三角函数中数学思想方法解析
高中三角函数中基本数学思想论文
浅析高中三角函数中的基本数学思想摘要：基本数学思想在高中数学教学过程中占有重要地位，所以我们要将这种数学思想贯彻到整个高中数学教学过程中。
而三角函数作为高中数学的重要内容，在教学时也应该利用好基本数学思想，让学生掌握更多解决问题的方法，提高学生数学学习能力。
在本文中，我们就对这个问题进行详细的介绍。
关键词：三角函数；基本数学思想；应用方式中图分类号：g623.5在高中阶段，三角函数占有十分重要的地位，在教学过程中教师可以引导学生利用数形结合、分类讨论等基本数学思想，解决实际过程中出现的三角函数问题，从而有效的提高学生的数学学习能力，掌握这部分内容知识。
一、在高中三角函数中体现基本数学思想的重要意义基本数学思想是从数学知识中总结出来的，学生在数学学习过程中，除了要掌握基本数学知识外，还需要掌握基本数学思想，使数学思想深入学生心中，这样才能进一步提高学生的数学学习能力，拓展学生数学思维。
在学习三角函数这部分内容时，无论何种题型都是以考察三角变换为核心的，因此，在教学过程中教师要引导学生熟练掌握有关三角形的公式，了解三角函数中蕴含的数学思想，使学生能够更灵活的解决三角函数问题，增强学生分析问题、解决问题的能力。
二、高中三角函数中体现基本数学思想的方式1、数学结合思想的体现作为基本数学思想的主要部分，数形结合思想在解决数学问题时发挥着重要作用。
这种数学思想是借助数字的精确性，通过合理运用数字与图形之间的关系解决数学学习中的实际问题。
这种数学思想可以将抽象的数学问题变得更加直观。
在学习三角函数时，数学结合思想可以有效的将三角函数化简，比较适用于依据三角函数的图像求解定义域、单调性以及求解方程实根等问题。
比如说求|cosx|<sin|x|在[-π，π]上的解集这类题目时，教师就可以引导学生运用数形结合思想求解。
首先设y1=sin|x|，y2=|cosx|.并在同一个直角坐标系中画出y1，y2在[0，π]上的函数图像。
三角函数中数学思想方法归纳解析
高考三角函数中数学思想方法归纳解析在三角函数这一章的学习和复习过程中，熟练掌握以下几种数学思想方法，有助于提高同学们灵活处理问题和解决问题的能力。
下面通过例题透视三角函数中的数学思想。
一、数形结合思想由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深同学们对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。
例1．求不等式x x cos sin >在[]ππ,-上的解集。
解析：设x y sin 1=，x y cos 2=，在同一坐标系中作出在[]π,0上两函数图像(如图1)，在[]π,0上解得x x cos sin =的解为4π=x 或43π=x ，故由图像得要使得21y y >，即434ππ<<x ，由于x y sin 1=，x y cos 2=在[]ππ,-上为偶函数，故在[]0,π-上的解为443ππ-<<-x ，得原不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--43,44,43ππππ 二、分类讨论思想分类是根据对象的本质属性的异同将其划分为不同种类，即根据对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。
分类讨论是数学解题的重要手段，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。
例2．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ，且022sin 2cos 2<--+m m θθ恒成立，求m 的取值范围。
解析：令()12sin 2sin 22sin 2cos 22--+-=--+=m m m m f θθθθθ令θsin =t ，由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ，得10≤≤t ，则()()12122222++---=--+-=m m m t m mt t t f ，[]1,0∈t ，()0<θf 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ上恒成立，()t f ∴在[]1,0∈t 上恒成立。
高中物理解题中数学思想与方法应用举例分析——以“三角函数”为例
高中物理解题中数学思想与方法应用举例分析以 三角函数 为例孙志峰(福建省惠安第一中学ꎬ福建惠安３６２１００)摘㊀要:数学与物理是高中阶段至关重要的两门学科ꎬ两者存在密切联系.因此ꎬ文章以高中物理解题为背景ꎬ简单介绍了高中物理解题中的数学思想ꎬ并以 三角函数 为例ꎬ对高中物理解题中数学思想的应用进行了进一步探究ꎬ希望为高中物理解题教学提供一些参考.关键词:物理解题ꎻ数学思想ꎻ三角函数中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２５－０１１０－０３收稿日期:２０２３－０６－０５作者简介:孙志峰(１９８３.１－)ꎬ男ꎬ福建省泉州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中物理教学研究.基金项目:本文系泉州市教育科学 十四五 规划(第一批)立项课题 新课程新教材背景下的物理教学与作业设计改革研究 研究阶段性成果(课题编号:ＱＧ１４５１－１８３)㊀㊀新时期ꎬ新的高考物理考试说明进一步明确了考生应用数学方法处理物理问题的能力的要求ꎬ高考生不仅需要在具体物理问题中找出物理量之间的数学关系ꎬ而且需要根据数学的特点与规律进行推导ꎬ并恰当运用几何图形㊁函数图像辅助物理判断㊁得出物理结论.因此ꎬ探究数学思想与方法在高中物理解题中的应用具有非常重要的意义.１高中物理解题中的数学思想在高中物理问题求解中ꎬ可利用的数学思想与方法包括几何法㊁估算法㊁函数法㊁图解法㊁比值法㊁归纳法㊁微元法㊁极限分析法㊁特殊值法㊁分类讨论法㊁极值法等.其中在物理问题求解中应用频率较高的数学思想与方法包括函数图像㊁平面几何㊁数列㊁解三角形㊁不等式㊁微积分初步等[１].２物理解题中的数学 三角函数 思想与方法２.１三角函数定义在高中物理问题求解中的 三角函数 思想与方法本质上是将角㊁比值分别作为自变量㊁函数值的函数ꎬ主要是:设ａ是一个任意角ꎬａ的正弦记为ｓｉｎａꎬａ的余弦记为ｃｏｓａꎬａ的正切记为ｔａｎａꎬａ的余切记为ｃｏｔａꎬａ的正割记为ｓｅｃａꎬａ的余割记为ｃｓｃａ[２].２.２三角函数定理在高中阶段物理问题解析过程中ꎬ常用的三角函数定理主要包括正弦定理㊁余弦定理㊁正切定理等.其中正弦定理是三角函数基本定理ꎬ特指:对于任意一个平面三角形ꎬ其各边与边所对角的正弦值的比为同一数值ꎬ且各边与边所对角的正弦值的比等于外接圆的直径ꎻ余弦定理主要描述三角形中３边长度㊁１个角的余弦值的关系ꎬ即:对于任意一个三角形ꎬ任何１个边的平方等于其他２个边平方的和减去对应两边与其夹角的余弦的积的２倍ꎻ正切定理主要用于描述正切函数ꎬ即:一个三角形内ꎬ任意２条边的和除以第１条边减第２条边的差所得的商㊁两条边的对角的和的１/２的正切除以第１条边对角减第２条边对角的差的一半的正切所得的商是０１１同一个数值.３高中物理解题中数学思想与方法应用举例分析 以 三角函数 为例３.１恒成立问题借助三角函数思想方法解决物理恒成立问题ꎬ需要在分析题目物理过程㊁事物状态的情况下ꎬ根据物理规律列方程ꎬ再在方程中根据函数性质求解.在三角函数思想方法应用于物理问题解决过程中ꎬ最简单的用法是直接利用三角函数的正弦公式(或余弦公式㊁余切公式㊁正切公式求解).特别是在物理恒成立问题解析过程中ꎬ引导学生进行正交分解ꎬ联系列出式子直接利用三角函数求解.例１㊀一物体ｍ放置在水平面上ꎬｍ与水平面之间的动摩擦因数为μꎬ现施加一个斜向下的力Ｆ推物体ꎬＦ与水平面之间夹角为φ.在ｍ与水平面之间最大静摩擦力等于滑动摩擦力的情况下ꎬφ至少为(㊀)时ꎬ无论Ｆ多大均无法推动物体ｍ.解析㊀例１是典型的恒成立问题ꎬ因物体自始至终未被斜向下力Ｆ推动ꎬ则可以确定Ｆｃｏｓφɤμｍｇ＋Ｆｓｉｎφ()ꎬ解不等式得Ｆｃｏｓφ－μｓｉｎφ()ɤμｍｇ.此时ꎬ不管斜向下力如何变化ꎬ不等式始终成立ꎬ则ｃｏｓφ－μｓｉｎφɤ０.根据三角函数定理ꎬ可以解得ｔａｎφȡ１μꎬφȡａｒｃｔａｎ１μ.３.２物体的动态平衡问题高中阶段ꎬ物体的动态平衡问题较为常见ꎬ特指物体自始至终处于平衡状态但受力持续发生变化的一类问题[３].一般情况下ꎬ物体的动态平衡问题多为３个力作用下的平衡问题ꎬ部分情况下物体的动态平衡问题也涉及４个力的平衡.解决上述问题一般需要根据平衡条件列出方程ꎬ由所列方程分析物体受力变化ꎬ即函数法ꎬ或者根据平衡条件绘制力的分解图(或合成图)ꎬ在图像中分析力的变化ꎬ即图解法.根据不同方法的应用过程ꎬ教师可以引导高中生选择恰当的三角函数ꎬ辅助解决物体的动态平衡问题.３.２.１函数法解决物体的动态平衡问题高中阶段ꎬ解决平衡问题的基本思路是分析受力ꎬ结合平衡条件(或三角形定则㊁三角函数定理)等知识进行解析.从函数解析视角来看ꎬ物体的动态平衡问题是通过控制特定物理量的变化促使物体整个状态发生缓慢变化ꎬ缓慢变化特指速度极小的变化ꎬ可认定为速度为０ꎬ此时ꎬ物体在变化阶段达到平衡状态.教师可以引导学生分析物体动态平衡条件ꎬ根据条件列方程ꎬ根据方程带领学生探究物体受力变化.例２㊀轻绳两端分别系在质量为ｍ的物体上㊁轻质圆环上ꎬ圆环套在粗糙水平杆ＭＮ上ꎬ此时ꎬ利用水平力Ｆ拉动轻绳上一个节点ꎬ促使物体达到某一位置(图１中实线)ꎬ进而变更水平力Ｆ的大小ꎬ在圆环位置一定的情况下ꎬ促使质量为ｍ的物体连同轻绳下降(图１中虚线)ꎬ在整个过程中ꎬ水平力Ｆ㊁圆环与粗糙水平杆ＭＮ的摩擦力Ｆｍ㊁圆环对粗糙水平杆ＭＮ的压力ＦＮ的变化情况是(㊀㊀).Ａ.Ｆ逐渐增大ꎬＦｍ保持不变ꎬＦＮ逐渐增大ꎻＢ.Ｆ逐渐增大ꎬＦｍ逐渐增大ꎬＦＮ保持不变ꎻＣ.Ｆ逐渐减小ꎬＦｍ逐渐增大ꎬＦＮ逐渐减小ꎻＤ.Ｆ逐渐减小ꎬＦｍ逐渐减小ꎬＦＮ保持不变.图１㊀例２示意图解析㊀上述题目为高中阶段典型的力的动态平衡问题ꎬ可以利用力的合成思想进行求解ꎬ同时需要利用数学知识中的三角函数知识进行解析ꎬ需要高中生熟练了解三角函数定理在物体动态平衡类物理问题中解析的规律[４].答案:Ｄ３.２.２图解法解决物体的动态平衡问题在基于图解法的力学题目解析过程中ꎬ三角函１１１数思想应用的关键在于借助正交分解梳理问题解析思路ꎬ明确物体受力后构建直角坐标系ꎬ完成力的分解.进而根据牛顿运动定律ꎬ完成公式联列[５].在公式联列后ꎬ教师可以带领学生根据三角函数的性质进行问题解析.如例题２中ꎬ质量为ｍ的物体在水平力Ｆ㊁物体重力㊁圆环与粗糙水平杆ＭＮ的摩擦力Ｆｍ的作用下处于平衡状态ꎬ水平力Ｆ与轻质绳的拉力ＦＬ的合力与重力平衡ꎬ表明水平力Ｆ与轻质绳的拉力ＦＬ的合力大小恒定ꎬ方向竖直向上ꎬ且水平力Ｆ的方向维持一定ꎬ根据力的三角形法则ꎬ可以水平力Ｆ与轻质绳的拉力ＦＬ的合力㊁水平力相互垂直ꎬ绘制矢量图(见图３).图３㊀例２矢量图３.３运动规律问题高中物理题目中ꎬ运动规律问题涉及了简谐运动㊁机械波运动等.在运动规律问题解析中需要运用三角函数的相关知识ꎬ如求解简谐运动的振动方程可以转化为利用三角函数图像求解三角函数解析式[６].３.４物理最值问题作为函数的一种ꎬ三角函数在物理问题解析中的应用与一般函数类似ꎬ求解物理最值是三角函数应用的主要方面[７].例３㊀在水平面上ꎬ重力为Ｇ的物体在拉力Ｆ作用下开展匀速直线运动ꎬ设定物体与地面之间的动摩擦因数μ＝３３ꎬ则作用在物体上的最小拉力Ｆ是(㊀㊀).解析㊀根据已知条件ꎬ教师可以引导学生判定重力为Ｇ的物体受力平衡ꎬ作用在物体上的拉力与水平方向的夹角为φꎬ根据平衡条件ꎬ可以得出水平方向上Ｆｃｏｓφ＝μＮꎬ竖直方向上Ｎ＋Ｆｓｉｎφ＝Ｇꎬ解得:Ｆ＝μＧｃｏｓφ＋μｓｉｎφ.列出式子后ꎬ教师可以鼓励学生利用三角函数中的辅助角公式进行解决.即:ｆφ()＝ａｓｉｎφ＋ｂｃｏｓφ＝ａ２＋ｂ２ｓｉｎφ＋θ()其中θ满足ｓｉｎθ＝ｂａ２＋ｂ２ꎬｃｏｓθ＝ａａ２＋ｂ２ꎬｔａｎθ＝ｂａ.其中－ａ２＋ｂ２ɤｆφ()ɤａ２＋ｂ２.在ｃｏｓφ＋μｓｉｎφ最大时ꎬＦ最小.根据三角函数的辅助角公式可以解得θ＝３０ʎ时ꎬＦ最小值为Ｇ２.综上所述ꎬ函数思想特指利用函数表示某一物理问题ꎬ借助函数的概念㊁性质进行物理问题的分析㊁转化与求解ꎬ并探明相关类型的一般规律.三角函数思想是重要的函数思想ꎬ教师应根据物理最值㊁恒成立㊁动态平衡等问题内容ꎬ带领学生借助三角函数思想逐步分析㊁求解ꎬ在帮助学生顺利解决物理问题的同时ꎬ提高学生跨学科学习能力.参考文献:[１]虞小琳.数学知识在高中物理解题中的运用[Ｊ].高考ꎬ２０２２(０１):２７－２９.[２]何昭洋.浅议函数知识在高中物理解题中的运用[Ｊ].试题与研究ꎬ２０１９(０２):１４０－１４０.[３]朱贤贤.三角函数在物理情境中的应用[Ｊ].中学生理科应试ꎬ２０２２(１２):２８－２９.[４]陈俊琦.应用数学思想ꎬ优化高中物理解题[Ｊ].中学生数理化(学习研究)ꎬ２０１９(Ｚ１):９７.[５]俞立硕.高中物理教学中数学思想方法的渗透[Ｊ].新课程研究ꎬ２０１９(２４):１０６－１０７.[６]季节.高中物理解题中三角形的有效应用[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２２(１０):８１－８３.[７]徐同苗.三角函数在物理解题中的应用[Ｊ].中学物理教学参考ꎬ２０１９(１４):９２－９３.[责任编辑:李㊀璟]２１１。
三角函数中的数学思想
三角函数中的数学思想三角函数是中学数学的重要内容之一，符号与变元、集合与对应、数形结合等基本数学思想在研究三角函数时起着重要作用，分析、探索、化归、类比、平行移动、伸长和缩短这些常用的基本方法时隐时现。
这些数学思想方法为学生学习数学和应用数学提供了一个新的领域，教科书对此作了渗透，教学时应注意及时提醒或强调。
下面谈谈这些具体的数学思想和方法：一、数形结合思想数形结合思想是通过“以形助数”或“以数助形”，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来解决问题的数学思想方法。
例1：已知0＜θ<，求证sinθ<θ<tanθ。
分析：本题所要证明的不等式中各个部分的意义完全不同（分别是角θ的正弦值、角θ、角θ的正切值），因此，证明的关键是找到联系三者的纽带，这就是单位圆中的三角函数线。
评注：本题是一道新颖而别致的题目，此证法体现了数学中数与形的完美结合。
二、分类讨论思想数学基础知识（如法则、公式、定理、性质、基本方法等）的应用都有一定的条件，就是说只能在一定的范围内使用它们。
当在一个比它需要的条件更广的范围内求解问题时，要应用这些基础知识，就需要把这一更广的范围划分成几个较小的范围以适应基本知识所需的条件，在每一个较小的范围内都把问题解决掉。
通俗地讲，就是“化整为零、各个击破”，或者说不同的情况要采用不同的方法去对待。
这种处理问题的思想就是“分类讨论”的思想。
点评：已知α在第几象限，要确定（n∈N+，n≥2）所在的象限，常用的方法是分类讨论，并且按被n除所得的余数0、1、2、…、n-1分为n类。
三、函数思想函数的思想是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，使问题获得解决。
点评：本题若不注意考察题设特点用函数看问题，而是按照通常方法去括号、因式分解去证就比较繁琐。
用数学思想方法解高考三角函数题
用 数 学 思 想 方 法 解 高 考 三 角 函 数 题
谢 冬梅
（ 西南大学 数学与统计学院 ， 重庆 摘 要： 三 角 函 数 是 基 本 的初 等 函 数之 一 ． 它 涉及 的 公 式 多、 变化 多 ， 是 初 等 数 学 的 重 点 内容 ． 本 文 通 过 分 析 历 年 高 考 数 学题 中出现 的三 角 函数 题 ， 阐 述 如何 运 用 数 形 结合 、 函数 与 方程、 等价转换 、 分 类 与整 合 等 基 本 的教 学思 想方 法解 高考 函
一
（ Ａ ＞ Ｉ ） 或缩短 （ ０ ＜ Ａ ＜ Ｉ ） 为 原 来 的Ａ倍 （ 横 坐 标Ｘ 不变 ） ． 自变 量ｘ 和 函 数 值Ｙ 进 行 变换． 另外 ， 在做这类 题时 ， 还 应 尽 量 避 免 对 代 数 问 题 的 抽 象 讨论 ， 把 代 数 问 题 图形 化 ． 二、 函数 与 方 程 思 想 函 数 的 思想 是 用 运 动 和变 化 的观 点 、 集 合 与 对 应 的 思想 。 分 析 和 研 究 数学 问题 中 的数 量 关 系 ，建 立 函数 关 系或 构 造 函 数， 运 用 函数 的 图像 和性 质 分 析 问 题 、 转 化 问题 ， 从 而 使 问 题 得以解决 ； 方 程 思 想 是 分 析 数 学 问 题 中 的 变 量 间 的 等量 关 系 。 从 而 建 立 方 程或 方 程 组 或 者构 造 方 程 ． 通 过 解 方 程 和方 程组 ． 或 者 运 用 方 程 的性 质 分 析 问 题 、 转化 问题 ， 使题得 以解决． 在 高 考 试 卷 中 ，三 角 函 数 中 的最 值 问题 有 时候 可 转 化 为 函数 问 题解决． 例２ ： 在 同一 直 角 坐 标 系 巾 ， 函数ｙ ＝ ｃ 。 ｓ （ ＋ ） ， ｘ ∈［ ０ ，
高中数学：三角函数中的常用数学思想方法
一、方程的思想例1、已知sinθ+cosθ=，θ（0，π），则cotθ=________。
解析：由sinθ+cosθ=平方得sinθcosθ=。
又θ（0，π），所以sinθ＞0，cosθ＜0，且sinθ＞，将sinθ，cosθ看作是方程的两根。
所以sinθ=，cosθ=。
从而cotθ=，应填。
二、函数的思想例2、已知x，y ∈[]，且x3+sinx-2a=0①，4y3+sinycosy+a=0②，求cos(x+2y)的值。
解析：设f(u)=u3+sinu。
由①式得f(x)=2a，由②式得f(2y)=－2a。
因为f（u）在区间[]上是单调奇函数，所以f(x)=-f(2y)=f(-2y)。
又所因x,-2y∈[]，所以x=-2y，即x+2y=0。
所以cos(x+2y)=1。
三、数形结合的思想例3、函数f(x)=sinx+2，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是______。
解析：f(x)=函数f(x)=sinx+2，x∈[0，2π]的图象（如图1）与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则1＜k＜3。
四、化归的思想例4、设α为第四象限的角，若，则tan2α=_________。
解析：因为===，所以，tan2=。
又因为为第四象限的角，所以tan=，从而求得tan2=。
五、分类讨论的思想例5、若△ABC的三内角满足sinA=①，问此三角形是否可能为直角三角形？解析：假设△ABC可以为直角三角形。
（1）若B=90°，则A=90°-C，代入①中，得sin(90°-C)=，所以cos2C=1+sinC，1-sin2C=1+sinC，所以sinC=1，即C=90°。
这是不可能的，所以B≠90°。
（2）同理，C≠90°。
（3）若A=90°。
①式右边=①式左边=sinA=sin90°=1。
所以此三角形可为直角三角形，此时A=90°。
从三角函数管窥高中数学思想
我们知道 ， 数学思想是对数学知识本质 的认识 ， 数学 方法表现为一种模式 ， 一种解决 问题 的途径和手段 ， 数 学 思想 总是融合在数学知识 中 ， 并通过数学方法表现 出来 ，
数学方法 的内核又是数学思想 ， 它是 以数学思想 为指 导 ， 又可 以升华 为数学思想 ， 学 习和研究数学思想方法 ， 有 利
之处请读者指正．
一
令 ＝ 詈 ， 则 詈 ＋ 詈 ） ０ ） ＝ ｓ ｉ ｎ ０ ＋ ｎ ｃ 。 ｓ ０ ＝ 。 ，
ｌ ， 詈 一 ， ｆ ） （ ＿ 号 ） ＝ ｓ ｉ ｎ （ 一 号 ） ＋ ∞ 。 ｓ （ 一 号 ） 一 ，
所 以 一 １ ．
提示： 利用 函数， ， ＝ ） 图像关 于直线 ＝ ｏ 对称 的充要 条件７ ￣ ｆ （ ａ ＋ ｘ ） ａ － ｘ ） 来解决 相关抽 象 函数或具体 函数 的 问题 ， 是 近几年高 考题 中常涉及 的 内容 ， 要 引起重视 ． 纵 观本题 ， 如何利用三角 函数关 于直线 ＝ 一 ＿ ＂ ＝ Ｔ ｉ ＿ 对 称？分析对
所 谓的三维知识模块 ，将 千变 万化 的试题化 有形于无形 中， 通过思 想方法看 到问题 的本质 、 解决 的思路 ， 这 是每 个 优秀学生学 习的最终 目标． 熟练掌握 高 中数学思 想方
算， 不仅烦 琐而且极 易出错 ， 于是考 虑数形结 合 中的“ 以 形辅数” 求之． 解析 ： 利用 １ ＝ ｃ ｏ ｓ Ｚ Ｏ ＋ ｓ ｉ ｎ ２ ０ 可将 函数变形为 ：
ｆ（ ） ＝ 、 ／ （ ｃ 丁 ＋ ｈ ／ — （ ｃ ｏ ｓ ０ ＋ １ — ） ２ ＋ ｓ ｉ ｎ ２ ０ ＝
法对每个 学生来 说并不容易 ，因为这 首先需 要一维知识
关注：三角函数解题中的数学思想方法
１ ２
，当狋＝槡２
时，狔
有
最大值为１ ２
＋槡２．
评注：第（１）小题利用消元法，第（２）小题利用换
元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变
量的取值 范 围．本 题 告 诉 我 们，当 无 法 直 接 利 用 三 角 函数的有关知识解决三角函数问题时，一般可采用换
元或消元的思想，转化为其他函数来解决，可谓“他山
化法．
三、函数与方程思想
图１
解析：我们可把原函数犳（狓）＝槡狓 －ｃｏｓ狓 看成幂 函数狔＝槡狓 与余弦函数狔＝ｃｏｓ狓 的差，于是把它们画 在在同一坐标系中，如图１所示，狔１＝槡狓 与狔２＝ｃｏｓ狓， 狓 ∈ ［０，＋ ∞）的图像，从图像上直接可以看出狔１ 与 狔２ 的图像只有一个交点，所以犳（狓）＝槡狓 －ｃｏｓ狓 在 ［０，＋ ∞）内只有一个零点．
１ ２
时，ｓｉｎ狔 －ｃｏｓ２狓
有最小值
－１ １１ ２；当 ｓｉｎ狓
＝－
２ ３
时，ｓｉｎ狔 －ｃｏｓ２狓 有 最 大 值 ４ ９．故 ｓｉｎ狔 －ｃｏｓ２狓 ∈
［ ］ －１１１ ２，４９ ．
（２）设ｓｉｎ狓＋ｃｏｓ狓＝狋（－槡２ ≤狋≤ 槡２），则ｓｉｎ狓·
ｃｏｓ狓
＝狋２２－１，则狔＝
１ ２狋２
＋狋－
一、数形结合思想
在《三角函数》这 章 中，数 形 结 合 思 想 贯 穿 始 终，
主要体现在以下几个方面：利用单位圆给出三角函数
的定义，并 推 导 出 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系；利 用 三
角函数线画正（余）弦及正切函数的图像．
例１ 函数犳（狓）＝槡狓 －ｃｏｓ狓 在［０，＋ ∞）上的
教学 参谋 解法探究 ２０２０年２月
三角函数中的数学思想方法
题 意 。 当ａ Ｏ ＜ 时
再 根 据 正 弦 、 弦 函数 的 有 界 性 求 得 。 余
Ｎ 已 函 ｆ 一 （ 詈＋＋ｘｑ莩］ 问是 否 存 ３ 知 数ｘ２．ｘ ） ｂ ［， ， （ ａｎ＋ ２ ， ｑ ） ｓ２ ａ ∈－ ＝
ｎ
－
在常数ａ ， Ｑ， ， 使得ｆ ） ｂ （ 的值域为 Ｅ３ 、了 一 ］ ｘ － ， ／ １ 。若存在 ， 的ａ 求 ， ｂ
一 —
＿
删１
ｂ的 函 数 值 域 问题
，
由于 三 角 函数 值 受 角 所 在 象 限 的 影 响 ，需 要 对 角 所 在 不 同
ｏ ＣＯＳ Ｘ＋ ｄ
Ｏ ｎ ｓｉ ｘ＋ ０
的象 限 进 行讨 论 ， 样 才 能 使 问 题 圆满 解 决 。 这
通 常 将 函数 式 变 形 ， 后 转 化 为 一 个 角 的正 弦 或余 弦 函数 形 式 ， 然
在 三 角 函数 问题 中 ， 常 引 入 变 量 问题 转 化 成 对 新 变 量 通 把
的值 ； 不 存 在 ， 明理 由 。 若 说
的讨 论 。这 样 通 过 转 化 原 问题 的结 构 ， 以 简 化 解题 过程 。 可 例 ２求 函 数ｖ — ｌ Ｉ 的最 大 值 与最 小 值 。 ： ｘｃ！ ！
维普资讯
室
Ｎ ｏ ． ２
Ｔ ＭＥ Ｅ Ｕ Ａ １ Ｎ Ｉ Ｄ Ｃ Ｔ０
Ｆｅ ｒ ａ ｙ ２ ０ ｂ ｕ ｒ ０ ８
三角 函数 中的数 学思想 方法
何大 明
摘 要 ： 角 函数 是 中 学数 学 的 重要 内容 之 一 ， 三 函数 单 调 性 又是 函数 性 质 的 重 中之 重 ， 由于 中 学初 等 数 学 以 及 学 生 认 知 水 平 的 Ｎ 但 －
三角函数问题中的数学思想
Ｉ＋一３０ 解得．”－０ ， ｎＰ ５ ， ｆ － ０ ４
Ｉ ＋ ｐ － Ｏ … … （ ＝ ０ ｎ ４ ＝ ２ Ｏ． ｐ ５．
３归 纳 推 理是 认 识 新 规 律 ， 现 新 知 识 ， 动科 技 进 步 的 ． 发 推
重要基础。 （ ） 节 小结 。 五 本 １初 步 掌 握 归 纳 推 理 思 维 方 法 ， 用 归 纳 推 理 方 法 解 决 ． 能 简 单 的 数学 问题 。 ２ 通 过 本 节 学 习 ， 学 生 体 会 和认 识 到 归 纳 推 理 在 数 学 ． 使 发 现 中 的重 要 作 用 。 六 、 学 反 思 教 １ 发 学 习兴 趣 是学 好 数 学 的 前提 。 过丰 富多 彩 的数 学 ． 激 通 问题 ， 使 学 生初 步 掌 握 归 纳 推 理 的 方法 步 骤 ， 既 又极 大地 调 动
一 ｃ。ｓ
．
伽
ｓ
Ｊ
三、 转化 与 化 归 思 想 把 所 研 究 的 问 题转 化 为－ 等 价 的 问题 ，将 陌 生 问 题转 ｑ之 化 为熟 悉 问题 ， 而于 找 出 问题 的解 决 方 法 ． 现 在 三 角 函数 从 体 中 就是 切 割 化 弦 、 一 角 、 一 函 数 名 称 、 元 等 手 段 处 理 求 统 统 换 值 （ ）最 值 、 域 、 比较 大 小 等 问题 ．
２１ ５期 试 周刊 ０１ １ 年第
三 角 函 数 问 题
中 的 数 学 思 想
刘 路 海
（ 山东 省 北镇 中学 数 学 组 ， 山东 滨 州 摘 要 ：三 角 函数 问 题 是 中 学数 学 重 要 内 容之 一 ． 数 在 ２６０ ５ ６ ０）
破 ． 现 在 ＝ 角 函 数 值 受 角 所 在 象 限 的 影 响 ， 不 同 的 象 限 有 体 在
高考数学中的三角函数方程与不等式求解技巧
高考数学中的三角函数方程与不等式求解技巧高考数学中，三角函数方程和不等式的求解是一个重要的考点。
掌握了相关的求解技巧，不仅可以提升数学成绩，还能在解决实际问题时起到关键作用。
本文将介绍一些常见的三角函数方程和不等式求解技巧，希望能对广大考生有所帮助。
一、三角函数方程的求解技巧1. 化简与等价变形在解三角函数方程时，首先要将复杂的方程化简为简单的形式。
通过等价变形，将方程转化为更易求解的形式，例如利用倒数公式、和差化积公式、和差化简等。
2. 观察周期性大多数三角函数具有周期性。
因此，在求解三角函数方程时，要充分利用函数图像的周期性质。
可以通过观察函数值的变化规律，找到方程在一个周期内的解，并推广到整个定义域。
3. 递推思想当遇到复杂的三角函数方程时，可以通过递推思想来解决。
即将方程中的变量逐步代入，化简为只含有一个未知数的方程，并逐步求解得到最终结果。
4. 回代与验证在得到方程的解后，要进行回代与验证。
将解代入原方程，验证等式是否成立。
如果成立，则解是方程的解；如果不成立，则需要重新检查求解过程。
二、三角函数不等式的求解技巧1. 图像法在解三角函数不等式时，可以绘制函数的图像来直观地找到不等式的解集。
通过观察图像的上升和下降趋势，确定不等式的取值范围。
2. 移项与化简与方程求解类似，不等式的求解也要通过移项和化简来将复杂的不等式转化为简单的形式。
通过等价变形，将不等式转化为更易求解的形式。
3. 考虑周期性与对称性三角函数的周期性和对称性是解三角函数不等式的重要技巧。
利用函数图像的周期性和对称性，可以将不等式的解集缩小到一个周期内，然后推广到整个定义域。
4. 关系式的转化有时候，将不等式转化为等价的关系式，可以更方便地求解。
例如，将不等式化为方程，然后根据方程的解集求解不等式的解集。
总结：高考数学中的三角函数方程与不等式求解技巧可以通过化简与等价变形、观察周期性、递推思想、图像法、移项与化简、考虑周期性与对称性、关系式的转化等方法来解决。
三角函数中的数学思想
三角函数中的数学思想三角函数是数学中重要的一个分支，在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
它是描述三角形内角关系和三角形边长比例关系的一种数学工具，同时也是研究周期现象和波动现象的重要数学方法。
三角函数的数学思想涵盖了角度、周期、无穷、变化等多个数学概念，下面将具体地探讨一些三角函数中的数学思想。
首先，角度是描述旋转和方向的概念，是三角函数的基本元素之一、在三角函数中，我们用角度来度量角的大小。
角度的概念使得我们能够对角进行比较、计算和研究。
它允许我们将三角函数扩展到所有实数范围内，从而更广泛地应用到各种领域中。
另外，角度的概念也为我们理解周期性现象提供了有效的数学工具。
其次，周期是三角函数中的重要数学思想之一、三角函数是周期函数，它们在一定的间隔内具有相同的函数值。
周期性是许多现象和问题的本质特征之一，比如地球的自转和公转、天体的运动、电流的变化等。
通过数学上的表示和分析，我们能够更好地理解和预测这些周期性现象。
同时，周期函数也有许多重要的性质和应用，如傅里叶级数的展开和信号处理等。
此外，无穷是三角函数中的另一个重要数学思想。
三角函数的定义域为实数集，因此可以取无穷多个不同的输入值。
这使得我们能够研究和描述更加广泛的现象和问题。
无穷也在三角函数的图像表示中起到关键的作用，例如正弦函数和余弦函数的图像是以水平中心线为轴无限延伸的波动曲线。
最后，三角函数中的数学思想还包括变化和导数等概念。
三角函数的图像随角度的变化呈现出周期性、波动性和对称性等特点，这种图像变化是数学中重要的研究对象。
而导数则描述了函数在其中一点处的变化率，对于三角函数而言，导数的概念使我们能够研究它们的变化特征和性质，如局部极值点、拐点等。
导数的引入使得三角函数能够与微积分相结合，进一步扩展了三角函数的研究深度和应用领域。
综上所述，三角函数中涌现了许多重要的数学思想，包括角度、周期、无穷、变化和导数等。
这些数学思想不仅丰富了三角函数的内涵和外延，还为我们理解和应用三角函数提供了宝贵的数学工具。
数学思想背景下高中数学三角函数教学研究
数学思想背景下高中数学三角函数教学研究随着现代社会的快速发展，人们越来越重视教育。
在高中数学教学中，三角函数是一种很重要的应用，其内涵很深，所以在高中数学教学中，三角函数教学具有重要意义。
在此背景下，本文着重分析了数学思想背景下高中数学三角函数教学的内容和特点。
数学思想背景下的数学三角函数教学，包括两个主要方面：一方面，数学思想背景应通过三角函数的利用，使学生充分感知数学的客观性、严谨性、精确性、可加工性。
另一方面，数学思想背景应使学生深入理解数学三角函数的实质和内涵，以更深层次的认识数学三角函数。
首先，在数学思想背景下，教师应让学生深刻理解三角函数的客观性，掌握其特点、规律、方法和测量原理，使学生理解三角函数的实质和内涵。
其次，用数学思维的方法，让学生深入理解三角函数的形成背景，从比例算法、极坐标、泰勒级数、旋转矩阵等角度解析三角函数的形成过程，使学生深入理解三角函数的实质。
最后，在数学思想背景下，教师应补充新概念，增强学生对抽象概念的应用能力，引领学生通过综合运用数学思维、分析解决实际问题的能力，使学生充分理解三角函数的严谨性、精确性及可加工性。
总之，在数学思想背景下的高中数学三角函数教学，应培养学生理性思维、严谨判断、精确测量的能力，最终激发学生探索知识，创造社会知识的能力。
本文从数学思想背景下分析了高中数学三角函数教学的内容和特点。
从客观性、精确性、可加工性和严谨性几个方面，介绍了数学思想背景下高中数学三角函数教学的要点，希望能够给教师和学生带来积极的影响。
高中三角函数中的基本数学思想探析
角函数的转化可 以表现为 ： 多个三角 函数 向单一函数的转化 ， 特 殊函数向一般 函数 的转化 ，抽象函数 向具体 函数 的转化等 。在 转化时要注意运用转化思想 ， 注意转 化的等价性 。转 换思想在 三角函数 中的应用非常重要 ， 通过诱 导公式可 以将任 意三角 函 数转 化成锐角三角 函数 ， 而锐角三角 函数 比较容易计算 ； 利用倍 角公式 、 和差公式可以将一些角转化为特殊角 ； 还可 以运用三角 公式将 复杂的形式转换为简单三角函数形式 。 转化思想 的运用 ，
一元二次方程来求解三角函数 问题 ； 还可以联 渗透 ， 意义非同寻常， 不仅可以帮助学生们解决实际问题 、 处理疑 用一元一次方程 、
通过消元达到求值求解 的 目的 ， 消元 法是 函数 难问题 ， 还可以提高学生实 际应用能力 ， 在解 决问题 的过程 中增 立几个三角公式 ，
强学生的数学运用能力和知识创新能力。 二、 高中三角函数 中的基本数学思想 的体现 思想在三角函数问题 中的最直接 的应用体现。在求解 三角函数
习数 学知识的过程 中 ， 掌握知识固然很重要 ， 但是仅以死记知识 不仅 可以培养学生 的转化思维 ，还 可以提 高解决问题的应变能
式 和数学思维 ，才 能把知识变为一种能力 ，提高 自己的学习能 力， 才能不断提高数学素质。 释了。 要想学好三角 函数 ， 并能进行实际应用 ， 掌握一定 的解题技
题。
要作图 ，通过作图使 图形 与问题结合 ，从而能更直观地表现问
法来解 决问题。 （ 二） 转化思想
题 。三角函数图象 ， 可 以直观地展现问题 ， 有利于选取不同的方 决 ， 同样可以通过建模来完成 。运用建模思想 ， 可 以把具体数据
转化思想在数学研究 中是一种很重要的方法 ，通过合理地 纳， 那些 不被 人们 熟悉 、 比较复杂 的问题可 以变得简单 、 熟悉起 来 。在三角 函数 中 ， 很多复 杂的问题都可 以经过转化与归 纳变 得更容易解 决。 转 化的实质就是用简单 的问题去替代复杂 困难的问题。三
三角函数中的数学思想方法归纳
、
化归转化思想是解决 数学 问题 的一种重要思想 方法。处理数学 问题 的实质就是实现新 问题 向旧 问 题的转化 ， 复杂问题 向简单问题转化 ， 未知问题向 已 知 问题转化 ， 抽象 问题 向具体问题转化等。 例 ３ 已知定义域 为 Ｒ的函数 ） 为奇 函数 ，
．
且在定义域上为单调递增函数 ， ０ ０詈 ］ 当 ∈［ ， 时，
ｔ ２
即（ｓ一二 ２ ２ ０ ｃＯ 詈）一叶＋ ｍ一 ＞ 。 ｏ
又 ’ Ｅ［ ， ］ ．≤ｃｓ ≤１ ． Ｏ ０ 等 Ｏ ０ 。
二
１
ｔ ２
—
１ １
一
２ ’
—
（ 当０ 詈≤ ， ≤ ≤ 时， ２ １ ≤二 １ ） 即０ ｍ ２ 则一－＋ ｍ ｒ
２＞０ ：
・ ＝ ． ＝ ’，∈ 一 ， ｕ 一 ， ・ 一１ ． ｆ — ’ １ （ ÷ 一 ’Ｌ 一 ） 、 １ Ｙ ， ‘ ［ Ｙ Ｌ ， ’
・ ． ．
√ ］ ２。
，
（） ＞１即 ， ２ 贝 一ｍ ｌ ２ ２—， ， ＞ 时， ０２ Ｉ Ｈ 一 ｌ Ｘ ＋ ｍ一２ ； ＞０
。 ・ ．
一
（ ） 例 １ 求 函数 厂 ：
．
望一 的最 大 、 最
。
ｌ ＋ Ｓ ｎ 十 Ｃ０ ｌ Ｓ
小值 。 解析： 由条件 和问题联 想到公 式 （ｉｘ±ｅｓ ） ｓ ｎ ｏｘ １ ｓ ｘ ｏｘ 可实施整体代换求最值 。 ±２ｉ ｃｓ ， ｎ
＝
４ ： ｍ）且函数在定义域上单调递增 ，
．
例 ２ 设 ０ ， ｌ且 ｃ２＋ ｒｉ — ｍ一 ∈ｌ － ， ｏ ０ ２ ｓ０ ２ ０Ｃ ｓ ｏｎ
２ ０恒成立 ， ｍ 的取值范 围。 ＜ 求 解析： 厂０ 令 （ ）＝ｃｓ ＋２ ｉＯ一２ 一２＝ ｏ２ ｍｓ ｎ ｍ ｓｌ ＋２ ｎ ｉ ０ ｍ￣ Ｏ一 ２ 一 １ 令 ｔ＝ｓ ０ 由 ０∈ Ｉ ２ ｍ ， ｉ ， ｎ
解三角函数题时常用的数学思想方法
解三角函数题时常用的数学思想方法厦门一中 廖献武三角函数是高中数学的重要内容，它蕴含着丰富的数学思想方法。
灵活地借助数学思想方法解题，往往可以避免复杂的运算，优化解题过程，降低解题难度，加快解题速度。
在教学中应加以归纳与训练，这样会有助于提高学生的数学素养和思维能力，增强学生分析问题、解决问题的能力。
本文通过实例介绍解三角函数题时常用的数学思想方法。
一、函数与方程的思想方程的思想,就是从分析问题的数量关系入手,把变量之间的联系用方程的关系来反映,然后通过解方程或对方程进行讨论的方法,使问题得到解决.例1 已知2cos 3sin =+αα求ααααcos sin cos sin +-的值.解:令x=+-ααααcos sin cos sin ,则0cos )1(sin )1(=++-ααx x ①又2cos 3sin =+αα ②由①、②解得21cos ,21sin --=-+=x x x x αα1)21()21(22=--+-+∴x x x x 即0242=-+x x解得62±-=x 62cos sin cos sin ±-=+-∴αααα.函数的思想就是在解决问题的过程中,把变量之间的关系抽象成函数关系,把具体问题转化为函数问题,通过对函数相应问题的解决,便可达到解决具体问题的目的.例2 已知x ，y ∈[4,4ππ-]，且x 3+sin x －2a =0①，4y 3+sin y cos y +a =0②，求cos （x +2y ）的值.解：设f （u ）=u 3+sinu 。
由①式得f （x ）=2a ，由②式得 f （2y ）=－2a. 因为f （u ）在区间[2，2ππ-]上是单调奇函数，所以f （x ）=－f （2y ）=f （－2y ）. 又所因x ,－2y ∈[2，2ππ-]，所以x =－2y ，即x +2y =0。
所以cos （x +2y ）=1. 方程与函数是互相联系的，利用函数与方程之间的对立统一关系，能进一步提高综合运用知识分析问题和解决问题的能力．例3 试求方程80sin x x =的实根的个数以及所有实根的和． 解：解决这类问题宜从函数的角度来考虑．由80sin x x =得sin 80x x =．∴1180x-≤≤，即2626x ππ-<<．设()sin f x x =，()(2626)80xg x x ππ=-<<，方程80sin x x =的实根，即是以上两个函数图象交点的横坐标．由于()sin f x x =，()80xg x =均为奇函数，其图象关于原点对称，因此只须画出[0,26)π内的图象．由于()sin f x x =和()80xg x =的单调性，可知在()sin f x x =的任意两个相邻的对称轴之间，这两个函数最多只能有一个交点（见图2），而()sin f x x =的对称轴方程为()2x k k Z ππ=+∈，当026x π<<时，两个函数图象共有25个交点，又由于两个图象均过原点，所以当2626x ππ-<<时，两个图象共有225151⨯+=个交点，即方程80sin x x =共有51个实根．由于这些实根关于原点对称，可知这51个实根之和为0． 二、数形结合的思想数形结合思想就是把抽象的数和直观的形双向联系与沟通,使抽象思想与形象思维有机地结合起来化抽象为形象,以期达到化难为易的目的.三角函数中可利用的图形有两类，即函数图象和三角函数线（单位圆）．例 4 若,a b R ∈,记,()max(,),()a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，对于函数()max(sin ,cos )f x x x = ()x R ∈，给出下列4个命题：①该函数的值域是[1,1]-；②当且仅当2()2x k k Z ππ=+∈时，该函数取得最大值1；③该函数是以π为最小正周期的周期函数；④当且仅当322()2k x k k Z ππππ+<<+∈时，()0f x <．上述命题中正确的的命题是 ．解：根据题意，已知函数即为sin ,(sin cos )()cos ,(sin cos )x x x f x x x x ≥⎧=⎨<⎩，由此图象可知，该函数值域是[2-；当2x k π=或2()2x k k Z ππ=+∈时，该函数取得最大值1；该函数是以2π为最小正周期的周期函数，所以命题①、②、③都不正确，而命题④是正确的．图1三、分类讨论的思想分类讨论的思想就是整体问题分解为几个部分问题来解决,它是逻辑划分思想在解数学题中的具体运用.它有三个重要的原则，即不越级、不重复、不遗漏．例5 求函数),20(1sin 2cos )(2R a x x a x x f ∈≤≤-+=π的最大值和最小值.解:x a x x a x x f sin 2sin 1sin 2cos )(22+-=-+=,设11,sin ≤≤-=t t x则11,)(2)()(222≤≤-+--=+-==t a a t at t t F x f⑴1-<a 时,)(t f 在]1,1[-上单调递减,a F t F x f a F t F x f 21)1()()(,21)1()()(min min max max +-===--=-==∴⑵01<≤-a 时,,)()()(2max max a a F t F x f === a F t F x f 21)1()()(min min +-==⑶10≤≤a 时,,)()()(2max max a a F t F x f === a F t F x f 21)1()()(min min --=-==⑷1>a 时, )(t f 在]1,1[-上为增函数, ,21)1()()(max max a F t F x f +-===a F t F x f 21)1()()(min min --=-==例6 已知函数()2sin(2)3f x a x b π=-+的定义域为[0,]2π，值域为[5,1]-，求a和b 的值．解：因为a 值与函数的单调性有关，所以对a 要分a >0，0a =,a <0三种情况进行讨论． ∵02x π≤≤，∴22333x πππ-≤-≤，∴sin(2)13x π≤-≤． 1）当0a >时，则21,5,a b b +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩解得1223a b ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩2）当0a =时，()f x b =与值域为[5,1]-不符，故舍去.3）当0a <时，则25,1,a b b +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1219a b ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩在三角运算中，有关三角函数所在象限符号的选取常需要进行讨论，三角函数与二次函数综合问题以及三角函数最值等问题也要注意讨论.四、化归（转化）思想化归思想在三角函数中应用非常普遍，主要体现在：①化多角的形式为单角的形式；②化多种函数名称为一种函数名称；③化未知角为已知角；④化高次为低次；⑤化特殊为一般。
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三角函数中数学思想方法解析在三角函数这一章的学习和复习过程中，熟练掌握以下几种数学思想方法，有助于提高同学们灵活处理问题和解决问题的能力。
下面通过例题透视三角函数中的数学思想。
1、数形结合思想三角函数中可利用的图形有两类，即函数图象和三角函数线（单位圆）． 例1 求不等式x x cos sin >在[]ππ,-上的解集。
解析：设x y sin 1=，x y cos 2=，在同一坐标系中作出在[]π,0上两函数图像(如图1)，在[]π,0上解得x x cos sin =的解为4π=x 或43π=x ，故由图像得要使得21y y >，即434ππ<<x ，由于x y sin 1=，x y cos 2=在[]ππ,-上为偶函数，故在[]0,π-上的解为443ππ-<<-x ，得原不等式的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--43,44,43ππππ 。
2、函数与方程的思想方程（或不等式）与函数是互相联系的，利用函数与方程（或不等式）之间的对立统一关系，能进一步提高综合运用知识分析问题和解决问题的能力．例2 试求方程80sin x x =的实根的个数以及所有实根的和．解析 解决这类问题宜从函数的角度来考虑．由80sin x x =得sin 80x x =．∴1180x -≤≤，即2626x ππ-<<． 设()sin f x x =，()(2626)80x g x x ππ=-<<，方程80sin x x =的实根，即是以上两个函数图象交点的横坐标．由于()sin f x x =，()80x g x =均为奇函数，其图象关于原点对称，因此只须画出[0,26)π内的图象．由于()sin f x x =和()80x g x =的单调性，可知在()sin f x x =的任意两个相邻的对称轴之间，这两个函数最多只能有一个交点（见图2），而()sin f x x =的对称轴方程为()2x k k Z ππ=+∈，当026x π<<时，两个函数图象共有25个交点，又由于两个图象均过原点，所以当2626x ππ-<<时，两个图象共有225151⨯+=个交点，即方程80sin x x =共有51个实根．由于这些实根关于原点对称，可知这51个实根之和为0．3、分类讨论思想分类讨论是一种重要的数学思想，它有三个重要的原则，即不越级、不重复、不遗漏． 例3 已知函数()2sin(2)3f x a x b π=-+的定义域为[0,]2π，值域为[5,1]-，求a 和b 的值．解析 因为a 值与函数的单调性有关，所以对a 要分a >0与a <0两种情况进行讨论． ∵02x π≤≤，∴22333x πππ-≤-≤，∴sin(2)123x π≤-≤． ⅰ）当0a >时，则21,5,a b b +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩解得1223a b ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩ ⅱ）当0a <时，则25,1,a b b +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1219a b ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩ 例4 已知2sin cos 1θθ-=，求sin cos 1sin cos 1x x x x ++-+的值． 解析 由已知得2sin 1cos θθ=+． ⅰ）若cos 1θ=-，则sin 0θ=，所以sin cos 10sin cos 1x x x x ++=-+； ⅱ）若cos 1θ≠-，则有sin 11cos 2x x =+， 根据半角的正切公式，有sin 1cos tan 21cos sin x x x xθ-==+， 再由等比定理，有sin 1cos 1cos tan 21cos sin sin x x x x x xθ+--==++， 故sin cos 112sin cos 1tan 2x x x x θ++==-+． 综上可知，所求的值为0或2．4、化归（转化）思想要解决一个新问题，常常采用由生疏到熟悉，由复杂到简单等的转化策略，使问题获得解决．转化时要注意问题的等价性．三角公式的应用及三角函数关系式的化简、计算、证明等都体现了转化（化归）思想．特别地，在三角变换解题时的一般思路是：遇切割，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消约，引辅助． 例 5 已知定义域为R 的函数()f x 为奇函数，且在定义域上为单调递增函数，当[0,]2πθ∈时，(cos 23)(42cos )0f f m m θθ-+->恒成立，求实数m 的取值范围． 解析 关于抽象函数的不等式是无法直接解出的，必须根据函数的有关性质转化将其为初等代数不等式．∵(cos 23)(42cos )(2cos 4)f f m m f m m θθθ->--=-，且函数在定义域上单调递增，∴cos 232cos 4m m θθ->-，或2cos cos 220m m θθ-+->，即22(cos )22024m m m θ--+->．又∵[0,]2πθ∈，∴0cos 1θ≤≤． ⅰ）当012m ≤≤，即02m ≤≤时，则22204m m -+->； ⅱ）12m >，即2m >时，则211220m m -⨯+->； ⅲ）当02m <，即0m <时，则200220m m -⨯+->，综上，解得4m ≥-所以当4m ≥-(cos 23)(42cos )0f f m m θθ-+->恒成立．评析 另一方面，由2cos cos 220m m θθ-+->，得2(2cos )2cos m θθ->-． ∵0cos 1θ≤≤，∴12cos 2θ≤-≤，从而有22c o s 222c o s (2c o s )42c o s 2c o s 2c o s m θθθθθθ-->=++=--++---． 通过变量分离，然后利用均值不等式后函数的单调性解之，这样可以避免分类讨论．5、类比思想类比有助于解题．比如，我们常常会把函数()y af bx c =+与()y f x =图象之间的变换和函数sin()y A x ωϕ=+与sin y x =图象之间的变换作一比较．类比的关键是要在不同之中找相同，在相似之中找不同．例6 判断下列函数的周期：（1）|sin |y x =；（2）sin ||y x =；（3）|tan |y x =；（4）|sin 1|y x =+；（5）sin 2cos3y x x =+；（6）|sin ||cos |y x x =+；（7）tan cot y x x =-； （8）sin y x =+．解析 （1）|sin |y x =的周期为π；（2）sin ||y x =无周期性；（注意与（1）的区别；（3）|tan |y x =的周期为π；（注意与（1）的区别，它的周期不是2π，因为函数的间断点之间的距离并未因减半）（4）|sin 1|y x =+的周期为2π；（它的周期也不像（1）那样减半，因为sin 1y x =+的函数值并不关于x 轴对称）（5）sin 2cos3y x x =+无法化为一个角的三角函数，但sin 2y x =的周期是π，cos3y x =的周期是23π，一般地，两个周期函数的和，它仍是周期函数，且其最小正周期是它们的最小公倍数，所以sin 2cos3y x x =+的周期是2π；（6）),[2,2]42),(2,2]42|sin ||cos |()3),(2,2]423),(2,22]42x x k k x x k k y x x k Z x x k k x x k k πππππππππππππππππππ+∈+-∈++=+=∈⎨⎪+∈++⎪⎪⎪-∈++⎩ ，结合图象可知，|sin ||cos |y x x =+的周期是2π． 评析 |sin |y x =和|cos |y x =的周期都是π，但|sin ||cos |y x x =+的周期却不是π．事实上，由诱导公式可得|sin()||cos |2x x π+=，|cos()||sin ||sin |2x x x π+=-=，显然2π是函数|sin ||cos |y x x =+的一个周期，而且是最小正周期． （7）tan cot y x x =-的周期是2π，这是因为 22sin cos sin cos 2cos 2tan cot 2cot 2cos sin sin cos sin 2x x x x x y x x x x x x x x-=-=-==-=-． （注意，当两个函数作差时，其周期就可能不是它们的最小公倍数了）（8）sin y x =+无周期性，因为2π无最小公倍数．（可用反证法证明）．6、整体思想有时从整体的角度解题，可以减少计算量或避免分类讨论，其中比较典型的是关于奇次式的求值问题．例7 已知22sin sin 2()1tan 42k ααππαα+=<<+，试用k 表示sin cos αα-的值． 解析 ∵22sin sin 22sin (sin cos )2sin cos sin 1tan 1cos αααααααααα++==++， ∴2sin cos k αα=．而2(sin cos )12sin cos 1k αααα-=+=+，又42ππα<<，于是sin cos 0αα->，所以sin cos αα-=评析 这里把sin cos αα看作一个整体，从而避免分别求出sin α及cos α的值．7、特殊化（具体化）思想对一些比较复杂或抽象的问题，若先将其特殊化或具体化，可以更容易找到解题思路． 例8 函数()sin()(0)f x M x ωϕω=+>，在区间[,]a b 上是增函数，且()f a M =-，()f b M =，则函数()cos()g x M x ωϕ=+在[,]a b （ ）．A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值M - 解析 解法一：由已知得0M >，22()22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈，故有()g x 在[,]a b 上不单调，且当2()x k k Z ωϕπ+=∈时()g x 可取到最大值M ，答案为C ．解法二：由于()f x 和()g x 两函数图象的相对位置关系不变，所以可令1,0ωϕ==，区间[,]a b 为[,]22ππ-，1M =，则()cos g x x =，由余弦函数的性质得答案为C ． 评述 此题主要考查函数()sin()f x M x ωϕ=+的性质，兼考分析思维能力．要求对基本函数的性质能熟练运用（正用和逆用）；解法二取特殊值可降低难度，简化命题．8、消元的思想方法消元的思想方法在三角函数的求值以及恒等式证明时也是常用的一种方法．例9 已知ABC 的三内角A 、B 、C 满足sin(1802cos(90)A B -- ，)A B =+ ，求角A 、B 、C 的大小．解析 ∵sin(180)90)A B -=- ，∴sin A B =， ①)A B =+ A B =． ②①2+ ②2，得21c o s 2A =，即c o s A =．∵0180A << ，∴45A = 或135A = ．当45A = 时，有cos B =． ∵0180B << ，∴30B = ，180(4530)105C =-+= ．当135A = 时，有1sin 2B =．∴30B = ，180(13530)15C =-+= ． 综上，可知A 、B 、C 的大小为4530105 、、或1353015 、、． 9、逆向思想逆向思想通常是指从问题的反向进行思考，运用于正面考虑繁琐或难以进行时的一种解题思维策略，正确使用这种策略，往往能问题绝处逢生，找到求解的新途径。