(优选)第四节空间的曲面与曲线
空间曲面和曲线.ppt
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z1 ) 0
得:
f x2 y2 , z 0,
北京理工大学数学系
f x2 y2 , z 0,
yoz坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面的方程.
1
球 面
（3）抛物线
y2
2
pz 绕 z 轴；
x 0
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
北京理工大学数学系
四.椭圆锥面
设C是椭圆，P为C外的定点，
过P和C上的每一点作直线， 所有这些直线形成的曲面
称为椭圆锥面。
所有直线称为母线， C称为准线， P称为顶点。
?与圆锥面的区别?
C P
3
3 9
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例 3 已知 A(1,2,3)，B(2,1,4)， 求线段 AB的垂直平分面的方程.
解 设M( x, y, z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 22 y 12 z 42 ,
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五、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线的一般方程：GF((xx,,
y, z) y, z)
0 0
消去变量z后得： H ( x, y) 0
曲线关于xoy 的投影柱面
投影柱面的特征：
以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.
北京理工大学数学系
如图:投影曲线的研究过程.
北京理工大学数学系
微分几何简明教程
微分几何简明教程微分几何是数学中非常重要的一个分支，它研究了曲线、曲面以及它们的性质和变化。
在本篇文章中，我们将为您简要介绍微分几何的基本概念和方法。
一、曲线和曲面微分几何的研究对象主要包括曲线和曲面。
曲线可以在二维平面或三维空间中表示，它由一组点的轨迹组成。
曲面则是三维空间中的一个二维表面，可以通过方程或参数方程来表示。
二、切线和法线切线是曲线上某一点的切线方向，它与曲线在该点的切点重合。
切线用来描述曲线在该点处的变化率和方向。
对于曲面，我们可以引入法向量来描述曲面在某一点的法线方向。
法线垂直于曲面，并指向曲面上一侧。
三、方向导数和梯度方向导数和梯度是微分几何中非常重要的概念。
方向导数用于描述函数在给定方向上的变化率。
梯度是一个向量，它指向函数变化最快的方向，并给出了函数的变化率。
四、曲率和曲率半径曲线和曲面的曲率是描述其弯曲程度的一个重要概念。
曲率用来衡量曲线或曲面上某一点附近的弯曲情况。
曲率半径则是曲率的倒数，用来表示曲线或曲面的弯曲程度。
五、微分几何的应用微分几何在众多领域中都有重要的应用，如物理学、工程学、计算机图形学等。
在物理学中，微分几何用于描述空间中的运动和变形；在工程学中，微分几何用于设计曲线和曲面形状；在计算机图形学中，微分几何用于生成真实感的三维模型。
六、学习资源如果您对微分几何感兴趣，可以参考以下学习资源进一步深入学习：1. 《微分几何导论》：这是一本经典的微分几何教材，适合初学者入门学习。
2. 在线课程：有许多在线平台提供微分几何的免费或付费课程，您可以选择适合自己的课程进行学习。
3. 学术论文和研究文章：阅读相关的学术论文和研究文章，可以了解最新的研究进展和应用领域。
空间曲线与曲面
空间曲线与曲面空间曲线和曲面是几何学中重要的概念，它们在理解和描述物体的形状和运动过程中起着至关重要的作用。
本文将探讨空间曲线与曲面的定义、性质以及其应用领域。
一、空间曲线的定义与性质空间曲线是三维空间中的一条连续曲线，在数学上通常表示为参数方程形式或者向量函数形式。
一条空间曲线由无数个点组成，这些点沿着曲线有一定的规律排列。
空间曲线具有以下性质：1. 长度：曲线的长度可以通过对参数范围进行积分计算得出。
长度为曲线上各点之间的距离之和。
2. 切线：曲线上的每一点都有一个唯一的切线与曲线相切。
切线是通过该点的一条直线，与曲线在该点处重合。
3. 曲率：曲线的曲率描述了曲线曲率变化的速度。
曲率可以通过求曲线的曲率半径和弧长的比值得出。
二、空间曲线的应用空间曲线广泛应用于多个学科和领域，如物理学、工程学和计算机图形学等。
以下是空间曲线在相关领域中的应用举例：1. 物理学：在纳米尺度和宏观尺度的物理研究中，空间曲线被用于描述电磁场线、粒子轨迹、物质流动等。
通过分析空间曲线的性质，可以揭示物质的运动规律和相互作用方式。
2. 工程学：在工程设计和制造过程中，空间曲线用于描述物体的外形和运动轨迹。
例如，在航空航天领域，通过研究飞行器的曲线轨迹，可以优化设计以提高飞行效率和安全性。
3. 计算机图形学：计算机图形学中的曲线建模技术使用空间曲线来表示和绘制三维对象。
空间曲线可以通过插值和逼近方法生成，使得计算机可以准确地表示和操作复杂的曲线形状。
三、空间曲面的定义与性质空间曲面是三维空间中的一个二维平面，它由无数个点组成，并且在任意一点处都具有一个唯一的切平面。
在数学上，曲面可以用参数方程、隐函数方程或者二次方程等形式表示。
空间曲面具有以下性质：1. 切平面：曲面上的每一点都有一个唯一的切平面与其相切。
切平面是通过该点的一个二维平面，与曲面在该点处相切。
2. 法向量：曲面上的每一点都有一个对应的法向量，它垂直于曲面上的切平面。
高等数学中的空间曲线与曲面
参数定义：参数是描述曲面上点位 置的变量，通常用两个参数表示。
参数选择：参数的选择对于曲面的 形状和性质有很大影响，不同的参 数选择会导致不同的曲面形状。
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参数方程：参数方程是描述曲面上 的点与参数值之间关系的方程组， 通常由两个参数方程组成。
参数方程的应用：参数方程在几何、 物理、工程等领域都有广泛应用， 是描述复杂曲面形状的重要工具。
的任意曲线。
参数曲线：通 过参数方程定 义的曲线，参 数可以是时间、 角度或其他量。
极坐标曲线： 通过极坐标方 程定义的曲线， 通常用于描述 圆、椭圆等形
状。
曲率：描述曲线在某一点的弯曲程 度
曲线的方向：通过切线方向和法线 方向确定曲线的方向
添加标题
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挠率：描述曲线在垂直于给定点的 切线方向上的弯曲程度
曲线的弯曲程度和方向在高等数学 中对于研究空间曲线的性质和几何 特性非常重要
定义：曲线的长度 是曲线上的点与原 点之间的距离之和
性质：曲线的长 度与曲线的形状、 大小和方向有关
计算方法：通过微 积分学中的定积分 来计算曲线的长度
应用：在几何学、 物理学和工程学等 领域有广泛的应用
பைடு நூலகம்
切线的定义：切线是与曲线在某一点的法线垂直的直线
性质：测地线是唯一的，而短程线可能有多个。
应用：在几何学、物理学和工程学等领域有广泛应用。
与空间曲线的区别：空间曲线上的测地线和短程线是不同的概念。
空间曲线与曲面在几何学中有着广泛的应用，如描述三维空间中的曲线和曲面。 通过空间曲线与曲面的性质，可以推导出许多重要的几何定理和性质。 空间曲线与曲面在几何学中可以用于解决一些实际问题，如计算物体的表面积和体积等。 空间曲线与曲面在几何学中还可以用于研究一些复杂的几何形状，如分形和混沌等。
高等数学_空间曲面和曲线
如果曲面 S 与三元方程F( x, y, z) 0有下述关系：
(1) 曲面上任一点的坐标都满足方程； (2) 不在曲面上的点的坐标都不满足方程；
那么, 方程 F( x, y, z) 0 就称为曲面S 的方程,
而曲面 S 称为方程的图形.
例1 建立球心在点 M0( x0 , y0 , z0 ), 半径为 R 的球面方程.
旋转一周所成的曲面, 称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转曲面的轴.
轴
此曲线称母线.
为方便, 常把曲线所在
母线
平面取作坐标面, 旋转轴取
作坐标轴.
现求 yOz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0
绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程.
设 M ( x, y, z)是旋转曲面上任意一点,
(1) z z1
4 x2 y2 3( x2 y2 )
则交线C
在
xOy
面上的投影为
x
2
y2
1
z 0
所求立体在 xOy 面上的投影为 x2 y2 1.
谢谢观看！ 2020
2x 3z 6 表示平面， z
x2 y2 1
2
2x 3z 6
C交 线 为 椭 圆
O1y
x
例5
方程组
z
x
a
a 2
2 x2 y2
2
y2
a2
4
表示怎样的曲线?
z
解 z a2 x2 y2
上半球面 (如图)
பைடு நூலகம்
x a 2 y2 a2
2
4
圆柱面 (如图)
O
交线为蓝色部分 (如图)
高等数学(下册)
读书笔记模板
01 思维导图
03 读书笔记 05 目录分析
目录
02 内容摘要 04 精彩摘录 06 作者介绍
思维导图
本书关键字分析思维导图
内容
曲面
数学
函数
积分
小结
曲线
数学
知识点
教材 函数
方程
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内容摘要
本书是按照教育部大学数学课程教学指导委员会的基本要求，充分吸取当前高等数学教材的精华，并结合同 济大学数学系多年来的教学实践经验，针对当前学生的知识结构和习惯特点而编写的。全书分为上、下两册。本 书为下册，是多元函数微积分部分，共四章，主要内容包括向量与空间解析几何，多元函数微分学，多元函数积 分学，无穷级数。每节前面配有课前导读，核心知识点配备微课，每章后面附有章节测试和拓展阅读。本书注重 知识点的引入方法，使之符合认知规律，更易于读者接受。同时，本书精炼了主要内容，对部分内容调整了顺序， 使结构更加简洁，思路更加清晰。本书还注重知识的连贯性，例题的多样性和习题的丰富性、层次性，使读者在 学习数学知识点的同时拓宽视野，欣赏数学之美。本书可作为高等院校理工科类各专业的教材，也可作为社会从 业人员的自学参考用书。
精彩摘录
方程 称为拉普拉斯方程，它代表数学物理方程中的一类很重要的方程，若引入记号（算子） ，则拉普拉斯 方程可写成Δu=0.上述算子也称为拉普拉斯算子.
定理1 如果函数z=f（x，y）的两个二阶混合偏导数 在区域D内连续，则在该区域内有 . 定理2 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在轴上的投影的和. 如果函数z=f（x，y）的偏导数 在点（x，y）存在且连续，则函数在该点处可微分. cos2α+cos2β+cos2γ=1，即任一向量的方向余弦的平方和为1. 定理1 向量[插图]在u轴上的投影等于向量的模乘以u轴与向量[插图]的夹角θ的余弦，即 在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续．但对多元函数而言，即 使函数在某点的各个偏导数都存在，也不能保证函数在该点连续. 方程Ax+By+Cz+D=0称为平面的一般方程，其中n=（A，B，C）即为该平面的一个法向量. 定义1 给定向量a与b，我们将|a|与|b|及它们的夹角θ的余弦的乘积，称为向量a与b的数量积，记为a·b， 即a·b=|a||b|cosθ=|a||b|cos（[插图]）（0≤θ<π）.
空间曲面与曲率
空间曲面与曲率空间曲面是三维空间中的一个二维曲面，它可以被描述为具有一定曲率的几何形状。
曲率是描述空间曲面弯曲程度的性质，它能够反映出曲面的特征和性质。
本文将介绍空间曲面的概念以及曲率的计算方法。
一、空间曲面的概念空间曲面是曲线的推广，它是一个局部平坦的二维曲面。
在三维空间中，一个曲面由其参数方程或者隐式方程来描述。
例如，球面可以由参数方程x = r·sinθ·cosφ, y = r·sinθ·sinφ, z = r·cosθ 来表示，其中r是球的半径，(θ, φ)是球面上的参数。
空间曲面的性质取决于其参数方程或者隐式方程的形式。
例如，球面是一个具有正曲率的曲面，而柱面是一个具有零曲率的曲面。
曲率是描述曲面弯曲的主要性质，下面将对曲率进行详细讨论。
二、曲率的计算方法曲率是描述曲面弯曲程度的数量，它可以通过计算曲面上的切平面与曲面相切的一般曲线的弯曲程度来获得。
曲率的计算涉及到切向量、法向量和曲面方程。
1.切向量：切向量是一个与曲线或曲面相切的向量，它指示曲线或曲面在某一点上的方向。
在曲面上的任意一点P上，可以通过求取曲面方程在该点的一阶偏导数来获得切向量。
2.法向量：法向量是垂直于曲面切平面的向量，它垂直于曲面上的每一个切向量。
法向量可以通过计算曲面方程在某一点上的梯度来获得。
3.曲率的计算：曲率可以由曲面上的切向量和法向量之间的关系来计算。
具体而言，曲率可以通过求取切向量与法向量的内积再除以切向量的模长来得到。
三、应用与实践空间曲面与曲率的研究在数学、物理学、计算机图形学等领域具有重要意义。
在数学中，空间曲面与曲率是微分几何的基本研究对象，通过对曲面曲率的分析可以帮助研究曲面的几何性质和拓扑结构。
在物理学中，空间曲面与曲率广泛应用于描述时空曲率与引力场的关系，它在广义相对论理论中起着重要作用。
在计算机图形学中，空间曲面与曲率的研究可以用于建模和渲染复杂的曲面形状，让计算机生成逼真的图形。
大学数学_7_4 曲面与曲线
O
x 图7-34
y
例 6 一动点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角速度 绕 z 轴旋转时，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方 向上升，( , v都是常数) ， 则点 M 的几何轨迹叫做螺旋线 （7-35） ，试建立其参数方程. z 解 取时间 t 为参数，设t 0 时动 点在点 A( a,0,0) 处，在 t 时刻，动点在 点 M ( x, y , z ) 处.过点 M 作 xOy 面的 ' 垂线，则垂足为 M ( x, y,0) .由于 O My AOM ' t , MM ' vt , M’ x 故 x a cos AOM ' a cos t , 图7-35 y a sin AOM ' a sin t , z MM ' vt , x a cos t , 所以螺旋线的参数方程为： y a sin t , z vt.
求曲线： 2 2 z x y 2 2 z x y 在 xOy 面上的投影方程. 例7
从曲线 的方程中消去 z，得 x2 y 2 x2 y 2 , 化简后，得 ( x 2 y 2 )( x 2 y 2 1) 0, 因为 x 2 y 2 0 ，所在曲线 关于 xOy 面的投影柱面方程为 x2 y2 1 （是圆柱面） ，在 xOy 面的投影方程为 1 2 2 x y 2 z 0 （是 xOy 面上的圆）. 解
Hale Waihona Puke y2 z2 例 2 将 yOz 面上的椭圆 2 2 1分别绕 z 轴和 y 轴 a b 旋转，求所形成的旋转曲面方程. 解 绕 z 轴旋转而形成的旋转曲面（图 7-28）方程 为 x2 y 2 z 2 z 1 ， a2 b2 b x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 a a b a 绕 y 轴旋转而形成的旋转曲面方程为 y y 2 x2 z 2 a 1， 2 2 x a b 图7-28 x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 b a b
曲面与曲线知识点总结
曲面与曲线知识点总结一、曲线与曲面的基本概念曲线是在平面上的点按照特定的规则所组成的图形，而曲面则是在三维空间内的点按照特定的规则所组成的图形。
在数学上，我们可以用函数来描述曲线和曲面，从而研究它们的性质和特点。
1.1 曲线的性质曲线可以是直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等不同类型的图形。
我们可以通过曲线的方程以及参数方程来描述它的形状和位置。
曲线的长短、曲率、切线、法线等性质对于描述曲线的形态和特点至关重要。
1.2 曲面的性质曲面可以是球面、圆柱面、圆锥面、双曲面、抛物面等不同类型的图形。
我们可以用二元函数或者参数方程来描述曲面的形状和位置。
曲面的曲率、切线、法线等性质是研究曲面形态的重要工具。
1.3 直角坐标系和参数方程在研究曲线和曲面的性质时，我们可以使用直角坐标系、参数方程和极坐标系等不同的数学工具来描述它们的形态和位置关系。
不同的描述方法可以帮助我们更好地理解曲线和曲面的性质。
二、曲线的方程与性质曲线方程是研究曲线性质的重要工具，通过曲线方程我们可以得到曲线的形状、位置、长度、曲率等重要信息。
2.1 一元曲线的方程一元曲线的方程可以用直角坐标系的方程或者参数方程来表示。
常见的一元曲线包括直线、圆和椭圆、抛物线、双曲线等。
这些曲线都有各自的特点和性质，通过曲线方程我们可以了解它们的形状和位置关系。
2.2 二元曲线的方程二元曲线的方程可以用参数方程或者隐式方程来表示。
常见的二元曲线包括螺线、双曲线、阿基米德螺线等。
通过曲线方程我们可以了解二元曲线的性质和特点。
2.3 曲线的性质曲线的性质包括长度、曲率、切线、法线等重要内容。
通过曲线方程和导数的求解，我们可以求得曲线的长度、曲率和切线、法线等相关信息，从而了解曲线的形态和特点。
三、曲面的方程与性质曲面方程是研究曲面性质的重要工具，通过曲面方程我们可以得到曲面的形状、位置、曲率等重要信息。
3.1 一元曲面的方程一元曲面的方程可以用隐式方程或者参数方程来表示。
曲线与曲面方程
曲线与曲面方程曲线和曲面方程是数学中重要的概念，在几何学和微积分等领域有着广泛的应用。
本文将介绍曲线和曲面的定义、方程表示以及一些常见的曲线和曲面方程。
一、曲线的定义与方程表示在数学中，曲线可以简单地理解为平面或者空间中的一条连续路径。
曲线可以曲折、弯曲，也可以是直线。
曲线方程的表示方法有多种，下面将介绍常见的几种方式。
1. 参数方程参数方程是曲线方程的一种表示方法，通过指定一个或多个参数来描述曲线上的点。
例如，一个二维平面上的曲线可以用参数 t 来表示：x = x(t), y = y(t)。
通过改变参数 t 的取值范围，可以得到曲线上的各个点。
2. 一般方程一般方程是将曲线上的点的坐标表示为自变量的方程。
例如，平面上的一般曲线方程可以写成 F(x, y) = 0 的形式，其中 F(x, y) 是一个多项式函数。
该方程表示了所有满足条件 F(x, y) = 0 的点构成的曲线。
3. 极坐标方程极坐标方程是一种用极坐标来表示曲线的方程。
在极坐标系中，点的位置由距离和角度来确定。
例如，极坐标方程r = f(θ) 可以表示一个极坐标下的曲线。
二、常见的曲线方程在数学中，有许多重要的曲线方程，这里将介绍几个常见的曲线。
1. 直线方程直线是最简单的曲线形式，其方程可以用一般方程表示为 Ax + By+ C = 0，其中 A、B、C 是常数。
2. 抛物线方程抛物线是一类曲线，其方程可以用一般方程表示为 y = ax² + bx + c，其中 a、b、c 是常数。
3. 椭圆方程椭圆是一个闭合曲线，其方程可以用一般方程表示为 (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中 (h, k) 是椭圆的中心坐标， a、b 分别是椭圆的长短半轴。
4. 双曲线方程双曲线也是一个开口的曲线，其方程可以用一般方程表示为 (x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中 (h, k) 是双曲线的中心坐标， a、b 分别是双曲线的长短半轴。
重要曲面与曲线的投影
曲面及其方程
定
(1)
义
设S是空间曲面，F ( x, y, z ) 0是一个三元代数方程， 如果它满足：M ( x, y, z ) S F ( x, y, z ) 0 则称(1)是曲面S的方程，而S叫做方程(1)的图形。
常见的空间曲面有：球面、旋转曲面和柱面，下面我们一 一对它们进行介绍。
| y 1 | MP
.
S
2
z
z1
C
x y
2
o
y1
y
.
S：f ( x 2 y 2 , z ) 0 .
x
10. 旋转面的方程
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
旋转一周得旋转曲面 S
绕 z轴
P
z
N (0, y1 , z1 )
M
.
M(x,y,z) S
f f (y11,, z11)=0 z )=0
xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
z
在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域: x y 1, z 0 .
2 2
机动
C
o x
1
y
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结束
空间曲线在坐标平面上的投影举例
同理可得如下两种投影方程：
2. 在YOZ平面上：
H ( y, z ) 0 — 消去x YZ： x0
2 2
S 2：z 25 x 2 y 2 — 半径为5，球心在O点的上半球面。
x 2 y 2 16 XY ： z0 P rj XY {( x, y ) | x 2 y 2 16}
H ( x, z ) 0 — 消去y ZX ： y0
曲面和曲线
5.2 曲线分析
1）曲线上的活动坐标架
设曲线为P(t)=[x(t), y(t), z(t)]，则：
切矢量：P’(t)（当t为弧长时是单位矢），单位切矢记为T。 法矢量：
过曲线上任意一点，以切矢为法线的平面称为法平面。 主法矢：当以弧长为参数时，切矢的导矢是一个与切矢垂直的矢量，其单位矢 称为主法矢，记为N。 副法矢（记为B）B=T×N
左旋右旋螺旋线示例
当导圆柱轴线直立时，右旋螺旋线的可 见部分自左向右升高（图a）；左旋螺旋线 则自右向左升高（图b）。
5.4 曲线的插值、逼近与拟合
插值：给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造 一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数 据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。 逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的 数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构造 的曲线称为逼近曲线。 拟合：插值与逼近统称为拟合。
4）Bezier曲线的递推算法
计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但 使用de Casteljau（德 卡斯特里奥）提出的递推算法 则要简单得多，递推公式：
上式中：Pi0=Pi是定义Bezier曲线的控制点，P0n即 为曲线P(t)上具有参数t的点，(i+k)=n 。 几何递推：给定参数t∈[0,1]，就把定义域分成长 度为t:(1-t)的两段。依次对原始控制多边形每一边执行 同样的定比分割，所得分点就是第一级递推生成的中间 顶点Pi1(i=0,1,...,n-1)，对这些中间顶点构成的控制多边 形再执行同样的定比分割，得第二级中间顶点 Pi2(i=0,1,...,n-2)。重复进行下去，直到n级递推得到一 个中间顶点P0n即为所求曲线上的点P(t)。
2）Betnstein基函数的性质 ：
空间曲线与曲面
空间曲线与曲面空间曲线和曲面是几何学中的重要概念，它们在数学、物理学以及工程学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍空间曲线和曲面的基本概念，并讨论它们的性质和应用。
一、空间曲线空间曲线是指在三维空间中由一组点按照一定规律组成的线条。
通常情况下，我们可以用参数方程或者向量函数来描述一条空间曲线。
1. 参数方程参数方程是一种用参数表示变量关系的方法。
对于空间曲线而言，参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z分别表示曲线上一点的坐标，f(t)、g(t)、h(t)是关于参数t的函数。
通过改变参数t的取值范围，我们可以得到曲线上不同点的坐标。
2. 向量函数向量函数是一种将向量与参数相关联的函数。
对于空间曲线而言，向量函数可以表示为：r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k其中，r(t)表示曲线上一点的位置向量，i、j、k是空间直角坐标系的单位向量，x(t)、y(t)、z(t)是关于参数t的函数。
通过改变参数t的取值范围，我们可以得到曲线上不同点的位置向量。
二、空间曲面空间曲面是指在三维空间中由曲线按照一定规律延伸得到的平面或者曲面。
与空间曲线类似，我们可以用参数方程或者向量函数来描述一个空间曲面。
1. 参数方程参数方程可以用来表示平面或曲面上每一个点的坐标。
对于空间曲面而言，参数方程可以表示为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，x、y、z分别表示曲面上一点的坐标，f(u, v)、g(u, v)、h(u, v)是关于参数u和v的函数。
通过改变参数u和v的取值范围，我们可以得到曲面上不同点的坐标。
2. 向量函数向量函数可以用来表示曲面上每一个点的位置向量。
对于空间曲面而言，向量函数可以表示为：r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k其中，r(u, v)表示曲面上一点的位置向量，i、j、k是空间直角坐标系的单位向量，x(u, v)、y(u, v)、z(u, v)是关于参数u和v的函数。
几种常见的曲面及其方程(精)
母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 0表示母线平行 z 轴的柱面.
又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
2. 二次曲面
三元二次方程
• 椭球面
• 抛物面:
( p, q 同号)
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
• 椭圆锥面:
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
ay
ay
x
x2 z2 a2 (x 0, z 0) y0
作业
P32 3， 4，5，6， 7， 8， 9，10，11，12
y z l2
x z l3
x
y y
3、旋转曲面
一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
8.5曲面与曲线
2 2 2 2
( x 2) ( y 1) ( z 4) 化简得 2 x 6 y 2 z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.
显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
x
z
l3
方程 H ( z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴;
准线 xoz 面上的曲线 l3.
x
y
三、旋转曲面
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转
一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转
轴 . 例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z ) 0 若点 M1 (0, y1 , z1 ) C , 则有
z
C
M ( x, y, z )
M 1 (0, y1 , z1 )
f ( y1 , z1 ) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M ( x, y, z ) , 则有
z z1 ,
x y y1
2 2
o
y
故旋转曲面方程为
x
f ( x 2 y 2 , z) 0
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
空间曲线与曲面的曲率半径
空间曲线与曲面的曲率半径空间曲线和曲面的曲率半径是微分几何学中重要的概念，用于描述曲线和曲面的弯曲程度。
在本文中，我们将探讨空间曲线和曲面的曲率半径的定义、计算方法以及其在实际应用中的意义。
空间曲线的曲率半径是用来衡量曲线在给定点处的局部弯曲程度的。
曲线的曲率半径越小，曲线在该点处的弯曲程度越大。
曲线的曲率半径可以通过求曲线在该点的切线与切线上的一点之间的距离来计算。
设曲线在点P处的切线方程为t，过点P和曲线上一点Q的割线方程为l。
曲率半径r可以根据下面的公式计算：r = lim(d->0) (|PQ|/2sinθ)其中，|PQ|表示割线l的长度，θ表示割线l与切线t之间的夹角。
曲率半径的计算方法可以应用于各种类型的曲线，如直线、圆等。
不同类型的曲线在给定点处的曲率半径的计算方法略有不同，但基本原理是相同的。
与曲线相对应的是曲面的曲率半径。
曲面的曲率半径用于描述曲面在给定点处的局部弯曲程度。
与曲线类似，曲面的曲率半径越小，曲面在该点处的弯曲程度越大。
曲面的曲率半径可以通过曲面上的两条曲线的曲率半径来计算。
在某一点处，曲率半径的计算可以借助于曲面的法向量以及两个切向量之间的夹角。
对于曲面上的点P，曲面的法向量为N，通过该点的两个曲线的切向量分别为u和v。
曲面的曲率半径可以通过下面的公式计算：1/r = K = (N·u) × (N·v) / |N|^2= Euclidean Norm((N·u) × (N·v)) / |N|^2其中，×表示向量的叉积，·表示向量的点积。
曲率半径的计算对于曲面的分析和建模非常重要。
例如，在计算机图形学中，曲率半径用于生成逼真的曲面模型，使得渲染的结果更加真实。
在物理学中，曲率半径可以用于描述光线在曲面上的折射现象，从而帮助我们理解光的传播规律。
总结起来，空间曲线和曲面的曲率半径是微分几何学中的重要概念。
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表示怎样
解: 配方得 此方程表示: 球心为
半径为 的球面. 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形.
2.旋转曲面
定义2 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转 轴 ,旋转曲线叫做旋转曲 面的母线.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 :
F(x, y, z) 0
z
S
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
oy
求曲面方程.
x
(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
( 必要时需作图 ).
二、一些常见的曲面
1.球面 例1 求动点到定点
距离为 R 的轨迹
给定 yoz 面上曲线 C:
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有
z
C
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M (x, y, z) , 则有
z z1, x2 y2 y1
故旋转曲面方程为
M1(0, y1, z1)
o
y
x
f ( x2 y2 , z) 0.
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
平面 z z1 上的截痕为 椭圆. 平面 y y1上的截痕情况:
1) y1 b 时, 截痕为双曲线:
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
y y1
3.柱面
引例 分析方程
z
表示怎样
的曲面 ?
M
解:在 xoy 面上 在圆C上任取一点
表示圆C, C o
过此点作
M1
y
x
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M (x, y, z)
l
的坐标也满足方程
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面.其上所有点的坐标都满足此方程,故在空间
表示圆柱面
方程. 解: 设轨迹上动点为
依题意
即
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
故所求方程为
z
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
o
x 表示上(下)半球面 .
M0
M
y
例2 研究方程 的曲面. （课本 例1）
z
椭圆锥面 (Elliptic Cone)
z
x2 a2
y2 b2
z2
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt)2
1,
zt
①
xx
o yy
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到.
1. 椭球面 (Ellipsoid)
(且维空间
z
1:方程 F(x, y) 0 表示柱面,
母线平行于 z 轴;
x l1
准线 xoy 面上的曲线 l1 : F(x,y)=0.
2:方程 G( y, z) 0 表示柱面, 母线平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2 : G(y,z)=0. 3:方程 H (z, x) 0 表示 柱面,
z L
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
M (0, y, z)
y
两边平方
x
例4 求坐标面 xoz 上的双曲线
分别绕 x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. （习题6-4 3（2））
解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
(旋转双叶双曲面）
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x
y
(旋转单叶双曲面）
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
定义3 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
•
表示抛物柱面,
z
母线平行于 z 轴;
准线为xoy 面上的抛物线.
•
x2 a2
y2 b2
1表示母线平行于
z 轴的椭圆柱面.
x
z
C
o
y
z
• x y 0 表示母线平行于
z 轴的平面.
o y
o y
怎样了解三元方程 F(x, y, z) 0所表示的曲面的形状呢?
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法和伸缩变形
方法一是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相 交，考察其交线的形状，然后加以综合，从而了解 曲面的形状．这种方法叫做截痕法．
方法二是所谓的伸缩变形的方法，即通过把空间图 形伸缩变形形成新的曲面的方法．
（优选）第四节空间的曲面与曲线
2020年9月19日星期六
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定义1 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3: H(z,x)=0.
x z l3
x
y z l2
y
y
三、二次曲面
三元二次方程
Ax2 By2 Cz 2 Dxy Eyx Fzx Gx Hy Iz J 0
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 a2
y2 b2
1,
z 0
y2 b2
z2 c2
1,
x 0
x2 a2
z2 c2
1
y 0
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b,c为正数)
(3) 截痕:与 z z1 ( z1 c)的交线为椭圆： z
a2 c2
x2 (c2
z12
)
b2 c2
y2 (c2
z12
)
1
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及
的截痕
也为椭圆.
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
2.单叶双曲面(Hyperboloid of One Sheet)
x2 a2
y2 b2
z c
2 2
1
( a,b,c 为正数)
z C : f (y, z) 0
o y
x
f ( y, x2 z2 ) 0
求旋转曲面方程时,平面曲线绕某坐标轴旋转,则该坐 标轴对应的变量不变,而曲线方程中另一变量写成 该变量与第三变量平方和的正负平方根.
例3 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为