2019年高考数学理科数学导数及其应用分类汇编

2019年高考数学理科数学

导数及其应用

1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线

e

ln x

y a x x 在点（1，ae ）处的切线方程为

y=2x+b ，则

A ．

e 1

a b

，B ．a=e ，b=1 C ．1

e 1

a

b

，D ．1

e a

，1

b

【答案】D 【解析】∵e

ln 1,x

y a x ∴切线的斜率1|e 1

2x k y a ，1

e a

，将(1,1)代入2y x

b ，得21,1b

b

.

故选D ．

2．【2019年高考天津理数】已知

a R ，设函数2

22,1,()

ln ,

1.

x

ax a x f x x a x x 若关于x 的不等式

()0

f x 在R 上恒成立，则a 的取值范围为A ．0,1B ．0,2C ．

0,e

D ．

1,e

【答案】C 【解析】当

1x

时，(1)

12210f a a 恒成立；当

1x 时，2

2

()

22021

x

f x x ax a a

x 恒成立，

令2

()

1x

g x x ，

则2

2

2

(11)(1)

2(1)1()

111x x x x g x x

x

x

1

112

2(1)

2011x

x x x

，

当1

11x

x

，即

0x 时取等号，

∴max

2()0a

g x ，则0a

.

当

1x

时，()

ln 0f x x a x

，即ln x a

x

恒成立，

令()

ln x h x x

，则2

ln 1()

(ln )

x h x x ，

当e x 时，()0h x ，函数()h x 单调递增，

当0e x

时，()

0h x ，函数()h x 单调递减，

则e x 时，()h x 取得最小值(e)e h ，

∴min

()e a

h x ，

综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 故选C.

3．（2019浙江）已知,a b

R ，函数32

,0()

11(1),0

3

2

x x

f x x a x ax x

．若函数()y

f x ax b 恰有

3个零点，则A ．a<–1，b<0 B ．a<–1，b>0C ．a>–1，b<0 D ．a>–1，b>0

【答案】C

【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ，

则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥０时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b

x

3

（a+1）x 2

+ax ﹣ax ﹣b

x

3

（a+1）x 2

﹣b ，

2

(1)y x

a x ，

当a+1≤０，即a ≤﹣1时，y ′≥０，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增，则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；

当a+1＞0，即a>﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，令y ′＜0得x ∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.

根据题意，函数

y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点?函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，

在[0，+∞）上有2个零点，如图：

∴

＜0且

＞

＜

，

解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞（a+1）3

，

则a>–1，b<0. 故选C ．

4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线

2

3()e x

y x

x 在点(0)0，处的切线方程为____________．

【答案】30

x y 【解析】2

2

3(21)e 3()e

3(31)e ,

x

x

x

y

x x

x x

x 所以切线的斜率0

|3x

k

y ，

则曲线2

3()e x

y

x

x 在点(0,0)处的切线方程为

3y

x ，即30x

y ．

5．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系

xOy 中，P 是曲线4(0)y

x

x x 上的一个动点，则点

P 到直

线0x

y 的距离的最小值是

▲　.

【答案】4 【解析】由4(0)y

x

x

x

，得2

41

y

x

，

设斜率为

1的直线与曲线4(0)y x x

x

切于00

4(,)x x x ，

由2

41

1x

得0

2x （0

2x 舍去），