函数的奇偶性与周期性 知识点与题型归纳

1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．

2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．

3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.

★备考知考情

1.对函数奇偶性的考查，主要涉及函数奇偶性的判断，利用奇偶函数图象的特点解决相关问题，利用函数奇偶性求函数值，根据函数奇偶性求参数值等．

2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题．

3.多以选择题、填空题的形式出现.

一、知识梳理《名师一号》P18

注意：

研究函数奇偶性必须先求函数的定义域

知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征

1.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，

都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．

2.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，

都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．

1

2

3.奇函数的图象关于原点对称； 偶函数的图象关于y 轴对称.

知识点二 奇函数、偶函数的性质

1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同， 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．

2. 若f (x )是奇函数，且在x ＝0处有定义，则(0)0=f .

3. 若f (x )为偶函数，则()()(||)f x f x f x =-=. 《名师一号》P19 问题探究 问题1

奇函数与偶函数的定义域有什么特点？

(1)判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．

(2)判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的 每一个x ， 均有f (－x )＝－f (x )、f (－x )＝f (x )，

而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)、f (－x 0)＝f (x 0)．

(补充)

1、若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0=f ．

(0)0=f 是()f x 为奇函数的

既不充分也不必要条件 2．判断函数的奇偶性的方法 （1）定义法：

1)首先要研究函数的定义域，

3

2)其次要考虑

()f x 与()f x -的关系，

也可以用定义的等价形式：

()()0f x f x ±-=（对数型函数用），

()1()

f x f x =±-（指数型函数用）

． 3)分段函数应分段讨论

（2）图象法：利用奇偶函数图象的对称性来判断． （3）复合函数奇偶性的判断

若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数可依 若干个函数的奇偶性而定，概括为 “同奇为奇，一偶则偶”．

注意：证明函数的奇偶性的方法只有定义法

知识点三 函数的周期性 1.周期函数：

对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称非零常数T 为这个函数的周期．

2．最小正周期：

如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 并不是任何周期函数都有最小正周期， 如常量函数)()(R x a x f ∈=；

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3.几个重要的推论 （1）《名师一号》P19 问题探究 问题3 若函数

()f x 恒满足()()f x a f x +=-(0)a ≠， 则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期； 若函数()f x 恒满足1

()()

f x a f x +=

(0)a ≠， 则

()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期；

若函数

()f x 恒满足1

()()

f x a f x +=-

(0)a ≠， 则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期；

(补充)若函数()f x 恒满足()()f x a f x b +=+，

则

()f x 是周期函数，b a -是它的一个周期；

（2）(补充)注意区分：

若()()f a x f a x -=+（或()(2)f x f a x =-）

则函数()f x 关于a x

=对称。

若()(2)f x f a x =--

则函数()f x 关于点

(),0a 对称。

推广：若函数

()f x 恒满足)()(x b f x a f -=+

则)(x f 图象的对称轴为2

b

a x +=。

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（3）(补充)

已知奇函数()f x 的图象关于直线x a =对称， 则()f x 是周期函数，且4a 为其中的一个周期

若偶函数()f x 的图象关于直线x a =对称， 则()f x 是周期函数，且2a 为其中的一个周期

二、例题分析：

（一）证明（判断）函数的奇偶性 例1. (补充)

判断下列函数的奇偶性．

(1)f (x )＝(2－x )2＋x

2－x

.

(2)f (x )＝⎩⎨⎧

x ＋2 x <－1

0 |x |≤1

－x ＋2 x >1

.

(3)f (x )＝

1a x －1＋12

(a >0且a ≠1)

解析：

(1)由2＋x 2－x

≥0得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，

故f (x )为非奇非偶函数．