复旦附中2015级高一上数学期中考试卷

复旦附中2015学年第一学期高一数学期中试卷

2015.11

一. 填空题

1. 函数y =的定义域为 ；

2. 已知,a b R ∈，写出命题“若0ab ≠，则22

0a b ->”的否命题 ； 3. 已知,x y R +∈且2xy =，则当x = 时，224x y +取得最小值；

4. 已知集合3{|1,}1

A x x Z x =≥∈+，则集合A 的子集个数为 个； 5. 已知定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且0x >时，2()23f x x x =+-，则当0x <时，

()f x = ；

6. 若函数25()43

kx f x kx kx -=++的定义域是R ，则实数k 的取值范围是 ； 7. 若,a b 为非零实数，则不等式①232a a +>；②4433a b a b ab +≥+；③||a b +≥

||a b -；④2b a a b

+≥中恒成立的序号是 ； 8. 已知定义在R 上的奇函数()f x 与偶函数()g x 满足21()()f x g x x x a +=

++(0)a >， 若1()3f x =-，则a = ；

9. 关于x 的方程22||90x a x a ++-=()a R ∈有唯一的实数根，则a = ；

10. 对于任意集合X 与Y ，定义：①{|X Y x x X -=∈且}x Y ∉；②()X Y X Y ∆=- ()Y X -

，X Y ∆称为X 与Y 的对称差；已知2{|2,}A y y x x x R ==-∈，{|3B y y =-≤ 3}≤，则A B ∆= ；

11. 已知集合2{|(2)10,}A x x m x x R =+++=∈，且A

R +=∅，则实数m 的取值范围是 ；

12. 若,a b R ∈，且2249a b ≤+≤，则22a ab b -+的最大值与最小值之和是 ；

二. 选择题

13. 已知函数(1)y f x =-的定义域为[0,1]，则(1)f x +的定义域为（ ）

A. [2,1]--

B. [1,0]-

C. [0,1]

D. [2,3]

14. 给出三个条件：①22ac bc >；②

a b c c

>；③||a b >；④1a b >-；其中能分别成为a b > 的充分条件的个数为（ ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

15. 已知{|}A x x =>，{|(3)(3)0}B x x x x =-+>，则A

B =（ ）

A. (2,1)-

B. (3,0)-

C. (2,0)-

D. (0,1) 16. 非空集合G 关于运算⊕满足：①对任意,a b G ∈，都有a b G +∈；②存在e G ∈使对一切a G ∈都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 是关于运算⊕的融洽集；现有下列集合及运算： ①G 是非负整数集，⊕：实数的加法；

②G 是偶数集，⊕：实数的乘法；

③G 是所有二次三项式组成的集合，⊕：多项式的乘法；

④{|,}G x x a a b Q ==+∈，⊕：实数的乘法；

其中为融洽集的个数是（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

三. 解答题

17. 已知集合{1,1}A =-，2{|0,}B x x ax b x R =++=∈，若B ≠∅，且A

B A =，求实数,a b 的值；

18. 已知二次函数2()f x ax bx =+对任意x R ∈均有()(2)f x f x =--成立，且函数的图像 过点3(1,)2

A

（1）求函数()y f x =的解析式；

（2）若不等式(1)f x x -≤的解集为[4,]m ，求实数l 、m 的值；

19. 已知a R ∈，设集合22{|(61)9320}A x x a x a a =-+++-<，{|1||0}B x x a =-+≥

（1）当1a =时，求集合B ；

（2）问：12

a ≥

是A B =∅的什么条件？并证明你的结论；

20. 设函数()f x =，a R ∈且0a ≠； （1）分别判断当1a =及2a =-时函数的奇偶性；

（2）在a R ∈且0a ≠的条件下，将（1）的结论加以推广，使命题（1）成为推广后命题的特例，并对推广的结论加以证明；

21. 已知关于x 的不等式2(4129)(211)0kx k k x ---->，其中k R ∈；

（1）试求不等式的解集A ；

（2）对于不等式的解集A ，若满足A Z B =（其中Z 为整数集），试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少时k 的取值范围，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由；