变量，y 称为因变量。
在二次函数中，最重要的就是函数的根。
根是指满足方程 y=ax^2+bx+c=0 的 x 的值。
它可以是一个实数或者是一个复数。
在二次函数中，根的个数和系数 a,b,c 之间是有一定的关系的。
首先，我们来看一个二次函数的图像。
当二次函数的系数a>0时，它的图像开口向上；当系数a<0时，它的图像开口向下。
当系数a的绝对值越大时，图像的开口越窄。
当 a=0 时，二次函数就变成了一次函数，即 y=bx+c，没有二次项。
此时的图像是一条直线。
对于二次函数 y=ax^2+bx+c，我们可以用求根公式来求解它的根。
求根公式是一个很重要的公式，它的形式是：x= (-b±sqrt(b^2-4ac))/(2a)其中的± 表示可以取正号或者负号。
也就是说，对于一个二次函数而言，一般情况下有两个根。
但是，当 b^2-4ac<0 时，即判别式小于零时，方程没有实根，只有复根。
我们可以通过这个求根公式来推导二次函数的根与系数之间的关系。
首先考虑一个情况，就是当方程有两个实根的时候。
由求根公式可知，当 b^2-4ac>0，即判别式大于零时，方程有两个不相等的实根。
可以得到：x1=(-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)x2=(-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)我们可以对方程进行因式分解，得到：y=a(x-x1)(x-x2)也就是说，对于一个二次函数而言，可以通过它的两个根来唯一确定一个二次函数。
反过来，如果知道一个二次函数的系数a,b,c以及根x1,x2，就可以唯一确定一个二次函数。
从上面的分解式可以看出，当x=x1或者x=x2时，y=0。
也就是说，x1和x2就是二次函数的根。
接下来，我们来推导方程没有实根的情况。
当 b^2-4ac<0，即判别式小于零时，方程没有实根，只有复根。
根与系数的关系与二次函数
△=1-4 ＜ 0 ，函数图像与 x 轴无交点，应将
2
y 2x x 1
m=2 舍去，函数解析式为
二、二次函数图像与 x 轴两交点之间的距离问题。 例 2：（扬州市考题）已知二次函数 y x2 kx k 3
（1 ）求证：不论 k 取何值，这个函数的图像与 x 轴总有两个交点。
（2 ）实数 k 为何值时，这两个交点之间的距离最小，并求这个最小距离。
消去 k 解得 m 1 =2 ， m 2= 1 3
∵x1 x2 ＞0，即 m ＞1， ∴将m= 1 舍去，从而 m=2 ，函数解析式为 y
3
x 2 2x 3 .
简解：（1 ）只需证△＞0，过程从略。
（ 2 ） 解 ： 由 根 与 系 数 的 关 系 可 得 ： x1 x2 k ， x1 x2 k 3 ，
d | x1 x2 | ( x1 x2 ) 2
( x1 x2 )2 4x1x2
k 2 4k 12 (k 2) 2 8
当 k=2 时， d 有最小值，最小值为 2 2 。 三、二次函数图像与 x 轴两交点的相对位置问题 例 3：（南京市中考题）如果抛物线 y x 2 2( m 1) x m 1与 x 轴交于 A 、 B 两点，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 B 在 x 轴的负半轴上，0A=a,0B=b, 若 a:b=3:1 ， 求抛物线的解析式。
A （ x1，0 ），B（ x2 ，0），且满足 (x1 1)( x2 1) m 1，求此二次函数解析式。 解：由根与系数的关系可得：
1
1
x1 x2 m 1 x1 x2 m 1
( x1 1)( x2 1) x1x2 (x1 x2 ) 1 m 1
2
即
m ，解得 m 2 或 m 1
二次函数与二次方程的根与系数的关系
二次函数与二次方程的根与系数的关系二次函数和二次方程是高中数学中重要的概念，它们之间存在着紧密的联系。
本文将探讨二次函数与二次方程的根与系数的相互关系。
1. 二次函数的定义及一般形式二次函数是指形如 f(x) = ax² + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是实数，且a ≠ 0。
在二次函数中，x 是自变量，f(x) 是因变量。
二次函数的图像通常是一个抛物线。
2. 二次方程的定义及一般形式二次方程是指形如 ax² + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是实数，且a ≠ 0。
在二次方程中，x 是未知数。
求解二次方程的根可以通过因式分解、配方法或求根公式等方法得到。
3. 二次函数的根与系数的关系对于二次函数 f(x) = ax² + bx + c，可以推导出以下关系：3.1 零点等于根二次函数的零点即为函数的根，也就是函数图像与 x 轴相交的点。
根据二次函数的定义，当 f(x) = 0 时，求解该方程可以得到二次函数的根。
如果二次函数有两个不同的实根，那么方程必有两个不同的解。
如果二次函数有一个重根（两个根相等），那么方程也有一个重解。
3.2 判别式与根的关系对于二次方程 ax² + bx + c = 0，判别式 D = b² - 4ac 可以用来判断方程的根的性质。
当判别式 D > 0 时，方程有两个不同实根；当 D = 0 时，方程有一个重实根；当 D < 0 时，方程没有实根，有两个虚根。
3.3 根与系数的关系根与系数之间存在着一一对应的关系。
对于一般形式的二次方程ax² + bx + c = 0，根据求根公式可得：根 x₁ = (-b + √D) / (2a)根 x₂ = (-b - √D) / (2a)可以发现，根与系数 a、b、c 之间存在着明确的线性关系。
根的值受到系数的影响，不同的系数会导致不同的根的取值。
高中数学二次函数的零点情况及根的性质分析
高中数学二次函数的零点情况及根的性质分析二次函数是高中数学中的重要内容，它的零点情况和根的性质对于理解和应用二次函数都具有重要意义。
在本文中，我将详细探讨二次函数的零点情况以及根的性质，并通过具体的题目举例，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、二次函数的零点情况首先，我们来分析二次函数的零点情况。
对于一般的二次函数f(x)=ax^2+bx+c （其中a≠0），它的零点就是使得f(x)=0的x值。
根据二次函数的性质，它的零点可能有三种情况：1. 有两个不相等的实数根：当二次函数的判别式D=b^2-4ac大于0时，方程ax^2+bx+c=0有两个不相等的实数根。
例如，考虑函数f(x)=x^2-5x+6，它的判别式D=(-5)^2-4×1×6=1，大于0。
因此，方程x^2-5x+6=0有两个不相等的实数根x=2和x=3。
这种情况下，二次函数的图像与x轴交于两个点。
2. 有两个相等的实数根：当二次函数的判别式D=b^2-4ac等于0时，方程ax^2+bx+c=0有两个相等的实数根。
例如，考虑函数f(x)=x^2-4x+4，它的判别式D=(-4)^2-4×1×4=0，等于0。
因此，方程x^2-4x+4=0有两个相等的实数根x=2。
这种情况下，二次函数的图像与x轴相切于一个点。
3. 没有实数根：当二次函数的判别式D=b^2-4ac小于0时，方程ax^2+bx+c=0没有实数根。
例如，考虑函数f(x)=x^2+1，它的判别式D=0^2-4×1×1=-4，小于0。
因此，方程x^2+1=0没有实数根。
这种情况下，二次函数的图像与x轴没有交点。
通过上述例子，我们可以看出二次函数的零点情况与判别式的大小有关。
当判别式大于0时，函数有两个不相等的实数根；当判别式等于0时，函数有两个相等的实数根；当判别式小于0时，函数没有实数根。
二、二次函数根的性质除了零点情况，二次函数的根还具有一些重要的性质。
根与系数关系的公式
根与系数关系的公式
根与系数关系的公式，即二次函数的方程。
它的形式可以表示为：origin（a，b，c）=0，其中a，b，c是方程的系数，它们对应关系
如下：
a代表二次项系数，即方程及其解的形状受其影响；
b代表一次项系数，它可以改变方程的位置；
c代表常数项系数，它可以改变方程的高度。
这项公式描述了二次函数与它所有根之间的关系，它经常用来解
决一类特殊的问题，即：求解与方程相关的一些特定概念，如最高点
和最低点的位置，以及方程的极值点等。
此外，根与系数的关系也可以用于解决其他数学问题，如求解多
项式的根，以及因式分解问题等。
例如，如果你想求解二次函数的根，那么你可以根据这个公式来解决它。
此外，你也可以根据该公式来求
解多项式的根，即在多项式的四次项中，也可以使用这个方程来计算
它的根。
总而言之，根与系数的关系是二次函数的关键性因素，它用来描
述方程的根的数量、位置以及其特定的表达形式，也可以解决许多数
学问题，如求解多项式的根、因式分解等问题。
由此可见，根与系数
的关系公式不仅有着非常重要的意义，也能够帮助我们更好地理解数
学中一些复杂的概念。
二次函数根和系数关系
一元二次方程的根与系数的关系也称为韦达定理，其逆定理也成立，它是由16世纪的法国数学家韦达发现的．它揭示了实系数一元二次方程的根与系数的关系，它形式简单但内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用．【知识要点】1．如果方程(a≠O)的两根为，，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．2．如果两个数的和为m，积为n，则以这两个数为根的一元二次方程为．3．若已知一元二次方程的一个根，可不直接解原方程，利用根与系数关系，求出另一根．4．求一元二次方程根的对称式的值，关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式．5．当一元二次方程(a≠O)有两根，时：(1)若，则方程有一正一负根；(2)若，，则方程有两个正根；(3)若，，则方程有两个负根．【趋势预测】利用根与系数关系，可以解决许多有关方程的问题，有些非方程类的问题我们也可以通过根与系数关系构造一元二次方程，然后用一元二次方程的知识来解．因此预测以后竞赛的重点在以下几个方面：①求方程中字母系数的值或取值范围；②求代数式的值；③结合根的判别式，判断根的符号特征；④构造一元二次方程解题；⑤证明代数等式，不等式；⑥与一元二次方程的整数根有关的问题．【范例解读】题1(1997·陕西) 已知二次方程(ac≠0)有两异号实根m和n，且m<n，那么，二次方程的根的情况是( )(A)有两个负根(B)有两个正根(C)两根异号(D)无实数根分析首先考虑方程的判别式的符号．如果由判别式符号确定方程有实根，还要通过根与系数关系来确定两根的正负号．解∵ m，n异号且m<n，∴m<0，n>0，从而，．方程的判别式：，故方程必有两实根．设这两个实根为，，则由根与系数关系得，，可知，均为负数，故选(A)．题2(1997·上海) 若a和b是方程的两个实根，c和d是方程的两个实根，e和f是方程的两个实根，则的值为_____________．分析由已知可得ab＝3，cd＝3，ef＝3，a+b＝-2p，c+d＝-2q，，将(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)展开，把上列数值代入，可得所求值．但若全部展开，结果很繁，因此考虑局部展开，分步代入．解由方程根与系数关系得ab=3，cd＝3，ef＝3，a+b＝-2p，c+d＝-2q，，则题3(1996·祖冲之杯) 已知α，β是方程的两根，α>β，不解方程，求的值．分析待求式中α，β是不对称的，但根与系数的关系具有对称性，应设法构造一个与待求式相对应的代数式一起辅助解决问题．解由根与系数的关系得α+β=7，αβ＝8，∴，．因α>β，故，．记，令，从而，∴．题4(2000·江苏) 已知，，其中m，n为实数，则__________.分析根据两个方程系数的特点，可作恰当的变形，使两个方程具有相同的结构．把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程，然后用根与系数关系来求值．解由已知等式可变形成与，由于m，的关系没有给定，故应分两种情况：①当时，；②当时，可知m，是方程的两个根，则由根与系数关系得，．∴．综合①，②得或.题5(1996·江苏) 设的两个实根为α，β，(1)求以，为根的一元二次方程；(2)若以，为根的一元二次方程仍是，求所有这样的一元二次方程．分析根据方程根与系数关系求和的值，由此即可作出新方程；根据新方程的一次项系数等于-p，常数项等于q，可求得p，q的值．解(1)由根与系数关系得α+β＝p，αβ＝q，∴，．所求方程是；(2)由题意得则根据七种情况的值依次得以下七个方程：，，，，，，．其中仅无实数根，舍去.故所有这样的一元二次方程有六个，分别为：，，，，，．题6(2000·全国) 设关于x的二次方程的两根都是整数．求满足条件的所有实数k 的值．分析根据方程系数的特点，可先用十字相乘法求出方程两根，然后利用两根都是整数设法先消去是求得两根后，再求出是的值．解原方程可化为．∵(k-4)(k-2)≠0，∴解得方程两根为，∴，，消去k，得，∴．由于，都是整数，故对应的k的值分别为6，3，．【方法指引】1．构造对偶式法．对一个已知代数式或一个已知命题，我们构造一个与之对应的代数式或对应的命题，然后一起参与运算(通常是加、减、乘、除)，从而使问题获得巧解．这种方法称为构造对偶式法．常用的构造方法有利用倒数关系、有理化因式、配对等．2．解一元二次方程的整数根问题的基本方法有：(1)直接求解法．若根可用有理式表示，则先求出根，再结合整除性求解．(2)利用判别式法．在二次方程有根的前提下通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举法讨论，不等式分析求解．(3)运用根与系数的关系．由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解．(4)巧换主元法．若运用相关方法直接求解困难时，可选择换主元的方法，结合整除知识求解．【综合能力训练】1．△ABC的一边长为5，另两边长恰好是方程的两根，那么m的取值范围是________________．2．设，是方程的两实根，且，则k 的值是( )(A)-3或1 (B)-3(C)1 (D)不小于的一切实数3．若方程的两根为α，β，它也是方程的两个根，则p=_____________．4．若ab≠1，且有，及，则的值是( ) (A)(B)(C)(D)5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA和sinB是方程的两根，求∠A和∠B的度数及k的值．6．求满足如下条件的所有k值，使关于x的方程的根都是整数。
二次函数根与系数关系
一元二次方程的根与系数的关系也称为韦达定理，其逆定理也成立，它是由16世纪的法国数学家韦达发现的．它揭示了实系数一元二次方程的根与系数的关系，它形式简单但内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用．【知识要点】1．如果方程(a≠O)的两根为，，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．2．如果两个数的和为m，积为n，则以这两个数为根的一元二次方程为．3．若已知一元二次方程的一个根，可不直接解原方程，利用根与系数关系，求出另一根．4．求一元二次方程根的对称式的值，关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式．5．当一元二次方程(a≠O)有两根，时：(1)若，则方程有一正一负根；(2)若，，则方程有两个正根；(3)若，，则方程有两个负根．【趋势预测】利用根与系数关系，可以解决许多有关方程的问题，有些非方程类的问题我们也可以通过根与系数关系构造一元二次方程，然后用一元二次方程的知识来解．因此预测以后竞赛的重点在以下几个方面：①求方程中字母系数的值或取值范围；②求代数式的值；③结合根的判别式，判断根的符号特征；④构造一元二次方程解题；⑤证明代数等式，不等式；⑥与一元二次方程的整数根有关的问题．【范例解读】题1 (1997·陕西) 已知二次方程(ac≠0)有两异号实根m和n，且m<n，那么，二次方程的根的情况是 ( )(A)有两个负根 (B)有两个正根(C)两根异号 (D)无实数根分析首先考虑方程的判别式的符号．如果由判别式符号确定方程有实根，还要通过根与系数关系来确定两根的正负号．解∵m，n异号且m<n，∴ m<0，n>0，从而，．方程的判别式：，故方程必有两实根．设这两个实根为，，则由根与系数关系得，，可知，均为负数，故选(A)．题2 (1997·上海) 若a和b是方程的两个实根，c和d是方程的两个实根，e和f是方程的两个实根，则的值为_____________．分析由已知可得ab＝3，cd＝3，ef＝3，a+b＝-2p，c+d＝-2q，，将(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)展开，把上列数值代入，可得所求值．但若全部展开，结果很繁，因此考虑局部展开，分步代入．解由方程根与系数关系得ab=3，cd＝3，ef＝3，a+b＝-2p，c+d＝-2q，，则题3 (1996·祖冲之杯) 已知α，β是方程的两根，α>β，不解方程，求的值．分析待求式中α，β是不对称的，但根与系数的关系具有对称性，应设法构造一个与待求式相对应的代数式一起辅助解决问题．解由根与系数的关系得α+β=7，αβ＝8，∴，．因α>β，故，．记，令，从而，∴．题4 (2000·江苏) 已知，，其中m，n为实数，则__________.分析根据两个方程系数的特点，可作恰当的变形，使两个方程具有相同的结构．把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程，然后用根与系数关系来求值．解由已知等式可变形成与，由于m，的关系没有给定，故应分两种情况：①当时，；②当时，可知m，是方程的两个根，则由根与系数关系得，．∴．综合①，②得或.题5 (1996·江苏) 设的两个实根为α，β，(1)求以，为根的一元二次方程；(2)若以，为根的一元二次方程仍是，求所有这样的一元二次方程．分析根据方程根与系数关系求和的值，由此即可作出新方程；根据新方程的一次项系数等于-p，常数项等于q，可求得p，q的值．解 (1)由根与系数关系得α+β＝p，αβ＝q，∴，．所求方程是；(2)由题意得则根据七种情况的值依次得以下七个方程：，，，，，，．其中仅无实数根，舍去.故所有这样的一元二次方程有六个，分别为：，，，，，．题6 (2000·全国) 设关于x的二次方程的两根都是整数．求满足条件的所有实数k 的值．分析根据方程系数的特点，可先用十字相乘法求出方程两根，然后利用两根都是整数设法先消去是求得两根后，再求出是的值．解原方程可化为．∵(k-4)(k-2)≠0，∴解得方程两根为，∴，，消去k，得，∴．由于，都是整数，故对应的k的值分别为6，3，．【方法指引】1．构造对偶式法．对一个已知代数式或一个已知命题，我们构造一个与之对应的代数式或对应的命题，然后一起参与运算(通常是加、减、乘、除)，从而使问题获得巧解．这种方法称为构造对偶式法．常用的构造方法有利用倒数关系、有理化因式、配对等．2．解一元二次方程的整数根问题的基本方法有：(1)直接求解法．若根可用有理式表示，则先求出根，再结合整除性求解．(2)利用判别式法．在二次方程有根的前提下通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举法讨论，不等式分析求解．(3)运用根与系数的关系．由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解．(4)巧换主元法．若运用相关方法直接求解困难时，可选择换主元的方法，结合整除知识求解．【综合能力训练】1．△ABC的一边长为5，另两边长恰好是方程的两根，那么m的取值范围是________________．2．设，是方程的两实根，且，则k 的值是 ( )(A)-3或1 (B)-3(C)1 (D)不小于的一切实数3．若方程的两根为α，β，它也是方程的两个根，则 p=_____________．4．若ab≠1，且有，及，则的值是( )(A) (B) (C) (D)5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA和sinB是方程的两根，求∠A 和∠B的度数及k的值．6．求满足如下条件的所有k值，使关于x的方程的根都是整数。
二次函数的根与系数的关系
二次函数的根与系数的关系二次函数是高中数学中的重要内容，它的根与系数之间有着密切的关系。
在数学中，二次函数以 $f(x)=ax^2+bx+c$ 的形式表示，其中 $a$、$b$、$c$ 为实数且$a\neq0$。
在本文中，我们将探讨二次函数的根与系数之间的关系，并希望能对读者的数学学习有所帮助。
首先，让我们来了解什么是二次函数的根。
根是指函数在横轴上与其交点的横坐标值，也就是函数的零点。
对于二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，它的根可以通过解二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 来求得。
根据求解二次方程的一般方法，我们知道二次方程的判别式 $\Delta=b^2-4ac$ 是用来确定二次方程的根的个数和性质的。
当判别式为正时，即 $\Delta>0$，二次方程有两个不相等的实根；当判别式为零时，即 $\Delta=0$，二次方程有两个相等的实根；当判别式为负时，即 $\Delta<0$，二次方程没有实根，而是有两个共轭的复数根。
接下来，我们将探讨二次函数的根与系数之间的关系。
首先考虑二次函数中的系数 $a$。
当 $a>0$ 时，二次函数的图像开口朝上，具有最小值点，根的个数与判别式的关系如下：- 当 $\Delta>0$ 时，函数有两个不相等的实根。
- 当 $\Delta=0$ 时，函数有两个相等的实根。
- 当 $\Delta<0$ 时，函数没有实根。
当 $a<0$ 时，二次函数的图像开口朝下，具有最大值点，根的个数与判别式的关系相同。
接下来考虑二次函数中的系数 $b$。
系数 $b$ 决定了二次函数图像的对称轴位置。
对于二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，它的对称轴的横坐标为 $x=-\frac{b}{2a}$。
当对称轴与横轴相交时，二次函数有一个实根，即判别式 $\Delta=0$。
最后考虑二次函数中的常数项 $c$。
常数项 $c$ 决定了二次函数图像与纵轴的交点位置。
二次函数与一元二次方程的根与系数关系
二次函数与一元二次方程的根与系数关系二次函数和一元二次方程在数学中都是重要的概念，并且它们之间存在着密切的联系。
在本文中，我们将探讨二次函数与一元二次方程的根与系数之间的关系，并研究它们之间的一些特性。
一、二次函数的定义与一元二次方程的定义首先，我们先来了解二次函数和一元二次方程的定义。
二次函数是形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是实数，且a ≠ 0。
一元二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是实数，且 a≠ 0。
二、二次函数的图像与一元二次方程的根的关系二次函数的图像是抛物线，它的开口方向取决于二次项的系数 a 的正负。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
一元二次方程的根就是方程的解，也就是使得方程等式成立的x 值。
根据二次函数的图像性质，我们可以得出以下结论：1. 当二次函数的抛物线与 x 轴相交时，方程有两个实根；2. 当二次函数的抛物线与 x 轴相切时，方程有一个实根；3. 当二次函数的抛物线与 x 轴无交点时，方程没有实根。
因此，通过观察二次函数的图像，我们可以确定一元二次方程的根的情况。
三、二次函数的系数与一元二次方程的根的关系接下来，我们来研究二次函数的系数与一元二次方程的根之间的关系。
1. 根据一元二次方程的求根公式可知，方程的根的判别式 D = b^2 - 4ac。
判别式 D 的值能够决定方程的根的性质。
具体来说：a) 当 D > 0 时，方程有两个不相等的实根；b) 当 D = 0 时，方程有两个相等的实根；c) 当 D < 0 时，方程没有实根，而是存在两个共轭复根。
2. 通过对比二次函数和一元二次方程的一般形式可知，二次函数的系数与一元二次方程的根之间存在着如下关系：a) 二次函数的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))；b) 一元二次方程的根与顶点坐标的关系为 x1 + x2 = -b/a，x1 * x2 = c/a。
二次函数与一元二次方程的根与系数的关系
二次函数与一元二次方程的根与系数的关系作者：罗蓉来源：《课堂内外·教师版》2016年第07期在二次函数与一元二次方程的根与系数的关系中，主要讲解了两个方面的问题：一是用图像法求方程的近似根；二是用方程的方法研究图像与x轴交点个数以及交点求法. 其实解决这两个问题都需要运用数形结合的思想.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像是一条抛物线，这条抛物线与x轴有三种位置关系：（1）有两个交点；（2）只有一个交点；（3）没有交点.当抛物线与x轴有两个交点时，这两个交点大致有下列三种位置关系：（1）同在原点的右边；（2）同在原点的左边；（3）在原点的两旁.因为x轴上点的纵坐标都是0，所以研究上述问题，就变为研究一元二次方程ax2+bx+c （a≠0）的根的判别式、根与系数的关系的问题了.对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），若Δ=b2-4ac>0，则该函数的图像与x轴必有两个交点，这两个交点的位置与一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的根与系数的关系对应如下：设一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两根为x1、x2则有1. 若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴的两个交点同在原点左边时：x1+x20.2. 若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴的两个交点同在原点右边时：x1+x2>0，且x1x2>0.3. 若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴的两个交点位于原点两旁时：x1x2解决有关二次函数的图像与x轴的交点的位置问题，一定要同时考虑一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的根的判别式和根与系数的关系. 在这类问题中，我们经常会遇到这种类型的题：通过以上三个例题的两种解题方法来看，利用数形结合的思想，不失是一种很好的解题途径，可以使复杂的计算简单化，有利于提高解题效率.。
系数和根的关系认识二次方程的系数和根的关系
系数和根的关系认识二次方程的系数和根的关系二次方程是高中数学中的重要概念之一，它在数学和实际问题中都有广泛的应用。
在本文中，我们将探讨系数和根之间的关系，以加深我们对二次方程的理解。
一、二次方程的一般形式二次方程的一般形式可以表示为：Ax^2 + Bx + C = 0。
其中，A、B和C是常数，且A ≠ 0。
在这个方程中，x是未知数，我们要求解的就是x的值。
二、二次方程的根二次方程的根就是使方程等于0的解。
对于一般形式的二次方程，我们可以通过求根公式来求解根的值。
求根公式如下：x = (-B ± √(B^2 - 4AC)) / 2A在这个公式中，±表示两个解，分别对应两个根。
根的个数取决于判别式的值，即B^2 - 4AC的正负情况。
三、系数与根的关系1. 系数与根的关系根据二次方程的求根公式，我们可以看出系数对根有着直接的影响。
首先，根的值完全由系数决定，系数的不同会导致不同的根。
特别地，根与系数之间存在着以下关系：a) 系数A和根的关系系数A的值决定了二次系数的大小，当A > 0时，二次函数的开口朝上，此时根的情况如下：- 如果B^2 - 4AC > 0，方程有两个不相等实数根；- 如果B^2 - 4AC = 0，方程有两个相等实数根；- 如果B^2 - 4AC < 0，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
当A < 0时，二次函数的开口朝下，关于根的情况与上述相同，只是根的取值范围相反。
b) 系数B和根的关系系数B对根的影响主要体现在根的和与积上。
根据求根公式可以得知：- 根的和为 -B / A；- 根的积为 C / A。
因此，系数B的值越大（或越小），根的和越小（或越大）；而系数C的值越大（或越小），根的积越大（或越小）。
c) 系数C和根的关系系数C对根的影响体现在判别式B^2 - 4AC的值上。
当C > 0时，判别式的值越小，方程有两个实数根；当C < 0时，判别式的值越大，方程有两个实数根。
二次函数和根与系数的关系
例1：已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1＜x2）（1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；（2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想．（3）当m=0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．（平面内两点间的距离公式）．解：（1）当k=1，m=0时，如图．由得x2﹣x﹣1=0，∴x1+x2=1，x1?x2=﹣1，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C．∵直线AB的解析式为y=x+1，∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC=|x2﹣x1|==；同理，当k=1，m=1时，AB=；（2）猜想：当k=1，m为任何值时，AB的长不变，即AB=．理由如下：由，得x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣1=0，∴x1+x2=2m+1，x1?x2=m2+m﹣1，∴AB=AC=|x2﹣x1|==；（3）当m=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由如下：①当k=0时，则函数的图象为直线y=1，由，得A（﹣1，1），B（1，1），显然△AOB为直角三角形；②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1，由，得x2﹣x﹣1=0，∴x1+x2=1，x1?x2=﹣1，∴AB=AC=|x2﹣x1|==，∴AB2=10，∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+（x1+1）2+（x2+1）2=x12+x22+（x12+2x1+1）+（x22+2x2+1）=2（x12+x22）+2（x1+x2）+2=2（1+2）+2×1+2=10，∴AB2=OA2+OB2，∴△AOB是直角三角形；③当k为任意实数，△AOB仍为直角三角形．由，得x2﹣kx﹣1=0，∴x1+x2=k，x1?x2=﹣1，∴AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2=（x1﹣x2）2+（kx1﹣kx2）2=（1+k2）（x1﹣x2）2=（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1?x2]=（1+k2）（4+k2）=k4+5k2+4，∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+（kx1+1）2+（kx2+1）2=x12+x22+（k2x12+2kx1+1）+（k2x22+2kx2+1）=（1+k2）（x12+x22）+2k（x1+x2）+2=（1+k2）（k2+2）+2k?k+2=k4+5k2+4，∴AB2=OA2+OB2，∴△AOB为直角三角形．5)的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，且点M、N与X 如图，已知抛物线y=x2-4x+3，过点D(0，-2轴交于E点，且M、N关于点E对称，求直线MN的解析式。
二次函数与根与系数关系综合运用
二次函数与根与系数关系综合运用二次函数是数学中一种重要的函数类型，其表达式可以写成：$y=ax^2+bx+c$，其中$a, b, c$为常数，且$a\neq0$。
二次函数的图像是一个抛物线，其根的数量取决于判别式$S=b^2-4ac$的正负性。
一、根与系数的关系根据二次函数的定义，我们可以推导出根与系数之间的关系。
1.虚根的情况若判别式$S=b^2-4ac$小于零，则二次函数的图像与$x$轴没有交点，即方程$ax^2+bx+c=0$无实根。
此时，方程的根为复数。
2.重根的情况若判别式$S=b^2-4ac$等于零，则二次函数的图像与$x$轴有一个交点，即方程$ax^2+bx+c=0$有一个实根。
此时，方程的根为重根。
3.两个不同实根的情况若判别式$S=b^2-4ac$大于零，则二次函数的图像与$x$轴有两个交点，即方程$ax^2+bx+c=0$有两个不同实根。
此时，方程的根为实数。
二、根与系数的综合应用根与系数的关系在实际问题中有着广泛的应用，下面我们来看几个例子：例1：已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像上有两个交点$(1,3)$和$(-2,7)$，求该二次函数的表达式及其判别式。
解：由已知条件可得两个方程：\[a+b+c=3 \quad...(1)\]\[4a-2b+c=7 \quad...(2)\]将(1)式左右两边乘以2，再与(2)式相减可以解得：\[-4b+3a=1 \quad...(3)\]解得$a=\frac{5}{3}, b=-\frac{7}{6}$。
将$a, b$的值代入(1)式或(2)式中，可以解得$c=\frac{7}{3}$。
所以该二次函数的表达式为：\[y=\frac{5}{3}x^2-\frac{7}{6}x+\frac{7}{3}\]判别式$S=(-\frac{7}{6})^2-4(\frac{5}{3})(\frac{7}{3})=\frac{49}{36}-\frac{140}{27}=-\frac{23}{108}<0$。
二次函数与二次方程的根与系数关系
二次函数与二次方程的根与系数关系二次函数和二次方程是数学中的重要概念，它们之间存在着密切的根与系数关系。
本文将详细介绍二次函数与二次方程的定义、性质以及它们之间的根与系数的关联。
一、二次函数的定义和性质二次函数是一种形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c都是实数且a不等于零。
二次函数的图像是一个拱形的曲线，称为抛物线。
其中，a决定了抛物线的开口方向和拱的程度，b决定了抛物线在x轴上的平移方向和程度，c决定了抛物线在y轴上的平移方向和程度。
二、二次方程的定义和性质二次方程是一个等于零的二次多项式，它的标准形式为ax^2 + bx +c = 0。
其中a、b和c是实数且a不等于零。
二次方程的解称为方程的根，可以分为实数根和复数根。
二次方程的根与系数之间存在着紧密的关系。
三、二次函数与二次方程的根与系数关系1. 根与系数的关系对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c来说，它的根可以通过求解对应的二次方程ax^2 + bx + c = 0得到。
即二次函数的x轴交点就是二次方程的根，它们具有一一对应的关系。
2. 倒数与系数的关系二次函数的导数是一个一次函数，表示为f'(x) = 2ax + b。
二次函数的导数可以用来研究二次函数的增减性和极值点。
从导数的表达式可以看出，导数的斜率2a与二次函数的系数a相关，具有一定的倍数关系。
3. 零点与系数的关系二次函数的零点是函数等于零的x值，即f(x) = 0。
对应的二次方程ax^2 + bx + c = 0的根也就是二次函数的零点。
根据二次函数的定义可知，零点即为二次函数和x轴的交点。
因此，零点与二次函数的系数a、b、c之间存在着密切的关系，可以通过求解二次方程得到二次函数的零点。
四、根与系数的具体计算方法通过求解二次方程可以得到二次函数的根，进而分析二次函数的性质。
求解二次方程可以使用公式法和配方法。
1. 公式法当二次方程ax^2 + bx + c = 0的系数a、b、c已知时，可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)来求解二次方程的根。
二次函数根和系数关系
一元二次方程的根与系数的关系也称为韦达定理，其逆定理也成立，它是由16世纪的法国数学家韦达发现的．它揭示了实系数一元二次方程的根与系数的关系，它形式简单但内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用．【知识要点】，，的两根为，那么，1．如果方程(a≠O)这就是一元二次方程的根与系数的关系．2．如果两个数的和为m，积为n，则以这两个数为根的一元二次方程为．3．若已知一元二次方程的一个根，可不直接解原方程，利用根与系数关系，求出另一根．4．求一元二次方程根的对称式的值，关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式．若，则方时：≠O)有两根(1)5，．当一元二次方程(a，，则方程有两个正根；(3)程有一正一负根；(2)若若，，则方程有两个负根．【趋势预测】利用根与系数关系，可以解决许多有关方程的问题，有些非方程类的问题我们也可以通过根与系数关系构造一元二次方程，然后用一元二次方程的知识来解．因此预测以后竞赛的重点在以下几个方面：①求方程中字母系数的值或取值范围；②求代数式的值；③结合根的判别式，判断根的符号特征；④构造一元二次方程解题；⑤证明代数等式，不等式；⑥与一元二次方程的整数根有关的问题．【范例解读】已知二次方程(ac≠0)有两异号实根m和·陕西题1 (1997) n，且m<n，( )那么，二次方程的根的情况是(A) (B)有两个正根有两个负根无实数根(D)(C)两根异号的判别式的符号．如果由判别式符号确定方程首先考虑方程分析．有实根，还要通过根与系数关系来确定两根的正负号．解∵m，n异号且m<n，，．，从而∴m<0，n>0方程的判别式：，故方程必有两实根．，则由根与系数关系得，设这两个实根为，均为负数，故选(A)，可知．，的两个实根，c和(1997题2·上海) 若a和b是方程d是方程是方程f的两个实根，e和的两个实根，则的值为_____________．，-2q，将，c+d＝-2p3＝，ef＝3，a+b＝3 分析由已知可得ab＝，cd(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)展开，把上列数值代入，可得所求值．但若全部展开，结果很繁，因此考虑局部展开，分步代入．解由方程根与系数关系得，，则-2qc+d＝-2p33，cd＝，ef＝，a+b＝，ab=3，不解方程，求β>α的两根，是方程β，α已知) ·祖冲之杯(19963题．的值．分析待求式中α，β是不对称的，但根与系数的关系具有对称性，应设法构造一个与待求式相对应的代数式一起辅助解决问题．解由根与系数的关系得α+β=7，αβ＝8，，∴．，故，．因α>β，令，从而记，．∴，其中m已知，，n·江苏题4 (2000) 为实数，则__________.分析根据两个方程系数的特点，可作恰当的变形，使两个方程具有相同的结构．把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程，然后用根与系数关系来求值．解由已知等式可变形成与，，的关系没有给定，故应分两种情况：由于m；时，①当．是方程的两个根，则由根与系数关系，②当时，可知m，．得．∴或综合①，②得.的两个实根为α，β，题5(1996·江苏) 设为根的一元二次方程；(1)求以，为根的一元二次方程仍是若以，求所有这样的一元二次方程．(2) ，根据方程根与系数关系求的值，由此即可作出新方程；根据新方和分析程的一次项系数等于-p，常数项等于q，可求得p，q的值．解(1)由根与系数β＝q，关系得α+β＝p，α，∴．所求方程是；由题意得(2) 则根据七种情况的值依次得以下七个方程：，，，，，，．.其中仅无实数根，舍去故所有这样的一元二次方程有六个，分别为：．，，，，，题6(2000·全国) 设关于x的二次方程的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．分析根据方程系数的特点，可先用十字相乘法求出方程两根，然后利用两根都是整数设法先消去是求得两根后，再求出是的值．解原方程可化为．∵(k-4)(k-2)≠0，∴解得方程两根为，，，∴，∴．消去k ，得，由于都是整数，故，．3 对应的k的值分别为6，【方法指引】1．构造对偶式法．对一个已知代数式或一个已知命题，我们构造一个与之对应的代数式或对应的命题，然后一起参与运算(通常是加、减、乘、除)，从而使问题获得巧解．这种方法称为构造对偶式法．常用的构造方法有利用倒数关系、有理化因式、配对等．2．解一元二次方程的整数根问题的基本方法有：(1)直接求解法．若根可用有理式表示，则先求出根，再结合整除性求解．(2)利用判别式法．在二次方程有根的前提下通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举法讨论，不等式分析求解．(3)运用根与系数的关系．由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解．(4)巧换主元法．若运用相关方法直接求解困难时，可选择换主元的方法，结合整除知识求解．【综合能力训练】，另两边长恰好是方程的两根，那么mABC．△的一边长为5的取值1 范围是________________．k2的两实根，且．设是方程，，则的值是( )(A)-3或1 (B)-3不小于的一切实数(C)1 (D)，它也是方程的两个根，α，3β．若方程的两根为．则p=_____________，则的值是≠1，及，且有( )．若4ab(D) (C)(A) (B)是方程sinB°，若90sinA和．在5Rt△ABC中，∠C＝的两根，求∠A和∠B的度数及k的值．的方程x值，使关于的根都是整6．求满足如下条件的所有k 数。
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二次函数和根与系数的关系SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-例1：已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A （x1，y1）、B（x2，y2）；（x1＜x2）（1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；（2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想．（3）当m=0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．（平面内两点间的距离公式）．解：（1）当k=1，m=0时，如图．由得x2﹣x﹣1=0，∴x1+x2=1，x1?x2=﹣1，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C．∵直线AB的解析式为y=x+1，∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC=|x2﹣x1|==；同理，当k=1，m=1时，AB=；（2）猜想：当k=1，m为任何值时，AB的长不变，即AB=．理由如下：由，得x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣1=0，∴x1+x2=2m+1，x1?x2=m2+m﹣1，∴AB=AC=|x2﹣x1|==；（3）当m=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由如下：①当k=0时，则函数的图象为直线y=1，由，得A（﹣1，1），B（1，1），显然△AOB为直角三角形；②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1，由，得x 2﹣x ﹣1=0，∴x 1+x 2=1，x 1?x 2=﹣1，∴AB=AC=|x 2﹣x 1|==，∴AB 2=10，∵OA 2+OB 2=x 12+y 12+x 22+y 22=x 12+x 22+y 12+y 22=x 12+x 22+（x 1+1）2+（x 2+1）2=x 12+x 22+（x 12+2x 1+1）+（x 22+2x 2+1）=2（x 12+x 22）+2（x 1+x 2）+2=2（1+2）+2×1+2=10，∴AB 2=OA 2+OB 2，∴△AOB 是直角三角形； ③当k 为任意实数，△AOB 仍为直角三角形．由，得x 2﹣kx ﹣1=0，∴x 1+x 2=k ，x 1?x 2=﹣1，∴AB 2=（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2=（x 1﹣x 2）2+（kx 1﹣kx 2）2=（1+k 2）（x 1﹣x 2）2=（1+k 2）[（x 1+x 2）2﹣4x 1?x 2]=（1+k 2）（4+k 2）=k 4+5k 2+4，∵OA 2+OB 2=x 12+y 12+x 22+y 22=x 12+x 22+y 12+y 22=x 12+x 22+（kx 1+1）2+（kx 2+1）2=x 12+x 22+（k 2x 12+2kx 1+1）+（k 2x 22+2kx 2+1）=（1+k 2）（x 12+x 22）+2k （x 1+x 2）+2=（1+k 2）（k 2+2）+2k?k+2=k 4+5k 2+4， ∴AB 2=OA 2+OB 2， ∴△AOB 为直角三角形．如图，已知抛物线y=x2-4x+3，过点D(0，-25)的直线与抛物线交于点M 、N ，与x 轴交于点E ，且点M 、N 与X 轴交于E 点，且M 、N 关于点E 对称，求直线MN 的解析式。
解：∵D (0,-25) ∴设直线MN 的解析式为y=kx-25 ∴25243y kx y x x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩ ∴kx-25=x2-4x+3∴x2-(4+k)x+112=01x +2x =-ba=4+k4225EMNDO∵m y +n y =0=k(4+k) ∴k=1或-5(舍)∴直线MN 的解析式为y=x-25 1、如图，抛物线y=x 2﹣2x ﹣3与坐标轴交于A 、B 、三点，直线y=kx-1与抛物线交于P 、Q两点，且y 轴平分△PCQ 的面积，求k 的值。
（答案：k=-2）已知：二次函数m x m x y ++-=)1(2的图象交x 轴于)0,(1x A 、)0,(2x B 两点，交y 轴正半轴于点C ，且102221=+x x 。
（1）求此二次函数的解析式； （2）是否存在过点D (0，25)的直线与抛物线交于点M 、N ，与x 轴交于点E ，使得点M 、N 关于点E 对称？若存在，求直线MN 的解析式；若不存在，请说明理由。
例2、已知抛物线y=0.25x 2﹣2x ﹣5与x 轴交A 、B 两点，与y 轴交于点C ，将直线m:y=0.75x-9向上平移，交抛物线于M 、N 。
MN 交y 轴正半轴于点T ，S △MCT -S △CNT =44，求直线m 的解析式。
如图，抛物线y=x 2，过Q （0，3）作直线l 交抛物线于E 、F ，点Q 关于原点的对称点为P ，当S △PEF =12时，求E 、F 点的坐标。
如图，抛物线y =—x 2+4x ﹣3与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为M ，将抛物线沿射线OM 的方向平移，平移后的抛物线交x 轴于点A1，B1，若2≦A1B1≦4，求M 移动的最大距离.如图，抛物线y=—x 2+3x+6交y 轴于点A ，点C(4，k)在抛物线上，将抛物线向右平移n 个单位长度后与直线AC 交于M 、N 两点，且M 、N 关于点C 成中心对称，求n 的值。
解：∵点A 、C 在抛物线y=-x2+3x+6上∴A(0,6)C(4,2)∴AC:y=-x+6 ∵抛物线y=-x2+3x+6的顶点G(1.5,8.25)抛物线向右平移n 个单位后，G 点对应点G ’坐标为(1.5+n,8.25),设新抛物线解析式为y=-[x-(1.5+n)]2+8.25联立：2( 1.5)8.256y x n y x ⎧=---+⎨=-+⎩∴x2-(4+2n)x+n2+3n=0∴M N X X +=4+2n∵点M 、N 关于C 点中心对称∴422n+=C x =2∴n=2、如图，已知抛物线y=-x2+2x+3与坐标轴交于A 、B 、C 三点，点D 、C 关于原点对称，点M 、N 是抛物线上两点，且四边形CMDN 为平行四边形，求点M 、N 的坐标。
解：∵点A 、B 、C 在抛物线y=-x2+2x+3上∴C(0,3)Ａ(-1,0)B(3,0)∵点D 、C 关于原点对称∴D(０,３)∵四边形CMDA 是平行四边形∴CN ∥MD 且CN=MD 设N(m,n)∵MN 关于原点对称∴M(-m,-n)∵M 、N 在抛物线y=-x2+2x+3上∴222323m m nm m n ⎧-++=⎨--+=-⎩∴1m 32m 3舍)∴3333，3)例3、如图，抛物线y=（x —1）2—13/4的顶点为A ，与y 轴的负半轴交于B 点，将抛物线向下平移与直线AB 相交C 、D 两点，若BC+AD=AB,求平移后的抛物线的解析式.1、抛物线y=—x 2/3+x/3,将直线y=0.5x 向下平移n 个单位长度，与抛物线交于E 、F 两点，若∠EOF=90°，求n 的值2、如图，抛物线y =—x 2+2x+3与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，P 点为BC 上的一个动点，过P 作BC 的垂线交抛物线于M 、N 两点，若四边形BMCN 的面积为12，求直线MN 的解析式。
如图，已知抛物线与x 轴交于A(-1，0)、B(3，0)两点，与y 轴交于点C(0，3)。
（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标;若不存在，请说明理由;（3）若点M 是抛物线上一点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标。
解：⑴∵抛物线与y 轴交于点C （0，3），∴设抛物线解析式为)0(32≠++=a bx ax y根据题意，得⎩⎨⎧=++=+-,0339,03b a b a ，解得⎩⎨⎧=-=.2,1b a∴抛物线的解析式为322++-=x x y⑵由322++-=x x y 得，D 点坐标为（1，4），对称轴为x ＝1。
①若以CD 为底边，则PD ＝PC ，设P 点坐标为(x,y)，根据勾股定理， 得2222)4()1()3(y x y x -+-=-+，即y ＝4－x 。
又P 点(x,y)在抛物线上，∴3242++-=-x x x ，即0132=+-x x 解得253±=x ，1253<-，应舍去。
∴253+=x 。
∴2554-=-=x y ，即点P 坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+255,253。
②若以CD 为一腰，因为点P 在对称轴右侧的抛物线上， 由抛物线对称性知，点P 与点C 关于直线x ＝1对称， 此时点P 坐标为（2，3）。
∴符合条件的点P 坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+255,253或（2，3）。
⑶由B （3，0），C （0，3），D （1，4），根据勾 股定理,得CB ＝23,CD ＝2,BD ＝52∴20222==+BD CD CB ∴∠BCD ＝90°设对称轴交x 轴于点E ，过C 作CM ⊥DE ，交抛物线于点M ，垂足为F ，在Rt △DCF 中， ∵CF ＝DF ＝1, ∴∠CDF ＝45°,由抛物线对称性可知，∠CDM ＝2×45°＝90°,点坐标M 为（2，3）， ∴DM ∥BC,∴四边形BCDM 为直角梯形 由∠BCD ＝90°及题意可知，以BC 为一底时，顶点M 在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;不存在以CD 为一底或以BD 为一底，且顶点M 在抛物线上的直角梯形∴综上所述，符合条件的点M 的坐标为（2，3）。
5、已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （5，0）、B （6，-6）和原点.（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点B 的直线y kx b '=+与抛物线相交于点C （2，m ），请求出∆OBC 的面积S 的值.（3）过点C 作平行于x 轴的直线交y 轴于点D ，在抛物线对称轴右侧位于直线DC 下方的抛物线上，任取一点P ，过点P 作直线PF 平行于y 轴交x 轴于点F ，交直线DC 于点E .直线PF 与直线DC 及两坐标轴围成矩形OFED （如图），是否存在点P ，使得∆OCD 与∆CPE 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.xy F-2-4-6ACE PDB521246G解：（1）由题意得：255036600a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得：150a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴抛物线解析式为：25y x x =-+（2）C 在抛物线上，2252,6m m ∴-+⨯=∴=C ∴点坐标为（2，6），B 、C 在直线y kx b '=+上∴6266k b k b '=+⎧⎨'-=+⎩解得：3,12k b '=-= ∴直线BC 的解析式为312y x =-+设BC 与x 轴交于点G ，则G 的坐标为（4，0） （3）设P (,)m n ，90ODC E ∠=∠=︒ 故2,6CE m EP n =-=- ∵OCD ∽CPE∴OD DC CE EP =或OD DCEP CE =即6226m n =--或6262n m =-- 解得203m n =-或123n m =-又(,)m n 在抛物线上，22035m n n m m =-⎧⎨=-+⎩或21235n mn m m=-⎧⎨=-+⎩ 解得10213502192,,6m m n n ⎧==⎧⎪⎨⎨==⎪⎩⎩或121226,66m m n n ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ ∴P 点坐标为1050()39，和(6,6)-。