(完整版)利用导数求参数的取值范围方法归纳

利用导数求参数的取值范围

一．已知函数单调性，求参数的取值范围

类型1．参数放在函数表达式上

例１． 设函数R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(23．

的取值范围

求上为增函数在若的值求常数处得极值在若a x f a x x f ,)0,()()2(.

,3)()1(-∞=

二．已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围

类型１．参数放在不等式上

例3.已知时都取得极值与在13

2)(23=-=+++=x x c bx ax x x f

（1）求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间．

（2）若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围． __________)(]2,1[,522)(.32

3

的取值范围是则实数都有若对任意已知函数m m x f x x x x x f >-∈+--=

类型2．参数放在区间上

例４．已知三次函数d cx x ax x f ++-=2

35)(图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且)(x f 在x=3处有极值.

（1）求)(x f 的解析式.（2）当),0(m x ∈时, )(x f >0恒成立,求实数m 的取值范围.

分析:(1)935)(23++-=x x x x f ]

3,0(),0(0)(]3,0(),0(0)(30)3()(,)(,0)()3,3

1(9)0()()(,0)()3

1,0(3,310)()

3)(13(3103)().2(''21‘2'的取值范围为所以内恒成立

在时当且仅当内不恒成立在时所以当所以单调递减时当所以单调递增时当得由m m x f m ，m x f m f x f x f x f x f x f ，x f x f x x x x f x x x x x f >∈>>=><∈=>>∈===--=+-=

基础训练：

.___________24.434的取值范围是则实数都成立对任意实数若不等式a ，x a x x -≥-

三．知函数图象的交点情况，求参数的取值范围．

例5.已知函数1,13)(2

3=-=-+=x x x bx ax x f 在处取得极值

(1) 求函数)(x f 的解析式.

(2) 若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线y=)(x f 的三条切线,求实数m 的取值范围.

略解(1)求得x x x f 3)(3-=

(2)设切点为33)(),3,(2'0300-=-x x f x x x M 因为

200'20300020300200302066)(332)(,0332)

1)(33(3),1)(33(x x x g m x x x g x A m x x x x m x x M

x x m y -=++-=**=++---=----=-则设有三个不同的实数根

的方程所以关于可作曲线的三条切线因为过点即所以又切线过点所以切线方程为)

2,3(230

)1(0)0(1,0)(,)1,0(,),1(),0,()(1

00)(00000000'---<<-⎩⎨⎧<>*==+∞-∞===的取值范围是所求的实数解得条件是有三个不同实根的充要的方程所以关于的极值点为故函数上单调递减在上单调递增在所以或得由m m g g x x x x g x g x x x g

总结:从函数的极值符号及单调性来保证函数图象与x 轴交点个数

.基础训练：

轴仅有一个交点与曲线在什么范围内取值时当的极值

求函数为实数设x x f y a x f a

x x x x f a )(,)2()()1()(,.523=+--=

变式2：若函数5)(23-+-=x x ax x f 在),(+∞-∞上单调递增，求a 的取值范围。

变式3：已知函数]1,0(,12)(2∈-

=x x

ax x f ，若)(x f 在区间]1,0(上是增函数，求a 的取值范围。

变式4：已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．

（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭

，

内是减函数，求a 的取值范围．

变式1：已知m x f x x x x x f <-∈+--

=)(],2,1[,5221)(23恒成立，求实数m 的取值范围

★高考真题演练

(2017年理21)已知函数x e a ae

x f x x --+=)2()(2 （1）讨论)(x f 的单调性；

（2）若)(x f 有两个零点，求a 的取值范围。

(2017年文21)已知函数x a a e e x f x x 2)()(--=

（1）讨论)(x f 的单调性；

（2）若0)(≥x f ，求a 的取值范围。

（2017年文科14）曲线x

x y 12+

=在点)2,1(处的切线方程为 。

（2016年文、理21） 已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x

（1）讨论)(x f 的单调性；

（2）若错误!未找到引用源。)(x f 有两个零点，求a 的取值范围.

（2014年文科21） 设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+

-≠，曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜率为0 （1）求b;

（2）若存在01,x ≥使得()01

a f x a <

-，求a 的取值范围。

（2014年理科21）设函数1

(0ln x x

be f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.

（2013年理科21）已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )，若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x +2

（Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值

（Ⅱ）若x ≥－2时，f (x )≤kgf (x )，求k 的取值范围。