微分方程习题及答案

微分方程习题

§1 基本概念

1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.

（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22

（2）⎰'=''=+y 0 222

t -)(,1e y y y x dt

2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）

（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）

（1）1)(22=++y C x ；

（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.

3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。

（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。

（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程

1.求下列微分方程的通解

（1）2211y y x -='-；

（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；

（3）23xy xy dx

dy =-； （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .

2．求下列微分方程的特解

（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；

（2）2

1 ,12==+'=x y y y y x

3. 求下列微分方程的通解

（1）)1(ln +='x

y y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x .

4. 求下列微分方程的特解

（1）1 ,022=-==x y y x xy dx dy ；

（2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .

5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程

（1）2)(y x y +='；

（2）)ln (ln y x y y y x +=+'

（3）11+-='y

x y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y

6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a .

7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.

8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？

9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？

§3 一阶线性方程与贝努利方程

1．求下列微分方程的通解

（1）2x x

y y =-'； （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；

（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；

（4）)

(ln 2x y y y -='； （5）

1sin 4-=-x e dx

dy y 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,sec tan 0==-'=x y

x x y y ； (2)1|,sin 0==+'=x y x

x x y y 3．一 曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.

4．设可导函数)(x ϕ满足方程

⎰+=+ x

0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ. 5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.

6．求下列贝努利方程的通解

(1) 62y x x

y y =+' （2）x y x y y tan cos 4+='

（3）0ln 2=-+y x x dy

dx y （4）2121xy x xy y +-=

'

§4 可降阶的高阶方程

1.求下列方程通解。

(1)y y x '''=+；

（2）122+'=''x y x y ；2

(3)20yy y '''-=()341y y ''= ()2002.1,0,1

x x y y y y ==''''===-求下列方程的特解

（2）0 ,0 ,2002

='=='+''==-x x x y y e y x y

3．求x y =''的经过)1 ,0(且在与直线12

+=

x y 相切的积分曲线 4．证明曲率恒为常数的曲线是圆或直线. 证明：0,0(,)1(232=≠='+'

'K K K y y 可推出y 是线性函数；K 可取正或负

5．枪弹垂直射穿厚度为δ的钢板，入板速度为a ，出板速度为b )(b a >，设枪弹在板内受到阻力与速度成正比，问枪弹穿过钢板的时间是多少？

§5 高阶线性微分方程

1.已知)( ),(21x y x y 是二阶线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解，试证)()(21x y x y -是0)()(=+'+''y x q y x p y 的解

2.已知二阶线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的三个特解x e y x y x y 33221 , ,===，试求此方程满足3)0( ,0)0(='=y y 的特解.

3．验证1 ,121+=+=x e y x y 是微分方程1)1(=+'-''-y y x y x 的解，并求其通解.

§6 二阶常系数齐次线性微分方程

1.求下列微分方程的通解

（1）02=-'+''y y y ；

（2）0136=+'+''y y y ；

（3）044=+'+''y y y ；

（4）02)4(=+''+y y y .