第七届全国大学生数学竞赛试题 非数学类 参考答案
历届大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类14页
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x y x x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，令u t -=1，则21t u -=2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),n n x a a a =+++L 其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
历年全国大学生高等数学竞赛真题及答案
第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.解 令，则，，（*） 令，则，，，，2．设是连续函数，且满足, 则____________.解 令，则，,解得。
因此。
3．曲面平行平面的切平面方程是__________. 解 因平面的法向量为，而曲面在处的法向量为，故与平行，因此，由=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(D 1=+y x v x u y x ==+,v u y v x -==,v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=10210d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u uv u u u u u ⎰-=12d 1u uu u t-=121t u -=dt 2d t u -=42221t t u +-=)1)(1()1(2t t t u u +-=-⎰+--=0142d )21(2(*)t t t ⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t )(x f ⎰--=222d )(3)(x x f x x f =)(x f ⎰=2d )(x x f A23)(2--=A x x f A A x A x A 24)2(28d )23(22-=+-=--=⎰34=A 3103)(2-=x x f 2222-+=y x z 022=-+z y x 022=-+z y x )1,2,2(-2222-+=y x z ),(00y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1,2,2(-，知，即，又，于是曲面在处的切平面方程是，即曲面平行平面 的切平面方程是。
全国大学生数学竞赛(非数学类)大纲及历年预赛试卷
(*) 2 0 (1 2t 2 t 4 )dt 1
2
1 0
(1 2t 2
t 4 )dt
2t
2 t3 3
1 5
t
5
1 0
16 15
2．设 f (x) 是连续函数，且满足 f (x) 3x2
2
f (x)dx 2 , 则 f (x) ____________.
0
解 令 A 2 f (x)dx ，则 f (x) 3x2 A 2 ， 0
n
x0
n
故
A lim ex e2x enx n e
x0
n
x
e lim ex e2x enx n
x0
nx
e lim ex 2e2x nenx e 1 2 n n 1 e
x0
n
n
2
因此
lim ( ex
e2x
e
nx
)
e x
eA
n1e
e 2
x0
n
解法 2 因
(x0 , y0 ) 处 的 法 向 量 为 (zx (x0 , y0 ), z y (x0 , y0 ),1) ， 故 (zx (x0 , y0 ), z y (x0 , y0 ),1) 与
(2,2,1) 平行，因此，由 zx x ， z y 2 y 知 2 zx (x0 , y0 ) x0 ,2 z y (x0 , y0 ) 2 y0 ，
y(1
f ( y))
因此
—4—
y
f ( y) [1 f ( y)]2 x2[1 f ( y)]3
二、（5
分）求极限 lim ( ex
e2x
e nx
e
)x
历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)-无答案
2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d x y________________. 二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Ly yx ye y xe .五、（10分）已知xx e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，xx x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x等价的无穷大量.2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类
2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
第七届全国大学生数学竞赛真题及答案(数学类专业答案)
于L1和L2。
......(4分)
设X −X−→Y
= =
−PP→Q+−svsv∈+Lt1w和垂Y直=于Qv+和tww
∈ L2 也使得XY ，故有 −s + (v
同时垂直于L1和L2，则有 · w)t = 0 和 −s(v · w) + t
=
0
。由于(v · w)2 < 1 ，我们得到s = t = 0 , 即X = P ，Y = Q，这样的P 和Q存在且唯
由 (1) 可得
(1 + a + · · · + an−1)M.
|gn(x)|
x
|f (x)| + |h(t)| |gn−1(t)| dt
0
+∞
M+
|h(t)|(1 + a + · · · + an−1)M dt
0
= M + a(1 + a + · · · + an−1)M
= (1 + a + · · · + an−1 + an)M.
+ λ32 + λ42
+ +
λ33 λ43
+ +
λ34 λ44
= =
3 · · · · · · · · · · · · (3) 4 · · · · · · · · · · · · (4)
由（1）和（2）得
......(10分)
a2
=
λ1λ2
+
λ1λ3
+
λ1λ4
+
λ2λ3
2015年第六届全国大学生数学竞赛预赛试题及答案
n +1 n n ∑ n n n 2015 年第七届预赛（非数学类）参考答案一、每小题 6 分，共计 30 分。
⎛ sin π sin 2 π ⎞⎜ n n sin π ⎜ 2 (1) 极限 lim n ⎜ 2 + n +1n + 2 + L + n 2 + n ⎜ =π。
n →∞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎟i1 n in sin π n 1 n i 解：由于 ∑sin i =1 π ≤ ∑ i =1n +i n≤ ∑sin i =1 π , 而 nlim 1 ∑sin i π = lim n π ni 1 π 2 sin π = ∫ sin xdx = ， n →∞ n +1 i =1 n n →∞ (n +1)π n i =1n π 0 πlim 1 ∑sin i π = lim 1 π ∑sin i π = 1 ∫π sin xdx = 2。
n →∞ n i =1 n n →∞ π n i =1 n π 0 π所以所求极限是 2 .π（2）设函数 z = z ( x , y ) 由方程 F ( x + z, y + z ) = 0 所决定，其中 F (u , v ) 具有连续偏导y x∂z ∂z数，且 xF u + yF v ≠ 0 。
则 x + y = z −xy 。
（本小题结果要求不显含 F 及其 ∂x ∂y偏导数）⎛ 1 ∂z ⎞⎜⎛ 1 ∂z z ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ 解：方程对 x 求导，得到⎜1+ ⎜ F u +⎜ − y x x x x ⎜ F v = 0 ⎝⎜ ∂ ⎟⎜⎝⎜ ∂ 2 ⎟⎜∂z y ( z F − x 2 F ) 即 x = v u。
∂x xF u + yF v∂z x ( z F − y 2F ) 同样，方程对 y 求导，得到 y = u v。
∂y xF u + yF v于是 x∂z + y ∂z = z ( x F u + yF v ) − xy ( x F u + yF v )= z − xy ∂x ∂y u + v（3）曲面 z = x 2 + y 2 + 1 在点 M (1,‐1,3)的切平面与曲面 z = x 2 + y 2所围区域的体积为π。
2021年历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类
前三届高数竞赛初赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛同窗最核心是好好复习高等数学知识，适当看某些辅导书及有关题目，核心是某些各大高校试题。
）第一届全国大学生数学竞赛初赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 和两坐标轴所围成三角形区域.解：令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是持续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f ，则=)(x f ____________.解：令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 切平面方程是__________. 解：因平面022=-+z y x 法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 和)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 切平面方程是0122=--+z y x 。
全国大学生数学竞赛初赛2015年第七届《非数学专业》竞赛题目及答案解析高清无水印版
n 1! n 1! n 1! n 1! n 2! n! n 1!
n
x 1
n
x 1
n
x 1
及幂级数
,
,
的收敛域都为 , ，得
n2 n 2 ! n0 n! n0 n 1!
n3 2
x 1n
n
x 1
n
x 1
n
x 1
n0 n 1!
n2 n 2! n0 n! n0 n 1!
. 又由于 S3 1 1.
x 1
综合以上讨论，最终幂级数的和函数为
S
x
x2 2x 2
ex1
1 x 1
ex1 1
, x 1,
2,
x 1.
1
1
第五题：(16 分)设函数 f 在 0, 1 上连续，且 0 f x d x 0, 0 xf xd x 1. 试证：
1
y
x
Fu
x
x
x2
Fv
0
x
x
xFu yFv
,
z x zFu y 2 Fv
类似可得 y
, 于是有
y
xFu yFv
x z y z xy xFu yFv z xFu yFv z xy.
x y
xFu yFv
(3) 曲面 z x2 y2 1 在点 M 1, 1, 3 的切平面与曲面 z x2 y2 所围区域的体积
2015 年第七届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类）
试卷及参考答案
一、填空题（共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分）
(1)
极限
lim
n
n
nsi2nn1
sin 2
n
全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(非数学类)
又 ，那么 ，因此 …（3分）
…………………（2分）
五、（总分值14分）设 是一个滑腻封锁曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分 。试确信曲面 ，使积分I
的值最小，并求该最小值。
解 记 围成的立体为V，由高斯公式
……………（3分）
为了使得I的值最小，就要求V是使得的最大空间区域 ，即
取 ，曲面 ……（3分）
为求最小值，作变换 ，那么 ，
从而 ……………………………………（4分）
利用球坐标计算，得
……………………（4分）
六、（总分值14分）设 ，其中 为常数，曲线C为椭圆 ，取正向。求极限
解 作变换 （观看发觉或用线性代数里正交变换化二次型的方式），曲线C变成 平面上的椭圆 （实现了简化积分曲线），也是取正向…（2分）
(2)方式一：
方式二（将一型曲面积分转化为二型）：
记 ，取面 向下， 向外，
由高斯公式得：
，求该三重积分的方式很多，现给出如下几种常见方式：
1先一后二：
②先二后一：
③广义极坐标代换：
六．（此题12分）设f(x)是在 内的可微函数，且 ，其中 ，任取实数 ，概念 证明： 绝对收敛。
证明：
由拉格朗日中值定理得： 介于 之间，使得
，又 得
级数 收敛， 级数 收敛，即 绝对收敛。
七．（此题15分）是不是存在区间 上的持续可微函数f(x)，知足 ，
？请说明理由。
解：假设存在，当 时，由拉格朗日中值定理得：
介于0，x之间，使得 ，
同理，当 时，由拉格朗日中值定理得：
介于x，2之间，使得
即
，
显然，
，又由题意得
即 ，
全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准
全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(总34页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除全国大学生竞赛历年试题名师精讲（非数学类）（2009——2013）第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、 解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）1.求极限(lim 1sin nn →∞+.解因为()sin sin 2sin n ππ==……（2分）；原式lim 1exp lim ln 1sin nn n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦………………………………………………………………………………………(2分)；14exp lim exp n n n e →∞⎛⎫⎛⎫=== ⎝⎝……(2分) 2.证明广义积分0sin xdx x +∞⎰不是绝对收敛的解 记()1sin n n nx a dx xππ+=⎰，只要证明0n n a ∞=∑发散即可。
……………………（2分）因为()()()()10112sin sin 111n n n a x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰。
…………（2分）而()021n n π∞=+∑发散，故由比较判别法0n n a ∞=∑发散。
……………………………………（2分）3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。
解 方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= ………………（1分）故()2222x x y y y x+'=-，令0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………（2分）将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………（2分）又()()()()()2222222222422x xy y y x x x y yy x y yx''++--+-''=-()()()0,1,02,1,0200220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''''==-<=>-， 故()01y =-为极大值，()21y -=为极小值。
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(非数学类)
全国大学生竞赛历年试题名师精讲(非数学类）（2009-—2013）第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类)一、 解答下列各题(每小题6分共24分,要求写出重要步骤）1。
求极限(lim 1sin nn →∞+。
解因为()sin sin 2sinn ππ==……（2分）；原式lim 1exp lim ln 1sin nn n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦…exp lim n n →∞⎛= ⎝2.证明广义积分0sin xdx x ⎰不是绝对收敛的解 记()1sin n n nx a dx xππ+=⎰,只要证明0n n a ∞=∑发散即可。
……………………（2分）因为()()()()10112sin sin 111n n n a x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰.…………（2分） 而()021n n π∞=+∑发散,故由比较判别法nn a∞=∑发散。
……………………………………(2分)3。
设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。
解 方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= ………………（1分）故()2222x x y y y x+'=-，令0y '=,得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………（2分) 将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………（2分）又()()()()()2222222222422x xy y y x x x y yy x y y x ''++--+-''=-()()()0,1,02,1,0200220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''''==-<=>-, 故()01y =-为极大值，()21y -=为极小值.…………………………（3分）4.过曲线)0y x ≥上的点A 作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为34,求点A 的坐标. 解 设切点A的坐标为(t ，曲线过A点的切线方程为y -=令0y =，由切线方程得切线与x 轴交点的横坐标为02x t =-。
全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准非数学类
全国大学生竞赛历年试题名师精讲（非数学类） （2009——2013）第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、 解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）1.求极限(lim 1sin nn →∞+.解因为()sin sin 2sinn ππ==……（2分）；原式lim 1exp lim ln 1sin nn n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦………………………………………………………………………………………(2分)；14exp lim exp n n n e →∞⎛⎫⎛⎫=== ⎝⎝……(2分) 2.证明广义积分0sin xdx x +∞⎰不是绝对收敛的解 记()1sin n n nx a dx xππ+=⎰，只要证明0n n a ∞=∑发散即可。
……………………（2分）因为()()()()10112sin sin 111n n na x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰。
…………（2分）而()021n n π∞=+∑发散，故由比较判别法0n n a ∞=∑发散。
……………………………………（2分）3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。
解 方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= ………………（1分）故()2222x x y y y x+'=-，令0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………（2分） 将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………（2分） 又()()()()()2222222222422x xy y y x x x y yy x y yx''++--+-''=-()()()0,1,02,1,0200220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''''==-<=>-， 故()01y =-为极大值，()21y -=为极小值。
第七至十九届中国数学奥林匹克竞赛试题含答案
第七至十九届中国数学奥林匹克竞赛试题第七届中国数学奥林匹克 (1992年)1. 设方程x n +a n-1x n-1+a n-2x n-2+....+a 1x+a 0=0的系数都是实数，且适合条件0<a 0≦a 1≦a 2≦....≦a n-1≦1。
已知λ为方程的复数根且适合条件|λ|>1，试证：λn+1=1。
2. 设x 1, x 2, ... , x n 为非负实数，记 x n+1= x 1，a=min{x 1, x 2, ... , x n }，试证：n Σ i=1 1+x i _ 1+x i+1 ≦n+ 1 (1+a)2nΣ i=1(x i -a)2 ，3. 且等式成立当且仅当 x 1 =x 2= ... =x n 。
4. 在平面上划上一个9x9的方格表，在这上小方格的每一格中都任意填入+1或-1。
下面一种改变填入数字的方式称为一次变动；对于任意一个小方格有一条公共边的所有小方格(不包含此格本身)中的数作连乘积，于是每取一个格，就算出一个数，在所有小格都取遍后，再将这些算出的数放入相应的小方格中。
试问是否总可以经过有限次变动，使得所有方小方格中的数都变为1？5. 凸四边形内接于圆O ，对角线AC 与BD 相交于P ，ΔABP 与ΔCDP 的外接圆相交于P 和另一点Q ，且O 、P 、Q 三点两两不重合。
试证∠OQP=90。
6. 在有8个顶点的简单图中，没有四边形的图的边数的是大值是多少？7. 已知整数序列{a 1, a 2, ...... }满足条件：1. a n+1=3a n -3a n-1+a n-2，n=2, 3, .....。
2. 2a 1= a 0+a 2-2。
3. 对任意的自然数m ，在序列{a 1, a 2, ...... }中必有相继的m 项a k , a k+1, ... , a k+m-1都为完全平方数。
试证：序列{a 1, a 2, ...... }的所有项都是完全平方数。
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‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐6 分 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐8 分
设 f (n) (x) = A1 f (n−1) (x) + B1 f (n−2) (x), n > 1 ，则 f (n+1) ( x) = A1 f (n) (x) + B1 f (n−1) ( x) 。
n=0 (n + 1)!
n=2 (n − 2)!
n=0 n!
n=0 (n + 1)!
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐7 分
用 S1 (x) ， S2 (x) 和 S3 (x) 分别表示上式右端三个幂级数的和函数。依据 e x 的展开式得到
∑ S1 (x)
( ) | (u, 2v, w) ⋅ (x2 , 2xy, y2 ) |≤ M x2 + y2 ，
即
( ) | f (x, y) |≤ 1 M x2 + y2 。 2
从而
-----------13 分
∫∫ ∫∫ f (x, y)dxdy ≤ M
(x2 + y2 )dxdy = π M 。
x2 + y2 ≤1
记
(u, v,
w)
=
⎛ ⎜ ⎝
∂2 ∂x2
,
∂2 ∂x∂y
,
∂2 ∂y 2
⎞ ⎟ ⎠
f
(θ
x,θ
y)
，则
( ) f (x, y) = 1 ux2 + 2vxy + wy2 。 2
由于|| (u, 2v, w) ||= u2 + 2v2 + w2 ≤ M 以及|| (x2 , 2xy, y2 ) ||= x2 + y2 ，我们有
02
02
∫故 1 x − 1 (4 − f (x) )dx = 0 ，
02
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐8 分
所以对于任意的 x ∈[0,1] ， f (x) = 4, 由连续性知 f (x) ≡ 4 或 f (x) ≡ −4 。
1
∫ 这就与条件 f (x)dx = 0 矛盾。 0
故 ∃x0 ∈[0,1],使 （f x0 ) > 4
=
0。
固收敛半径 R = +∞ ，收敛域为 (−∞,+∞) 。‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐4 分
由
n3 + 2 = (n + 1)n(n −1) + n + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 (n ≥ 2) (n + 1)! (n + 1)! (n + 1)! (n + 1)! (n − 2)! n! (n + 1)!
。
=1
消除 t，得到圆锥面 M 的方程 xy + yz + zx = 0 。‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐12 分
三、（12 分）设 f (x) 在 (a,b) 内二次可导，且存在常数α , β ，使得对于 ∀x ∈ (a, b)
f ′(x) = α f (x) + β f ′′(x) ，
面 x + y + z = 1 与球面 x2 + y2 + z2 = 1的交线 L 是 M 的准线。‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐4 分
设 P(x,y,z)是 M 上的点，(u,v,w)是 M 的母线 OP 与 L 的交点，则 OP 的方程为 x = y = z = 1 ， u v wt
∫∫ ∫∫ 所求体积V = [(2x − 2 y −1) − (x2 + y2 )]dxdy = [1− (x −1)2 − ( y + 1)2 ]dxdy
D
D
∫ ∫ 令
⎧x
⎨ ⎩
y
−1 +1
= =
r r
cos t sin t
，V
=
2π
dt
1
(1 −
r2
)rdr
=
π
。
0
0
2
（4）函数
f
(x)
=
⎧3, ⎨⎩0,
x2 + y2 ≤1
4
证明： 在点 (0, 0) 展开 f (x, y) 得
f
(x, y)
=
1 2
⎛ ⎜ ⎝
x
∂ ∂x
+
y∂ ∂y
⎞2 ⎟ ⎠
f
(θ
x,θ
y)=
1 2
⎛ ⎜ ⎝
x2
∂2 ∂x2
+ 2xy
∂2 ∂x∂y
+
y2
∂2 ∂y2
⎞ ⎟ ⎠
f
(θ x,θ
y) ，
其中θ ∈(0,1) 。
--------6 分
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐4 分
2. 若 β ≠ 0 。对于 ∀x ∈ (a, b) ，有
f ′′(x) =
f ′(x) −α β
f (x)
=
A1 f
'(x) + B1 f (x),
（1）
其中 A1 = 1/ β , B1 = α / β 。 因为（1）右端可导，从而
x ∈[−5, 0) 在 (−5, 5] 的傅立叶级数在
x ∈[0,5)
x=0
收敛的值
解：由傅里叶收敛定理，易知 f(0)=3/2.
3/2 。
∫ （5）设区间 (0, +∞) 上的函数 u(x) 定义为 u(x) = +∞ e−xt2 dt ，则 u(x) 的初等函数表达式为 0
π。 2x
∫ ∫ ∫∫ [解] 由于 u2 (x) = +∞ e−xt2 dt +∞ e−xs2 ds =
2015 年第七届预赛（非数学类）参考答案
一、每小题 6 分，共计 30 分。
(1)
极限
lim n n→∞
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
π sin
n n2 +1
+
sin n2
2
n +
π 2
⎞
+
L
+
sin π n2 + n
⎟ ⎟ ⎟
=
2 π
。
⎝
⎠
∑ ∑ ∑ 解：由于
1 n sin i π n +1 i=1 n
≤
n
sin i π n
=
x( zFu xFu
− +
y2Fv ) yFv
。
于是
x
∂z ∂x
+
y
∂z ∂y
=
z ( xFu
+
yFv ) − xy(xFu xFu + yFv
+
yFv )
=
z − xy
（3）曲面 z = x2 + y2 + 1在点 M(1,‐1,3)的切平面与曲面 z = x2 + y2 所围区域的体积为 π。 2
∑ ∑ ∑ ∞
及幂级数
1 (x −1)n ， ∞ 1 (x −1)n 和 ∞
1 (x −1)n 的收敛域皆为 (−∞,+∞) 得
n=2 (n − 2)!
n=0 n!
n=0 (n +1)!
∑ ∑ ∑ ∑ ∞ n3 + 2 (x −1)n = ∞ 1 (x −1)n + ∞ 1 (x −1)n + ∞ 1 (x −1)n 。
+
y
∂z ∂y
=
z − xy
。（本小题结果要求不显含 F 及其
偏导数） 解：方程对 x 求导，得到
⎛⎜⎜⎜⎝1+
1 y
∂z ∂x
⎞⎟⎠ ⎟⎟⎟
Fu
+⎛⎜⎜⎜⎝
1 x
∂z ∂x
−
z x2
⎞⎠⎟⎟⎟
Fv
=
0
即2Fu ) xFu + yFv
。
同样，方程对
y
求导，得到
y
∂z ∂y
=
(x
∞
− 1)2
n=0
1 (x n!
− 1)n
=
(x − 1) 2 e x−1 ,
再由
S2 (x) = e x−1
∑ ∑ (x −1)S3 (x)
=
∞ n=0
1 (x − 1)n+1 (n + 1)!
=
∞ n=1
1 (x − 1)n n!
=
e x−1
−1
得到，当 x
≠ 1时 S3 (x)
=
1 (e x−1 x −1
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐10 分
（2）先证 ∃x2 ∈[0,1]，使 （f x2 ) < 4 。若不然，对任何 x ∈[0,1] ， （f x) ≥ 4 成立。则，
∫ f (x) ≥ 4 恒成立，或者 f (x) ≤ −4 恒成立，与
1
f (x)dx = 0 矛盾。再由 f (x) 的连续性及
0
（1）的结果，利用介值定理 ∃x1 ∈[0,1] 使 （f x1) = 4 。
即 u=xt,v=yt,w=zt。‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐8 分